1.1 परिचय

गणित में, हम बार-बार समाधान करने के लिए सरल समीकरणों का सामना करते हैं। उदाहरण के लिए, समीकरण

$$ \begin{equation*} x+2=13 \tag{1} \end{equation*} $$

को उस समय हल किया जाता है जब $x=11$, क्योंकि $x$ का यह मान दिए गए समीकरण को पूरा करता है। समाधान 11 एक प्राकृत संख्या है। दौरान, समीकरण

$$ \begin{equation*} x+5=5 \tag{2} \end{equation*} $$

के लिए समाधान पूर्ण संख्या 0 (शून्य) देता है। यदि हम केवल प्राकृत संख्याओं पर विचार करते हैं, तो समीकरण (2) को हल नहीं किया जा सकता। समीकरणों जैसे (2) को हल करने के लिए, हमने प्राकृत संख्याओं की संग्रह में शून्य की संख्या जोड़ी और पूर्ण संख्याओं प्राप्त कीं। यहाँ तक कि पूर्ण संख्याएँ प्रकार

$$ \begin{equation*} x+18=5 \tag{3} \end{equation*} $$

के समीकरणों को हल करने के लिए पर्याप्त नहीं होंगी। क्या आप ‘क्यों’ देखते हैं? हमें संख्या -13 की आवश्यकता है जो पूर्ण संख्या नहीं है। इसने हमें पूर्णांकों, (सकारात्मक और नकारात्मक) पर विचार करने के लिए प्रेरित किया। ध्यान दें कि सकारात्मक पूर्णांक प्राकृत संख्याओं से संबंधित हैं। एक व्यक्ति कह सकता है कि हमें सभी सरल समीकरणों को हल करने के लिए प्राप्त पूर्णांकों की सूची से पर्याप्त संख्याएँ हैं। अब समीकरणों पर विचार करें

$$ \begin{matrix} 2 x=3 \\ 5 x+7=0 \tag{5} \end{matrix} $$

जिनके लिए हम पूर्णांकों से समाधान नहीं ढूंढ पा रहे हैं। (इसे जाँचें) हमें समीकरण (4) को हल करने के लिए संख्याएँ $\frac{3}{2}$ आवश्यक हैं और समीकरण (5) को हल करने के लिए $\frac{-7}{5}$। इससे हमें प्राकृत संख्याओं की संग्रह पर प्रवेश होता है।

हमने पहले ही प्राकृत संख्याओं पर आधारभूत संक्रियाओं को देखा है। अब हम उन संक्रियाओं के विभिन्न प्रकारों के विशेषताओं का अन्वेषण करने का प्रयास करते हैं जो अब तक देखे गए हैं।

1.2 प्राकृत संख्याओं के विशेषताएँ

1.2.1 बंदश

(i) पूर्ण संख्याएँ

चलिए पूर्ण संख्याओं पर सभी संक्रियाओं के लिए बंदश गुण को संक्षिप्त रूप से फिर से देखते हैं।

प्राकृत संख्याओं के लिए सभी चार संक्रियाओं के तहत बंदश गुण की जाँच करें।

(ii) पूर्णांक

चलिए अब पूर्णांकों के बंद होने वाली संक्रियाओं को याद करते हैं।

आपने देखा है कि पूर्ण संख्याएँ जोड़ और गुणन के तहत बंद हैं लेकिन घटाव और भाग के तहत नहीं। हालाँकि, पूर्णांक जोड़, घटाव और गुणन के तहत बंद हैं लेकिन भाग के तहत नहीं।

(iii) प्राकृत संख्याएँ

याद रखें कि एक संख्या जिसे $\frac{p}{q}$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ को प्राकृत संख्या कहते हैं। उदाहरण के लिए, $-\frac{2}{3}, \frac{6}{7}, \frac{9}{-5}$ सभी प्राकृत संख्याएँ हैं। क्योंकि संख्याएँ $0,-2,4$ $\frac{p}{q}$ के रूप में लिखी जा सकती हैं, इन्हें भी प्राकृत संख्याएँ कहा जाता है। (इसे जाँचें!)

(अ) आप दो प्राकृत संख्याओं को कैसे जोड़ते हैं जानते हैं। चलिए कुछ जोड़ जोड़ते हैं।

$ \begin{aligned} \frac{3}{8}+\frac{(-5)}{7} & =\frac{21+(-40)}{56}=\frac{-19}{56} \quad \quad \text{(एक प्राकृत संख्या)}\\ \frac{-3}{8}+\frac{(-4)}{5} & =\frac{-15+(-32)}{40}= \ldots \quad\quad \text{क्या यह प्राकृत संख्या है?} \\ \frac{4}{7}+\frac{6}{11} & = \ldots\quad \quad\quad\quad \text{क्या यह प्राकृत संख्या है?} \end{aligned} $

हम पाते हैं कि दो प्राकृत संख्याओं का योग फिर से एक प्राकृत संख्या है। कुछ और प्राकृत संख्याओं के जोड़ों के लिए इसे जाँचें।

हम कहते हैं कि प्राकृत संख्याएँ जोड़ के तहत बंद हैं। अर्थात्, किसी भी दो प्राकृत संख्याओं $a$ और $b, a+b$ का योग $b, a+b$ एक प्राकृत संख्या है।

(ब) दो प्राकृत संख्याओं का अंतर क्या फिर से एक प्राकृत संख्या होगा?

हमारे पास है,

$ \frac{-5}{7}-\frac{2}{3}=\frac{-5 \times 3-2 \times 7}{21}=\frac{-29}{21} \quad \text{ (एक प्राकृत संख्या) } $

$ \begin{aligned} \frac{5}{8}-\frac{4}{5}=\frac{25-32}{40} & =\ldots \quad \text{क्या यह प्राकृत संख्या है? }\\ \frac{3}{7}-(\frac{-8}{5}) & =\ldots \quad \text{क्या यह प्राकृत संख्या है? } \end{aligned} $

कुछ और प्राकृत संख्याओं के जोड़ों के लिए इसका प्रयास करें। हम पाते हैं कि प्राकृत संख्याएँ घटाव के तहत बंद हैं। अर्थात्, किसी भी दो प्राकृत संख्याओं $a$ और $b, a-b$ का अंतर $b, a-b$ एक प्राकृत संख्या है।

(ग) चलिए अब दो प्राकृत संख्याओं के गुणन को देखते हैं।

$ \begin{matrix} \frac{-2}{3} \times \frac{4}{5} & =\frac{-8}{15} ; \frac{3}{7} \times \frac{2}{5}=\frac{6}{35} & \text{ (दोनों गुणन प्राकृत संख्याएँ हैं) } \\ -\frac{4}{5} \times \frac{-6}{11} & =\ldots & \text{क्या यह प्राकृत संख्या है? } \end{matrix} $

प्राकृत संख्याओं के कुछ और जोड़ों लें और जाँचें कि उनका गुणन फिर से प्राकृत संख्या है।

हम कहते हैं कि प्राकृत संख्याएँ गुणन के तहत बंद हैं। अर्थात्, $i s$, किसी भी दो प्राकृत संख्याओं $a$ और $b, a \times b$ का गुणन $b, a \times b$ एक प्राकृत संख्या है।

(घ) हम देखते हैं कि $\frac{-5}{3} \div \frac{2}{5}=\frac{-25}{6}$

(एक प्राकृत संख्या)

$\frac{2}{7} \div \frac{5}{3}=\ldots$। क्या यह प्राकृत संख्या है? $\frac{-3}{8} \div \frac{-2}{9}=\ldots$। क्या यह प्राकृत संख्या है?

क्या आप कह सकते हैं कि प्राकृत संख्याएँ भाग के तहत बंद हैं?

हम पाते हैं कि किसी भी प्राकृत संख्या $a, a \div 0$ का भाग परिभाषित नहीं है।

इसलिए प्राकृत संख्याएँ भाग के तहत बंद नहीं हैं।

हालाँकि, यदि हम शून्य को बाहर कर दें तो, सभी अन्य प्राकृत संख्याओं का संग्रह भाग के तहत बंद है।

इसे प्रयास करें

निम्नलिखित तालिका में रिक्त स्थान भरें।

1.2.2 स्थानान्तरितता

(i) पूर्ण संख्याएँ

पूर्ण संख्याओं के लिए विभिन्न संक्रियाओं की स्थानान्तरितता को याद करने के लिए निम्नलिखित तालिका को भरें।

स्थानान्तरितता की संक्रियाओं के लिए प्राकृत संख्याओं के लिए भी यह जाँचें।

(ii) पूर्णांक

पूर्णांकों के लिए विभिन्न संक्रियाओं की स्थानान्तरितता की जाँच करने के लिए निम्नलिखित तालिका को भरें:

(iii) प्राकृत संख्याएँ

(अ) जोड़

आप जानते हैं कि दो प्राकृत संख्याओं को कैसे जोड़ते हैं। चलिए यहाँ कुछ जोड़ जोड़ते हैं।

$ \begin{aligned} & \quad \frac{-2}{3}+\frac{5}{7}=\frac{1}{21} \text{ और } \frac{5}{7}+(\frac{-2}{3})=\frac{1}{21} \\ & \text{ इसलिए, } \frac{-2}{3}+\frac{5}{7}=\frac{5}{7}+(\frac{-2}{3}) \\ & \text{ इसके साथ ही, } \frac{-6}{5}+(\frac{-8}{3})=\ldots \text{ और } \frac{-8}{3}+(\frac{-6}{5})=\ldots \\ & \text{ क्या } \quad \frac{-6}{5}+(\frac{-8}{3})=(\frac{-8}{3})+(\frac{-6}{5}) ? \end{aligned} $

$\quad \frac{-3}{8}+\frac{1}{7}=\frac{1}{7}+(\frac{-3}{8})$ क्या है?

आप पाते हैं कि दो प्राकृत संख्याओं को किसी भी क्रम में जोड़ा जा सकता है। हम कहते हैं कि प्राकृत संख्याओं के लिए जोड़ स्थानान्तरित है। अर्थात्, किसी भी दो प्राकृत संख्याओं $a$ और $b, a+b=b+a$ के लिए।

(ब) घटाव

$\quad \frac{2}{3}-\frac{5}{4}=\frac{5}{4}-\frac{2}{3}$ क्या है?

$\quad \frac{1}{2}-\frac{3}{5}=\frac{3}{5}-\frac{1}{2}$ क्या है?

आप पाते हैं कि प्राकृत संख्याओं के लिए घटाव स्थानान्तरित नहीं है।

ध्यान दें कि पूर्णांकों के लिए घटाव स्थानान्तरित नहीं है और पूर्णांक भी प्राकृत संख्याएँ हैं। इसलिए, प्राकृत संख्याओं के लिए भी घटाव स्थानान्तरित नहीं होगी।

(ग) गुणन

हमारे पास है, $\quad \frac{-7}{3} \times \frac{6}{5}=\frac{-42}{15}=\frac{6}{5} \times(\frac{-7}{3})$

क्या है: $ \frac{-8}{9} \times(\frac{-4}{7})=\frac{-4}{7} \times(\frac{-8}{9}) ? $

कुछ और ऐसे गुणनों के लिए जाँचें।

आप पाते हैं कि प्राकृत संख्याओं के लिए गुणन स्थानान्तरित है।

सामान्य रूप से, $a \times b=b \times$ किसी भी दो प्राकृत संख्याओं $a$ और $b$ के लिए।

(घ) भाग

क्या है: $ \frac{-5}{4} \div \frac{3}{7}=\frac{3}{7} \div(\frac{-5}{4}) ? $

आप पाते हैं कि दोनों पक्षों की अभिव्यक्तियाँ बराबर नहीं हैं।

इसलिए प्राकृत संख्याओं के लिए भाग स्थानान्तरित नहीं है।

इसे प्रयास करें

निम्नलिखित तालिका को पूरा करें:

1.2.3 संयोजितता

(i) पूर्ण संख्याएँ

इस तालिका के माध्यम से पूर्ण संख्याओं के लिए चार संक्रियाओं की संयोजितता को याद करें:

इस तालिका को भरें और आखिरी स्तंभ में दिए गए टिप्पणियों को सत्यापित करें।

अपने आप को विभिन्न संक्रियाओं की संयोजितता के लिए प्राकृत संख्याओं की जाँच करें।

(ii) पूर्णांक

पूर्णांकों के लिए चार संक्रियाओं की संयोजितता इस तालिका से देखी जा सकती है

(iii) प्राकृत संख्याएँ

(अ)

जोड़: हमारे पास $\frac{-2}{3}+[\frac{3}{5}+(\frac{-5}{6})]=\frac{-2}{3}+(\frac{-7}{30})=\frac{-27}{30}=\frac{-9}{10}$ है

$ [\frac{-2}{3}+\frac{3}{5}]+(\frac{-5}{6})=\frac{-1}{15}+(\frac{-5}{6})=\frac{-27}{30}=\frac{-9}{10} $

इसलिए, $\quad \frac{-2}{3}+[\frac{3}{5}+(\frac{-5}{6})]=[\frac{-2}{3}+\frac{3}{5}]+(\frac{-5}{6})$

$\frac{-1}{2}+[\frac{3}{7}+(\frac{-4}{3})]$ और $[\frac{-1}{2}+\frac{3}{7}]+(\frac{-4}{3})$ ज्ञात करें। क्या दो योग समान हैं?

कुछ और प्राकृत संख्याओं को, उपरोक्त तरीके से जोड़कर देखें और देखें कि क्या दो योग समान हैं। हम पाते हैं कि प्राकृत संख्याओं के लिए जोड़ संयोजित है। अर्थात्, $i$, किसी भी तीन प्राकृत संख्याओं $a, b$ और $c, a+(b+c)=(a+b)+c$ के लिए।

(ब) घटाव

आप पहले से ही जानते हैं कि पूर्णांकों के लिए घटाव संयोजित नहीं है, तो प्राकृत संख्याओं के लिए क्या है।

$\quad \frac{-2}{3}-[\frac{-4}{5}-\frac{1}{2}]=[\frac{2}{3}-(\frac{-4}{5})]-\frac{1}{2} ?$ क्या है?

अपने आप को जाँचें।

प्राकृत संख्याओं के लिए घटाव संयोजित नहीं है।

(ग) गुणन

चलिए गुणन की संयोजितता की जाँच करते हैं।

$ \frac{-7}{3} \times(\frac{5}{4} \times \frac{2}{9})=\frac{-7}{3} \times \frac{10}{36}=\frac{-70}{108}=\frac{-35}{54} $

$ (\frac{-7}{3} \times \frac{5}{4}) \times \frac{2}{9}=\ldots $

हम पाते हैं कि $\quad \frac{-7}{3} \times(\frac{5}{4} \times \frac{2}{9})=(\frac{-7}{3} \times \frac{5}{4}) \times \frac{2}{9}$

क्या है: $ \frac{2}{3} \times(\frac{-6}{7} \times \frac{4}{5})=(\frac{2}{3} \times \frac{-6}{7}) \times \frac{4}{5} ? $

कुछ और प्राकृत संख्याओं के लिए अपने आप को जाँचें।

हम देखते हैं कि प्राकृत संख्याओं के लिए गुणन संयोजित है। अर्थात्, किसी भी तीन प्राकृत संख्याओं $a, b$ और $c, a \times(b \times c)=(a \times b) \times c$ के लिए। (घ) भाग

पूर्णांकों के लिए भाग संयोजित नहीं है याद करें, तो प्राकृत संख्याओं के लिए क्या है?

$\frac{1}{2} \div[\frac{-1}{3} \div \frac{2}{5}]=[\frac{1}{2} \div(\frac{-1}{3})] \div \frac{2}{5}$ क्या है?

हमारे पास है, बाएँ पक्ष $=\frac{1}{2} \div(\frac{-1}{3} \div \frac{2}{5})=\frac{1}{2} \div(\frac{-1}{3} \times \frac{5}{2}) \quad(.$ $\frac{2}{5}$ का प्रतिलोम $\frac{5}{2}$ )

$ \begin{aligned} & =\frac{1}{2} \div(-\frac{5}{6})=\ldots \\ \text{ दाएँ पक्ष } & =[\frac{1}{2} \div(\frac{-1}{3})] \div \frac{2}{5} \\ & =(\frac{1}{2} \times \frac{-3}{1}) \div \frac{2}{5}=\frac{-3}{2} \div \frac{2}{5}=\ldots \end{aligned} $

क्या बाएँ पक्ष = दाएँ पक्ष? अपने आप को जाँचें। आप पाते हैं कि प्राकृत संख्याओं के लिए भाग संयोजित नहीं है।

इसे प्रयास करें

निम्नलिखित तालिका को पूरा करें:

उदाहरण 1 : $\frac{3}{7}+(\frac{-6}{11})+(\frac{-8}{21})+(\frac{5}{22})$ ज्ञात करें

समाधान: $\frac{3}{7}+(\frac{-6}{11})+(\frac{-8}{21})+(\frac{5}{22})$

$=\frac{198}{462}+(\frac{-252}{462})+(\frac{-176}{462})+(\frac{105}{462})$ (ध्यान दें कि 462 7, 11, 21 और 22 का लेबम है)

$=\frac{198-252-176+105}{462}=\frac{-125}{462}$

इसे भी इस तरीके से हल किया जा सकता है।

$ \begin{aligned} & \frac{3}{7}+(\frac{-6}{11})+(\frac{-8}{21})+\frac{5}{22} \\ & =[\frac{3}{7}+(\frac{-8}{21})]+[\frac{-6}{11}+\frac{5}{22}] \quad \text{ (स्थानान्तरितता और संयोजितता का उपयोग करके) } \\ & =[\frac{9+(-8)}{21}]+[\frac{-12+5}{22}] \quad \text{ (7 और 21 का लेबम 21 है; 11 और 22 का लेबम 22 है) } \\ & =\frac{1}{21}+(\frac{-7}{22})=\frac{22-147}{462}=\frac{-125}{462} \end{aligned} $

क्या आपको लगता है कि स्थानान्तरितता और संयोजितता के गुण गणना को आसान बनाते हैं?

उदाहरण 2 : $\frac{-4}{5} \times \frac{3}{7} \times \frac{15}{16} \times(\frac{-14}{9})$ ज्ञात करें

समाधान: हमारे पास है

$ \begin{aligned} \frac{-4}{5} & \times \frac{3}{7} \times \frac{15}{16} \times(\frac{-14}{9}) \\ & =(-\frac{4 \times 3}{5 \times 7}) \times(\frac{15 \times(-14)}{16 \times 9}) \\ & =\frac{-12}{35} \times(\frac{-35}{24})=\frac{-12 \times(-35)}{35 \times 24}=\frac{1}{2} \end{aligned} $

हम इसे भी इस तरीके से कर सकते हैं।

$ \begin{aligned} \frac{-4}{5} & \times \frac{3}{7} \times \frac{15}{16} \times(\frac{-14}{9}) \ & =(\frac{-4}{5} \times \frac{15}{16}) \times[\frac{3}{7} \times(\frac{-14}{9})] \text{ (स्थानान्तरितता और संयोजितता का उपयोग करके) } \\ & =\frac{-3}{4} \times(\frac{-2}{3})=\frac{1}{2} \end{aligned} $

1.2.4 शून्य (0) की भूमिका

निम्नलिखित पर ध्यान दें।

$ \begin{aligned} 2+0 & =0+2=2 \\ -5+0 & =\ldots+\ldots=-5 \\ \frac{-2}{7}+\ldots & =0+(\frac{-2}{7})=\frac{-2}{7} \end{aligned} $

(एक पूर्ण संख्या को 0 से जोड़ना) (एक पूर्णांक को 0 से जोड़ना)

(एक प्राकृत संख्या को 0 से जोड़ना)

आपने पहले भी ऐसे जोड़ किए थे। कुछ और ऐसे जोड़ कर देखें।

आप क्या देखते हैं? आप पाते हैं कि जब आप 0 को एक पूर्ण संख्या से जोड़ते हैं, तो योग फिर से उसी पूर्ण संख्या होता है। इस बात का पूर्णांकों और प्राकृत संख्याओं के लिए भी होता है।

सामान्य रूप से,

$ \begin{matrix} a+0 & =0+a=a, & \text{ जहाँ } a \text{ एक पूर्ण संख्या है } \\ b+0 & =0+b=b, & \text{ जहाँ } b \text{ एक पूर्णांक है } \\ c+0 & =0+c=c, & \text{ जहाँ } c \text{ एक प्राकृत संख्या है } \end{matrix} $

शून्य को प्राकृत संख्याओं के जोड़ के लिए पहचान कहा जाता है। यह पूर्णांकों और पूर्ण संख्याओं के लिए भी योगकर्ता पहचान है।

1.2.5 1 की भूमिका

हमारे पास है,

$ \begin{aligned} & 5 \times 1=5=1 \times 5 \quad \text{ (1 के साथ पूर्ण संख्या का गुणन) } \\ & \frac{-2}{7} \times 1=\ldots \times \ldots=\frac{-2}{7} \\ & \frac{3}{8} \times \ldots=1 \times \frac{3}{8}=\frac{3}{8} \end{aligned} $

आप क्या पाते हैं?

आप पाते हैं कि जब आप किसी भी प्राकृत संख्या को 1 के साथ गुणित करते हैं, तो आप उसी प्राकृत संख्या को गुणन के रूप में प्राप्त करते हैं। कुछ और प्राकृत संख्याओं के लिए इसे जाँचें। आप पाते हैं कि, $a \times 1=1 \times a=a$ किसी भी प्राकृत संख्या $a$ के लिए।

हम कहते हैं कि 1 प्राकृत संख्याओं के लिए गुणनकर्ता पहचान है।

क्या 1 पूर्णांकों के लिए गुणनकर्ता पहचान है? पूर्ण संख्याओं के लिए?

सोचें, चर्चा करें और लिखें

यदि कोई गुण प्राकृत संख्याओं के लिए सत्य है, तो क्या यह पूर्णांकों के लिए भी सत्य होगा? पूर्ण संख्याओं के लिए? कौन-कौन सत्य होगा? कौन-कौन नहीं?

1.2.6 गुणन की जोड़ पर वितरण

इसे समझने के लिए, प्राकृत संख्याओ� पर विचार करें $\frac{-3}{4}, \frac{2}{3}$ और $\frac{-5}{6}$।

$ \begin{aligned} \frac{-3}{4} \times{\frac{2}{3}+(\frac{-5}{6})} & =\frac{-3}{4} \times{\frac{(4)+(-5)}{6}} \\ & =\frac{-3}{4} \times(\frac{-1}{6})=\frac{3}{24}=\frac{1}{8} \end{aligned} $

इसके साथ ही: $ \frac{-3}{4} \times \frac{2}{3}=\frac{-3 \times 2}{4 \times 3}=\frac{-6}{12}=\frac{-1}{2} $

और: $ \frac{-3}{4} \times \frac{-5}{6}=\frac{5}{8} $

इसलिए $(\frac{-3}{4} \times \frac{2}{3})+(\frac{-3}{4} \times \frac{-5}{6})=\frac{-1}{2}+\frac{5}{8}=\frac{1}{8}$

इस प्रकार,

$ \frac{-3}{4} \times{\frac{2}{3}+\frac{-5}{6}}=(\frac{-3}{4} \times \frac{2}{3})+(\frac{-3}{4} \times \frac{-5}{6}) $

गुणन की जोड़ पर वितरण और घटाव पर वितरण।

सभी प्राकृत संख्याओं $a, b$ और $c$ के लिए, $a(b+c)=a b+a c$ $a(b-c)=a b-a c$

इसे प्रयास करें

वितरण का उपयोग करके ज्ञात करें। (अ) ${\frac{7}{5} \times(\frac{-3}{12})}+{\frac{7}{5} \times \frac{5}{12}}$

(ब) ${\frac{9}{16} \times \frac{4}{12}}+{\frac{9}{16} \times \frac{-3}{9}}$

उदाहरण 3 : $\frac{2}{5} \times \frac{-3}{7}-\frac{1}{14}-\frac{3}{7} \times \frac{3}{5}$ ज्ञात करें

समाधान: $\quad \frac{2}{5} \times \frac{-3}{7}-\frac{1}{14}-\frac{3}{7} \times \frac{3}{5}=\frac{2}{5} \times \frac{-3}{7}-\frac{3}{7} \times \frac{3}{5}-\frac{1}{14}$ (स्थानान्तरितता द्वारा)

$ \begin{aligned} & =\frac{2}{5} \times \frac{-3}{7}+(\frac{-3}{7}) \times \frac{3}{5}-\frac{1}{14} \\ & =\frac{-3}{7}(\frac{2}{5}+\frac{3}{5})-\frac{1}{14} \quad \text{ (वितरण द्वारा) } \\ & =\frac{-3}{7} \times 1-\frac{1}{14}=\frac{-6-1}{14}=\frac{-1}{2} \end{aligned} $

अभ्यास 1.1

1. निम्नलिखित में से प्रत्येक में गुणन के तहत किस गुण का उपयोग किया गया है। (अ) $\frac{-4}{5} \times 1=1 \times \frac{-4}{5}=-\frac{4}{5}$ (ब) $-\frac{13}{17} \times \frac{-2}{7}=\frac{-2}{7} \times \frac{-13}{17}$ (ग) $\frac{-19}{29} \times \frac{29}{-19}=1$

2. ज्ञात करने के लिए जिस गुण की अनुमति देता है कि $\frac{1}{3} \times(6 \times \frac{4}{3})$ को $(\frac{1}{3} \times 6) \times \frac{4}{3}$ के रूप में गणना की जाए।

3. दो प्राकृत संख्याओं का गुणन हमेशा एक

हमने क्या चर्चा की?

1. प्राकृत संख्याएँ जोड़, घटाव और गुणन की संक्रियाओं के तहत बंद हैं।

2. संक्रियाएँ जोड़ और गुणन

(अ) प्राकृत संख्याओं के लिए स्थानान्तरित हैं।

(ब) प्राकृत संख्याओं के लिए संयोजित हैं।

3. प्राकृत संख्या 0 प्राकृत संख्याओं के लिए योगकर्ता पहचान है।

4. प्राकृत संख्या 1 प्राकृत संख्याओं के लिए गुणनकर्ता पहचान है।

5. प्राकृत संख्याओं का वितरण: सभी प्राकृत संख्याओं $a, b$ और $c$ के लिए, $a(b+c)=a b+a c$ और $a(b-c)=a b-a c$

6. किसी भी दो दिए गए प्राकृत संख्याओं के बीच अनंत प्रा�