கணிதம் அறிவியல்களின் ராணி மற்றும் எண்கணிதம் கணிதத்தின் ராணி. - காஸ்

4.1 அறிமுகம்

முந்தைய வகுப்புகளில், நாம் ஒரு மற்றும் இரண்டு மாறிகளில் நேரியல் சமன்பாடுகளையும், ஒரு மாறியில் இருபடிச் சமன்பாடுகளையும் படித்துள்ளோம். $x^{2}+1=0$ என்ற சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான தீர்வு இல்லை என்பதை நாம் கண்டிருக்கிறோம், ஏனெனில் $x^{2}+1=0$ என்பது $x^{2}=-1$ ஐத் தருகிறது மற்றும் ஒவ்வொரு மெய்யெண்ணின் வர்க்கமும் எதிர்மமற்றது. எனவே, $x^{2}=-1$ என்ற சமன்பாட்டின் தீர்வைக் கண்டறிய நாம் மெய்யெண் அமைப்பை ஒரு பெரிய அமைப்புக்கு விரிவாக்க வேண்டும். உண்மையில், முக்கிய நோக்கம் $a x^{2}+b x+c=0$ என்ற சமன்பாட்டைத் தீப்பதாகும், இங்கு $D=b^{2}-4 a c<0$, இது மெய்யெண்களின் அமைப்பில் சாத்தியமில்லை.

டபிள்யூ. ஆர். ஹாமில்டன் (1805-1865 கி.பி.)

4.2 சிக்கலெண்கள்

$\sqrt{-1}$ என்பதை $i$ என்ற குறியீட்டால் குறிப்போம். பிறகு, நமக்கு $i^{2}=-1$ உள்ளது. இதன் பொருள் $i$ என்பது $x^{2}+1=0$ என்ற சமன்பாட்டின் ஒரு தீர்வு ஆகும்.

$a+i b$ என்ற வடிவில் உள்ள ஒரு எண், இங்கு $a$ மற்றும் $b$ மெய்யெண்கள், ஒரு சிக்கலெண் என வரையறுக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, $2+i 3,(-1)+i \sqrt{3}, 4+i(\frac{-1}{11})$ ஆகியவை சிக்கலெண்கள்.

சிக்கலெண் $z=a+i b, a$ க்கு, $Re z$ எனக் குறிக்கப்படும் மெய்ப்பகுதி என்றும், $b$ என்பது சிக்கலெண் $z$ இன் கற்பனைப் பகுதி என்றும் $Im z$ எனக் குறிக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, $z=2+i 5$ எனில், $Re z=2$ மற்றும் $Im z=5$.

இரண்டு சிக்கலெண்கள் $z_1=a+i b$ மற்றும் $z_2=c+i d$ சமம் எனில், $a=c$ மற்றும் $b=d$.

எடுத்துக்காட்டு 1 $4 x+i(3 x-y)=3+i(-6)$ எனில், இங்கு $x$ மற்றும் $y$ மெய்யெண்கள், எனில் $x$ மற்றும் $y$ இன் மதிப்புகளைக் காண்க.

தீர்வு நமக்கு உள்ளது

$$ 4 x+i(3 x-y)=3+i(-6) \tag{i} $$

(1) இன் மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகளை சமப்படுத்த, நாம் பெறுவது

$$ 4 x=3,3 x-y=-6, $$

இதை ஒரே சமயத்தில் தீர்த்தால், $x=\frac{3}{4}$ மற்றும் $y=\frac{33}{4}$ கிடைக்கும்.

4.3 சிக்கலெண்களின் இயற்கணிதம்

இந்தப் பிரிவில், நாம் சிக்கலெண்களின் இயற்கணிதத்தை வளர்ப்போம்.

4.3.1 இரண்டு சிக்கலெண்களின் கூட்டல்

$z_1=a+i b$ மற்றும் $z_2=c+i d$ ஏதேனும் இரண்டு சிக்கலெண்களாக இருக்கட்டும். எனில், கூட்டுத்தொகை $z_1+z_2$ பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

$z_1+z_2=(a+c)+i(b+d)$, இதுவும் ஒரு சிக்கலெண் ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டாக, $(2+i 3)+(-6+i 5)=(2-6)+i(3+5)=-4+i 8$

சிக்கலெண்களின் கூட்டல் பின்வரும் பண்புகளை நிறைவு செய்கிறது:

(i) அடைப்பு விதி இரண்டு சிக்கலெண்களின் கூட்டுத்தொகை ஒரு சிக்கலெண் ஆகும், அதாவது, அனைத்து சிக்கலெண்கள் $z_1$ மற்றும் $z_2$ க்கும் $z_1+z_2$ ஒரு சிக்கலெண் ஆகும்.

(ii) பரிமாற்று விதி ஏதேனும் இரண்டு சிக்கலெண்கள் $z_1$ மற்றும் $z_2$ க்கு, $z_1+z_2=z_2+z_1$

(iii) சேர்ப்பு விதி ஏதேனும் மூன்று சிக்கலெண்கள் $z_1, z_2, z_3$, $(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$.

(iv) கூட்டல் சமனி இருப்பு $0+i 0$ என்ற சிக்கலெண் உள்ளது (0 எனக் குறிக்கப்படுகிறது), இது கூட்டல் சமனி அல்லது பூச்சிய சிக்கலெண் எனப்படுகிறது, இது ஒவ்வொரு சிக்கலெண் $z, z+0=z$ க்கும் உள்ளது.

(v) கூட்டல் நேர்மாறு இருப்பு ஒவ்வொரு சிக்கலெண் $z=a+i b$ க்கும், நமக்கு $-a+i(-b)$ என்ற சிக்கலெண் உள்ளது ($-z$ எனக் குறிக்கப்படுகிறது), இது $z$ இன் கூட்டல் நேர்மாறு அல்லது எதிர்மம் எனப்படுகிறது. நாம் காண்பது $z+(-z)=0$ (கூட்டல் சமனி).

4.3.2 இரண்டு சிக்கலெண்களின் வித்தியாசம்

ஏதேனும் இரண்டு சிக்கலெண்கள் $z_1$ மற்றும் $z_2$ கொடுக்கப்பட்டால், வித்தியாசம் $z_1-z_2$ பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

எடுத்துக்காட்டாக,

$ z_1-z_2=z_1+(-z_2) . $

மற்றும்

$ \begin{aligned} & (6+3 i)-(2-i)=(6+3 i)+(-2+i)=4+4 i \\ & \quad(2-i)-(6+3 i)=(2-i)+(-6-3 i)=-4-4 i \end{aligned} $

4.3.3 இரண்டு சிக்கலெண்களின் பெருக்கல்

$z_1=a+i b$ மற்றும் $z_2=c+i d$ ஏதேனும் இரண்டு சிக்கலெண்களாக இருக்கட்டும். எனில், பெருக்கல் $z_1 z_2$ பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

$$ z_1 z_2=(a c-b d)+i(a d+b c) $$

எடுத்துக்காட்டாக, $(3+i 5)(2+i 6)=(3 \times 2-5 \times 6)+i(3 \times 6+5 \times 2)=-24+i 28$

சிக்கலெண்களின் பெருக்கல் பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது, இவற்றை நாம் நிறுவல் இல்லாமல் கூறுகிறோம்.

(i) அடைப்பு விதி இரண்டு சிக்கலெண்களின் பெருக்கல் ஒரு சிக்கலெண் ஆகும், அனைத்து சிக்கலெண்கள் $z_1$ மற்றும் $z_2$ க்கும் பெருக்கல் $z_1 z_2$ ஒரு சிக்கலெண் ஆகும்.

(ii) பரிமாற்று விதி ஏதேனும் இரண்டு சிக்கலெண்கள் $z_1$ மற்றும் $z_2$ க்கு,

$$ z_1 z_2=z_2 z_1 $$

(iii) சேர்ப்பு விதி ஏதேனும் மூன்று சிக்கலெண்கள் $z_1, z_2, z_3$ க்கு,

$$ (z_1 z_2) z_3=z_1(z_2 z_3) \text{. } $$

(iv) பெருக்கல் சமனி இருப்பு $1+i 0$ என்ற சிக்கலெண் உள்ளது (1 எனக் குறிக்கப்படுகிறது), இது பெருக்கல் சமனி எனப்படுகிறது, இது ஒவ்வொரு சிக்கலெண் $z$ க்கும் $z .1=z$ ஆகும்.

(v) பெருக்கல் நேர்மாறு இருப்பு ஒவ்வொரு பூச்சியமற்ற சிக்கலெண் $z=a+i b$ அல்லது $a+b i(a \neq 0, b \neq 0)$ க்கும், நமக்கு $\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}(.$ என்ற சிக்கலெண் உள்ளது, இது $\frac{1}{z}$ அல்லது $.z^{-1})$ எனக் குறிக்கப்படுகிறது, இது $z$ இன் பெருக்கல் நேர்மாறு எனப்படுகிறது, இது

$z \cdot \frac{1}{z}=1$ (பெருக்கல் சமனி) ஆகும்.

(vi) பங்கீட்டு விதி ஏதேனும் மூன்று சிக்கலெண்கள் $z_1, z_2, z_3$ க்கு,

(a) $z_1(z_2+z_3)=z_1 z_2+z_1 z_3$

(b) $(z_1+z_2) z_3=z_1 z_3+z_2 z_3$

4.3.4 இரண்டு சிக்கலெண்களின் வகுத்தல்

ஏதேனும் இரண்டு சிக்கலெண்கள் $z_1$ மற்றும் $z_2$ கொடுக்கப்பட்டால், இங்கு $z_2 \neq 0$, ஈவு $\frac{z_1}{z_2}$ என வரையறுக்கப்படுகிறது

$ \frac{z_1}{z_2}=z_1 \frac{1}{z_2} $

எடுத்துக்காட்டாக, $\quad z_1=6+3 i$ மற்றும் $z_2=2-i$ என்க

பிறகு

$ \frac{z_1}{z_2}=((6+3 i) \times \frac{1}{2-i})=(6+3 i)(\frac{2}{2^{2}+(-1)^{2}}+i \frac{-(-1)}{2^{2}+(-1)^{2}}) $

$ =(6+3 i)(\frac{2+i}{5})=\frac{1}{5}[12-3+i(6+6)]=\frac{1}{5}(9+12 i) $

4.3.5 $i$ இன் அடுக்கு

நமக்குத் தெரியும்

$ \begin{bmatrix} i^{3}=i^{2} i=(-1) i=-i, & i^{4}=(i^{2})^{2}=(-1)^{2}=1 \\ i^{5}=(i^{2})^{2} i=(-1)^{2} i=i, & i^{6}=(i^{2})^{3}=(-1)^{3}=-1, \text{ etc. } \end{bmatrix} $

மேலும், நமக்கு $\quad i^{-1}=\frac{1}{i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{-1}=-i, \quad i^{-2}=\frac{1}{i^{2}}=\frac{1}{-1}=-1$ உள்ளது,

$$ i^{-3}=\frac{1}{i^{3}}=\frac{1}{-i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{1}=i, \quad i^{-4}=\frac{1}{i^{4}}=\frac{1}{1}=1 $$

பொதுவாக, ஏதேனும் முழு எண் $k, i^{4 k}=1, i^{4 k+1}=i, i^{4 k+2}=-1, i^{4 k+3}=-i$ க்கு

4.3.6 ஒரு எதிர்ம மெய்யெண்ணின் வர்க்கமூலங்கள்

கவனிக்க $i^{2}=-1$ மற்றும் $(-i)^{2}=i^{2}=-1$

எனவே, -1 இன் வர்க்கமூலங்கள் $i,-i$ ஆகும். எனினும், $\sqrt{-1}$ என்ற குறியீட்டால், நாம் $i$ மட்டுமே குறிக்கிறோம்.

இப்போது, நாம் பார்க்கலாம் $i$ மற்றும் $-i$ இரண்டும் $x^{2}+1=0$ அல்லது $x^{2}=-1$ என்ற சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் ஆகும்.

அதேபோல் $\quad(\sqrt{3} i)^{2}=(\sqrt{3})^{2} i^{2}=3(-1)=-3$

$$ (-\sqrt{3} i)^{2}=(-\sqrt{3})^{2} i^{2}=-3 $$

எனவே, -3 இன் வர்க்கமூலங்கள் $\sqrt{3} i$ மற்றும் $-\sqrt{3} i$ ஆகும்.

மீண்டும், $\sqrt{-3}$ என்ற குறியீடு $\sqrt{3} i$ மட்டுமே குறிக்கிறது, அதாவது $\sqrt{-3}=\sqrt{3} i$.

பொதுவாக, $a$ ஒரு நேர்ம மெய்யெண் எனில், $\sqrt{-a}=\sqrt{a} \sqrt{-1}=\sqrt{a} i$,

நமக்கு ஏற்கனவே தெரியும், அனைத்து நேர்ம மெய்யெண்கள் $a$ மற்றும் $b$ க்கும் $\sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b}$. இந்த முடிவு $a>0, b<0$ அல்லது $a<0, b>0$ ஆக இருக்கும் போதும் பொருந்தும். $a<0, b<0$ எனில் என்ன? பார்ப்போம்.

கவனிக்க

$ \begin{aligned} i^{2} & =\sqrt{-1} \sqrt{-1}=\sqrt{(-1)(-1)} \text{ (அனைத்து மெய்யெண்களுக்கும் } \sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b} \text{ எனக் கொண்டு) } \\ & =\sqrt{1}=1 \text{, இது } i^{2}=-1 \text{ என்பதற்கு முரணானது } \end{aligned} $

எனவே, $\sqrt{a} \times \sqrt{b} \neq \sqrt{a b}$, $a$ மற்றும் $b$ இரண்டும் எதிர்ம மெய்யெண்களாக இருந்தால்.

மேலும், $a$ மற்றும் $b$ இல் ஏதேனும் ஒன்று பூச்சியம் எனில், தெளிவாக, $\sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b}=0$.

4.3.7 முற்றொருமைகள்

பின்வரும் முற்றொருமையை நிறுவுகிறோம்

$ (z_1+z_2)^{2}=z_1^{2}+z_2^{2}+2 z_1 z_2 \text{, அனைத்து சிக்கலெண்கள் } z_1 \text{ மற்றும் } z_2 \text{ க்கும். } $

நிறுவல் நமக்கு உள்ளது, $(z_1+z_2)^{2}=(z_1+z_2)(z_1+z_2)$,

$$ \begin{aligned} =(z_1+z_2) z_1+(z_1+z_2) z_2 & \text{ (Distributive law) } \\ =z_1^{2}+z_2 z_1+z_1 z_2+z_2^{2} & \text{ (Distributive law) } \\ =z_1^{2}+z_1 z_2+z_1 z_2+z_2^{2} & \text{ (Commutative law of multiplication) } \\ =z_1^{2}+2 z_1 z_2+z_2^{2} & \end{aligned} $$

இதேபோல், பின்வரும் முற்றொருமைகளை நிறுவலாம்:

(i) $(z_1-z_2)^{2}=z_1^{2}-2 z_1 z_2+z_2^{2}$

(ii) $(z_1+z_2)^{3}=z_1^{3}+3 z_1^{2} z_2+3 z_1 z_2^{2}+z_2^{3}$

(iii) $(z_1-z_2)^{3}=z_1^{3}-3 z_1^{2} z_2+3 z_1 z_2^{2}-z_2^{3}$

(iv) $z_1^{2}-z_2^{2}=(z_1+z_2)(z_1-z_2)$

உண்மையில், அனைத்து மெய்யெண்களுக்கும் உண்மையாக இருக்கும் பல மற்ற முற்றொருமைகள், அனைத்து சிக்கலெண்களுக்கும் உண்மை என நிறுவப்படலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 2 பின்வருவனவற்றை $a+b i$ வடிவில் காண்க:

(i) $(-5 i)(\frac{1}{8} i)$

(ii) $(-i)(2 i)(-\frac{1}{8} i)^{3}$

தீர்வு (i) $(-5 i)(\frac{1}{8} i)=\frac{-5}{8} i^{2}=\frac{-5}{8}(-1)=\frac{5}{8}=\frac{5}{8}+i 0$

(ii) $(-i)(2 i)(-\frac{1}{8} i)^{3}=2 \times \frac{1}{8 \times 8 \times 8} \times i^{5}=\frac{1}{256}(i^{2})^{2} i=\frac{1}{256} i$.

எடுத்துக்காட்டு 3 $(5-3 i)^{3}$ ஐ $a+i b$ வடிவில் காண்க.

தீர்வு நமக்கு உள்ளது, $(5-3 i)^{3}=5^{3}-3 \times 5^{2} \times(3 i)+3 \times 5(3 i)^{2}-(3 i)^{3}$

$$ =125-225 i-135+27 i=-10-198 i . $$

எடுத்துக்காட்டு 4 $(-\sqrt{3}+\sqrt{-2})(2 \sqrt{3}-i)$ ஐ $a+i b$ வடிவில் காண்க

தீர்வு நமக்கு உள்ளது, $(-\sqrt{3}+\sqrt{-2})(2 \sqrt{3}-i)=(-\sqrt{3}+\sqrt{2} i)(2 \sqrt{3}-i)$

$ =-6+\sqrt{3} i+2 \sqrt{6} i-\sqrt{2} i^{2}=(-6+\sqrt{2})+\sqrt{3}(1+2 \sqrt{2}) i $

4.4 ஒரு சிக்கலெண்ணின் தன்மைய மதிப்பு மற்றும் இணைந்த எண்

$z=a+i b$ ஒரு சிக்கலெண்ணாக இருக்கட்டும். எனில், $z$ இன் தன்மைய மதிப்பு, $|z|$ எனக் குறிக்கப்படுகிறது, என்பது எதிர்மமற்ற மெய்யெண் $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ என வரையறுக்கப்படுகிறது, அதாவது $|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ மற்றும் $z$ இன் இணைந்த எண், $\bar{z}$ எனக் குறிக்கப்படுகிறது, என்பது சிக்கலெண் $a-i b$ ஆகும், அதாவது $\bar{z}=a-i b$.

எடுத்துக்காட்டாக, $\quad|3+i|=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10},|2-5 i|=\sqrt{2^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{29}$,

மற்றும்

$ \overline{3+i}=3-i, \overline{2-5 i}=2+5 i, \overline{-3 i-5}=3 i-5 $

கவனிக்க, பூச்சியமற்ற சிக்கலெண் $z$ இன் பெருக்கல் நேர்மாறு பின்வருமாறு தரப்படுகிறது

$ \begin{aligned} & \quad z^{-1}=\frac{1}{a+i b}=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a-i b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{\bar{z}}{|z|^{2}} \\ & \text{ அல்லது } z \bar{z}=|z|^{2} \end{aligned} $

மேலும், பின்வரும் முடிவுகளை எளிதாகப் பெறலாம்.

ஏதேனும் இரண்டு சிக்கலெண்கள் $z_1$ மற்றும் $z_2$ க்கு, நமக்கு உள்ளது

(i) $|z_1 z_2|=|z_1||z_2|$

(ii) $|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$, $|z_2| \neq 0$ எனில்

(iii) $\overline{z_1 z_2}=\overline{z_1} \overline{z_2}$

(iv) $\overline{z_1 \pm z_2}=\overline{z_1} \pm \overline{z_2} $

(v) $\overline{(\frac{z_1}{z_2})} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}provied z_2\neq0 $.

எடுத்துக்காட்டு 5 $2-3 i$ இன் பெருக்கல் நேர்மாறைக் காண்க.

தீர்வு $z=2-3 i$ என்க

பிறகு $\quad \bar{z}=2+3 i$ மற்றும் $\quad|z|^{2}=2^{2}+(-3)^{2}=13$

எனவே, $2-3 i$ இன் பெருக்கல் நேர்மாறு பின்வருமாறு தரப்படுகிறது

$ z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z|^{2}}=\frac{2+3 i}{13}=\frac{2}{13}+\frac{3}{13} i $

மேலே உள்ள செயல்பாடு பின்வருமாறும் மீண்டும் செய்யப்படலாம்,

$ \begin{aligned} z^{-1} & =\frac{1}{2-3 i}=\frac{2+3 i}{(2-3 i)(2+3 i)} \\ & =\frac{2+3 i}{2^{2}-(3 i)^{2}}=\frac{2+3 i}{13}=\frac{2}{13}+\frac{3}{13} i \end{aligned} $

எடுத்துக்காட்டு 6 பின்வருவனவற்றை $a+i b$ வடிவில் காண்க

(i) $\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i}$

(ii) $i^{-35}$

தீர்வு (i) நமக்கு உள்ளது, $\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i}=\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i} \times \frac{1+\sqrt{2} i}{1+\sqrt{2} i}=\frac{5+5 \sqrt{2} i+\sqrt{2} i-2}{1-(\sqrt{2} i)^{2}}$

$$ =\frac{3+6 \sqrt{2} i}{1+2}=\frac{3(1+2 \sqrt{2} i)}{3}=1+2 \sqrt{2} i $$

(ii) $i^{-35}=\frac{1}{i^{35}}=\frac{1}{(i^{2})^{17} i}=\frac{1}{-i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{-i^{2}}=i$

4.5 ஆர்கண்ட் தளம் மற்றும் துருவ வடிவம்

ஏற்கனவே நமக்குத் தெரியும், ஒவ்வொரு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட மெய்யெண் இணை $(x, y)$ க்கும், நாம் XY தளத்தில் ஒரு தனிப்புள்ளியைப் பெறுகிறோம் மற்றும் நேர்மாறாகவும், இது பரஸ்பர செங்குத்தான கோடுகளின் தொகுப்புடன் தொடர்புடையது, இவை $x$-அச்சு மற்றும் $y$-அச்சு என அறியப்படுகின்றன. வரிசைப்படுத்தப்பட்ட இணை $(x, y)$ க்கு ஒத்திருக்கும் சிக்கலெண் $x+i y$, XY தளத்தில் தனிப்புள்ளி $P(x, y)$ ஆக வடிவியல் ரீதியாக குறிப்பிடப்படலாம் மற்றும் நேர்மாறாகவும்.

சில சிக்கலெண்கள், எடுத்துக்காட்டாக $2+4 i,-2+3 i, 0+1 i, 2+0 i,-5-2 i$ மற்றும் $1-2 i$, இவை முறையே வரிசைப்படுத்தப்பட்ட இணைகள் $(2,4),(-2,3),(0,1),(2,0),(-5,-2)$, மற்றும் $(1,-2)$ க்கு ஒத்திருக்கின்றன, இவை படம் 4.1 இல் முறையே புள்ளிகள் $A, B, C, D, E$, மற்றும் $F$ ஆக வடிவியல் ரீதியாக குறிப்பிடப்பட்டுள்ளன.

படம் 4.1

ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் ஒரு சிக்கலெண் ஒதுக்கப்பட்ட தளம், சிக்கலெண் தளம் அல்லது ஆர்கண்ட் தளம் எனப்படும்.

தெளிவாக, ஆர்கண்ட் தளத்தில், சிக்கலெண் $x+i y=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ இன் தன்மைய மதிப்பு என்பது புள்ளி $P(x, y)$ மற்றும் தோற்றம் $O(0,0)$ இடையே உள்ள தூரம் ஆகும் (படம் 4.2). $x$-அச்சின் மீதுள்ள புள்ளிகள் $a+i 0$ வடிவிலான சிக்கலெண்களுக்கு ஒத்திருக்கும் மற்றும் $y$-அச்சின் மீதுள்ள புள்ளிகள் $0+i b$ வடிவிலான சிக்கலெண்களுக்கு ஒத்திருக்கும். ஆர்கண்ட் தளத்தில் உள்ள $x$-அச்சு மற்றும் $y$-அச்சு முறையே மெய் அச்சு மற்றும் கற்பனை அச்சு என அழைக்கப்படுகின்றன.

படம் 4.2

ஒரு சிக்கலெண் $z=x+i y$ மற்றும் அதன் இணைந்த எண் $z=x-i y$ ஆகியவற்றின் பிரதிநிதித்துவம் ஆர்கண்ட் தளத்தில் முறையே புள்ளிகள் $P(x, y)$ மற்றும் $Q(x,-y)$ ஆகும். வடிவியல் ரீதியாக, புள்ளி $(x,-y)$ என்பது மெய் அச்சின் மீதுள்ள புள்ளி $(x, y)$ இன் கண்ணாடிப் பிம்பம் ஆகும் (படம் 4.3).

படம் 4.2

பல்வேறு எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 7 $\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$ இன் இணைந்த எண்ணைக் காண்க.

தீர்வு நமக்கு உள்ளது, $\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$

$ \begin{aligned} & =\frac{6+9 i-4 i+6}{2-i+4 i+2}=\frac{12+5 i}{4+3 i} \times \frac{4-3 i}{4-3 i} \\ & =\frac{48-36 i+20 i+15}{16+9}=\frac{63-16 i}{25}=\frac{63}{25}-\frac{16}{25} i \end{aligned} $

எனவே, $\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$ இன் இணைந்த எண் $\frac{63}{25}+\frac{16}{25} i$ ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 8 $x+i y=\frac{a+i b}{a-i b}$ எனில், $x^{2}+y^{2}=1$ என நிறுவுக.

தீர்வு நமக்கு உள்ளது,

$ x+i y=\frac{(a+i b)(a+i b)}{(a-i b)(a+i b)}=\frac{a^{2}-b^{2}+2 a b i}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{2 a b}{a^{2}+b^{2}} i $

எனவே, $x-i y=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}-\frac{2 a b}{a^{2}+b^{2}} i$

எனவே,

$ \begin{aligned} x^{2}+y^{2}=(x+i y)(x-i y) & =\frac{\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}+\frac{4 a^{2} b^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}\\ & =\frac{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}=1 \end{aligned} $

சுருக்கம்

$a+i b$ என்ற வடிவில் உள்ள ஒரு எண், இங்கு $a$ மற்றும் $b$ மெய்யெண்கள், ஒரு சிக்கலெண் எனப்படுகிறது, $a$ மெய்ப்பகுதி என்றும் $b$ கற்பனைப் பகுதி என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

$z_1=a+i b$ மற்றும் $z_2=c+i d$ என்க. பிறகு

(i) $z_1+z_2=(a+c)+i(b+d)$

(ii) $z_1 z_2=(a c-b d)+i(a d+b c)$

ஏதேனும் பூச்சியமற்ற சிக்கலெண் $z=a+i b(a \neq 0, b \neq 0)$ க்கு, $\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}$ என்ற சிக்கலெண் உள்ளது, இது $\frac{1}{z}$ அல்லது $z^{-1}$ எனக் குறிக்கப்படுகிறது, இது $z$ இன் பெருக்கல் நேர்மாறு எனப்படுகிறது, இது $(a+i b) \frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}=1+i 0$ $=1$ ஆகும்.

ஏதேனும் முழு எண் $k, i^{4 k}=1, i^{4 k+1}=i, i^{4 k+2}=-1, i^{4 k+3}=-i$ க்கு

சிக்கலெண் $z=a+i b$ இன் இணைந்த எண், $\bar{z}$ எனக் குறிக்கப்படுகிறது, இது $\bar{z}=a-i b$ ஆல் தரப்படுகிறது.

வரலாற்றுக் குறிப்பு

ஒரு எதிர்ம எண்ணின் வர்க்கமூலம் மெய்யெண் அமைப்பில் இல்லை என்பது கிரேக்கர்களால் அங்கீகரிக்கப்பட்டது. ஆனால் இந்த சிரமத்தை முதலில் தெளிவாகக் கூறிய இந்திய கணிதவியலாளர் மகாவீரர் (850) க்கு இதற்கு முதன்மை உண்டு. “அவர் தனது ‘கணிதசார சங்கிரகம்’ என்ற நூலில் குறிப்பிடுவது போல், ‘இயற்கையில் ஒரு எதிர்ம (அளவு) ஒரு வர்க்க (அளவு) அல்ல’, எனவே அதற்கு வர்க்கமூலம் இல்லை.” மற்றொரு இந்திய கணிதவியலாளர் பாஸ்கரர், 1150 இல் எழுதப்பட்ட தனது பீஜகணிதம் நூலில் எழுதுகிறார், “ஒரு எதிர்ம அளவுக்கு வர்க்கமூலம் இல்லை, ஏனெனில் அது ஒரு வர்க்கம் அல்ல.” கார்டன் (1545) பின்வரும் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதைக் கருத்தில் கொண்டார்

$ x+y=10, x y=40 . $

அவர் $x=5+\sqrt{-15}$ மற்றும் $y=5-\sqrt{-15}$ ஐ அதன் தீர்வாகப் பெற்றார், இதை ‘பயனற்ற’ எண்கள் என்று கூறி அவர் நிராகரித்தார். ஆல்பர்ட் கிரார்ட் (சுமார் 1625) எதிர்ம எண்களின் வர்க்கமூலத்தை ஏற்றுக்கொண்டு, இது பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டின் படிக்கு சமமான பல மூலங்களைப் பெற உதவும் என்றார். யூலர் முதலில் $i$ என்ற குறியீட்டை $\sqrt{-1}$ க்கு அறிமுகப்படுத்தினார் மற்றும் டபிள்யூ.ஆர். ஹாமில்டன் (சுமார் 1830) சிக்கலெண் $a+i b$ ஐ மெய்யெண்களின் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட இணை $(a, b)$ எனக் கருதினார், இதன் மூலம் அதற்கு முற்றிலும் கணித வரையறையைத் தந்து, ‘கற்பனை எண்கள்’ என்று அழைக்கப்படுவதைப் பயன்படுத்தாமல் தவிர்த்தார்.