பொருள் ஆராய்ச்சியில் அனைத்து வகையான கணிதமும் அமைப்புகளை கண்டுபிடிக்கிறது - மாறுபடும் அளவுகளுக்கு ஒரு அடையாளம் காணக்கூடிய இணைப்பு. நமது உள்ளூர் வாழ்க்கையில், சகோதரன் மற்றும் சகோதரி, தந்தை மற்றும் மகன், ஆசிரியர் மற்றும் மாணவர் போன்ற உறவுகளை வடிவமைக்கும் பல அமைப்புகளை நாம் சந்திக்கிறோம். கணிதத்திலும், எண் $m$ எண் $n$ குறைவாக உள்ளது, வரி $l$ வரி $m$ இணைவாக உள்ளது, அம்சம் $A$ அம்சம் $B$ ஆகிய அம்சங்களை நாம் சந்திக்கிறோம். இவை அனைத்திலும், ஒரு உறவில் ஒரு வரிசையில் உள்ள பொருட்களின் இரு பின்னணிகள் உள்ளது என்பதை நாம் கவனிக்கிறோம். இந்த அத்தியாயத்தில், இரு அம்சங்களிலிருந்து இரு பொருட்களின் இரு பின்னணிகளை எவ்வாறு இணைக்கிறோம் என்பதை நாம் கற்றுக்கொள்வோம் மற்றும் பின்னணிகளில் உள்ள இரு பொருட்களுக்கு இடையே உறவுகளை அறிமுகப்படுத்துவோம். இறுதியாக, செயல்பாடுகளாக அங்கீகரிக்கப் பெறும் சிறப்பு உறவுகளை நாம் கற்றுக்கொள்வோம். இது

G.W.Leibnitz (1646-1716 A.D.)

செயல்பாடுகளின் கருத்து கணிதத்தில் மிகவும் முக்கியமானது ஏனெனில் இது ஒரு அளவுகோலத்தின் மூலம் ஒரு அளவுகளுக்கு மற்றொரு அளவுக்கு இடையே ஒரு கணித துல்லியமான ஒத்திசைவை பிரதிபலிக்கிறது.

2.2 அம்சங்களின் கார்டெசியன் பெருமளவு

ஒரு அம்சம் A இரண்டு நிறங்களைக் கொண்டிருக்கும் என்று கொள்கையிலானது மற்றும் B மூன்று பொருட்களைக் கொண்டிருக்கும், அதாவது

$$ A=\{\text { red, blue }\} \text { and } B=\{b, c, s\} \text {, } $$

இங்கு $b, c$ மற்றும் $s$ ஒரு குறிப்பிட்ட கைப்பெட்டி, ஆடை மற்றும் ஷர்ட் ஆகியவற்றை பிரதிநிதித்துவப்படுத்துகின்றன.

இரண்டு அம்சங்களிலிருந்து எத்தனை நிற பொருட்களின் இரு பின்னணிகள் உருவாக்கப்படலாம்?

மிகவும் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட முறையில் நடைபெறுவதால், அவை கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன:

(சிவப்பு, $b$ ), (சிவப்பு, $c$ ), (சிவப்பு, $s$ ), (நீலம், $b$ ), (நீலம், $c$ ), (நீலம், $s$ ).

எனவே, நாம் 6 விலியலான பொருட்களைப் பெறுகிறோம் (படம் 2.1).

படம் 2.1

நாம் முன்னர் படித்த வகுப்புகளில் இருந்து நினைவூட்டுவதால், இரு அம்சங்களிலிருந்து எந்த இரு அம்சங்களிலிருந்தும் ஒரு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட அம்சங்களின் இரு பின்னணிகள் ஒரு வரிசையில் எழுதப்பட்ட ஒரு அம்சங்களின் இரு பின்னணிகள் மூலம் ஒரு வரிசையில் ஒன்றாக கூட்டப்பட்ட ஒரு அம்சங்களின் இரு பின்னணிகள், அதாவது $(p, q), p \in P$ மற்றும் $q \in Q$. இது பின்வருமாறு வரையறுக்கிறது:

வரையறை 1 இரு இல்லாத அம்சங்கள் $P$ மற்றும் $Q$ கொடுக்கப்பட்டால். கார்டெசியன் பெருமளவு $P \times Q$ அம்சங்களிலிருந்து அம்சங்களின் அனைத்து வரிசைப்படுத்தப்பட்ட இரு பின்னணிகளின் அம்சமாகும் $P$ மற்றும் $Q$, அதாவது

$$ P \times Q=\{(p, q): p \in P, q \in Q\} $$

ஏதேனும் $P$ அல்லது $Q$ வெற்று அம்சமாக இருந்தாலும், $P \times Q$ பின்னரும் வெற்று அம்சமாகும், அதாவது $P \times Q=\phi$

மேலே கொடுக்கப்பட்ட விளக்கத்திலிருந்து நாம் கவனிக்கிறோம்

$A \times B=\{(red, b),($ சிவப்பு,$c),($ சிவப்பு,$s),($ நீலம்,$b),($ நீலம்,$c),($ நீலம்,$s)\}$.

மீண்டும், இரு அம்சங்களைக் கொண்டோம்:

$A=\{DL, MP, KA\}$, இங்கு DL, MP, KA ஆகியவை டெல்லி, மத்திய பிரதேசம் மற்றும் கர்நாடகம் ஆகியவற்றை பிரதிநிதித்துவப்படுத்துகின்றன, மேலும் B $=\{01,02, 03 \}$ டெல்லி, மத்திய பிரதேசம் மற்றும் கர்நாடகத்தின் வாகனங்களுக்கு வழங்கப்பட்ட லைசென்ஸ் பட்டைகளுக்கான குறியீடுகளை பிரதிநிதித்துவப்படுத்துகிறது.

இந்த மூன்று மாநிலங்கள், டெல்லி, மத்திய பிரதேசம் மற்றும் கர்நாடகம் வாகனங்களுக்கான லைசென்ஸ் பட்டைகளுக்கான குறியீடுகளை உருவாக்கும்போது, ஒரு குறியீடு அம்சம் $A$ இருந்து ஆரம்பிக்கும் என்பதற்கான கட்டாயத்துடன், இந்த அம்சங்களிலிருந்து எத்தனை இரு பின்னணிகள் கிடைக்கின்றன மற்றும் அந்த இரு பின்னணிகளில் எத்தனை இரு பின்னணிகள் இருக்கும் (படம் 2.2)?

படம் 2.2

கிடைக்கும் இரு பின்னணிகள்:$(\mathrm{DL}, 01),(\mathrm{DL}, 02),(\mathrm{DL}, 03),(\mathrm{MP}, 01),(\mathrm{MP}, 02)$, $(\mathrm{MP}, 03),(\mathrm{KA}, 01),(\mathrm{KA}, 02),(\mathrm{KA}, 03)$ மற்றும் அம்சம் $A$ மற்றும் அம்சம் $B$ இன் பெருமளவு $\mathrm{A} \times \mathrm{B}=\{(\mathrm{DL}, 01),(\mathrm{DL}, 02),(\mathrm{DL}, 03),(\mathrm{MP}, 01),(\mathrm{MP}, 02),(\mathrm{MP}, 03),(\mathrm{KA}, 01),(\mathrm{KA}, 02)$, $(\mathrm{KA}, 03)\} \text {. }$

அம்சங்களில் ஒவ்வொன்றிலும் 3 அம்சங்கள் இருப்பதால், இது எளிதாகக் காணப்படுகிறது. இது நமக்கு 9 சாத்தியமான குறியீடுகளை கொடுக்கிறது. இவற்றின் இரு பின்னணிகளை இணைக்கும் வரிசையும் கவனத்திற்குரியது. எடுத்துக்காட்டாக, குறியீடு (DL, 01 ) அதே குறியீட்டை அல்ல $(01, DL)$.

இறுதி விளக்கத்திற்கு, இரு அம்சங்களைக் கொண்டோம் $A=\{a_1, a_2\}$ மற்றும் $B=\{b_1, b_2, b_3, b_4\}$ (படம் 2.3).

$A \times B=\{(a_1, b_1),(a_1, b_2),(a_1, b_3),(a_1, b_4),(a_2, b_1),(a_2, b_2),(a_2, b_3),(a_2, b_4)\} .$

எனவே உருவாக்கப்பட்ட 8 வரிசைப்படுத்தப்பட்ட இரு பின்னணிகள் அச்சில் உள்ள புள்ளிகளின் இடத்தை பிரதிநிதித்துவப்படுத்தலாம் அம்சம் A மற்றும் அம்சம் B ஆகியவை உண்மையான எண்களின் அம்சத்தின் உபயோகத்தில் உள்ளன மற்றும் இடத்தில் உள்ள புள்ளி இடத்தில் உள்ள புள்ளியை வேறுபடுத்துகிறது $(a_1, b_2)$ மற்றும் இடத்தில் உள்ள புள்ளி $(b_2, a_1)$.

படம் 2.3

குறிப்புகள்

(i) இரு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட இரு பின்னணிகள் சமமாக இருந்தால் மட்டுமே, அவற்றின் அடுத்து வரும் அம்சங்களும் சமமாக இருக்கும் மற்றும் இரண்டாவது அம்சங்களும் சமமாக இருக்கும்.

(ii) அம்சத்தில் $p$ அம்சங்கள் $A$ மற்றும் $q$ அம்சங்கள் $B$ இருந்தால், $p q$ அம்சங்கள் $A \times B$ இருக்கும், அதாவது இங்கு $n(A)=p$ மற்றும் $n(B)=q$, $n(A \times B)=p q$.

(iii) ஏதேனும் $A$ மற்றும் $B$ இல்லாத அம்சங்கள் மற்றும் ஏதேனும் $A$ அல்லது $B$ ஒரு முடிவிலா அம்சமாக இருந்தாலும், $A \times B$ பின்னரும் முடிவிலா அம்சமாகும்.

(iv) $A \times A \times A=\{(a, b, c): a, b, c \in A\}$. இங்கு $(a, b, c)$ ஒரு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட மூன்று பின்னணிகள் எனப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 1 இங்கு $(x+1, y-2)=(3,1)$, $x$ மற்றும் $y$ மதிப்புகளைக் காணவும்.

தீர்வு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட இரு பின்னணிகள் சமமாக இருப்பதால், அவற்றின் அடுத்து வரும் அம்சங்களும் சமமாக இருக்கும்.

எனவே

$ x+1=3 \text { மற்றும் } y-2=1 \text {. } $

தீர்மானிப்பதன் மூலம் நாம் பெறுகிறோம் $\quad x=2$ மற்றும் $y=3$.

எடுத்துக்காட்டு 2 $P=\{a, b, c\}$ மற்றும் $Q=\{r\}$, அம்சங்களை $P \times Q$ மற்றும் $Q \times P$ ஆக உருவாக்குக.

இந்த இரு பெருமளவுகள் சமமாணது?

தீர்வு கார்டெசியன் பெருமளவின் வரையறை படி,

$$ P \times Q=\{(a, r),(b, r),(c, r)\} \text { and } Q \times P=\{(r, a),(r, b),(r, c)\} $$

வரிசைப்படுத்தப்பட்ட இரு பின்னணிகளின் சமத்துவத்தின் வரையறை படி, இரு பின்னணிகள் சமமானது $(a, r)$ மற்றும் இரு பின்னணிகள் சமமானது $(r, a)$, நாம் நம்புகிறோம் $P \times Q \neq Q \times P$.

எனினும், ஒவ்வொரு அம்சத்திலும் அதே எண்ணிக்கையில் அம்சங்கள் இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 3 $A=\{1,2,3\}, B=\{3,4\}$ மற்றும் $C=\{4,5,6\}$. காண்க

(i) $A \times(B \cap C)$

(ii) $(A \times B) \cap(A \times C)$

(iii) $A \times(B \cup C)$

(iv) $(A \times B) \cup(A \times C)$

தீர்வு (i) இரு அம்சங்களின் இடையேயான சேர்க்கையின் வரையறை படி, $(B \cap C)=\{4\}$.

எனவே, $A \times(B \cap C)=\{(1,4),(2,4),(3,4)\}$.

(ii) இப்போது $(A \times B)=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4)\}$ மற்றும் $(A \times C)=\{(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6)\}$

எனவே, $(A \times B) \cap(A \times C)=\{(1,4),(2,4),(3,4)\}$.

(iii) ஏனெனில், $\quad(B \cup C)=\{3,4,5,6\}$,

நாம் பெறுகிறோம் $\quad \mathrm{A} \times(\mathrm{B} \cup \mathrm{C})=\{(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3)$, $(3,4),(3,5),(3,6)\}$.

(iv) மேலே பகுதி (ii) இருந்து அம்சங்களைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம் $A \times B$, $A \times C$.

எடுத்துக்காட்டு 4 இங்கு $P=\{1,2\}$, அம்சம் $P \times P \times P$ உருவாக்குக.

தீர்வு நாம் உள்ளீட்டைக் கொண்டுள்ளோம், $ P \times P \times P=\{(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,1,2),(2,2,1)$, $(2,2,2)\} $.

எடுத்துக்காட்டு 5 இங்கு $\mathbf{R}$ அனைத்து உண்மையான எண்களின் அம்சமாக இருந்தால், கார்டெசியன் பெருமளவுகள் $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$ மற்றும் $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}$ என்ன பிரதிநிதித்துவப்படுத்துகின்றன?

தீர்வு கார்டெசியன் பெருமளவு $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$ அம்சம் $\mathbf{R} \times \mathbf{R}=\{(x, y): x, y \in \mathbf{R}\}$ ஆக பிரதிநிதித்துவப்படுகிறது இது இரண்டு பரிமாண இடத்தில் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளின் ஆய்வுகளை பிரதிநிதித்துவப்படுத்துகிறது மற்றும் கார்டெசியன் பெருமளவு $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}$ அம்சம் $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}=\{(x, y, z): x, y, z \in \mathbf{R}\}$ ஆக பிரதிநிதித்துவப்படுகிறது இது மூன்று-பரிமாண இடத்தில் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளின் ஆய்வுகளை பிரதிநிதித்துவப்படுத்துகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 6 இங்கு $A \times B=\{(p, q),(p, r),(m, q),(m, r)\}$, $A$ மற்றும் $B$ காண்க.

தீர்வு

$$ \begin{aligned} & A=\text { set of first elements }=\{p, m\} \\ & B=\text { set of second elements }=\{q, r\} . \end{aligned} $$

2.1 உறவுகள்

இரு அம்சங்களைக் கொண்டோம் $P=\{a, b, c\}$ மற்றும் $Q=\{$ Ali, Bhanu, Binoy, Chandra, Divya $\}$.

அம்சம் $P$ மற்றும் அம்சம் $Q$ இன் கார்டெசியன் பெருமளவு 15 வரிசைப்படுத்தப்பட்ட இரு பின்னணிகளைக் கொண்டுள்ளது இவை $P \times Q=\{(a, \text{Ali})$, (a, Bhanu), (a, Binoy), …, (c, Divya) $\}$ ஆக பட்டியலிடப்படலாம்.

படம் 2.4

இப்போது நாம் ஒரு உறவை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம் அம்சம் $P \times Q$ இன் உபயோகத்தில் ஒரு உறவை அறிமுகப்படுத்தலாம் $R$ ஆகிய முதல் அம்சம் $x$ மற்றும் ஒவ்வொரு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட இரு பின்னணிகளின் இரண்டாவது அம்சம் $y$ இடையே உள்ள உறவை உருவாக்கலாம் $(x, y)$ ஆகிய முதல் எழுத்து உள்ளது $R=\{(x, y): x$ உள்ள பெயரின் முதல் எழுத்து $y, x \in P, y \in Q\}$.

எனவே $R=\{(a, Ali),(b, Bhanu),(b, Binoy),(c$, சந்திரா $)\}$

இந்த உறவைக் காட்சிப்படுத்துவதற்கான ஒரு காட்சி பிரதிநிதித்துவம் $R$ (ஒரு விளி வரைபடம் என அழைக்கப்படுகிறது) படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது 2.4.

வரையறை 2 ஒரு இல்லாத அம்சத்திலிருந்து இரு இல்லாத அம்சத்திற்கு உள்ள ஒரு உறவு $R$ ஆகிய அம்சங்களின் கார்டெசியன் பெருமளவின் உபயோகத்தில் உள்ள ஒரு உபஅம்சமாகும் $A \times B$. இந்த உபஅம்சம் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட இரு பின்னணிகளின் அம்சங்களின் முதல் அம்சம் மற்றும் இரண்டாவது அம்சம் இடையே ஒரு உறவை விளக்குவதன் மூலம் வருகிறது $A \times B$. இரண்டாவது அம்சம் முதல் அம்சமின் பிரதிநிதித்துவமாக அழைக்கப்படுகிறது.

வரையறை 3 ஒரு அம்சத்திலிருந்து ஒரு அம்சத்திற்கு உள்ள ஒரு உறவில் உள்ள அனைத்து முதல் அம்சங்களின் அம்சமாகும் $R$ ஆகிய அம்சம் A மற்றும் அம்சம் $B$. இந்த உறவின் அம்சமாகும் $R$.

வரையறை 4 ஒரு அம்சத்திலிருந்து ஒரு அம்சத்திற்கு உள்ள ஒரு உறவில் உள்ள அனைத்து இரண்டாவது அம்சங்களின் அம்சமாகும் $R$ ஆகிய அம்சம் $A$ மற்றும் அம்சம் $B$. முழு அம்சமும் $B$ ஆகிய உறவின் பிரதிநிதித்துவமாக அழைக்கப்படுகிறது $R$. குறிப்பு எனில் வரம்பு $\subset$ பிரதிநிதித்துவம்.

குறிப்புகள் (i) ஒரு உறவை இயற்கையான முறையில் அல்ஜெப்ராவின் முறை அல்லது அம்சத்தை உருவாக்கும் முறை என்பவை ஆகியவற்றில் இருந்து பிரதிநிதித்துவப்படுத்தலாம்.

(ii) ஒரு விளி வரைபடம் ஒரு உறவின் காட்சி பிரதிநிதித்துவமாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 7 $A=\{1,2,3,4,5,6\}$. ஒரு உறவை அறிமுகப்படுத்துக $R$ அம்சத்திலிருந்து $A$ மற்றும் $A$ ஆகிய அம்சங்களுக்கு $R=\{(x, y): y=x+1\}$

(i) இந்த உறவை ஒரு விளி வரைபடத்தின் மூலம் காட்டுக.

(ii) அம்சத்தை, பிரதிநிதித்துவத்தை மற்றும் வரம்பை எழுதுக $R$.

தீர்வு (i) உறவின் வரையறை படி,

$R=\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)\}$.

அதற்கு ஏற்ப விளி வரைபடம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது 2.5.

படம் 2.5

(ii) நாம் காணலாம் அம்சம் $=\{1,2,3,4,5\}$

இயல்பாக, வரம்பு $=\{2,3,4,5,6\}$ மற்றும் பிரதிநிதித்துவம் $=\{1,2,3,4,5,6\}$.

எடுத்துக்காட்டு 8 படம் 2.6 அம்சங்களின் இடையே உள்ள உறவைக் காட்டுகிறது $P$ மற்றும் $Q$. இந்த உறவை (i) அம்சத்தை உருவாக்கும் முறையில், (ii) ரூசர் முறையில் எழுதுக. அதன் அம்சம் மற்றும் வரம்பு என்ன?

படம் 2.6

தீர்வு நிச்சயமாக உறவு $R$ ஆகும் “$x$ ஆகிய அம்சத்தின் ஆராய்ச்சி ஆகும் $y$”.

(i) அம்சத்தை உருவாக்கும் முறையில், $R=\{(x, y): x$ ஆகிய அம்சத்தின் ஆராய்ச்சி ஆகும் $y, x \in P, y \in \mathbf{Q}\}$

(ii) ரூசர் முறையில், $R=\{(9,3)$, $(9,-3),(4,2),(4,-2),(25,5),(25,-5)\}$

இந்த உறவின் அம்சம் ஆகும் $\{4,9,25\}$.

இந்த உறவின் வரம்பு ஆகும் $\{-2,2,-3,3,-5,5\}$.

அம்சத்தில் உள்ள ஏதேனும் அம்சத்துடன் ஒரு அம்சம் இணைக்கப்படவில்லை 1 என்பதைக் கவனிக்கவும் அம்சம் $P$. இந்த உறவின் பிரதிநிதித்துவமாக அம்சம் $Q$ ஆகும்.

குறிப்பு - ஒரு அம்சத்திலிருந்து ஒரு அம்சத்திற்கு அனைத்து உறவுகளையும் வரையறுக்க முடியும் $A$ மற்றும் அம்சம் $B$. $A \times B$ இன் சாத்தியமான அனைத்து உபஅம்சங்களின் எண்ணிக்கை ஆகும். இங்கு $n(A)=p$ மற்றும் $n(B)=q$, $n(A \times B)=p q$ மற்றும் அனைத்து உறவுகளின் எண்ணிக்கை ஆகும் $2^{p q}$.

எடுத்துக்காட்டு 9 $A=\{1,2\}$ மற்றும் $B=\{3,4\}$. A இல் B இலிருந்து எத்தனை உறவுகள் காண்க.

தீர்வு நாம் உள்ளீட்டைக் கொண்டுள்ளோம்,

$ A \times B={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)} $

ஏனெனில் $n(A \times B)=4$, அம்சத்தின் அனைத்து உபஅம்சங்களின் எண்ணிக்கை $A \times B$. எனவே, அம்சத்திற்கு இல் உள்ள உறவுகளின் எண்ணிக்கை $A$ இல் $B$ ஆகும் $2^{4}$.

குறிப்பு ஒரு உறவு $R$ அம்சத்திலிருந்து $A$ மற்றும் $A$ ஆகிய அம்சங்களுக்கு இந்த உறவை வரையறுக்கலாம் $A$.

2.4 செயல்பாடுகள்

இந்த பகுதியில், செயல்பாடு எனப்படும் ஒரு சிறப்பு வகையான உறவை நாம் ஆராய்கிறோம். இது கணிதத்தில் ஒரு மிகவும் முக்கியமான கருத்தாகும். நாம் ஒரு செயல்பாட்டை ஒரு விதி என கருதலாம், இது ஏதேனும் கொடுக்கப்பட்ட அம்சங்களிலிருந்து புதிய அம்சங்களை உருவாக்குகிறது. ‘மேப்’ அல்லது ‘மேப்பிங்’ போன்ற பல சொற்கள் செயல்பாட்டைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

வரையறை 5 ஒரு அம்சத்திலிருந்து ஒரு அம்சத்திற்கு உள்ள ஒரு உறவு $f$ ஆகிய அம்சம் $A$ மற்றும் அம்சம் $B$ ஆகிய அம்சங்களுக்கு ஒரு செயல்பாடாக கருதப்படும் என்றால், அம்சத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு அம்சமும் அம்சத்தில் உள்ள ஒரு மற்றும் மட்டுமே ஒரு பிரதிநிதித்துவம் உள்ளது $A$ ஆகிய அம்சம் $B$.

மற்றும் மேலே கூறியதைப் பொருட்படுத்திப் பார்க்கலாம், ஒரு செயல்பாடு $f$ ஆகிய அம்சத்திலிருந்து ஒரு இல்லாத அம்சத்திற்கு உள்ள ஒரு உறவாகும் $A$ மற்றும் $B$ ஆகிய அம்சங்களுக்கு உள்ள உறவு $f$ இன் அம்சம் $A$ மற்றும் $f$ இல் இரு வேறுபட்ட வரிசைப்படுத்தப்பட்ட இரு பின்னணிகளும் ஒரே முதல் அம்சத்தைக் கொண்டிருக்காது.

இங்கு $f$ அம்சத்திலிருந்து B ஆகிய அம்சத்திற்கு ஒரு செயல்பாடு $(a, b) \in f$ மற்றும் $(a, b) \in f$, $f(a)=b$, இங்கு $b$ ஆகிய அம்சத்தின் பிரதிநிதித்துவமாக அழைக்கப்படுகிறது $a$ இன் $f$ மீது மற்றும் $a$ ஆகிய அம்சத்தின் பிரதிநிதித்துவமாக அழைக்கப்படுகிறது $b$ இன் $f$ மீது.

அம்சத்திலிருந்து அம்சத்திற்கு ஒரு செயல்பாடு $f$ ஆகிய அம்சத்திலிருந்து அம்சத்திற்கு $A$ மற்றும் $B$ ஆகிய அம்சங்களுக்கு இன் பிரதிநிதித்துவமாக அழைக்கப்படுகிறது $f: A \rightarrow B$.

முந்தைய எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்பதன் மூலம், நாம் எளிதில் காணலாம் இந்த உறவு இல்லை

எடுத்துக்காட்டு 7 செயல்பாடு என்பது ஏனெனில் அம்சம் 6 ஒரு பிரதிநிதித்துவம் இல்லை.

மீண்டும், உறவு இல்லை

எடுத்துக்காட்டு 8 அம்சங்களின் அம்சங்களில் உள்ள அம்சங்கள் பல பிரதிநிதித்துவங்களுடன் இணைக்கப்படுகின்றன என்பதால். இயல்பாக, உறவு இல்லை

எடுத்துக்காட்டு 9 செயல்பாடு பின்வருமாறு இல்லை. (ஏன்?) கீழே கொடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளில் நாம் பல உறவுகளைக் காண்கிறோம் இவற்றில் சில செயல்பாடுகள் மற்றும் சில செயல்பாடுகள் இல்லை.

எடுத்துக்காட்டு 10 $\mathbf{N}$ ஆகிய அம்சமாக இருந்தால் இயற்கை எண்களின் அம்சமாக இருந்தால் மற்றும் உறவு $R$ ஆகிய அம்சத்தில் வரையறுக்கப்பட்டிருந்தால் $N$ இங்கு $R=\{(x, y): y=2 x, x, y \in \mathbf{N}\}$.

இந்த உறவின் அம்சம், பிரதிநிதித்துவம் மற்றும் வரம்பு என்ன? இந்த உறவு ஒரு செயல்பாடா?