ஒரு கணிதவியலாளர் ஒரு பிரச்சனையை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்று அறிவார், அவரால் அதை தீர்க்க முடியாது. - மில்னே

3.1 அறிமுகம்

‘முக்கோணவியல்’ என்ற சொல் கிரேக்க சொற்களான ‘ட்ரைகோன்’ மற்றும் ‘மெட்ரான்’ ஆகியவற்றிலிருந்து பெறப்பட்டது மற்றும் இது ‘ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்களை அளவிடுதல்’ என்று பொருள்படும். முக்கோணங்களை உள்ளடக்கிய வடிவியல் பிரச்சனைகளைத் தீர்க்க இந்தப் பாடம் முதலில் உருவாக்கப்பட்டது. இது கப்பல் தலைவர்களால் கடற்பயணத்திற்காகவும், புதிய நிலங்களை வரைபடமாக்குவதற்காகவும், பொறியாளர்கள் மற்றும் பிறரால் படிக்கப்பட்டது. தற்போது, முக்கோணவியல் பல பகுதிகளில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக நிலநடுக்கவியல் அறிவியல், மின்சுற்றுகளை வடிவமைத்தல், ஒரு அணுவின் நிலையை விவரித்தல், கடலில் அலைகளின் உயரத்தை கணித்தல், ஒரு இசைத் தொனியை பகுப்பாய்வு செய்தல் மற்றும் பல பிற பகுதிகளில்.

ஆரியபட்டர் (476-550 B.C.)

முந்தைய வகுப்புகளில், ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் விகிதமாக குறுங்கோணங்களின் முக்கோணவியல் விகிதங்களை நாம் படித்துள்ளோம். முக்கோணவியல் அடையாளங்களையும், உயரங்கள் மற்றும் தொலைவுகள் தொடர்பான பிரச்சனைகளைத் தீர்ப்பதில் முக்கோணவியல் விகிதங்களின் பயன்பாட்டையும் நாம் படித்துள்ளோம். இந்த அத்தியாயத்தில், முக்கோணவியல் விகிதங்களின் கருத்தை முக்கோணவியல் சார்புகளாக பொதுமைப்படுத்தி அவற்றின் பண்புகளைப் படிப்போம்.

3.2 கோணங்கள்

படம் 3.1

கோணம் என்பது ஒரு கதிரின் ஆரம்பப் புள்ளியைப் பற்றிய சுழற்சியின் அளவீடு ஆகும். அசல் கதிர் ஆரம்பப் பக்கமாகவும், சுழற்சிக்குப் பிறகு கதிரின் இறுதி நிலை கோணத்தின் இறுதிப் பக்கமாகவும் அழைக்கப்படுகிறது. சுழற்சியின் புள்ளி உச்சி என்று அழைக்கப்படுகிறது. சுழற்சியின் திசை எதிரெதிர் திசையில் இருந்தால், கோணம் நேர்மறை என்றும், சுழற்சியின் திசை கடிகார திசையில் இருந்தால், கோணம்* எதிர்மறை* என்றும் கூறப்படுகிறது (படம் 3.1).

ஒரு கோணத்தின் அளவு ஆரம்பப் பக்கத்திலிருந்து இறுதிப் பக்கத்தைப் பெற செய்யப்படும் சுழற்சியின் அளவு ஆகும். கோணங்களை அளவிட பல அலகுகள் உள்ளன. ஒரு கோணத்தின் வரையறை

படம் 3.2

படம் 3.2 ஒரு அலகைக் குறிக்கிறது, அதாவது ஆரம்பப் பக்கத்தின் நிலையிலிருந்து ஒரு முழுமையான சுழற்சி படம் 3.2 இல் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது.

பெரிய கோணங்களுக்கு இது பெரும்பாலும் வசதியானது. எடுத்துக்காட்டாக, வேகமாக சுழலும் சக்கரம் ஒரு வினாடிக்கு 15 சுழற்சிகள் என்ற கோணத்தை உருவாக்குகிறது என்று சொல்லலாம். மிகவும் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் கோணத்தின் அளவீட்டின் மற்ற இரண்டு அலகுகளை நாம் விவரிப்போம், அதாவது பாகை அளவீடு மற்றும் ரேடியன் அளவீடு.

3.2.1 பாகை அளவீடு

ஆரம்பப் பக்கத்திலிருந்து இறுதிப் பக்கத்திற்கு சுழற்சி $(\frac{1}{360})^{\text{th }}$ ஒரு புரட்சியாக இருந்தால், கோணத்தின் அளவு ஒரு பாகை என்று கூறப்படுகிறது, இது $1^{\circ}$ என எழுதப்படுகிறது. ஒரு பாகை 60 நிமிடங்களாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் ஒரு நிமிடம் 60 வினாடிகளாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு பாகையின் அறுபதில் ஒரு பங்கு நிமிடம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது $1^{\prime}$ என எழுதப்படுகிறது, மேலும் ஒரு நிமிடத்தின் அறுபதில் ஒரு பங்கு வினாடி என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது $1^{\prime \prime}$ என எழுதப்படுகிறது. இவ்வாறு, $\quad 1^{\circ}=60^{\prime}, \quad 1^{\prime}=60^{\prime \prime}$

அளவுகள் $360^{\circ}, 180^{\circ}, 270^{\circ}, 420^{\circ},-30^{\circ},-420^{\circ}$ ஆக இருக்கும் சில கோணங்கள் படம் 3.3 இல் காட்டப்பட்டுள்ளன.

படம் 3.3

3.2.2 ரேடியன் அளவீடு

கோணத்தின் அளவீட்டிற்கு மற்றொரு அலகு உள்ளது, அது ரேடியன் அளவீடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. அலகு வட்டத்தில் (ஆரம் 1 அலகு கொண்ட வட்டம்) நீளம் 1 அலகு கொண்ட வில்லால் மையத்தில் தாங்கப்படும் கோணம் 1 ரேடியன் அளவைக் கொண்டுள்ளது என்று கூறப்படுகிறது. படம் 3.4(i) முதல் (iv) வரை, $OA$ ஆரம்பப் பக்கமாகவும் $OB$ இறுதிப் பக்கமாகவும் உள்ளது. படங்கள் அளவுகள் 1 ரேடியன், -1 ரேடியன், $1 \frac{1}{2}$ ரேடியன் மற்றும் $-1 \frac{1}{2}$ ரேடியன் ஆகிய கோணங்களைக் காட்டுகின்றன.

படம் 3.4 (i) - (iv)

ஆரம் 1 அலகு கொண்ட ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவு $2 \pi$ என்பது நமக்குத் தெரியும். இவ்வாறு, ஆரம்பப் பக்கத்தின் ஒரு முழுமையான சுழற்சி $2 \pi$ ரேடியன் கோணத்தைத் தாங்குகிறது.

மேலும் பொதுவாக, ஆரம் $r$ கொண்ட ஒரு வட்டத்தில், நீளம் $r$ கொண்ட ஒரு வில் 1 ரேடியன் கோணத்தைத் தாங்கும். ஒரு வட்டத்தின் சம வில்ல்கள் மையத்தில் சம கோணத்தைத் தாங்குகின்றன என்பது நன்கு அறியப்பட்டது. ஆரம் $r$ கொண்ட ஒரு வட்டத்தில், நீளம் $r$ கொண்ட ஒரு வில் அளவு 1 ரேடியன் கொண்ட கோணத்தைத் தாங்குவதால், நீளம் $l$ கொண்ட ஒரு வில் அளவு $\frac{l}{r}$ ரேடியன் கொண்ட கோணத்தைத் தாங்கும். இவ்வாறு, ஆரம் $r$ கொண்ட ஒரு வட்டத்தில், நீளம் $l$ கொண்ட ஒரு வில் மையத்தில் $\theta$ ரேடியன் கோணத்தைத் தாங்கினால், நம்மிடம் $\theta=\frac{l}{r}$ அல்லது $l=r \theta$ உள்ளது.

3.2.3 ரேடியன் மற்றும் மெய்யெண்களுக்கு இடையேயான தொடர்பு

மையம் $O$ கொண்ட அலகு வட்டத்தைக் கவனியுங்கள். $A$ வட்டத்தின் எந்தப் புள்ளியாகவும் இருக்கட்டும். ஒரு கோணத்தின் ஆரம்பப் பக்கமாக OA ஐக் கவனியுங்கள். பின்னர் வட்டத்தின் ஒரு வில்லின் நீளம், வட்டத்தின் மையத்தில் வில் தாங்கும் கோணத்தின் ரேடியன் அளவைக் கொடுக்கும். A இல் வட்டத்திற்கு தொடுகோடாக இருக்கும் PAQ கோட்டைக் கவனியுங்கள். புள்ளி A மெய்யெண் பூஜ்ஜியத்தைக் குறிக்கட்டும், AP நேர்மறை மெய்யெண்களைக் குறிக்கிறது மற்றும் AQ எதிர்மறை மெய்யெண்களைக் குறிக்கிறது (படம் 3.5). நாம் $AP$ கோட்டை வட்டத்தின் வழியாக எதிரெதிர் திசையிலும், $AQ$ கடிகார திசையிலும் கயிறு இழுத்தால், ஒவ்வொரு மெய்யெண்ணும் ஒரு ரேடியன் அளவிற்கு ஒத்திருக்கும் மற்றும் நேர்மாறாகவும் இருக்கும். இவ்வாறு, ரேடியன் அளவீடுகள் மற்றும் மெய்யெண்கள் ஒன்றாகவும் ஒரே மாதிரியாகவும் கருதப்படலாம்.

படம் 3.5

3.2.4 பாகை மற்றும் ரேடியனுக்கு இடையேயான தொடர்பு ஒரு வட்டம் மையத்தில் தாங்குவதால்

ரேடியன் அளவு $2 \pi$ மற்றும் அதன் பாகை அளவு $360^{\circ}$ ஆகும், அது பின்வருமாறு$ 2 \pi \text{ radian }=360^{\circ} \quad \text{ or } \quad \pi \text{ radian }=180^{\circ} $

மேலே உள்ள தொடர்பு, ஒரு ரேடியன் அளவீட்டை பாகை அளவீட்டின் அடிப்படையிலும், ஒரு பாகை அளவீட்டை ரேடியன் அளவீட்டின் அடிப்படையிலும் வெளிப்படுத்த அனுமதிக்கிறது. $\pi$ இன் தோராயமான மதிப்பை $\frac{22}{7}$ ஆகப் பயன்படுத்தி, நம்மிடம் உள்ளது

$ 1 \text{ radian }=\frac{180^{\circ}}{\pi}=57^{\circ} 16^{\prime} \text{ approximately. } $

மேலும் $\quad 1^{\circ}=\frac{\pi}{180}$ ரேடியன் $=0.01746$ ரேடியன் தோராயமாக.

சில பொதுவான கோணங்களின் பாகை அளவீடுகள் மற்றும் ரேடியன் அளவீட்டிற்கு இடையேயான தொடர்பு பின்வரும் அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:

குறியீட்டு மரபு

கோணங்கள் பாகைகளிலோ அல்லது ரேடியன்களிலோ அளவிடப்படுவதால், நாம் கோணம் $\theta^{\circ}$ என்று எழுதும் போதெல்லாம், பாகை அளவு $\theta$ கொண்ட கோணத்தைக் குறிக்கிறோம் என்ற மரபை நாம் ஏற்றுக்கொள்கிறோம், மேலும் கோணம் $\beta$ என்று எழுதும் போதெல்லாம், ரேடியன் அளவு $\beta$ கொண்ட கோணத்தைக் குறிக்கிறோம்.

ஒரு கோணம் ரேடியன்களில் வெளிப்படுத்தப்படும் போது, ‘ரேடியன்’ என்ற சொல் அடிக்கடி விடுபடுகிறது என்பதைக் கவனியுங்கள். இவ்வாறு, $\pi=180^{\circ}$ மற்றும் $\frac{\pi}{4}=45^{\circ}$ ஆகியவை $\pi$ மற்றும் $\frac{\pi}{4}$ ரேடியன் அளவீடுகள் என்ற புரிதலுடன் எழுதப்படுகின்றன. இவ்வாறு, நாம் சொல்லலாம்

$ \begin{aligned} & \text{ Radian measure }=\frac{\pi}{180} \times \text{ Degree measure } \\ & \text{ Degree measure }=\frac{180}{\pi} \times \text{ Radian measure } \end{aligned} $

எடுத்துக்காட்டு 1 $40^{\circ} 20^{\prime}$ ஐ ரேடியன் அளவீட்டிற்கு மாற்றவும்.

தீர்வு $180^{\circ}=\pi$ ரேடியன் என்பது நமக்குத் தெரியும்.

எனவே $\quad 40^{\circ} 20^{\prime}=40 \frac{1}{3}$ பாகை $=\frac{\pi}{180} \times \frac{121}{3}$ ரேடியன் $=\frac{121 \pi}{540}$ ரேடியன்.

எனவே

$ 40^{\circ} 20^{\prime}=\frac{121 \pi}{540} \text{ radian. } $

எடுத்துக்காட்டு 2 6 ரேடியன்களை பாகை அளவீட்டிற்கு மாற்றவும்.

தீர்வு $\pi$ ரேடியன் $=180^{\circ}$ என்பது நமக்குத் தெரியும்.

எனவே

$ \begin{aligned} 6 \text{ radians } & =\frac{180}{\pi} \times 6 \text{ degree }=\frac{1080 \times 7}{22} \text{ degree } \\ & =343 \frac{7}{11} \text{ degree }=343^{\circ}+\frac{7 \times 60}{11} \text{ minute } \quad[\text{ as } 1^{\circ}=60^{\prime}] \\ & =343^{\circ}+38^{\prime}+\frac{2}{11} \text{ minute } \quad[\text{ as } 1^{\prime}=60^{\prime \prime}] \\ & =343^{\circ}+38^{\prime}+10.9^{\prime \prime} \quad=343^{\circ} 38^{\prime} 11^{\prime \prime} \text{ approximately. } \end{aligned} $

எனவே $\quad 6$ ரேடியன்கள் $=343^{\circ} 38^{\prime} 11^{\prime \prime}$ தோராயமாக.

எடுத்துக்காட்டு 3 $60^{\circ}$ மையக் கோணம் $37.4 cm$ நீளமுள்ள வில்லை வெட்டும் வட்டத்தின் ஆரத்தைக் கண்டறியவும் ($\pi=\frac{22}{7}$ பயன்படுத்தவும்).

தீர்வு இங்கே $l=37.4 cm$ மற்றும் $\theta=60^{\circ}=\frac{60 \pi}{180}$ ரேடியன் $=\frac{\pi}{3}$

எனவே, $\quad$ மூலம் $r=\frac{l}{\theta}$, நம்மிடம் உள்ளது

$ r=\frac{37.4 \times 3}{\pi}=\frac{37.4 \times 3 \times 7}{22}=35.7 cm $

எடுத்துக்காட்டு 4 ஒரு கடிகாரத்தின் நிமிட முள் $1.5 cm$ நீளமாக உள்ளது. 40 நிமிடங்களில் அதன் நுனி எவ்வளவு தூரம் நகரும்? ($\pi=3.14$ பயன்படுத்தவும்).

தீர்வு 60 நிமிடங்களில், ஒரு கடிகாரத்தின் நிமிட முள் ஒரு புரட்சியை முடிக்கிறது. எனவே, 40 நிமிடங்களில், நிமிட முள் $\frac{2}{3}$ ஒரு புரட்சியைத் திருப்புகிறது. எனவே, $\theta=\frac{2}{3} \times 360^{\circ}$ அல்லது $\frac{4 \pi}{3}$ ரேடியன். எனவே, தேவையான பயண தூரம் வழங்கப்படுகிறது

$ l=r \theta=1.5 \times \frac{4 \pi}{3} cm=2 \pi cm=2 \times 3.14 cm=6.28 cm . $

எடுத்துக்காட்டு 5 ஒரே நீளமுள்ள வில்ல்கள் இரண்டு வட்டங்களில் மையத்தில் $65^{\circ}$ மற்றும் $110^{\circ}$ கோணங்களைத் தாங்கினால், அவற்றின் ஆரங்களின் விகிதத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு $r_1$ மற்றும் $r_2$ இரண்டு வட்டங்களின் ஆரங்களாக இருக்கட்டும். கொடுக்கப்பட்டுள்ளது

$ \theta_1=65^{\circ}=\frac{\pi}{180} \times 65=\frac{13 \pi}{36} \text{ radian } $

மற்றும்

$ \theta_2=110^{\circ}=\frac{\pi}{180} \times 110=\frac{22 \pi}{36} \text{ radian } $

$l$ ஒவ்வொரு வில்லின் நீளமாக இருக்கட்டும். பின்னர் $l=r_1 \theta_1=r_2 \theta_2$, இது தருகிறது

$ \frac{13 \pi}{36} \times r_1=\frac{22 \pi}{36} \times r_2 \text{, i.e., } \frac{r_1}{r_2}=\frac{22}{13} $

எனவே $\quad r_1: r_2=22: 13$.

3.3 முக்கோணவியல் சார்புகள்

முந்தைய வகுப்புகளில், ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் விகிதமாக குறுங்கோணங்களுக்கான முக்கோணவியல் விகிதங்களை நாம் படித்துள்ளோம். இப்போது முக்கோணவியல் விகிதங்களின் வரையறையை ரேடியன் அளவீட்டில் உள்ள எந்தக் கோணத்திற்கும் விரிவுபடுத்தி, அவற்றை முக்கோணவியல் சார்புகளாகப் படிப்போம்.

ஆய அச்சுகளின் தோற்றத்தில் மையத்துடன் கூடிய அலகு வட்டத்தைக் கவனியுங்கள். $P(a, b)$ கோணம் $AOP=x$ ரேடியன் கொண்ட வட்டத்தின் எந்தப் புள்ளியாகவும் இருக்கட்டும், அதாவது வில்லின் நீளம் $AP=x$ (படம் 3.6).

படம் 3.6

நாம் வரையறுக்கிறோம் $\cos x=a$ மற்றும் $\sin x=b$ $\triangle OMP$ ஒரு செங்கோண முக்கோணமாக இருப்பதால், நம்மிடம் $OM^{2}+MP^{2}=OP^{2}$ அல்லது $a^{2}+b^{2}=1$ உள்ளது. இவ்வாறு, அலகு வட்டத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும், நம்மிடம் உள்ளது

$ a^{2}+b^{2}=1 \text{ or } \cos ^{2} x+\sin ^{2} x=1 $

ஒரு முழுமையான புரட்சி வட்டத்தின் மையத்தில் $2 \pi$ ரேடியன் கோணத்தைத் தாங்குவதால்,

$\angle AOB=\frac{\pi}{2}$, $\angle AOC=\pi$ மற்றும் $\angle AOD=\frac{3 \pi}{2}$. $\frac{\pi}{2}$ இன் முழு எண் மடங்குகளாக இருக்கும் அனைத்து கோணங்களும் காலாண்டுக் கோணங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. A, B, C மற்றும் D புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகள் முறையே $(1,0),(0,1),(-1,0)$ மற்றும் $(0,-1)$ ஆகும். எனவே, காலாண்டுக் கோணங்களுக்கு, நம்மிடம் உள்ளது

$ \begin{aligned} & \cos 0^{\circ}=1 \quad \sin 0^{\circ}=0, \\ & \cos \frac{\pi}{2}=0 \quad \sin \frac{\pi}{2}=1 \\ & \cos \pi=-1 \quad \sin \pi=0 \\ & \cos \frac{3 \pi}{2}=0 \quad \sin \frac{3 \pi}{2}=-1 \\ & \cos 2 \pi=1 \quad \sin 2 \pi=0 \end{aligned} $

இப்போது, $P$ புள்ளியிலிருந்து ஒரு முழுமையான புரட்சியை எடுத்துக் கொண்டால், நாம் மீண்டும் அதே புள்ளியான $P$ க்குத் திரும்புவோம். இவ்வாறு, $x$ எந்த முழு எண் மடங்கு $2 \pi$ ஆல் அதிகரிக்கும் (அல்லது குறையும்) என்றால், சைன் மற்றும் கோசைன் சார்புகளின் மதிப்புகள் மாறாது என்பதையும் நாம் கவனிக்கிறோம். இவ்வாறு,

$ \sin (2 n \pi+x)=\sin x, n \in \mathbf{Z}, \cos (2 n \pi+x)=\cos x, n \in \mathbf{Z} $

மேலும், $\sin x=0$, என்றால் $x=0, \pm \pi, \pm 2 \pi, \pm 3 \pi$, …, அதாவது, எப்போது $x$ என்பது $\pi$ இன் முழு எண் மடங்கு மற்றும் $\cos x=0$, என்றால் $x= \pm \frac{\pi}{2}, \pm \frac{3 \pi}{2}, \pm \frac{5 \pi}{2}, \ldots$ அதாவது, $\cos x$ மறைந்துவிடும் போது $x$ என்பது $\frac{\pi}{2}$ இன் ஒற்றைப்படை மடங்கு ஆகும். இவ்வாறு

$ \begin{aligned} & \sin x=0 \text{ implies } x=n \pi, \text{ where } n \text{ is any integer } \\ & \cos x=0 \text{ implies } x=(2 n+1) \frac{\pi}{2} \text{, where } n \text{ is any integer. } \end{aligned} $

இப்போது நாம் மற்ற முக்கோணவியல் சார்புகளை சைன் மற்றும் கோசைன் சார்புகளின் அடிப்படையில் வரையறுக்கிறோம்:

$\text{cosec} x=\frac{1}{\sin x}, x \neq n \pi$, இங்கு $n$ ஏதேனும் முழு எண்.

$\sec x=\frac{1}{\cos x}, x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}$, இங்கு $n$ ஏதேனும் முழு எண்.

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}, x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}$, இங்கு $n$ ஏதேனும் முழு எண்.

$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}, x \neq n \pi$, இங்கு $n$ ஏதேனும் முழு எண்.

அனைத்து மெய் $x, \sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1$ க்கும் நாம் காட்டியுள்ளோம்

இது பின்வருமாறு

$$ \begin{aligned} & 1+\tan ^{2} x=\sec ^{2} x \\ & 1+\cot ^{2} x=cosec^{2} x \end{aligned} $$

முந்தைய வகுப்புகளில், $0^{\circ}$, $30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}$ மற்றும் $90^{\circ}$ க்கான முக்கோணவியல் விகிதங்களின் மதிப்புகளைப் பற்றி விவாதித்துள்ளோம். இந்தக் கோணங்களுக்கான முக்கோணவியல் சார்புகளின் மதிப்புகள் முந்தைய வகுப்புகளில் படித்த முக்கோணவியல் விகிதங்களைப் போலவே இருக்கும். இவ்வாறு, நம்மிடம் பின்வரும் அட்டவணை உள்ளது:

$cosec x, \sec x$ மற்றும் $\cot x$ இன் மதிப்புகள் முறையே $\sin x$, $\cos x$ மற்றும் $\tan x$ ஆகியவற்றின் பரஸ்பர மதிப்புகளாகும்.

3.3.1 முக்கோணவியல் சார்புகளின் குறி

$P(a, b)$ தோற்றத்தில் மையத்துடன் கூடிய அலகு வட்டத்தின் ஒரு புள்ளியாக இருக்கட்டும், அதாவது $\angle AOP=x$. $\angle AOQ=-x$ என்றால், புள்ளி $Q$ இன் ஆயத்தொலைவுகள் $(a,-b)$ ஆக இருக்கும் (படம் 3.7).

படம் 3.7

எனவே

$ \cos (-x)=\cos x $

மற்றும் $\quad$ $ \sin (-x)=-\sin x $

அலகு வட்டத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் $P(a, b)$, $-1 \leq a \leq 1$ மற்றும்

$-1 \leq b \leq 1$, நம்மிடம் உள்ளது $-1 \leq \cos x \leq 1$ மற்றும் $-1 \leq \sin x \leq 1$ அனைத்து $x$ க்கும். முதல் காலாண்டில் $(0<x<\frac{\pi}{2}) a$ மற்றும் $b$ இரண்டும் நேர்மறையாகவும், இரண்டாம் காலாண்டில் $(\frac{\pi}{2}<x<\pi) a$ எதிர்மறையாகவும் $b$ நேர்மறையாகவும், மூன்றாம் காலாண்டில் $(\pi<x<\frac{3 \pi}{2}) a$ மற்றும் $b$ இரண்டும் எதிர்மறையாகவும், நான்காம் காலாண்டில் $(\frac{3 \pi}{2}<x<2 \pi) a$ நேர்மறையாகவும் $b$ எதிர்மறையாகவும் இருக்கும் என்பதை முந்தைய வகுப்புகளில் கற்றுக்கொண்டோம். எனவே, $\sin x$ என்பது $0<x<\pi$ க்கு நேர்மறையாகவும், $\pi<x<2 \pi$ க்கு எதிர்மறையாகவும் இருக்கும். இதேபோல், $\cos x$ என்பது $0<x<\frac{\pi}{2}$ க்கு நேர்மறையாகவும், $\frac{\pi}{2}<x<\frac{3 \pi}{2}$ க்கு எதிர்மறையாகவும் மற்றும் $\frac{3 \pi}{2}<x<2 \pi$ க்கும் நேர்மறையாகவும் இருக்கும். இதேபோல், வெவ்வேறு காலாண்டுகளில் மற்ற முக்கோணவியல் சார்புகளின் அடையாளங்களைக் காணலாம். உண்மையில், நம்மிடம் பின்வரும் அட்டவணை உள்ளது.

3.3.2 முக்கோணவியல் சார்புகளின் களம் மற்றும் வீச்சு

சைன் மற்றும் கோசைன் சார்புகளின் வரையறையிலிருந்து, அவை அனைத்து மெய்யெண்களுக்கும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன என்பதை நாம் கவனிக்கிறோம். மேலும், ஒவ்வொரு மெய்யெண் $x$ க்கும்,

$$ -1 \leq \sin x \leq 1 \text{ and }-1 \leq \cos x \leq 1 $$

எனவே, $y=\sin x$ மற்றும் $y=\cos x$ இன் களம் அனைத்து மெய்யெண்களின் கணமாகும் மற்றும் வீச்சு இடைவெளி $[-1,1]$, அதாவது $-1 \leq y \leq 1$ ஆகும்.

$ \text{cosec} x=\frac{1}{\sin x}$ என்பதால், $y=cosec x$ இன் களம் கணம் $\{x: x \in \mathbf{R}$ மற்றும் $x \neq n \pi, n \in \mathbf{Z}\}$ மற்றும் வீச்சு கணம் $\{y: y \in \mathbf{R}, y \geq 1$ அல்லது $y \leq-1\}$ ஆகும். இதேபோல், $y=\sec x$ இன் களம் கணம் $\{x: x \in \mathbf{R}.$ மற்றும் $.x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\}$ மற்றும் வீச்சு கணம் $\{y: y \in \mathbf{R}, y \leq-1$ அல்லது $y \geq 1\}$ ஆகும். $y=\tan x$ இன் களம் கணம் $\{x: x \in \mathbf{R}$ மற்றும் $.x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\}$ மற்றும் வீச்சு அனைத்து மெய்யெண்களின் கணமாகும். $y=\cot x$ இன் களம் கணம் $\{x: x \in \mathbf{R}$ மற்றும் $x \neq n \pi, n \in \mathbf{Z}\}$ மற்றும் வீச்சு அனைத்து மெய்யெண்களின் கணமாகும்.

முதல் காலாண்டில், $x$ 0 இலிருந்து $\frac{\pi}{2}, \sin x$ 0 இலிருந்து 1 ஆக அதிகரிக்கிறது, $x$ $\frac{\pi}{2}$ இலிருந்து $\pi, \sin x$ 1 இலிருந்து 0 ஆக குறைகிறது என்பதையும் நாம் கவனிக்கிறோம். மூன்றாம் காலாண்டில், $x$ $\pi$ இலிருந்து $\frac{3 \pi}{2}, \sin x$ 0 இலிருந்து -1 ஆக குறைகிறது மற்றும் இறுதியாக, நான்காம் காலாண்டில், $\sin x$ -1 இலிருந்து 0 ஆக அதிகரிக்கிறது, ஏனெனில் $x$ $\frac{3 \pi}{2}$ இலிருந்து $2 \pi$ ஆக அதிகரிக்கிறது. இதேபோல், மற்ற முக்கோணவியல் சார்புகளின் நடத்தையைப் பற்றி விவாதிக்கலாம். உண்மையில், நம்மிடம் பின்வரும் அட்டவணை உள்ளது: