கணிதம் என்பது பல விஷயங்களை பல விதமாகச் சொல்லும் கலை. - மேக்ஸ்வெல்

5.1 அறிமுகம்

முந்தைய வகுப்புகளில், நாம் ஒரு மாறியிலும், இரண்டு மாறிகளிலும் உள்ள சமன்பாடுகளைப் படித்தோம் மற்றும் சில கூற்றுச் சிக்கல்களை சமன்பாடுகளின் வடிவில் மொழிபெயர்ப்பதன் மூலம் தீர்த்தோம். இப்போது ஒரு இயற்கையான கேள்வி எழுகிறது: ‘ஒரு கூற்றுச் சிக்கலை எப்போதும் ஒரு சமன்பாட்டின் வடிவில் மொழிபெயர்க்க முடியுமா? உதாரணமாக, உங்கள் வகுப்பில் உள்ள அனைத்து மாணவர்களின் உயரமும் $160 cm$ க்கும் குறைவாக உள்ளது. உங்கள் வகுப்பறையில் அதிகபட்சம் 60 மேசைகள் அல்லது நாற்காலிகள் அல்லது இரண்டும் பொருந்தும். இங்கே நாம் ’ $<$ ’ (குறைவானது), ‘>’ (அதிகமானது), ’ $\leq$ ’ (குறைவானது அல்லது சமம்) மற்றும் $\geq$ (அதிகமானது அல்லது சமம்) போன்ற குறிகளைக் கொண்ட சில கூற்றுகளைப் பெறுகிறோம், அவை சமனிலிகள் என அழைக்கப்படுகின்றன.

இந்த அத்தியாயத்தில், நாம் ஒரு மற்றும் இரண்டு மாறிகளில் உள்ள நேரியல் சமனிலிகளைப் படிப்போம். சமனிலிகளின் ஆய்வு அறிவியல், கணிதம், புள்ளியியல், பொருளாதாரம், உளவியல் போன்ற துறைகளில் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

5.2 சமனிலிகள்

பின்வரும் சூழ்நிலைகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

(i) ரவி அரிசி வாங்க ₹ 200 உடன் சந்தைக்குச் செல்கிறார், அது $1 kg$ பாக்கெட்டுகளில் கிடைக்கிறது. ஒரு பாக்கெட் அரிசியின் விலை ₹ 30. $x$ அவர் வாங்கும் அரிசிப் பாக்கெட்டுகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது என்றால், அவர் செலவழித்த மொத்த தொகை ₹ $30 x$ ஆகும். அவர் அரிசியை பாக்கெட்டுகளில் மட்டுமே வாங்க வேண்டியிருப்பதால், ₹ 200 முழுத் தொகையையும் செலவழிக்க முடியாமல் போகலாம். (ஏன்?) எனவே

$$ 30 x<200 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $$

வெளிப்படையாக, கூற்று (i) சமத்துவக் குறியை உள்ளடக்காததால் அது ஒரு சமன்பாடு அல்ல. (ii) ரேஷ்மாவிடம் ₹ 120 உள்ளது மற்றும் சில பதிவேடுகள் மற்றும் பேனாக்களை வாங்க விரும்புகிறார். ஒரு பதிவேட்டின் விலை ₹ 40 மற்றும் ஒரு பேனாவின் விலை ₹ 20. இந்த வழக்கில், ⟦22⟟ ரேஷ்மா வாங்கும் பதிவேடுகளின் எண்ணிக்கையையும் ⟦23⟟, அவர் வாங்கும் பேனாக்களின் எண்ணிக்கையையும் குறிக்கிறது என்றால், அவர் செலவழித்த மொத்த தொகை ₹ $(40 x+20 y)$ மற்றும் நம்மிடம் உள்ளது

$$ 40 x+20 y \leq 120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $$

இந்த வழக்கில் மொத்த தொகை ₹ 120 வரை செலவழிக்கப்படலாம் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். கூற்று (2) இரண்டு கூற்றுகளைக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் கவனியுங்கள்

$ \text{ மற்றும் } \quad \begin{aligned} & 40 x+20 y<120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (3) \\ & 40 x+20 y=120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (4) \end{aligned} $

கூற்று (3) ஒரு சமன்பாடு அல்ல, அதாவது, அது ஒரு சமனிலி ஆகும், அதே சமயம் கூற்று (4) ஒரு சமன்பாடு ஆகும்.

வரையறை 1 ’ $<$,’, ‘>’, ’ $\leq$ ’ அல்லது ’ $\geq$ ’ என்ற குறியீட்டால் தொடர்புபடுத்தப்பட்ட இரண்டு மெய்யெண்கள் அல்லது இயற்கணிதக் கோவைகள் ஒரு சமனிலியை உருவாக்குகின்றன.

மேலே உள்ள (1), (2) மற்றும் (3) போன்ற கூற்றுகள் சமனிலிகள் ஆகும்.

$3<5 ; 7>5$ எண்சார் சமனிலிகளுக்கு எடுத்துக்காட்டுகள், அதே சமயம்

$x<5 ; y>2 ; x \geq 3, y \leq 4$ சில எழுத்துச் சமனிலிகளுக்கு எடுத்துக்காட்டுகள். ⟦30⟟ (5 என்பது 3 ஐ விடப் பெரியது மற்றும் 7 ஐ விடச் சிறியது எனப் படிக்கப்படுகிறது), ⟦31⟟ (⟦32⟟ என்பது 3 ஐ விடப் பெரியது அல்லது சமம் மற்றும் 5 ஐ விடச் சிறியது எனப் படிக்கப்படுகிறது) மற்றும் ⟦33⟟ இரட்டைச் சமனிலிகளுக்கு எடுத்துக்காட்டுகள். சமனிலிகளின் இன்னும் சில எடுத்துக்காட்டுகள்:

$$ \begin{align*} & a x+b<0 \tag{5}\\ & a x+b>0 \tag{6}\\ & a x+b \leq 0 \tag{7}\\ & a x+b \geq 0 \tag{8}\\ & a x+b y<c \tag{9}\\ & a x+b y>c \tag{10}\\ & a x+b y \leq c \tag{11}\\ & a x+b y \geq c \tag{12}\\ & a x^{2}+b x+c \leq 0 \tag{13}\\ & a x^{2}+b x+c>0 \tag{14} \end{align*} $$

சமனிலிகள் (5), (6), (9), (10) மற்றும் (14) கடுமையான சமனிலிகள், அதே சமயம் சமனிலிகள் (7), (8), (11), (12), மற்றும் (13) தளர்வான சமனிலிகள். (5) முதல் (8) வரையிலான சமனிலிகள் ஒரு மாறி $x$ இல் உள்ள நேரியல் சமனிலிகள் ஆகும், அதே சமயம் $a \neq 0$, (9) முதல் (12) வரையிலான சமனிலிகள் இரண்டு மாறிகள் $x$ மற்றும் $y$ இல் உள்ள நேரியல் சமனிலிகள் ஆகும், அதே சமயம் $a \neq 0, b \neq 0$. சமனிலிகள் (13) மற்றும் (14) நேரியல் அல்ல (உண்மையில், இவை ஒரு மாறி $x$ இல் உள்ள இருபடிச் சமனிலிகள், அதே சமயம் $a \neq 0)$.

இந்த அத்தியாயத்தில், நாம் ஒரு மற்றும் இரண்டு மாறிகளில் உள்ள நேரியல் சமனிலிகளின் ஆய்வுக்கு மட்டுமே நம்மைக் கட்டுப்படுத்திக் கொள்வோம்.

5.3 ஒரு மாறியில் உள்ள நேரியல் சமனிலிகளின் இயற்கணிதத் தீர்வுகள் மற்றும் அவற்றின் வரைகலைப் பிரதிநிதித்துவம்

பிரிவு 6.2 இன் சமனிலி (1) ஐக் கருத்தில் கொள்வோம், அதாவது, $30 x<200$ இங்கே $x$ அரிசிப் பாக்கெட்டுகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது என்பதைக் கவனியுங்கள். வெளிப்படையாக, $x$ ஒரு எதிர்மறை முழு எண் அல்லது பின்னமாக இருக்க முடியாது. இந்த சமனிலியின் இடது பக்கம் (L.H.S.) $30 x$ மற்றும் வலது பக்கம் (RHS) 200 ஆகும். எனவே, நம்மிடம் உள்ளது

$ \begin{aligned} & \text{ For } x=0 \text{, L.H.S. }=30(0)=0<200(\text{ R.H.S. }) \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=1 \text{, L.H.S. }=30(1)=30<200 \text{ (R.H.S.), which is true. } \\ & \text{ For } x=2 \text{, L.H.S. }=30(2)=60<200 \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=3 \text{, L.H.S. }=30(3)=90<200 \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=4 \text{, L.H.S. }=30(4)=120<200 \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=5 \text{, L.H.S. }=30(5)=150<200 \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=6 \text{, L.H.S. }=30(6)=180<200 \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=7 \text{, L.H.S. }=30(7)=210<200 \text{, which is false. } \end{aligned} $

மேலே உள்ள சூழ்நிலையில், மேலே உள்ள சமனிலியை உண்மையான கூற்றாக மாற்றும் $x$ இன் மதிப்புகள் $0,1,2,3,4,5,6$ என்பதைக் காண்கிறோம். மேலே உள்ள சமனிலியை உண்மையான கூற்றாக மாற்றும் $x$ இன் இந்த மதிப்புகள், சமனிலியின் தீர்வுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன மற்றும் தொகுப்பு ${0,1,2,3,4,5,6}$ அதன் தீர்வுத் தொகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

எனவே, ஒரு மாறியில் உள்ள எந்தவொரு சமனிலியின் தீர்வும், அதை உண்மையான கூற்றாக மாற்றும் மாறியின் ஒரு மதிப்பாகும்.

மேலே உள்ள சமனிலியின் தீர்வுகளை நாம் சோதனை மற்றும் பிழை முறையால் கண்டறிந்தோம், இது மிகவும் திறமையானது அல்ல. வெளிப்படையாக, இந்த முறை நேரத்தை எடுத்துக்கொள்ளும் மற்றும் சில நேரங்களில் சாத்தியமற்றது. சமனிலிகளைத் தீர்ப்பதற்கு நம்மிடம் சில சிறந்த அல்லது முறையான நுட்பங்கள் இருக்க வேண்டும். அதற்கு முன், நாம் எண்சார் சமனிலிகளின் மேலும் சில பண்புகளைக் கடந்து செல்ல வேண்டும் மற்றும் சமனிலிகளைத் தீர்க்கும் போது அவற்றை விதிகளாகப் பின்பற்ற வேண்டும்.

நேரியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது, நாங்கள் பின்வரும் விதிகளைப் பின்பற்றினோம் என்பதை நீங்கள் நினைவுகூர்வீர்கள்:

விதி 1 சம எண்கள் ஒரு சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் சேர்க்கப்படலாம் (அல்லது கழிக்கப்படலாம்).

விதி 2 ஒரு சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களும் ஒரே பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணால் பெருக்கப்படலாம் (அல்லது வகுக்கப்படலாம்).

சமனிலிகளைத் தீர்க்கும் விஷயத்தில், விதி 2 இல், சமனிலியின் அடையாளம் தலைகீழாக மாறும் போது (அதாவது, ‘<’ ஆனது ‘>’ ஆக மாறும், $\leq$ ’ ஆனது ’ $\geq$ ’ ஆக மாறும் மற்றும் பல) நாம் ஒரு சமனிலியின் இரு பக்கங்களையும் எதிர்மறை எண்ணால் பெருக்கும் (அல்லது வகுக்கும்) போது மீண்டும் அதே விதிகளைப் பின்பற்றுகிறோம். இது பின்வரும் உண்மைகளிலிருந்து தெளிவாகிறது

$ \begin{aligned} & 3>2 \text{ while }-3<-2 \\ & -8<-7 \text{ while }(-8)(-2)>(-7)(-2), \text{ i.e., } 16>14 . \end{aligned} $

எனவே, ஒரு சமனிலியைத் தீர்ப்பதற்கான பின்வரும் விதிகளை நாங்கள் கூறுகிறோம்:

விதி 1 சம எண்கள் சமனிலியின் அடையாளத்தைப் பாதிக்காமல் ஒரு சமனிலியின் இரு பக்கங்களிலும் சேர்க்கப்படலாம் (அல்லது கழிக்கப்படலாம்).

விதி 2 ஒரு சமனிலியின் இரு பக்கங்களும் ஒரே நேர்மறை எண்ணால் பெருக்கப்படலாம் (அல்லது வகுக்கப்படலாம்). ஆனால் இரு பக்கங்களும் எதிர்மறை எண்ணால் பெருக்கப்படும் அல்லது வகுக்கப்படும் போது, சமனிலியின் அடையாளம் தலைகீழாக மாறும்.

இப்போது, சில எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1 $30 x<200$ ஐத் தீர்க்கவும், எப்போது (i) $x$ ஒரு இயற்கை எண், (ii) $x$ ஒரு முழு எண்.

தீர்வு நமக்கு $30 x<200$ கொடுக்கப்பட்டுள்ளது

அல்லது $\quad \frac{30 x}{30}<\frac{200}{30}$ (விதி 2), அதாவது, $x<20 / 3$.

(i) $x$ ஒரு இயற்கை எண்ணாக இருக்கும் போது, இந்த வழக்கில் $x$ இன் பின்வரும் மதிப்புகள் கூற்றை உண்மையாக்குகின்றன.

$$ x=1,2,3,4,5,6 $$

சமனிலியின் தீர்வுத் தொகுப்பு $\{1,2,3,4,5,6\}$ ஆகும்.

(ii) $x$ ஒரு முழு எண்ணாக இருக்கும் போது, கொடுக்கப்பட்ட சமனிலியின் தீர்வுகள்

$$ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6 $$

சமனிலியின் தீர்வுத் தொகுப்பு $ \{ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6 \} $ ஆகும்

எடுத்துக்காட்டு 2 $5 x-3<3 x+1$ ஐத் தீர்க்கவும், எப்போது (i) $x$ ஒரு முழு எண், (ii) $x$ ஒரு மெய்யெண்.

தீர்வு நம்மிடம் உள்ளது, $5 x-3<3 x+1$

அல்லது $\quad \quad$ $5 x-3+3<3 x+1+3$ $\quad \quad \quad$ (விதி 1)

அல்லது $\quad \quad$ $5 x<3 x+4$

அல்லது $\quad \quad$ $5 x-3 x<3 x+4-3 x$ $\quad \quad \quad \quad$ (விதி 2)

அல்லது $\quad \quad$ $2 x<4$

அல்லது $\quad \quad$ $x<2$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad$ (விதி 3)

(i) $x$ ஒரு முழு எண்ணாக இருக்கும் போது, கொடுக்கப்பட்ட சமனிலியின் தீர்வுகள்

$ \ldots,-4,-3,-2,-1,0,1 $

(ii) $x$ ஒரு மெய்யெண்ணாக இருக்கும் போது, சமனிலியின் தீர்வுகள் $x<2$ ஆல் கொடுக்கப்படுகின்றன, அதாவது, 2 ஐ விடக் குறைவான அனைத்து மெய்யெண்களும் $x$. எனவே, சமனிலியின் தீர்வுத் தொகுப்பு $x \in(-\infty, 2)$ ஆகும்.

இயற்கை எண்களின் தொகுப்பில், முழு எண்களின் தொகுப்பில் மற்றும் மெய்யெண்களின் தொகுப்பில் சமனிலிகளின் தீர்வுகளை நாங்கள் கருத்தில் கொண்டுள்ளோம். இனிமேல், வெளிப்படையாகக் கூறப்படாவிட்டால், இந்த அத்தியாயத்தில் உள்ள சமனிலிகளை மெய்யெண்களின் தொகுப்பில் தீர்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 3 $4 x+3<6 x+7$ ஐத் தீர்க்கவும்.

தீர்வு நம்மிடம் உள்ளது, $\quad 4 x+3<6 x+7$

அல்லது $\quad 4 x-6 x<6 x+4-6 x$

அல்லது $\quad-2 x<4 \quad$ அல்லது $x>-2$

அதாவது, -2 ஐ விட அதிகமான அனைத்து மெய்யெண்களும் கொடுக்கப்பட்ட சமனிலியின் தீர்வுகள் ஆகும். எனவே, தீர்வுத் தொகுப்பு $(-2, \infty)$ ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 4 $\frac{5-2 x}{3} \leq \frac{x}{6}-5$ ஐத் தீர்க்கவும்.

தீர்வு நம்மிடம் உள்ளது $\quad \quad \quad \quad$ $\frac{5-2 x}{3} \leq \frac{x}{6}-5$

அல்லது $\quad \quad \quad \quad$ $2(5-2 x) \leq x-30 \text {. }$

அல்லது $\quad \quad \quad \quad$ $10-4 x \leq x-30$

அல்லது $\quad \quad \quad \quad$ $-5 x \leq-40 \text {, i.e., } x \geq 8$

எனவே, 8 ஐ விட அதிகமான அல்லது சமமான அனைத்து மெய்யெண்களும் $x$ கொடுக்கப்பட்ட சமனிலியின் தீர்வுகள், அதாவது, $x \in[8, \infty)$.

எடுத்துக்காட்டு 5 $7 x+3<5 x+9$ ஐத் தீர்க்கவும். எண் வரிசையில் தீர்வுகளின் வரைபடத்தைக் காட்டவும்.

தீர்வு நம்மிடம் உள்ளது $7 x+3<5 x+9$ அல்லது $2 x<6$ அல்லது $x<3$

தீர்வுகளின் வரைகலைப் பிரதிநிதித்துவம் படம் 5.1 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

படம் 5.1

எடுத்துக்காட்டு 6 $\frac{3 x-4}{2} \geq \frac{x+1}{4}-1$ ஐத் தீர்க்கவும். எண் வரிசையில் தீர்வுகளின் வரைபடத்தைக் காட்டவும்.

தீர்வு நம்மிடம் உள்ளது $ \frac{3 x-4}{2}\geq\frac{x+1}{4}-1$

$ \text{or} \quad \frac{3 x-4}{2} \geq \frac{x-3}{4} $

$ \text{or} \quad 2(3 x-4) \geq(x-3) $

அல்லது $\quad \quad \quad \quad$ $6 x-8 \geq x-3$

அல்லது $\quad \quad \quad \quad$ $5 x \geq 5$

அல்லது $\quad \quad \quad \quad$ $x \geq 1$

தீர்வுகளின் வரைகலைப் பிரதிநிதித்துவம் படம் 5.2 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

படம் 5.2

எடுத்துக்காட்டு 7 XI வகுப்பு மாணவர் ஒருவர் முதல் மற்றும் இரண்டாம் முன்னணித் தேர்வுகளில் பெற்ற மதிப்பெண்கள் முறையே 62 மற்றும் 48 ஆகும். குறைந்தது 60 மதிப்பெண்கள் சராசரியைப் பெறுவதற்கு, வருடாந்திரத் தேர்வில் அவர் பெற வேண்டிய குறைந்தபட்ச மதிப்பெண்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு $x$ வருடாந்திரத் தேர்வில் மாணவர் பெற்ற மதிப்பெண்களாக இருக்கட்டும். பிறகு

$ \frac{62+48+x}{3} \geq 60 $

அல்லது $\quad \quad \quad \quad 110+x \geq 180$

அல்லது $\quad \quad \quad \quad$ $x \geq 70$

எனவே, மாணவர் குறைந்தது 60 மதிப்பெண்கள் சராசரியைப் பெற குறைந்தபட்சம் 70 மதிப்பெண்களைப் பெற வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 8 10 ஐ விடப் பெரியதாகவும், அவற்றின் கூட்டுத்தொகை 40 ஐ விடக் குறைவாகவும் இருக்கும், இரண்டும் தொடர்ச்சியான ஒற்றைப்படை இயற்கை எண்களாக இருக்கும் அனைத்து ஜோடிகளையும் கண்டறியவும்.

தீர்வு $x$ இரண்டு தொடர்ச்சியான ஒற்றைப்படை இயற்கை எண்களில் சிறியதாக இருக்கட்டும், எனவே மற்றொன்று $x+2$ ஆகும். பிறகு, நம்மிடம் இருக்க வேண்டும்

$$ \begin{equation*} x>10 \tag{1} \end{equation*} $$

$$ \begin{equation*} \text{ and } \quad \quad \quad x>10 \tag{2} \end{equation*} $$

(2) ஐத் தீர்ப்பதன் மூலம், நாம் பெறுகிறோம்

$$ \begin{equation*} 2 x+2<40 \tag{3} \end{equation*} $$

அதாவது, $$x<19 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (3) $$

(1) மற்றும் (3) இலிருந்து, நாம் பெறுகிறோம்

$$ 10<x<19 $$

$x$ ஒரு ஒற்றைப்படை எண்ணாக இருப்பதால், $x$ 11,13,15, மற்றும் 17 மதிப்புகளை எடுக்கலாம். எனவே, தேவையான சாத்தியமான ஜோடிகள் $(11,13),(13,15),(15,17),(17,19)$ ஆக இருக்கும்

பல்வேறு எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 9 $-8 \leq 5 x-3<7$ ஐத் தீர்க்கவும்.

தீர்வு இந்த வழக்கில், நம்மிடம் இரண்டு சமனிலிகள் உள்ளன, $-8 \leq 5 x-3$ மற்றும் $5 x-3<7$, அவற்றை நாம் ஒரே நேரத்தில் தீர்ப்போம். நம்மிடம் உள்ளது $-8 \leq 5 x-3<7$

அல்லது $\quad-5 \leq 5 x<10$

$ \text{ or } \quad-1 \leq x<2 $

எடுத்துக்காட்டு 10 $-5 \leq \frac{5-3 x}{2} \leq 8$ ஐத் தீர்க்கவும்.

தீர்வு நம்மிடம் உள்ளது $\quad-5 \leq \frac{5-3 x}{2} \leq 8$

அல்லது $\quad-10 \leq 5-3 x \leq 16 \quad$ அல்லது $\quad-15 \leq-3 x \leq 11$

அல்லது $\quad 5 \geq x \geq-\frac{11}{3}$

இதை $\frac{-11}{3} \leq x \leq 5$ என எழுதலாம்

எடுத்துக்காட்டு 11 சமனிலிகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்:

$$ \begin{aligned} & 3 x-7<5+x \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(1) \\ & 11-5 x \leq 1 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(2) \end{aligned} $$

மற்றும் எண் வரிசையில் தீர்வுகளைப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தவும்.

தீர்வு சமனிலி (1) இலிருந்து, நம்மிடம் உள்ளது

$$ 3 x - 7 < 5 + x $$

அல்லது $ \quad x < 6 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(3)$

மேலும், சமனிலி (2) இலிருந்து, நம்மிடம் உள்ளது

$$ 11-5 x \leq 1 $$

அல்லது $ \quad - 5 x \leq-10 \quad \text{ i.e., } x \geq 2 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(4)$

சமனிலிகள் (3) மற்றும் (4) இன் வரைபடத்தை எண் வரிசையில் வரைந்தால், இரண்டிற்கும் பொதுவான $x$ இன் மதிப்புகள் படம் 5.3 இல் தடித்த கோடுகளால் காட்டப்பட்டுள்ளதைக் காண்கிறோம்.

எனவே, அமைப்பின் தீர்வுகள் 2 மற்றும் 6 க்கு இடையில் உள்ள மெய்யெண்கள் $x$, 2 உட்பட, அதாவது, $2 \leq x<6$

எடுத்துக்காட்டு 12 ஒரு சோதனையில், ஹைட்ரோகுளோரிக் அமிலக் கரைசல் $30^{\circ}$ மற்றும் $35^{\circ}$ செல்சியஸ் இடையே வைக்கப்பட வேண்டும். மாற்றும் சூத்திரம் $C=\frac{5}{9} \quad(F-32)$ ஆல் கொடுக்கப்பட்டால், டிகிரி பாரன்ஹீட்டில் வெப்பநிலையின் வரம்பு என்ன, இங்கு $C$ மற்றும் $F$ முறையே டிகிரி செல்சியஸ் மற்றும் டிகிரி பாரன்ஹீட்டில் வெப்பநிலையைக் குறிக்கின்றன.

தீர்வு $30<C<35$ என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

பிரதியிட $ C=\frac{5}{9}(F-32), \text{ நமக்கு கிடைக்கும் } $ $ 30<\frac{5}{9}(F-32)<35 $

அல்லது $\quad\quad\quad$ $ \frac{9}{5} \times(30)<(F-32)<\frac{9}{5} \times(35) $

$ \begin{matrix} \text{ or } & 54<(F-32)<63 \\ \text{ or } & 86<F<95 . \end{matrix} $

எனவே, தேவையான வெப்பநிலையின் வரம்பு $86^{\circ} F$ மற்றும் $95^{\circ} F$ க்கு இடையில் உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 13 ஒரு உற்பத்தியாளரிடம் $12\%$ அமிலக் கரைசலின் 600 லிட்டர்கள் உள்ளன. இதனுடன் எத்தனை லிட்டர்கள் $30 \%$ அமிலக் கரைசலைச் சேர்க்க வேண்டும், அதனால் விளையும் கலவையில் அமில உள்ளடக்கம் $15 \%$ ஐ விட அதிகமாகவும் ஆனால் $18 \%$ ஐ விடக் குறைவாகவும் இருக்கும்?

தீர்வு $x$ லிட்டர்கள் $30 \%$ அமிலக் கரைசல் சேர்க்கப்பட வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம். பிறகு மொத்த கலவை $=(x+600)$ லிட்டர்கள்

எனவே $30 \% x+12 \%$ இன் $600>15 \%$ இன் $(x+600)$

மற்றும் $\quad \quad \quad 30 \% x+12 \%$ இன் $600<18 \%$ இன் $(x+600)$

$ \begin{array}{ll} \text{or} & \frac{30 x}{100}+\frac{12}{100}(600)>\frac{15}{100}(x+600) \\ \\ \text{and} & \frac{30 x}{100}+\frac{12}{100}(600)<\frac{18}{100}(x+600) \\ \\ \text{or}& 30 x+7200>15 x+9000 \\ \text{and} & 30 x+7200<18 x+10800 \\ \text{or} & 15 x>1800 \text{ and } 12 x<3600 \\ \text{or} & x>120 \text{ and } x<300, \\ \text{i.e.} & 120<x<300 \end{array} $

எனவே, $30 %$ அமிலக் கரைசலின் லிட்டர்களின் எண்ணிக்கை 120 லிட்டர்களுக்கு மேலாக ஆனால் 300 லிட்டர்களுக்குக் குறைவாக இருக்க வேண்டும்.

சுருக்கம்

$<,>, \leq$ அல்லது $\geq$ குறிகளால் தொடர்புபடுத்தப்பட்ட இரண்டு மெய்யெண்கள் அல்லது இயற்கணிதக் கோவைகள் ஒரு சமனிலியை உருவாக்குகின்றன.

சம எண்கள் ஒரு சமனிலியின் இரு பக்கங்களிலும் சேர்க்கப்படலாம் (அல்லது கழிக்கப்படலாம்).

ஒரு சமனிலியின் இரு பக்கங்களும் ஒரே நேர்மறை எண்ணால் பெருக்கப்படலாம் (அல்லது வகுக்கப்படலாம்). ஆனால் இரு பக்கங்களும் எதிர்மறை எண்ணால் பெருக்கப்படும் (அல்லது வகுக்கப்படும்) போது, சமனிலி தலைகீழாக மாறும்.

ஒரு சமனிலியை உண்மையான கூற்றாக மாற்றும் $x$ இன் மதிப்புகள், சமனிலியின் தீர்வுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

$x<a$ (அல்லது $x>a$ ) ஐ எண் வரிசையில் பிரதிநிதித்துவப்படுத்த, எண் $a$ இல் ஒரு வட்டத்தை வைத்து, எண் $a$ இன் இடது (அல்லது வலது) பக்கத்தில் கருப்புக் கோட்டை வரையவும்.

$x \leq a$ ( அல்லது $x \geq a$ ) ஐ எண் வரிசையில் பிரதிநிதித்துவப்படுத்த, எண் $a$ இல் ஒரு கருப்பு வட்டத்தை வைத்து, எண் $x$ இன் இடது (அல்லது வலது) பக்கத்தில் கோட்டைக் கருப்பாக்கவும்.