• பண்டைய மற்றும் நவீன ஆய்வுகளுக்கு இடையிலான மோதலின் இந்த நாட்களில்; பித்தகோரஸுடன் தொடங்காது மற்றும் ஐன்ஸ்டீனுடன் முடியாது, ஆனால் மிகப் பழமையானது மற்றும் இளையது என்ற ஒரு ஆய்வுக்கு நிச்சயமாக ஏதாவது சொல்லப்பட வேண்டும். - ஜி.எச். ஹார்டி

1.1 அறிமுகம்

கணம் என்ற கருத்து தற்கால கணிதத்தின் அடிப்படைப் பகுதியாக உள்ளது. இன்று இந்தக் கருத்து கணிதத்தின் கிட்டத்தட்ட ஒவ்வொரு கிளையிலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. உறவுகள் மற்றும் சார்புகளின் கருத்துகளை வரையறுக்க கணங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. வடிவியல், தொடர்கள், நிகழ்தகவு போன்றவற்றின் ஆய்வுக்கு கணங்கள் பற்றிய அறிவு தேவைப்படுகிறது.

ஜார்ஜ் கேண்டர் (1845-1918 கி.பி.)

கணக் கோட்பாடு ஜெர்மன் கணிதவியலாளர் ஜார்ஜ் கேண்டரால் (1845-1918) உருவாக்கப்பட்டது. “முக்கோணவியல் தொடர்கள் சம்பந்தப்பட்ட சிக்கல்கள்” மீது பணிபுரியும் போது அவர் முதலில் கணங்களை எதிர்கொண்டார். இந்த அத்தியாயத்தில், கணங்களை உள்ளடக்கிய சில அடிப்படை வரையறைகள் மற்றும் செயல்பாடுகளைப் பற்றி விவாதிப்போம்.

1.2 கணங்கள் மற்றும் அவற்றின் குறிப்பிடுமுறைகள்

அன்றாட வாழ்க்கையில், ஒரு குறிப்பிட்ட வகையான பொருட்களின் தொகுப்புகளைப் பற்றி நாம் அடிக்கடி பேசுகிறோம், எடுத்துக்காட்டாக, சீட்டுக்கட்டு, மக்கள் கூட்டம், கிரிக்கெட் அணி போன்றவை. கணிதத்திலும், நாம் தொகுப்புகளை எதிர்கொள்கிறோம், எடுத்துக்காட்டாக, இயல் எண்கள், புள்ளிகள், பகா எண்கள் போன்றவை. மேலும் குறிப்பாக, பின்வரும் தொகுப்புகளை நாம் ஆராய்வோம்:

(i) 10க்கும் குறைவான ஒற்றைப்படை இயல் எண்கள், அதாவது, 1, 3, 5, 7, 9

(ii) இந்தியாவின் ஆறுகள்

(iii) ஆங்கில எழுத்துக்களில் உள்ள உயிரெழுத்துக்கள், அதாவது, $a, e, i, o, u$

(iv) பல்வேறு வகையான முக்கோணங்கள்

(v) 210 இன் பகா காரணிகள், அதாவது, 2,3,5 மற்றும் 7

(vi) சமன்பாட்டின் தீர்வு: $x^{2}-5 x+6=0$, அதாவது, 2 மற்றும் 3 .

மேலே உள்ள ஒவ்வொரு எடுத்துக்காட்டும் பொருட்களின் நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பு என்பதை நாம் கவனிக்கிறோம், ஏனெனில் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு குறிப்பிட்ட பொருள் கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிற்கு சொந்தமானதா இல்லையா என்பதை நாம் நிச்சயமாக முடிவு செய்யலாம். எடுத்துக்காட்டாக, நைல் நதி இந்தியாவின் ஆறுகளின் தொகுப்பிற்கு சொந்தமானது அல்ல என்று நாம் கூறலாம். மறுபுறம், கங்கை நதி இந்த தொகுப்பிற்கு சொந்தமானது.

கணிதத்தில் குறிப்பாகப் பயன்படுத்தப்படும் கணங்களின் இன்னும் சில எடுத்துக்காட்டுகளை கீழே தருகிறோம், அதாவது.

$\mathbf{N}$ : அனைத்து இயல் எண்களின் கணம்

$\mathbf{Z}$ : அனைத்து முழு எண்களின் கணம்

$\mathbf{Q}$ : அனைத்து விகிதமுறு எண்களின் கணம்

$\mathbf{R}$ : அனைத்து மெய் எண்களின் கணம்

$\mathbf{Z^{+}} $: அனைத்து நேர்ம முழு எண்களின் கணம்

$\mathbf{Q^{+}} $: அனைத்து நேர்ம விகிதமுறு எண்களின் கணம், மற்றும்

$\mathbf{R^{+}} $: அனைத்து நேர்ம மெய் எண்களின் கணம்.

மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ள சிறப்புக் கணங்களுக்கான குறியீடுகள் இந்த உரை முழுவதும் குறிப்பிடப்படும்.

மீண்டும், உலகின் ஐந்து மிகவும் பிரபலமான கணிதவியலாளர்களின் தொகுப்பு நன்கு வரையறுக்கப்பட்டதல்ல, ஏனெனில் ஒரு கணிதவியலாளரை மிகவும் பிரபலமானவர் என தீர்மானிப்பதற்கான அளவுகோல் நபருக்கு நபர் மாறுபடலாம். எனவே, இது ஒரு நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பு அல்ல.

ஒரு கணம் என்பது பொருட்களின் நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பாகும் என்று கூறுவோம்.

பின்வரும் புள்ளிகள் கவனிக்கப்படலாம்:

(i) ஒரு கணத்தின் உறுப்புகள், கூறுகள் மற்றும் உறுப்பினர்கள் ஆகியவை ஒத்த பொருள் கொண்ட சொற்களாகும்.

(ii) கணங்கள் பொதுவாக பெரிய எழுத்துகள் A, B, C, X, Y, Z போன்றவற்றால் குறிக்கப்படுகின்றன.

(iii) ஒரு கணத்தின் கூறுகள் சிறிய எழுத்துகள் $a, b, c, x, y, z$, போன்றவற்றால் குறிக்கப்படுகின்றன.

$a$ என்பது ஒரு கணம் A இன் ஒரு கூறு என்றால், “$a$ என்பது A க்கு சொந்தமானது” என்று கூறுகிறோம், ‘சொந்தமானது’ என்ற சொற்றொடரைக் குறிக்க கிரேக்க குறியீடான $\in$ (எப்சிலான்) பயன்படுத்தப்படுகிறது. எனவே, நாம் $a \in A$ என்று எழுதுகிறோம். ‘$b$’ என்பது ஒரு கணம் $A$ இன் கூறு அல்ல என்றால், நாம் $b \notin A$ என்று எழுதி “$b$ என்பது A க்கு சொந்தமானது அல்ல” என்று படிக்கிறோம்.

எனவே, ஆங்கில எழுத்துக்களில் உள்ள உயிரெழுத்துக்களின் கணமான $V$ இல், $a \in V$ ஆனால் $b \notin V$. $30,3 \in P$ இன் பகா காரணிகளின் கணமான $P$ இல், $15 \notin P$ ஆனால் $15 \notin P$.

ஒரு கணத்தைக் குறிப்பிட இரண்டு முறைகள் உள்ளன:

(i) பட்டியல் அல்லது அட்டவணை வடிவம்

(ii) கணம்-கட்டமைப்பு வடிவம்.

(i) பட்டியல் வடிவத்தில், ஒரு கணத்தின் அனைத்து கூறுகளும் பட்டியலிடப்படுகின்றன, கூறுகள் காற்புள்ளிகளால் பிரிக்கப்பட்டு சுருள் அடைப்புக்குறிக்குள் { } இணைக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, 7 க்கும் குறைவான அனைத்து இரட்டைப்படை நேர்ம முழு எண்களின் கணம் பட்டியல் வடிவில் $\{2,4,6\}$ என விவரிக்கப்படுகிறது. பட்டியல் வடிவில் ஒரு கணத்தைக் குறிப்பிடுவதற்கான இன்னும் சில எடுத்துக்காட்டுகள் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன:

(a) 42 ஐ வகுக்கும் அனைத்து இயல் எண்களின் கணம் $\{1,2,3,6,7,14,21,42\}$ ஆகும்.

குறிப்பு - பட்டியல் வடிவில், கூறுகள் பட்டியலிடப்படும் வரிசை முக்கியமற்றது. எனவே, மேலே உள்ள கணத்தை $\{1,3,7,21,2,6,14,42\}$ எனவும் குறிப்பிடலாம்.

(b) ஆங்கில எழுத்துக்களில் உள்ள அனைத்து உயிரெழுத்துக்களின் கணம் $\{a, e, i, o, u\}$ ஆகும்.

(c) ஒற்றைப்படை இயல் எண்களின் கணம் $\{1,3,5, \ldots\}$ ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. புள்ளிகள் ஒற்றைப்படை எண்களின் பட்டியல் காலவரையின்றி தொடர்கிறது என்பதை நமக்குச் சொல்கின்றன.

குறிப்பு - பட்டியல் வடிவில் கணத்தை எழுதும் போது ஒரு கூறு பொதுவாக மீண்டும் மீண்டும் வராது, அதாவது, அனைத்து கூறுகளும் தனித்தனியாக எடுத்துக்கொள்ளப்படுகின்றன என்பதை கவனிக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ‘SCHOOL’ என்ற சொல்லை உருவாக்கும் எழுத்துக்களின் கணம் $\{S, C, H, O, L\}$ அல்லது $\{H, O, L, C, S\}$ ஆகும். இங்கே, கூறுகளை பட்டியலிடும் வரிசைக்கு எந்த தொடர்பும் இல்லை.

(ii) கணம்-கட்டமைப்பு வடிவத்தில், ஒரு கணத்தின் அனைத்து கூறுகளும் ஒரு ஒற்றை பொதுவான பண்பைக் கொண்டிருக்கின்றன, அது கணத்திற்கு வெளியே உள்ள எந்த கூறுக்கும் இல்லை. எடுத்துக்காட்டாக, கணம் $\{a, e, i, o, u\}$ இல், அனைத்து கூறுகளும் ஒரு பொதுவான பண்பைக் கொண்டுள்ளன, அதாவது, அவை ஒவ்வொன்றும் ஆங்கில எழுத்துக்களில் உள்ள ஒரு உயிரெழுத்து, மேலும் வேறு எந்த எழுத்துக்கும் இந்த பண்பு இல்லை. இந்த கணத்தை $V$ ஆல் குறிப்பதன் மூலம், நாம் எழுதுகிறோம்

$V=\{x: x$ என்பது ஆங்கில எழுத்துக்களில் உள்ள ஒரு உயிரெழுத்து $\}$

கணத்தின் கூறுகளை $x$ ($y, z$ போன்ற வேறு எழுத்துக்களைப் போன்ற வேறு எந்த குறியீடும் பயன்படுத்தப்படலாம்) என்ற குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி விவரிக்கிறோம் என்பதைக் காணலாம், அதைத் தொடர்ந்து ஒரு பெருங்குடல் " : " உள்ளது. பெருங்குடல் குறியின் பிறகு, கணத்தின் கூறுகளுக்கு உள்ள பண்பை எழுதி, பின்னர் முழு விளக்கத்தையும் சுருள் அடைப்புக்குறிக்குள் இணைக்கிறோம். கணம் $V$ இன் மேலே உள்ள விளக்கம் “அனைத்து $x$ இன் கணம், அதாவது $x$ ஆங்கில எழுத்துக்களின் உயிரெழுத்து” எனப் படிக்கப்படுகிறது. இந்த விளக்கத்தில், சுருள் அடைப்புக்குறிகள் “அனைத்தின் கணம்” என்றும், பெருங்குடல் “அதாவது” என்றும் பொருள்படும். எடுத்துக்காட்டாக, கணம்

$A=\{x: x$ என்பது ஒரு இயல் எண் மற்றும் $3<x<10\}$ என்பது “அனைத்து $x$ இன் கணம், அதாவது $x$ என்பது ஒரு இயல் எண் மற்றும் $x$ 3 மற்றும் 10 க்கு இடையே உள்ளது” எனப் படிக்கப்படுகிறது. எனவே, எண்கள் 4, 5, 6, 7,8 மற்றும் 9 ஆகியவை கணம் $A$ இன் கூறுகளாகும்.

மேலே $(a),(b)$ மற்றும் $(c)$ இல் விவரிக்கப்பட்ட கணங்களை பட்டியல் வடிவில் முறையே $A, B$, $C$ ஆல் குறித்தால், $A, B, C$ ஐ பின்வருமாறு கணம்-கட்டமைப்பு வடிவிலும் குறிப்பிடலாம்:

$A=\{x: x$ என்பது 42 ஐ வகுக்கும் இயல் எண் $\}$

$B=\{y: y$ என்பது ஆங்கில எழுத்துக்களில் உள்ள ஒரு உயிரெழுத்து $\}$

$C=\{z: z$ என்பது ஒரு ஒற்றைப்படை இயல் எண் $\}$

எடுத்துக்காட்டு 1 சமன்பாடு $x^{2}+x-2=0$ இன் தீர்வு கணத்தை பட்டியல் வடிவில் எழுதுக.

தீர்வு கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை இவ்வாறு எழுதலாம்

$$ (x-1)(x+2)=0 \text {, i. e., } x=1,-2 $$

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் தீர்வு கணத்தை பட்டியல் வடிவில் $\{1,-2\}$ என எழுதலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 2 கணம் $\{x: x$ என்பது ஒரு நேர்ம முழு எண் மற்றும் $x^{2}<40\}$ ஐ பட்டியல் வடிவில் எழுதுக.

தீர்வு தேவையான எண்கள் $1,2,3,4,5,6$ ஆகும். எனவே, கொடுக்கப்பட்ட கணம் பட்டியல் வடிவில் $\{1,2,3,4,5,6\}$ ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 3 கணம் $A=\{1,4,9,16,25, \ldots\}$ ஐ கணம்-கட்டமைப்பு வடிவில் எழுதுக.

தீர்வு கணம் A ஐ பின்வருமாறு எழுதலாம்

$$ A=\{x: x \text { is the square of a natural number }\} $$

மாற்றாக, நாம் எழுதலாம்

$$ A=\{x: x=n^{2}, \text { where } n \in \mathbf{N}\} $$

எடுத்துக்காட்டு 4 கணம் $\{\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \frac{6}{7}\}$ ஐ கணம்-கட்டமைப்பு வடிவில் எழுதுக.

தீர்வு கொடுக்கப்பட்ட கணத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பினருக்கும் பகுதியை விட தொகுதி ஒன்று குறைவாக உள்ளது என்பதை நாம் காண்கிறோம். மேலும், தொகுதி 1 இலிருந்து தொடங்கி 6 ஐ விட அதிகமாகாது. எனவே, கணம்-கட்டமைப்பு வடிவில் கொடுக்கப்பட்ட கணம்

$$ \{ x: x=\frac{n}{n+1}, \text { where } n \text { is a natural number and } 1 \leq n \leq 6 \} $$

எடுத்துக்காட்டு 5 இடதுபுறத்தில் பட்டியல் வடிவில் விவரிக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு கணத்தையும் வலதுபுறத்தில் கணம்-கட்டமைப்பு வடிவில் விவரிக்கப்பட்ட அதே கணத்துடன் பொருத்துக:

$$ \begin{array}{ll} (i) \hspace{2 mm} \{P, R, I, N, C, A, L\} & (a) \hspace{2 mm} \{x: x \text{ is a positive integer and is a divisor of 18 } \} \\ (ii) \hspace{2 mm}\{0\} & (b)\hspace{2 mm} \{x: x \text{ is an integer and } x^{2}-9=0\} \\ (iii)\hspace{2 mm} \{1,2,3,6,9,18\} & (c)\hspace{2 mm} \{x: x \text { is a letter of the word PRINCIPAL }\} \\ (iv)\hspace{2 mm} \{{3,-3\}} & (d) \hspace{2 mm} \{x: x \text{ is an integer and } x+1=1\} \end{array} $$

தீர்வு (d) இல், PRINCIPAL என்ற வார்த்தையில் 9 எழுத்துக்கள் உள்ளன மற்றும் P மற்றும் I ஆகிய இரண்டு எழுத்துக்கள் மீண்டும் மீண்டும் வருகின்றன, எனவே (i) என்பது (d) உடன் பொருந்துகிறது. இதேபோல், $x+1=1$ என்பது $x=0$ ஐ குறிக்கிறது என்பதால் (ii) என்பது (c) உடன் பொருந்துகிறது. மேலும், 1, 2 ,3, 6, 9, 18 ஆகியவை அனைத்தும் 18 இன் வகுப்பிகள், எனவே (iii) என்பது (a) உடன் பொருந்துகிறது. இறுதியாக, $x^{2}-9=0$ என்பது $x=3,-3$ ஐ குறிக்கிறது, எனவே (iv) என்பது (b) உடன் பொருந்துகிறது.

1.3 வெற்றுக் கணம்

கணத்தைக் கவனியுங்கள்

$A=\{x: x$ என்பது ஒரு பள்ளியில் தற்போது XI வகுப்பில் படிக்கும் மாணவர் $\}$

நாம் பள்ளிக்குச் சென்று, பள்ளியில் தற்போது XI வகுப்பில் படிக்கும் மாணவர்களின் எண்ணிக்கையை எண்ணலாம். எனவே, கணம் A வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது.

இப்போது மற்றொரு கணம் $B$ ஐ பின்வருமாறு எழுதுகிறோம்:

$B = \{x: x$ என்பது தற்போது X மற்றும் XI வகுப்புகள் இரண்டிலும் படிக்கும் மாணவர் $\}$

ஒரு மாணவர் ஒரே நேரத்தில் X மற்றும் XI வகுப்புகள் இரண்டிலும் படிக்க முடியாது என்பதை நாம் கவனிக்கிறோம். எனவே, கணம் B க்கு எந்த கூறும் இல்லை.

வரையறை 1 எந்த கூறையும் கொண்டிருக்காத கணம் வெற்றுக் கணம் அல்லது பூஜ்யக் கணம் அல்லது வெற்றுக் கணம் எனப்படும்.

இந்த வரையறையின்படி, B ஒரு வெற்றுக் கணம், A ஒரு வெற்றுக் கணம் அல்ல. வெற்றுக் கணம் $\phi$ அல்லது { } என்ற குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது.

வெற்றுக் கணங்களின் சில எடுத்துக்காட்டுகளை கீழே தருகிறோம்.

(i) $A=\{x: 1<x<2, x$ என்பது ஒரு இயல் எண் $\}$. எனவே A ஒரு வெற்றுக் கணம், ஏனெனில் 1 மற்றும் 2 க்கு இடையில் இயல் எண் எதுவும் இல்லை.

(ii) $B=\{x: x^{2}-2=0$ மற்றும் $x$ என்பது விகிதமுறு எண் $\}$. எனவே $B$ ஒரு வெற்றுக் கணம், ஏனெனில் சமன்பாடு $x^{2}-2=0$ $x$ இன் எந்த விகிதமுறு மதிப்பாலும் திருப்திப்படுத்தப்படவில்லை.

(iii) $C =$ $\{x: x$ என்பது 2 ஐ விடப் பெரிய இரட்டைப் பகா எண் $\}$. எனவே $C$ ஒரு வெற்றுக் கணம், ஏனெனில் 2 மட்டுமே இரட்டைப் பகா எண்.

(iv) $D=\{x: x^{2}=4, x.$ என்பது ஒற்றைப்படை $\}$. எனவே $D$ ஒரு வெற்றுக் கணம், ஏனெனில் சமன்பாடு $x^{2}=4$ $x$ இன் எந்த ஒற்றைப்படை மதிப்பாலும் திருப்திப்படுத்தப்படவில்லை.

1.4 வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் வரையறுக்கப்படாத கணங்கள்

$\quad A=\{1,2,3,4,5\}, \quad B=\{a, b, c, d, e, g\}$ மற்றும் $\quad C=\{$ உலகின் வெவ்வேறு பகுதிகளில் தற்போது வாழும் ஆண்கள் $\}$

A 5 கூறுகளையும், B 6 கூறுகளையும் கொண்டுள்ளது என்பதை நாம் கவனிக்கிறோம். $C$ எத்தனை கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது? இப்போது, $C$ இல் உள்ள கூறுகளின் எண்ணிக்கை எங்களுக்குத் தெரியாது, ஆனால் அது ஒரு இயல் எண்ணாகும், அது மிகப் பெரிய எண்ணாக இருக்கலாம். ஒரு கணம் $S$ இன் கூறுகளின் எண்ணிக்கையால், கணத்தின் தனித்துவமான கூறுகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறோம், மேலும் அதை $n$ (S) ஆல் குறிக்கிறோம். $n$ (S) ஒரு இயல் எண்ணாக இருந்தால், $S$ என்பது வெற்றற்ற வரையறுக்கப்பட்ட கணமாகும்.

இயல் எண்களின் கணத்தைக் கவனியுங்கள். இந்த கணத்தின் கூறுகளின் எண்ணிக்கை வரையறுக்கப்பட்டதல்ல, ஏனெனில் எண்ணற்ற இயல் எண்கள் உள்ளன. இயல் எண்களின் கணம் ஒரு வரையறுக்கப்படாத கணம் என்று கூறுகிறோம். மேலே கொடுக்கப்பட்ட A, B மற்றும் C கணங்கள் வரையறுக்கப்பட்ட கணங்கள் மற்றும் $n(A)=5, n(B)=6$ மற்றும் $n(C)=$ சில வரையறுக்கப்பட்ட எண்கள்.

வரையறை 2 வெற்றாக இருப்பதோ அல்லது ஒரு திட்டவட்டமான எண்ணிக்கையிலான கூறுகளைக் கொண்டிருப்பதோ வரையறுக்கப்பட்ட கணம் எனப்படும்; இல்லையெனில், அந்த கணம் வரையறுக்கப்படாத கணம் எனப்படும்.

சில எடுத்துக்காட்டுகளைக் கவனியுங்கள்:

(i) $W$ வாரத்தின் நாட்களின் கணமாக இருக்கட்டும். எனவே $W$ வரையறுக்கப்பட்டது.

(ii) $S$ சமன்பாட்டின் தீர்வுகளின் கணமாக இருக்கட்டும் $x^{2}-16=0$. எனவே $S$ வரையறுக்கப்பட்டது.

(iii) $G$ ஒரு கோட்டில் உள்ள புள்ளிகளின் கணமாக இருக்கட்டும். எனவே $G$ வரையறுக்கப்படாதது.

ஒரு கணத்தை பட்டியல் வடிவில் குறிப்பிடும்போது, கணத்தின் அனைத்து கூறுகளையும் சுருள் அடைப்புக்குறிக்குள் { } எழுதுகிறோம். வரையறுக்கப்படாத கணத்தின் அனைத்து கூறுகளையும் சுருள் அடைப்புக்குறிக்குள் { } எழுத முடியாது, ஏனெனில் அத்தகைய கணத்தின் கூறுகளின் எண்ணிக்கை வரையறுக்கப்பட்டதல்ல. எனவே, நாம் சில வரையறுக்கப்படாத கணங்களை பட்டியல் வடிவில், கணத்தின் அமைப்பைத் தெளிவாகக் குறிக்கும் சில கூறுகளை எழுதி, அதைத் தொடர்ந்து (அல்லது முன்னால்) மூன்று புள்ளிகளை வைத்துக் குறிப்பிடுகிறோம்.

எடுத்துக்காட்டாக, $\{1,2,3 \ldots\}$ என்பது இயல் எண்களின் கணம், $\{1,3,5,7, \ldots\}$ என்பது ஒற்றைப்படை இயல் எண்களின் கணம், $\{ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots\}$ என்பது முழு எண்களின் கணம். இந்த கணங்கள் அனைத்தும் வரையறுக்கப்படாதவை.

குறிப்பு - அனைத்து வரையறுக்கப்படாத கணங்களையும் பட்டியல் வடிவில் விவரிக்க முடியாது. எடுத்துக்காட்டாக, மெய் எண்களின் கணத்தை இந்த வடிவில் விவரிக்க முடியாது, ஏனெனில் இந்த கணத்தின் கூறுகள் எந்த குறிப்பிட்ட முறையையும் பின்பற்றாது.

எடுத்துக்காட்டு 6 பின்வரும் கணங்களில் எது வரையறுக்கப்பட்டது அல்லது வரையறுக்கப்படாதது என்பதைக் கூறுக:

(i) $\{x: x \in N$ மற்றும் $(x-1)(x-2)=0\}$

(ii) $\{x: x \in N.$ மற்றும் $.x^{2}=4\}$

(iii) $\{x: x \in N$ மற்றும் $2 x-1=0\}$

(iv) $\quad\{x: x \in N$ மற்றும் $x$ என்பது பகா எண் $\}$

(v) $\{x: x \in N$ மற்றும் $x$ என்பது ஒற்றைப்படை $\}$

தீர்வு (i) கொடுக்கப்பட்ட கணம் $=\{1,2\}$. எனவே, இது வரையறுக்கப்பட்டது.

(ii) கொடுக்கப்பட்ட கணம் $=\{2\}$. எனவே, இது வரையறுக்கப்பட்டது.

(iii) கொடுக்கப்பட்ட கணம் $=\phi$. எனவே, இது வரையறுக்கப்பட்டது.

(iv) கொடுக்கப்பட்ட கணம் அனைத்து பகா எண்களின் கணம் மற்றும் பகா எண்களின் கணம் வரையறுக்கப்படாதது என்பதால். எனவே கொடுக்கப்பட்ட கணம் வரையறுக்கப்படாதது

(v) ஒற்றைப்படை எண்கள் எண்ணற்ற எண்ணிக்கையில் இருப்பதால், கொடுக்கப்பட்ட கணம் வரையறுக்கப்படாதது.

1.5 சமகணங்கள்

இரண்டு கணங்கள் A மற்றும் B கொடுக்கப்பட்டால், A இன் ஒவ்வொரு கூறும் B இன் கூறாகவும், B இன் ஒவ்வொரு கூறும் A இன் கூறாகவும் இருந்தால், A மற்றும் B கணங்கள் சமம் என்று கூறப்படுகின்றன. தெளிவாக, இரண்டு கணங்களும் சரியாக ஒரே கூறுகளைக் கொண்டுள்ளன.

வரையறை 3 இரண்டு கணங்கள் A மற்றும் B சரியாக ஒரே கூறுகளைக் கொண்டிருந்தால் அவை சமம் என்று கூறப்படுகின்றன, மேலும் நாம் $A=B$ என்று எழுதுகிறோம். இல்லையெனில், கணங்கள் சமமற்றவை என்று கூறப்படுகின்றன, மேலும் நாம் $A \neq B$ என்று எழுதுகிறோம்.

பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகளை நாம் கருதுகிறோம்:

(i) $A=\{1,2,3,4\}$ மற்றும் $B=\{3,1,4,2\}$. எனவே $A=B$.

(ii) $A$ 6 க்கும் குறைவான பகா எண்களின் கணமாகவும், $P$ 30 இன் பகா காரணிகளின் கணமாகவும் இருக்கட்டும். A மற்றும் P சமம், ஏனெனில் 2, 3 மற்றும் 5 ஆகியவை 30 இன் ஒரே பகா காரணிகள் மற்றும் அவை 6 க்கும் குறைவானவை.

குறிப்பு - ஒரு கணத்தின் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட கூறுகள் மீண்டும் மீண்டும் வந்தால் கணம் மாறாது. எடுத்துக்காட்டாக, கணங்கள் $A=\{1,2,3\}$ மற்றும் $B=\{2,2,1,3,3\}$ சமம், ஏனெனில் A இன் ஒவ்வொரு கூறும் B இல் உள்ளது மற்றும் நேர்மாறாகவும் உள்ளது. அதனால்தான் ஒரு கணத்தை விவரிக்கும் போது பொதுவாக எந்த கூறையும் மீண்டும் மீண்டும் கூறுவதில்லை.

எடுத்துக்காட்டு 7 சமகணங்களின் இணைகளைக் கண்டறியவும், ஏதேனும் இருந்தால், காரணங்களைக் கூறவும்:

$$ \begin{aligned} & A=\{0\}, \quad B=\{x: x>15 \text { and } x<5\}, \\ & C=\{x: x-5=0\}, \quad D=\{x: x^{2}=25\}, \\ & E=\{x: x \text { is an integral positive root of the equation } x^{2}-2 x-15=0\} \end{aligned} $$

தீர்வு $0 \in A$ மற்றும் $0$ $B, C, D$ மற்றும் $E$ ஆகிய கணங்களில் எதற்கும் சொந்தமானது அல்ல என்பதால், $A \neq B, A \neq C, A \neq D, A \neq E$.

$B=\phi$ ஆனால் மற்ற எந்த கணங்களும் வெற்று கணங்கள் அல்ல. எனவே $B \neq C, B \neq D$ மற்றும் $B \neq E$. மேலும் $C=\{5\}$ ஆனால் $-5 \in D$, எனவே $C \neq D$.

$E=\{5\}, C=E$. மேலும், $D=\{-5,5\}$ மற்றும் $E=\{5\}$, எனவே $D \neq E$. எனவே, சமகணங்களின் ஒரே இணை $C$ மற்றும் $E$.

எடுத்துக்காட்டு 8 பின்வரும் கண இணைகளில் எவை சமம்? உங்கள் பதிலை நியாயப்படுத்துக.

(i) X, “ALLOY” இல் உள்ள எழுத்துக்களின் கணம் மற்றும் B, “LOYAL” இல் உள்ள எழுத்துக்களின் கணம்.

(ii) $A=\{n: n \in Z.$ மற்றும் $.n^{2} \leq 4\}$ மற்றும் $B=\{x: x \in R.$ மற்றும் $.x^{2}-3 x+2=0\}$.

தீர்வு (i) நம்மிடம், $X=\{A, L, L, O, Y\}, B=\{L, O, Y, A, L\}$. பின்னர் $X$ மற்றும் $B$ சம கணங்கள், ஏனெனில் ஒரு கணத்தில் கூறுகளை மீண்டும் மீண்டும் கூறுவது கணத்தை மாற்றாது. எனவே,

$$ X=\{A, L, O, Y\}=B $$

(ii) $A=\{-2,-1,0,1,2\}, B=\{1,2\}$. $0 \in A$ மற்றும் $0 \notin B, A$ மற்றும் $B$ சம கணங்கள் அல்ல என்பதால்.

1.6 உட்கணங்கள்

கணங்களைக் கவனியுங்கள்: $X=$ உங்கள் பள்ளியில் உள்ள அனைத்து மாணவர்களின் கணம், $Y=$ உங்கள் வகுப்பில் உள்ள அனைத்து மாணவர்களின் கணம்.

$Y$ இன் ஒவ்வொரு கூறும் $X$ இன் கூறு என்பதை நாம் கவனிக்கிறோம்; $Y$ என்பது $X$ இன் ஒரு உட்கணம் என்று கூறுகிறோம். $Y$ என்பது $X$ இன் உட்கணம் என்பதை $Y \subset X$ என்ற குறியீடுகளில் வெளிப்படுத்துகிறோம். $\subset$ என்ற குறியீடு ‘உட்கணம்’ அல்லது ‘அடங்கியுள்ளது’ என்பதைக் குறிக்கிறது.

வரையறை 4 ஒரு கணம் $A$ என்பது ஒரு கணம் $A$ இன் உட்கணம் என்று கூறப்படுகிறது, $B$ இன் ஒவ்வொரு கூறும் B இன் கூறாக இருந்தால்.

வேறுவிதமாகக் கூறினால், $A \subset B$ என்பது $a \in A$ எனில், $a \in B$. “$\Rightarrow$” என்ற குறியீட்டைப் பயன்ப