கணிதம் அனைத்து அறிவியல்களின் ராணி மற்றும் பணிப்பெண் - ஈ.டி. பெல்

11.1 அறிமுகம்

ஒரு தளத்தில் ஒரு புள்ளியின் இடத்தைக் கண்டறிய, நமக்கு அந்தத் தளத்தில் வெட்டும் இரண்டு பரஸ்பர செங்குத்தான கோடுகள் தேவை என்பதை நீங்கள் நினைவுகூரலாம். இந்தக் கோடுகள் ஆய அச்சுகள் என்றும், இரண்டு எண்கள் அச்சுகளைப் பொறுத்து அந்தப் புள்ளியின் ஆயங்கள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. நிஜ வாழ்க்கையில், நாம் ஒரு தளத்தில் மட்டுமே இருக்கும் புள்ளிகளைக் கையாள வேண்டியதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, வெவ்வேறு நேரங்களில் விண்வெளியில் எறியப்பட்ட ஒரு பந்தின் நிலை அல்லது ஒரு விமானம் அதன் பயணத்தின் போது வெவ்வேறு நேரங்களில் ஒரு இடத்திலிருந்து மற்றொரு இடத்திற்குப் பறக்கும் போது அதன் நிலையைக் கவனியுங்கள்.

இதேபோல், ஒரு அறையின் கூரையில் இருந்து தொங்கும் மின்விளக்கின் மிகக் குறைந்த நுனியின் நிலை அல்லது ஒரு அறையில் உள்ள கூரை விசிறியின் மைய நுனியின் நிலையைக் கண்டறிய வேண்டுமென்றால், அறையின் இரண்டு செங்குத்தான சுவர்களிலிருந்து அமைய வேண்டிய புள்ளியின் செங்குத்து தூரங்கள் மட்டுமல்லாமல், அறையின் தரையிலிருந்து அந்தப் புள்ளியின் உயரமும் நமக்குத் தேவைப்படும். எனவே, அறையின் தரை மற்றும் அறையின் இரண்டு அடுத்தடுத்த சுவர்கள் ஆகிய மூன்று பரஸ்பர செங்குத்தான தளங்களிலிருந்து புள்ளியின் செங்குத்து தூரங்களைக் குறிக்கும் இரண்டு எண்கள் மட்டுமல்ல, மூன்று எண்கள் நமக்குத் தேவை. மூன்று தூரங்களைக் குறிக்கும் இந்த மூன்று எண்கள் மூன்று ஆயத் தளங்களைக் குறிப்பிட்டு அந்தப் புள்ளியின் ஆயங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. எனவே, விண்வெளியில் உள்ள ஒரு புள்ளிக்கு மூன்று ஆயங்கள் உள்ளன. இந்த அத்தியாயத்தில், முப்பரிமாண வெளியில் வடிவியலின் அடிப்படைக் கருத்துகளைப் படிப்போம்.*

11.2 முப்பரிமாண வெளியில் ஆய அச்சுகள் மற்றும் ஆயத் தளங்கள்

$O$ என்ற புள்ளியில் வெட்டும் மூன்று தளங்கள் இந்த மூன்று தளங்களும் ஒன்றுக்கொன்று பரஸ்பர செங்குத்தாக இருக்கும் வகையில் (படம் 11.1) உள்ளன எனக் கருதுங்கள். இந்த மூன்று தளங்களும் $X^{\prime} OX, Y^{\prime} OY$ மற்றும் $Z^{\prime} OZ$ என்ற கோடுகளுடன் வெட்டுகின்றன, அவை முறையே $x, y$ மற்றும் $z$-அச்சுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. இந்தக் கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று பரஸ்பர செங்குத்தாக உள்ளன என்பதை நாம் கவனிக்கலாம். இந்தக் கோடுகள் செவ்வக ஆய அமைப்பை உருவாக்குகின்றன. XOY, YOZ மற்றும் ZOX ஆகிய தளங்கள், முறையே XY-தளம், YZ-தளம் மற்றும் ZX-தளம் என அழைக்கப்படுகின்றன, அவை மூன்று ஆயத் தளங்கள் என அறியப்படுகின்றன. நாம் XOY தளத்தை காகிதத் தளமாகவும்,

படம் 11.1 $Z^{\prime} OZ$ என்ற கோட்டை $XOY$ என்ற தளத்திற்கு செங்குத்தாகவும் எடுத்துக்கொள்கிறோம். காகிதத்தின் தளம் கிடைமட்டமாகக் கருதப்பட்டால், $Z^{\prime} OZ$ என்ற கோடு செங்குத்தாக இருக்கும். XY-தளத்திலிருந்து $OZ$ என்ற திசையில் மேல்நோக்கி அளவிடப்படும் தூரங்கள் நேர்மறையாகவும், $OZ^{\prime}$ என்ற திசையில் கீழ்நோக்கி அளவிடப்படும் தூரங்கள் எதிர்மறையாகவும் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகின்றன. இதேபோல், $ZX$-தளத்தின் வலதுபுறத்தில் $OY$ வழியாக அளவிடப்படும் தூரங்கள் நேர்மறையாகவும், ZX-தளத்தின் இடதுபுறத்தில் மற்றும் $O Y^{\prime}$ வழியாக எதிர்மறையாகவும், YZ-தளத்தின் முன்புறத்தில் $O X$ வழியாக நேர்மறையாகவும், அதன் பின்புறத்தில் $OX^{\prime}$ வழியாக எதிர்மறையாகவும் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகின்றன. $O$ என்ற புள்ளி ஆய அமைப்பின் தோற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. மூன்று ஆயத் தளங்கள் வெளியை எட்டு பகுதிகளாகப் பிரிக்கின்றன, அவை அக்டண்டுகள் (octants) என்று அழைக்கப்படுகின்றன. இந்த அக்டண்டுகளை $XOYZ, X^{\prime} OYZ, X^{\prime} OY Y, XOY ’ Z, XOYZ$, $X^{\prime} OYZ, X^{\prime} OY^{\prime} Z^{\prime}$ மற்றும் $XOY^{\prime} Z^{\prime}$ என பெயரிடலாம். மற்றும் முறையே I, II, III, …, VIII எனக் குறிக்கப்படுகின்றன.

11.3 விண்வெளியில் ஒரு புள்ளியின் ஆயங்கள்

விண்வெளியில் ஒரு நிலையான ஆய அமைப்பைத் தேர்ந்தெடுத்த பிறகு, அதில் ஆய அச்சுகள், ஆயத் தளங்கள் மற்றும் தோற்றம் ஆகியவை அடங்கும், விண்வெளியில் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு புள்ளியுடன் நாம் எவ்வாறு மூன்று ஆயங்களை $(x, y, z)$ தொடர்புபடுத்துகிறோம் என்பதையும், மாறாக, மூன்று எண்களின் மும்மை $(x, y, z)$ கொடுக்கப்பட்டால், விண்வெளியில் ஒரு புள்ளியை எவ்வாறு கண்டறிவது என்பதையும் இப்போது விளக்குவோம்.

படம் 11.2

விண்வெளியில் ஒரு புள்ளி $P$ கொடுக்கப்பட்டால், நாம் XY-தளத்தின் மீது ஒரு $\mathbf{X}$ செங்குத்து PM ஐ இந்த செங்குத்தின் அடிப்பகுதியாக M உடன் விடுகிறோம் (படம் 11.2). பின்னர், M புள்ளியிலிருந்து, நாம் $x$-அச்சுக்கு ஒரு செங்குத்து ML ஐ வரைகிறோம், அது L இல் சந்திக்கிறது. OL ஆனது $x, LM$ ஆகவும், MP ஆனது $y$ ஆகவும், LP ஆனது $z$ ஆகவும் இருக்கட்டும். பின்னர் $x, y$ மற்றும் $z$ ஆகியவை முறையே $x, y$ மற்றும் $z$ ஆயங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, விண்வெளியில் உள்ள $P$ புள்ளியின். படம் 11.2 இல், ⟦37⟎ என்ற புள்ளி XOYZ அக்டண்டில் உள்ளது, எனவே அனைத்து $x, y$, $z$ ஆகியவை நேர்மறையாக உள்ளன என்பதை நாம் கவனிக்கலாம். ⟦40⟎ வேறு எந்த அக்டண்டிலும் இருந்தால், ⟦41⟎ மற்றும் ⟦42⟎ ஆகியவற்றின் குறிகள் அதற்கேற்ப மாறும். இவ்வாறு, விண்வெளியில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் ⟦43⟎ உண்மையான எண்களின் ஒரு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட மும்மை ⟦44⟎ உள்ளது.

மாறாக, எந்த மும்மை ⟦45⟎ கொடுக்கப்பட்டால், முதலில் ⟦46⟎ புள்ளியை ⟦47⟎-அச்சில் ⟦48⟎ க்கு ஒத்திருக்கும் வகையில் நிலைநிறுத்துவோம், பின்னர் XY-தளத்தில் ⟦49⟎ புள்ளியை ⟦50⟎ ஆகியவை XY-தளத்தில் M புள்ளியின் ஆயங்களாக இருக்கும் வகையில் அமைக்கிறோம். LM ஆனது ⟦51⟎-அச்சுக்கு செங்குத்தாக அல்லது ⟦52⟎-அச்சுக்கு இணையாக உள்ளது என்பதைக் கவனியுங்கள். M புள்ளியை அடைந்த பிறகு, நாம் XY-தளத்திற்கு ஒரு செங்குத்து MP ஐ வரைந்து, அதில் ⟦53⟎ புள்ளியை ⟦54⟎ க்கு ஒத்திருக்கும் வகையில் அமைக்கிறோம். இவ்வாறு பெறப்பட்ட ⟦55⟎ புள்ளியானது ⟦56⟎ ஆயங்களைக் கொண்டிருக்கும். எனவே, விண்வெளியில் உள்ள புள்ளிகளுக்கும் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட மும்மை ⟦57⟎ உண்மையான எண்களுக்கும் இடையே ஒரு ஒன்றுக்கு ஒன்று தொடர்பு உள்ளது.

மாற்றாக, விண்வெளியில் உள்ள ⟦58⟎ புள்ளியின் வழியாக, நாம் ஆயத் தளங்களுக்கு இணையாக மூன்று தளங்களை வரைகிறோம், அவை ⟦59⟎-அச்சு, ⟦60⟎-அச்சு மற்றும் ⟦61⟎-அச்சு ஆகியவற்றை முறையே ⟦62⟎ மற்றும் ⟦63⟎ புள்ளிகளில் சந்திக்கின்றன (படம் 11.3). ⟦64⟎ மற்றும் ⟦65⟎ ஆக இருக்கட்டும். பின்னர், ⟦66⟎ புள்ளியானது ⟦67⟎ மற்றும் ⟦68⟎ ஆயங்களைக் கொண்டிருக்கும், மேலும் நாம் ⟦69⟎ என்று எழுதுகிறோம். மாறாக, ⟦70⟎ மற்றும் ⟦71⟎ கொடுக்கப்பட்டால், நாம் மூன்று ஆய அச்சுகளில் ⟦72⟎ மற்றும் ⟦73⟎ ஆகிய மூன்று புள்ளிகளை அமைக்கிறோம். ⟦74⟎ மற்றும் ⟦75⟎ புள்ளிகள் வழியாக YZ-தளம், ZX-தளம் மற்றும் XY-தளம் ஆகியவற்றுக்கு இணையான தளங்களை வரைகிறோம்,

படம் 11.3

முறையே. இந்த மூன்று தளங்களின் வெட்டுப்புள்ளி, அதாவது ADPF, BDPE மற்றும் CEPF ஆகியவை வெளிப்படையாக ⟦76⟎ புள்ளியாகும், இது வரிசைப்படுத்தப்பட்ட மும்மை ⟦77⟎ க்கு ஒத்திருக்கிறது. விண்வெளியில் ⟦78⟎ எந்தப் புள்ளியாக இருந்தாலும், ⟦79⟎ மற்றும் ⟦80⟎ ஆகியவை முறையே YZ, ZX மற்றும் XY தளங்களிலிருந்து செங்குத்து தூரங்கள் என்பதை நாம் கவனிக்கிறோம்.

குறிப்பு - தோற்றம் ⟦81⟎ இன் ஆயங்கள் ⟦82⟎ ஆகும். ⟦83⟎-அச்சில் உள்ள எந்தப் புள்ளியின் ஆயங்களும் ⟦84⟎ ஆகவும், YZ-தளத்தில் உள்ள எந்தப் புள்ளியின் ஆயங்களும் ⟦85⟎ ஆகவும் இருக்கும்.

குறிப்பு ஒரு புள்ளியின் ஆயங்களின் குறி அந்தப் புள்ளி இருக்கும் அக்டண்டைத் தீர்மானிக்கிறது. பின்வரும் அட்டவணை எட்டு அக்டண்டுகளில் ஆயங்களின் குறிகளைக் காட்டுகிறது.

அட்டவணை 11.1

எடுத்துக்காட்டு 1 படம் 11.3 இல், ⟦88⟎ ஆனது ⟦89⟎ எனில், ⟦90⟎ இன் ஆயங்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு ⟦91⟎ புள்ளிக்கு, OY வழியாக அளவிடப்படும் தூரம் பூஜ்ஜியமாகும். எனவே, ⟦92⟎ இன் ஆயங்கள் ⟦93⟎ ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 2 ⟦94⟎ மற்றும் ⟦95⟎ புள்ளிகள் எந்த அக்டண்டில் உள்ளன என்பதைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு அட்டவணை 11.1 இலிருந்து, ⟦96⟎ புள்ளி இரண்டாவது அக்டண்டிலும், ⟦97⟎ புள்ளி அக்டண்ட் VI இலும் உள்ளது.

11.4 இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம்

இரு பரிமாண ஆய அமைப்பில் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தைப் பற்றி நாம் படித்துள்ளோம். இப்போது இந்தப் படிப்பை முப்பரிமாண அமைப்புக்கு விரிவுபடுத்துவோம்.

⟦98⟎ மற்றும் ⟦99⟎ ஆகியவை செவ்வக அச்சுகள் ⟦100⟎ மற்றும் ⟦101⟎ க்கு அமைக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகளாக இருக்கட்டும். ⟦102⟎ மற்றும் ⟦103⟎ புள்ளிகள் வழியாக ஆயத் தளங்களுக்கு இணையான தளங்களை வரைந்து, ஒரு மூலைவிட்ட PQ (படம் 11.4) உடன் ஒரு செவ்வக இணைகரத்திண்மத்தை உருவாக்கவும்.

படம் 11.4

இப்போது, ⟦104⟎ ஒரு செங்கோண ⟦105⟎ கோணம் என்பதால், PAQ முக்கோணத்தில்,

$ PQ^{2}=PA^{2}+AQ^{2} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ldots(1) $

மேலும், ANQ முக்கோணம் ஒரு செங்கோண முக்கோணமாகும், இதில் ⟦106⟎ ஒரு செங்கோணமாகும்.

எனவே ⟦107⟎

(1) மற்றும் (2) இலிருந்து, நம்மிடம் உள்ளது

$$ \mathrm{PQ}^{2}=\mathrm{PA}^{2}+\mathrm{AN}^{2}+\mathrm{NQ}^{2} $$

இப்போது ⟦108⟎ மற்றும் ⟦109⟎

எனவே ⟦110⟎

எனவே ⟦111⟎

இது ⟦112⟎ மற்றும் ⟦113⟎ ஆகிய இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தை நமக்குத் தருகிறது.

குறிப்பாக, ⟦114⟎ எனில், அதாவது புள்ளி ⟦115⟎ என்பது தோற்றம் ⟦116⟎ ஆக இருந்தால், ⟦117⟎, இது தோற்றம் ⟦118⟎ மற்றும் எந்தப் புள்ளி ⟦119⟎ க்கும் இடையே உள்ள தூரத்தைத் தருகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 3 ⟦120⟎ மற்றும் ⟦121⟎ புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு ⟦122⟎ மற்றும் ⟦123⟎ புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள PQ தூரம்

$ \begin{aligned} PQ & =\sqrt{(-4-1)^{2}+(1+3)^{2}+(2-4)^{2}} \\ & =\sqrt{25+16+4} \\ & =\sqrt{45}=3 \sqrt{5} \text{ அலகுகள் } \end{aligned} $

எடுத்துக்காட்டு 4 ⟦124⟎, ⟦125⟎ மற்றும் ⟦126⟎ புள்ளிகள் ஒரே கோட்டில் அமையும் எனக் காட்டுக.

தீர்வு புள்ளிகள் ஒரே கோட்டில் அமைந்தால் அவை ஒரே கோட்டில் உள்ளன (கோலினியர்) என்று அழைக்கப்படுகின்றன என்பதை நாம் அறிவோம்.

இப்போது,

$ \begin{aligned} & P Q=\sqrt{(1+2)^{2}+(2-3)^{2}+(3-5)^{2}}=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14} \\ & Q R=\sqrt{(7-1)^{2}+(0-2)^{2}+(-1-3)^{2}}=\sqrt{36+4+16}=\sqrt{56}=2 \sqrt{14} \end{aligned} $

மற்றும்

$ P R=\sqrt{(7+2)^{2}+(0-3)^{2}+(-1-5)^{2}}=\sqrt{81+9+36}=\sqrt{126}=3 \sqrt{14} $

எனவே, ⟦127⟎. எனவே, ⟦128⟎ மற்றும் ⟦129⟎ ஆகியவை ஒரே கோட்டில் அமையும்.

எடுத்துக்காட்டு 5 A ⟦130⟎ மற்றும் C ⟦131⟎ புள்ளிகள் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் முனைகளா?

தீர்வு தூர வாய்ப்பாட்டின்படி, நம்மிடம் உள்ளது

$ \begin{aligned} AB^{2} & =(10-3)^{2}+(20-6)^{2}+(30-9)^{2} \\ & =49+196+441=686 \\ BC^{2} & =(25-10)^{2}+(-41-20)^{2}+(5-30)^{2} \\ & =225+3721+625=4571 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} CA^{2} & =(3-25)^{2}+(6+41)^{2}+(9-5)^{2} \\ & =484+2209+16=2709 \end{aligned} $

⟦132⟎ என நாம் காண்கிறோம்.

எனவே, முக்கோணம் ⟦133⟎ ஒரு செங்கோண முக்கோணம் அல்ல.

எடுத்துக்காட்டு 6 ⟦134⟎ புள்ளிகளின் கணத்தின் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும், அதாவது ⟦135⟎, இங்கு ⟦136⟎ மற்றும் ⟦137⟎ ஆகியவை முறையே ⟦138⟎ மற்றும் ⟦139⟎ புள்ளிகள்.

தீர்வு ⟦140⟎ புள்ளியின் ஆயங்கள் ⟦141⟎ ஆக இருக்கட்டும்.

இங்கு

$ \begin{aligned} & PA^{2}=(x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z-5)^{2} \\ & PB^{2}=(x+1)^{2}+(y-3)^{2}+(z+7)^{2} \end{aligned} $

கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனையின்படி ⟦142⟎, நம்மிடம் உள்ளது

$ (x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z-5)^{2}+(x+1)^{2}+(y-3)^{2}+(z+7)^{2}=2 k^{2} \\ \text{ அதாவது, } \quad 2 x^{2}+2 y^{2}+2 z^{2}-4 x-14 y+4 z=2 k^{2}-109 . $

பல்வேறு எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 7 A ⟦143⟎, B (-1, -2, -1), C (2, 3, 2) மற்றும் ⟦144⟎ ஆகிய புள்ளிகள் ஒரு இணைகரம் ⟦145⟎ இன் முனைகள் எனக் காட்டுக, ஆனால் அது ஒரு செவ்வகம் அல்ல.

தீர்வு ABCD ஒரு இணைகரம் என்பதைக் காட்ட, எதிர் பக்கங்கள் சமம் என்பதைக் காட்ட வேண்டும். கவனிக்கவும்.

$ \begin{aligned} & AB=\sqrt{(-1-1)^{2}+(-2-2)^{2}+(-1-3)^{2}}=\sqrt{4+16+16}=6 \\ & BC=\sqrt{(2+1)^{2}+(3+2)^{2}+(2+1)^{2}}=\sqrt{9+25+9}=\sqrt{43} \\ & CD=\sqrt{(4-2)^{2}+(7-3)^{2}+(6-2)^{2}}=\sqrt{4+16+16}=6 \\ & DA=\sqrt{(1-4)^{2}+(2-7)^{2}+(3-6)^{2}}=\sqrt{9+25+9}=\sqrt{43} \end{aligned} $

⟦146⟎ மற்றும் ⟦147⟎ என்பதால், இது ஒரு இணைகரமாகும்.

இப்போது, ⟦148⟎ ஒரு செவ்வகம் அல்ல என்பதை நிரூபிக்க வேண்டும். இதற்காக, மூலைவிட்டங்கள் ⟦149⟎ மற்றும் ⟦150⟎ சமமில்லை என்பதைக் காட்டுகிறோம். நம்மிடம் உள்ளது

$ \begin{aligned} & AC=\sqrt{(2-1)^{2}+(3-2)^{2}+(2-3)^{2}}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3} \\ & BD \quad=\sqrt{(4+1)^{2}+(7+2)^{2}+(6+1)^{2}}=\sqrt{25+81+49}=\sqrt{155} . \end{aligned} $

⟦151⟎ என்பதால், இது ஒரு செவ்வகம் அல்ல.

குறிப்பு - மூலைவிட்டங்கள் ⟦152⟎ மற்றும் ⟦153⟎ ஒன்றையொன்று இருசமக்கூறிடும் என்ற பண்பைப் பயன்படுத்தி ⟦154⟎ ஒரு இணைகரம் என்பதையும் நாம் காட்டலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 8 ⟦155⟎ புள்ளிகளின் கணத்தின் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும், அதாவது அதன் தூரங்கள் ⟦156⟎ மற்றும் ⟦157⟎ புள்ளிகளிலிருந்து சமமாக இருக்கும்.

தீர்வு ⟦158⟎ எந்தப் புள்ளியாக இருந்தாலும், அது ⟦159⟎ என இருக்கட்டும்.

இப்போது ⟦160⟎

அல்லது ⟦161⟎

அல்லது ⟦162⟎.

எடுத்துக்காட்டு 9 ஒரு முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டுச்சந்தி ⟦163⟎ என்பது ⟦164⟎ புள்ளியில் உள்ளது. ⟦165⟎ மற்றும் ⟦166⟎ இன் ஆயங்கள் முறையே ⟦167⟎ மற்றும் ⟦168⟎ எனில், ⟦169⟎ புள்ளியின் ஆயங்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு ⟦170⟎ இன் ஆயங்கள் ⟦171⟎ ஆகவும், நடுக்கோட்டுச்சந்தி ⟦172⟎ இன் ஆயங்கள் ⟦173⟎ ஆகவும் இருக்கட்டும். பிறகு

எனவே ⟦174⟎, அல்லது ⟦175⟎ $ \begin{array}{ll} \frac{y-5+7}{3}=1, & \text { அல்லது } y=1 \\ \frac{z+7-6}{3}=1, & \text { அல்லது } z=2 . \end{array} $

எனவே, ⟦176⟎ இன் ஆயங்கள் ⟦177⟎ ஆகும்.

சுருக்கம்

முப்பரிமாணங்களில், ஒரு செவ்வக கார்ட்டீசியன் ஆய அமைப்பின் ஆய அச்சுகள் மூன்று பரஸ்பர செங்குத்தான கோடுகளாகும். அச்சுகள் ⟦178⟎, ⟦179⟎ மற்றும் ⟦180⟎-அச்சுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

அச்சுகளின் இணைகளால் தீர்மானிக்கப்படும் மூன்று தளங்கள் ஆயத் தளங்கள் ஆகும், அவை XY, YZ மற்றும் ZX-தளங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

மூன்று ஆயத் தளங்கள் வெளியை எட்டு பகுதிகளாகப் பிரிக்கின்றன, அவை அக்டண்டுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. முப்பரிமாண வடிவியலில் ஒரு புள்ளி ⟦181⟎ இன் ஆயங்கள் எப்போதும் ⟦182⟎ போன்ற மும்மையின் வடிவத்தில் எழுதப்படுகின்றன. இங்கு ⟦183⟎ மற்றும் ⟦184⟎ ஆகியவை YZ, ZX மற்றும் XY-தளங்களிலிருந்து உள்ள தூரங்கள்.

(i) ⟦185⟎-அச்சில் உள்ள எந்தப் புள்ளியும் ⟦186⟎ வடிவத்தில் உள்ளது

(ii) ⟦187⟎-அச்சில் உள்ள எந்தப் புள்ளியும் ⟦188⟎ வடிவத்தில் உள்ளது

(iii) ⟦189⟎-அச்சில் உள்ள எந்தப் புள்ளியும் ⟦190⟎ வடிவத்தில் உள்ளது.

⟦191⟎ மற்றும் ⟦192⟎ ஆகிய இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம் பின்வருமாறு வழங்கப்படுகிறது

$$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}} $$

வரலாற்றுக் குறிப்பு

பகுப்பாய்வு வடிவியலின் தந்தை ரெனே டெக்கார்ட் (1596-1650), 1637 இல் அடிப்படையில் தள வடிவியலை மட்டுமே கையாண்டார். இதேபோல் அவரது இணை கண்டுபிடிப்பாளர் பியர் ஃபெர்மாட் (1601-1665) மற்றும் லா ஹைர் (1640-1718) ஆகியோரும் தள வடிவியலையே கையாண்டனர். முப்பரிமாண ஆய வடிவியலுக்கான பரிந்துரைகள் அவர்களின் படைப்புகளில் காணப்படினும், விவரங்கள் எதுவும் இல்லை. டெக்கார்ட்டிற்கு முப்பரிமாணங்களில் ஆயங்கள் பற்றிய யோசனை இருந்தது, ஆனால் அதை வளர்த்தெடுக்கவில்லை. ஜே.பெர்னௌலி (1667-1748) 1715 இல் லீப்னிட்ஸுக்கு எழுதிய கடிதத்தில் நாம் இன்று பயன்படுத்தும் மூன்று ஆயத் தளங்களை அறிமுகப்படுத்தினார். ஆண்டோயின் பேரண்ட் (1666-1716) தான் 1700 இல் பிரெஞ்சு அகாதமிக்கு சமர்ப்பித்த ஒரு ஆய்வறிக்கையில் முதன்முறையாக பகுப்பாய்வு திண்ம வடிவியலை முறையாக வளர்த்தெடுத்தார்.

எல்.யூலர் (1707-1783) முப்பரிமாண ஆய வடிவியலை முறையாக எடுத்துக்கொண்டார், 1748 இல் அவரது “வடிவியலுக்கு அறிமுகம்” எனும் இரண்டாம் தொகுதியின் பின்னிணைப்பின் அத்தியாயம் 5 இல்.

பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டின் நடுப்பகுதி வரை வடிவியல் மூன்றுக்கும் மேற்பட்ட பரிமாணங்களுக்கு நீட்டிக்கப்படவில்லை, இதன் நன்கு அறியப்பட்ட பயன்பாடு ஐன்ஸ்டீனின் சார்பியல் கோட்பாட்டின் விண்வெளி-நேரத் தொடர்ச்சியில் உள்ளது.