“புள்ளியியல் என்பது சராசரிகள் மற்றும் அவற்றின் மதிப்பீடுகளின் அறிவியல் என்று சரியாகக் கூறலாம்.” - A.L.BOWLEY & A.L. BODDINGTON

அறிமுகம்

புள்ளியியல் என்பது குறிப்பிட்ட நோக்கங்களுக்காக சேகரிக்கப்பட்ட தரவுகளைக் கையாள்கிறது என்பது நமக்குத் தெரியும். அதைப் பகுப்பாய்வு செய்து விளக்குவதன் மூலம் தரவுகளைப் பற்றி முடிவுகளை எடுக்கலாம். முந்தைய வகுப்புகளில், தரவுகளை வரைபட முறையிலும் அட்டவணை வடிவிலும் குறிப்பிடும் முறைகளைப் படித்தோம். இந்தப் பிரதிநிதித்துவம் தரவுகளின் சில முக்கிய அம்சங்கள் அல்லது பண்புகளை வெளிப்படுத்துகிறது. கொடுக்கப்பட்ட தரவுக்கான பிரதிநிதி மதிப்பைக் கண்டறியும் முறைகளையும் நாங்கள் படித்துள்ளோம். இந்த மதிப்பு மையப் போக்கின் அளவீடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. சராசரி (கூட்டுச் சராசரி), இடைநிலை மற்றும் முகடு ஆகியவை மையப் போக்கின் மூன்று அளவீடுகள் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள். மையப் போக்கின் அளவீடு தரவுப் புள்ளிகள் எங்கு மையமாக உள்ளன என்பதைப் பற்றி ஒரு கரடுமுரடான யோசனையை நமக்குத் தருகிறது. ஆனால், சிறந்த விளக்கத்தை செய்ய

கார்ல் பியர்சன் (1857-1936 A.D.)

தரவுகளிலிருந்து, தரவுகள் எவ்வாறு சிதறடிக்கப்படுகின்றன அல்லது மையப் போக்கின் அளவீட்டைச் சுற்றி எவ்வளவு குவிந்துள்ளன என்பதையும் நாம் அறிந்திருக்க வேண்டும்.

இப்போது இரண்டு மட்டையாளர்கள் கடைசி பத்து போட்டிகளில் எடுத்த ரன்களைக் கவனியுங்கள்:

மட்டையாளர் A : $30,91,0,64,42,80,30,5,117,71$

மட்டையாளர் B : $53,46,48,50,53,53,58,60,57,52$

தெளிவாக, தரவின் சராசரி மற்றும் இடைநிலை

நினைவில் கொள்ளுங்கள், நாம் ஒரு தரவின் சராசரியை ($\bar{x}$ ஆல் குறிக்கப்படுகிறது) அவதானிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையை அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கையால் வகுப்பதன் மூலம் கணக்கிடுகிறோம், அதாவது,

$ \bar{x}=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} x_i $

மேலும், தரவை ஏறுவரிசை அல்லது இறங்கு வரிசையில் வரிசைப்படுத்தி பின்வரும் விதியைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் இடைநிலை பெறப்படுகிறது.

அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கை ஒற்றைப்படை என்றால், இடைநிலை $(\frac{n+1}{2})^{\text{th }}$ அவதானிப்பு ஆகும்.

அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கை சமமாக இருந்தால், இடைநிலை என்பது $(\frac{n}{2})^{\text{th }}$ மற்றும் $(\frac{n}{2}+1)^{\text{th }}$ அவதானிப்புகளின் சராசரியாகும்.

இரண்டு மட்டையாளர்களும் $A$ மற்றும் B எடுத்த ரன்களின் சராசரி மற்றும் இடைநிலை ஒரே மாதிரியானது, அதாவது 53 என்பதை நாம் காண்கிறோம். இரண்டு வீரர்களின் செயல்திறன் ஒன்றுதான் என்று சொல்ல முடியுமா? தெளிவாக இல்லை, ஏனெனில் மட்டையாளர் A இன் மதிப்பெண்களில் உள்ள மாறுபாடு 0 (குறைந்தபட்சம்) முதல் 117 (அதிகபட்சம்) வரை இருக்கும். அதேசமயம், மட்டையாளர் B எடுத்த ரன்களின் வரம்பு 46 முதல் 60 வரை இருக்கும்.

இப்போது மேலே உள்ள மதிப்பெண்களை ஒரு எண் வரிசையில் புள்ளிகளாக வரைவோம். பின்வரும் வரைபடங்களைக் காண்கிறோம்:

மட்டையாளர் A க்கு

படம் 13.1

மட்டையாளர் B க்கு

படம் 13.2

மட்டையாளர் B க்கு உள்ள புள்ளிகள் ஒன்றுக்கொன்று நெருக்கமாகவும், மையப் போக்கின் அளவீட்டை (சராசரி மற்றும் இடைநிலை) சுற்றி குவிந்தும், மட்டையாளர் A க்கு உள்ளவை சிதறடிக்கப்பட்ட அல்லது அதிகமாக பரவியும் இருப்பதை நாம் காணலாம்.

எனவே, மையப் போக்கின் அளவீடுகள் கொடுக்கப்பட்ட தரவுகளைப் பற்றிய முழுமையான தகவலைத் தர போதுமானதாக இல்லை. மாறுபாடு என்பது புள்ளியியலின் கீழ் படிக்க வேண்டிய மற்றொரு காரணியாகும். ‘மையப் போக்கின் அளவீடுகளை’ போலவே, மாறுபாட்டை விவரிக்க ஒரு ஒற்றை எண்ணை வைத்திருக்க விரும்புகிறோம். இந்த ஒற்றை எண் ‘சிதறல் அளவீடு’ என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த அத்தியாயத்தில், தொகுக்கப்படாத மற்றும் தொகுக்கப்பட்ட தரவுகளுக்கான சிதறலின் சில முக்கியமான அளவீடுகள் மற்றும் அவற்றின் கணக்கீட்டு முறைகளைக் கற்றுக்கொள்வோம்.

13.2 சிதறல் அளவீடுகள்

தரவில் உள்ள சிதறல் அல்லது சிதறல் அவதானிப்புகள் மற்றும் அங்கு பயன்படுத்தப்படும் மையப் போக்கின் அளவீட்டின் வகைகளின் அடிப்படையில் அளவிடப்படுகிறது. பின்வரும் சிதறல் அளவீடுகள் உள்ளன:

(i) வரம்பு, (ii) கால்மான விலக்கம், (iii) சராசரி விலக்கம், (iv) திட்ட விலக்கம்.

இந்த அத்தியாயத்தில், கால்மான விலக்கத்தைத் தவிர, சிதறலின் இந்த அனைத்து அளவீடுகளையும் நாம் படிப்போம்.

13.3 வரம்பு

நினைவில் கொள்ளுங்கள், A மற்றும் B ஆகிய இரண்டு மட்டையாளர்கள் எடுத்த ரன்களின் எடுத்துக்காட்டில், ஒவ்வொரு தொடரிலும் குறைந்தபட்ச மற்றும் அதிகபட்ச ரன்களின் அடிப்படையில் மதிப்பெண்களில் உள்ள மாறுபாட்டைப் பற்றி சில யோசனைகள் இருந்தன. இதற்கு ஒரு ஒற்றை எண்ணைப் பெற, ஒவ்வொரு தொடரின் அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச மதிப்புகளின் வித்தியாசத்தைக் காண்கிறோம். இந்த வித்தியாசம் தரவின் ‘வரம்பு’ என்று அழைக்கப்படுகிறது.

மட்டையாளர் A விஷயத்தில், வரம்பு $=117-0=117$ மற்றும் மட்டையாளர் B க்கு, வரம்பு $=60-46=14$. தெளிவாக, A இன் வரம்பு $>$ $B$ இன் வரம்பு. எனவே, A விஷயத்தில் மதிப்பெண்கள் சிதறடிக்கப்பட்ட அல்லது சிதறடிக்கப்பட்டுள்ளன, அதேசமயம் B க்கு இவை ஒன்றுக்கொன்று நெருக்கமாக உள்ளன.

எனவே, ஒரு தொடரின் வரம்பு $=$ அதிகபட்ச மதிப்பு - குறைந்தபட்ச மதிப்பு.

தரவின் வரம்பு மாறுபாடு அல்லது சிதறல் பற்றிய ஒரு கரடுமுரடான யோசனையை நமக்குத் தருகிறது, ஆனால் மையப் போக்கிலிருந்து தரவின் சிதறல் பற்றி சொல்லாது. இந்த நோக்கத்திற்காக, மாறுபாட்டின் வேறு சில அளவீடுகள் நமக்குத் தேவை. தெளிவாக, அத்தகைய அளவீடு மதிப்புகளின் மையப் போக்கிலிருந்து உள்ள வித்தியாசத்தை (அல்லது விலகலை) சார்ந்திருக்க வேண்டும்.

சிதறலின் முக்கியமான அளவீடுகள், அவதானிப்புகளின் மையப் போக்கிலிருந்து உள்ள விலகல்களைச் சார்ந்துள்ளன, அவை சராசரி விலக்கம் மற்றும் திட்ட விலக்கம். அவற்றை விரிவாக விவாதிப்போம்.

13.4 சராசரி விலக்கம்

ஒரு அவதானிப்பு $x$ இன் ஒரு நிலையான மதிப்பு ‘$a$’ இலிருந்து உள்ள விலக்கம் என்பது வித்தியாசம் $x-a$ என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள். $x$ இன் மதிப்புகளின் சிதறலை ஒரு மைய மதிப்பு ‘$a$’ இலிருந்து கண்டறிய, ⟦22⟆ பற்றிய விலகல்களைக் காண்கிறோம். சிதறலின் ஒரு முழுமையான அளவீடு இந்த விலகல்களின் சராசரியாகும். சராசரியைக் கண்டறிய, விலகல்களின் கூட்டுத்தொகையை நாம் பெற வேண்டும். ஆனால், மையப் போக்கின் அளவீடு அவதானிப்புகளின் தொகுப்பின் அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச மதிப்புகளுக்கு இடையே உள்ளது என்பது நமக்குத் தெரியும். எனவே, சில விலகல்கள் எதிர்மறையாகவும் சில நேர்மறையாகவும் இருக்கும். எனவே, விலகல்களின் கூட்டுத்தொகை மறைந்துவிடக்கூடும். மேலும், சராசரி ⟦23⟆ இலிருந்து விலகல்களின் கூட்டுத்தொகை பூஜ்ஜியமாகும்.

மேலும் ⟦24⟆ விலகல்களின் சராசரி ⟦25⟆

எனவே, சராசரியைப் பற்றிய விலகல்களின் சராசரியைக் கண்டறிவது, சிதறல் அளவீடு தொடர்பாக, எங்களுக்கு எந்தப் பயனும் இல்லை.

சிதறலின் பொருத்தமான அளவீட்டைக் கண்டறியும் போது, ஒவ்வொரு மதிப்பின் தூரமும் ஒரு மையப் போக்கு அல்லது ஒரு நிலையான எண்ணான ‘⟦26⟆’ இலிருந்து தேவைப்படுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள். இரண்டு எண்களின் வித்தியாசத்தின் முழுமையான மதிப்பானது, ஒரு எண் வரிசையில் குறிப்பிடப்படும் போது எண்களுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தைத் தருகிறது என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள். எனவே, ஒரு நிலையான எண்ணான ‘⟦27⟆’ இலிருந்து சிதறல் அளவீட்டைக் கண்டறிய, மைய மதிப்பிலிருந்து விலகல்களின் முழுமையான மதிப்புகளின் சராசரியை எடுக்கலாம். இந்த சராசரி ‘சராசரி விலக்கம்’ என்று அழைக்கப்படுகிறது. எனவே ஒரு மைய மதிப்பான ‘⟦28⟆’ பற்றிய சராசரி விலக்கம் என்பது ‘⟦29⟆’ இலிருந்து உள்ள அவதானிப்புகளின் விலகல்களின் முழுமையான மதிப்புகளின் சராசரியாகும். ‘⟦30⟆’ இலிருந்து சராசரி விலக்கம் M.D. (a) எனக் குறிக்கப்படுகிறது. எனவே,

$ \text{ M.D. }(a)=\frac{\text{ Sum of absolute values of deviations from ’ } a \text{ ’ }}{\text{ Number of observations }} . $

குறிப்பு சராசரி விலக்கம் மையப் போக்கின் எந்த அளவீட்டிலிருந்தும் பெறப்படலாம். இருப்பினும், சராசரி மற்றும் இடைநிலையிலிருந்து சராசரி விலக்கம் புள்ளியியல் ஆய்வுகளில் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

13.4.1 தொகுக்கப்படாத தரவுகளுக்கான சராசரி விலக்கம்

$n$ அவதானிப்புகள் $x_1, x_2, x_3, \ldots ., x_n$ ஆக இருக்கட்டும். சராசரி அல்லது இடைநிலையைப் பற்றிய சராசரி விலக்கத்தைக் கணக்கிடுவதில் பின்வரும் படிகள் உள்ளடங்கியுள்ளன:

படி 1 நாம் சராசரி விலக்கத்தைக் கண்டறிய வேண்டிய மையப் போக்கின் அளவீட்டைக் கணக்கிடுங்கள். அது ‘⟦33⟆’ ஆக இருக்கட்டும்.

படி 2 ஒவ்வொரு ⟦34⟆ இன் விலகலையும் ⟦35⟆ இலிருந்து கண்டறியவும், அதாவது, ⟦36⟆

படி 3 விலகல்களின் முழுமையான மதிப்புகளைக் கண்டறியவும், அதாவது, மைனஸ் அடையாளம் (-) இருந்தால் அதை விடுங்கள், அதாவது, ⟦37⟆

படி 4 விலகல்களின் முழுமையான மதிப்புகளின் சராசரியைக் கண்டறியவும். இந்த சராசரி ⟦38⟆ பற்றிய சராசரி விலக்கம், அதாவது,

$ \text{ M.D. }(a)=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}|x_i-a|}{n} $

எனவே ⟦39⟆ M.D. ⟦40⟆, இங்கு ⟦41⟆ சராசரி

மற்றும் ⟦42⟆ M.D. ⟦43⟆, இங்கு ⟦44⟆ இடைநிலை

குறிப்பு - இந்த அத்தியாயத்தில், வேறு குறிப்பிடப்படாவிட்டால், இடைநிலையைக் குறிக்க M என்ற குறியீட்டைப் பயன்படுத்துவோம்.

இப்போது பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகளில் மேலே உள்ள முறையின் படிகளை விளக்குவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1 பின்வரும் தரவுகளுக்கான சராசரியைப் பற்றிய சராசரி விலக்கத்தைக் கண்டறியவும்:

$ 6,7,10,12,13,4,8,12 $

தீர்வு நாம் படிப்படியாக தொடர்ந்து பின்வருவனவற்றைப் பெறுகிறோம்:

படி 1 கொடுக்கப்பட்ட தரவின் சராசரி

$ \bar{x}=\frac{6+7+10+12+13+4+8+12}{8}=\frac{72}{8}=9 $

படி 2 சராசரி ⟦45⟆ இலிருந்து உள்ள தொடர்புடைய அவதானிப்புகளின் விலகல்கள், அதாவது, ⟦46⟆ ஆகும்

$\quad\quad\quad\quad 6-9,7-9,10-9,12-9,13-9,4-9,8-9,12-9$,

அல்லது $ \quad\quad\quad\quad -3,-2,1,3,4,-5,-1,3 $

படி 3 விலகல்களின் முழுமையான மதிப்புகள், அதாவது, ⟦48⟆ ஆகும்

$ 3,2,1,3,4,5,1,3 $

படி 4 தேவையான சராசரி விலக்கம் சராசரியைப் பற்றி

$ \text{ M.D. } \begin{aligned} (\bar{x}) & =\frac{\sum\limits_{i=1}^{8}|x_i-\bar{x}|}{8} \\ & =\frac{3+2+1+3+4+5+1+3}{8}=\frac{22}{8}=2.75 \end{aligned} $

குறிப்பு - ஒவ்வொரு முறையும் படிகளைச் செய்வதற்குப் பதிலாக, படிகளைக் குறிப்பிடாமல் படிப்படியாக கணக்கீட்டைத் தொடரலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 2 பின்வரும் தரவுகளுக்கான சராசரியைப் பற்றிய சராசரி விலக்கத்தைக் கண்டறியவும்:

$ 12,3,18,17,4,9,17,19,20,15,8,17,2,3,16,11,3,1,0,5 $

தீர்வு முதலில் கொடுக்கப்பட்ட தரவின் சராசரி ⟦49⟆ ஐக் கண்டறிய வேண்டும்

$ \bar{x}=\frac{1}{20} \sum\limits_{i=1}^{20} x_i=\frac{200}{20}=10 $

சராசரியிலிருந்து விலகல்களின் தொடர்புடைய முழுமையான மதிப்புகள், அதாவது, ⟦50⟆ ஆகும்

$ 2,7,8,7,6,1,7,9,10,5,2,7,8,7,6,1,7,9,10,5 $

எனவே ⟦51⟆

மற்றும் $ \quad\quad\quad\quad\text{ M.D. }(\bar{x})=\frac{124}{20}=6.2 $

எடுத்துக்காட்டு 3 பின்வரும் தரவுகளுக்கான இடைநிலையைப் பற்றிய சராசரி விலக்கத்தைக் கண்டறியவும்:

$ 3,9,5,3,12,10,18,4,7,19,21 \text{. } $

தீர்வு இங்கு அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கை 11, இது ஒற்றைப்படை. தரவை ஏறுவரிசையில் வரிசைப்படுத்த, நம்மிடம் ⟦52⟉ உள்ளது

இப்போது

$ \text{ Median }=(\frac{11+1}{2})^{\text{th }} \text{ or } 6^{\text{th }} \text{ observation }=9 $

இடைநிலையிலிருந்து உள்ள தொடர்புடைய விலகல்களின் முழுமையான மதிப்புகள், அதாவது, ⟦53⟆ ஆகும் ⟦54⟆

எனவே $ \quad\quad\quad\quad\quad \sum\limits_{i=1}^{11}|x_i-M|=58 $

மற்றும் $ \quad\quad\quad\text{ M.D. }(M)=\frac{1}{11} \sum\limits_{i=1}^{11}|x_i-M|=\frac{1}{11} \times 58=5.27 $

13.4.2 தொகுக்கப்பட்ட தரவுகளுக்கான சராசரி விலக்கம்

தரவுகளை இரண்டு வழிகளில் தொகுக்க முடியும் என்பது நமக்குத் தெரியும்:

(a) தனி அதிர்வெண் பரவல்,

(b) தொடர் அதிர்வெண் பரவல்.

இரண்டு வகையான தரவுகளுக்கும் சராசரி விலக்கத்தைக் கண்டறியும் முறையை விவாதிப்போம்.

(a) தனி அதிர்வெண் பரவல் கொடுக்கப்பட்ட தரவு $n$ தனித்துவமான மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்கட்டும் $x_1, x_2, \ldots, x_n$ முறையே $f_1, f_2, \ldots, f_n$ அதிர்வெண்களுடன் நிகழ்கிறது. இந்த தரவை கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள அட்டவணை வடிவில் குறிப்பிடலாம், மேலும் இது தனி அதிர்வெண் பரவல் என்று அழைக்கப்படுகிறது:

$ \begin{matrix} x: x_1 & x_2 & x_3 \ldots x_n \\ f: f_1 & f_2 & f_3 \ldots f_n \end{matrix} $

(i) சராசரியைப் பற்றிய சராசரி விலக்கம்

முதலில் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கொடுக்கப்பட்ட தரவின் சராசரி ⟦58⟆ ஐக் காண்கிறோம்

$ \bar{x}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n} x_i f_i}{\sum\limits_{i=1}^{n} f_i}=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{n} x_i f_i $

இங்கு ⟦59⟉ அவதானிப்புகளின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையைக் குறிக்கிறது ⟦60⟉ அவற்றின் தொடர்புடைய அதிர்வெண்களுடன் ⟦61⟉ மற்றும் ⟦62⟉ என்பது அதிர்வெண்களின் கூட்டுத்தொகையாகும்.

பின்னர், அவதானிப்புகளின் விலகல்களைக் காண்கிறோம் ⟦63⟉ சராசரி ⟦64⟉ இலிருந்து மற்றும் அவற்றின் முழுமையான மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்கிறோம், அதாவது, ⟦65⟉ அனைத்து ⟦66⟉ க்கும்.

இதற்குப் பிறகு, விலகல்களின் முழுமையான மதிப்புகளின் சராசரியைக் கண்டறியவும், இது சராசரியைப் பற்றிய தேவையான சராசரி விலக்கமாகும். எனவே

$ \quad\quad\text{ M.D. }(\bar{x})=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n} f_i|x_i-\bar{x}|}{\sum\limits_{i=1}^{n} f_i}=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{n} f_i|x_i-\bar{x}| $

(ii) இடைநிலையைப் பற்றிய சராசரி விலக்கம் இடைநிலையைப் பற்றிய சராசரி விலக்கத்தைக் கண்டறிய, கொடுக்கப்பட்ட தனி அதிர்வெண் பரவலின் இடைநிலையைக் காண்கிறோம். இதற்காக அவதானிப்புகள் ஏறுவரிசையில் வரிசைப்படுத்தப்பட்டுள்ளன. இதற்குப் பிறகு குவிந்த அதிர்வெண்கள் பெறப்படுகின்றன. பின்னர், அதன் குவிந்த அதிர்வெண் ⟦67⟉ க்கு சமமாக அல்லது அதிகமாக இருக்கும் அவதானிப்பை நாம் அடையாளம் காண்கிறோம், இங்கு ⟦68⟉ என்பது அதிர்வெண்களின் கூட்டுத்தொகையாகும். அவதானிப்பின் இந்த மதிப்பு தரவின் நடுவில் உள்ளது, எனவே, இது தேவையான இடைநிலையாகும். இடைநிலையைக் கண்டறிந்த பிறகு, இடைநிலையிலிருந்து விலகல்களின் முழுமையான மதிப்புகளின் சராசரியைப் பெறுகிறோம். எனவே,

$ \text{ M.D.(M) }=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{n} f_i|x_i-M| $

எடுத்துக்காட்டு 4 பின்வரும் தரவுகளுக்கான சராசரியைப் பற்றிய சராசரி விலக்கத்தைக் கண்டறியவும்:

தீர்வு கொடுக்கப்பட்ட தரவின் அட்டவணை 13.1 ஐ உருவாக்கி, கணக்கீடுகளுக்குப் பிறகு மற்ற நெடுவரிசைகளைச் சேர்ப்போம்.

அட்டவணை 13.1

$ N=\sum\limits_{i=1}^{6} f_i=40, \quad \sum\limits_{i=1}^{6} f_i x_i=300, \quad \sum\limits_{i=1}^{6} f_i|x_i-\bar{x}|=92 $

எனவே $ \quad \quad \quad\bar{x}=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{6} f_i x_i=\frac{1}{40} \times 300=7.5 $

மற்றும் $\quad \quad \quad$ M. D. $(\bar{x})=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{6} f_i|x_i-\bar{x}|=\frac{1}{40} \times 92=2.3$

எடுத்துக்காட்டு 5 பின்வரும் தரவுகளுக்கான இடைநிலையைப் பற்றிய சராசரி விலக்கத்தைக் கண்டறியவும்:

தீர்வு கொடுக்கப்பட்ட அவதானிப்புகள் ஏற்கனவே ஏறுவரிசையில் உள்ளன. கொடுக்கப்பட்ட தரவுகளில் குவிந்த அதிர்வெண்களுக்கு ஒரு வரிசையைச் சேர்த்து, நாம் பெறுகிறோம் (அட்டவணை 13.2).

அட்டவணை 13.2

இப்போது, ⟦83⟉ சமமானது.

இடைநிலை என்பது ⟦84⟉ மற்றும் ⟦85⟉ அவதானிப்புகளின் சராசரியாகும். இந்த இரண்டு அவதானிப்புகளும் குவிந்த அதிர்வெண் 18 இல் உள்ளன, அதற்கான தொடர்புடைய அவதானிப்பு 13 ஆகும்.

எனவே, இடைநிலை $M=\frac{15^{\text{th }} \text{ observation }+16^{\text{th }} \text{ observation }}{2}=\frac{13+13}{2}=13$

இப்போது, இடைநிலையிலிருந்து விலகல்களின் முழுமையான மதிப்புகள், அதாவது, ⟦87⟉ அட்டவணை 13.3 இல் காட்டப்பட்டுள்ளன. எங்களிடம் உள்ளது

அட்டவணை 13.3

$ \quad \quad \quad \quad \sum\limits_{i=1}^{8} f_i=30 \text{ and } \sum\limits_{i=1}^{8} f_i|x_i-M|=149 $

எனவே

$ \begin{aligned} \text{ M. D. }(M) & =\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{8} f_i|x_i-M| \\ & =\frac{1}{30} \times 149=4.97 \end{aligned} $

(b) தொடர் அதிர்வெண் பரவல் ஒரு தொடர் அதிர்வெண் பரவல் என்பது தரவு வெவ்வேறு வகுப்பு இடைவெளிகளாக வகைப்படுத்தப்பட்டு, அவற்றின் தொடர்புடைய அதிர்வெண்களுடன் இடைவெளிகள் இல்லாமல் இருக்கும் ஒரு தொடர் ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டாக, 100 மாணவர்கள் பெற்ற மதிப்பெண்கள் பின்வரும் தொடர் அதிர்வெண் பரவலாக வழங்கப்படுகின்றன:

(i) சராசரியைப் பற்றிய சராசரி விலக்கம் ஒரு தொடர் அதிர்வெண் பரவலின் சராசரியைக் கணக்கிடும் போது, ஒவ்வொரு வகுப்பிலும் அதிர்வெண் அதன் நட