ஒவ்வொரு கண்டுபிடிப்பின் உடலும் கணித வடிவில் உள்ளது, ஏனெனில் வேறு எந்த வழிகாட்டுதலையும் நாம் பெற முடியாது - டார்வின்

6.1 அறிமுகம்

ஒரு எண் பூட்டு உள்ள ஒரு சூட்கேஸ் உங்களிடம் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். எண் பூட்டில் 4 சக்கரங்கள் உள்ளன, ஒவ்வொன்றும் 0 முதல் 9 வரையிலான 10 இலக்கங்களால் குறிக்கப்பட்டுள்ளன. 4 குறிப்பிட்ட இலக்கங்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட வரிசையில் மீண்டும் மீண்டும் இல்லாமல் அமைக்கப்பட்டால் பூட்டைத் திறக்க முடியும். எப்படியோ, இந்த குறிப்பிட்ட இலக்க வரிசையை நீங்கள் மறந்துவிட்டீர்கள். முதல் இலக்கம் 7 என்பது மட்டுமே உங்களுக்கு நினைவிருக்கிறது. பூட்டைத் திறக்க, 3-இலக்க வரிசைகளில் எத்தனை வரிசைகளை நீங்கள் சரிபார்க்க வேண்டும்? இந்த கேள்விக்கு பதிலளிக்க, உடனடியாக, மீதமுள்ள 9 இலக்கங்களில் 3ஐ ஒரு நேரத்தில் எடுத்துக்கொள்ளும் அனைத்து சாத்தியமான ஏற்பாடுகளையும் பட்டியலிடத் தொடங்கலாம். ஆனால், இந்த முறை கடினமாக இருக்கும், ஏனெனில் சாத்தியமான வரிசைகளின் எண்ணிக்கை பெரியதாக இருக்கலாம். இங்கே, இந்த அத்தியாயத்தில், சில அடிப்படை எண்ணும் நுட்பங்களைக் கற்றுக்கொள்வோம், அவை

3-இலக்க ஏற்பாடுகளை உண்மையில் பட்டியலிடாமல் இந்த கேள்விக்கு பதிலளிக்க உதவும். உண்மையில், பொருள்களை உண்மையில் பட்டியலிடாமல் அமைக்கவும் தேர்ந்தெடுக்கவும் உள்ள வெவ்வேறு வழிகளின் எண்ணிக்கையை தீர்மானிப்பதில் இந்த நுட்பங்கள் பயனுள்ளதாக இருக்கும். முதல் படியாக, இந்த நுட்பங்களைக் கற்றுக்கொள்வதற்கு மிகவும் அடிப்படையான ஒரு கொள்கையை நாம் ஆராய்வோம்.

6.2 எண்ணியலின் அடிப்படைக் கொள்கை

பின்வரும் சிக்கலைக் கருத்தில் கொள்வோம். மோகனிடம் 3 பேண்ட்களும் 2 சட்டைகளும் உள்ளன. ஒரு பேண்ட் மற்றும் ஒரு சட்டையின் எத்தனை வெவ்வேறு ஜோடிகளை, அவர் அணிய முடியும்? ஒரு பேண்ட் தேர்ந்தெடுக்கப்படக்கூடிய 3 வழிகள் உள்ளன, ஏனெனில் 3 பேண்ட்கள் கிடைக்கின்றன. இதேபோல், ஒரு சட்டை 2 வழிகளில் தேர்ந்தெடுக்கப்படலாம். ஒவ்வொரு பேண்ட் தேர்வுக்கும், 2 சட்டை தேர்வுகள் உள்ளன. எனவே, $3 \times 2=6$ ஜோடி பேண்ட் மற்றும் சட்டை உள்ளன.

மூன்று பேண்ட்களை $P_1, P_2, P_3$ என்றும், இரண்டு சட்டைகளை $S_1, S_2$ என்றும் பெயரிடுவோம். பின்னர், இந்த ஆறு சாத்தியங்களை படம் 6.1 இல் விளக்கலாம்.

படம் 6.1

அதே வகையின் மற்றொரு சிக்கலைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

சப்னமிடம் 2 பள்ளிப் பைகள், 3 டிஃப்பின் பெட்டிகள் மற்றும் 2 நீர் பாட்டில்கள் உள்ளன. இந்த பொருட்களை (ஒவ்வொன்றையும் தேர்ந்தெடுத்து) எத்தனை வழிகளில் அவள் எடுத்துச் செல்ல முடியும்.

ஒரு பள்ளிப் பை 2 வெவ்வேறு வழிகளில் தேர்ந்தெடுக்கப்படலாம். ஒரு பள்ளிப் பை தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பிறகு, ஒரு டிஃப்பின் பெட்டி 3 வெவ்வேறு வழிகளில் தேர்ந்தெடுக்கப்படலாம். எனவே, பள்ளிப் பை மற்றும் டிஃப்பின் பெட்டியின் $2 \times 3=6$ ஜோடிகள் உள்ளன. இந்த ஒவ்வொரு ஜோடிக்கும், ஒரு நீர் பாட்டில் 2 வெவ்வேறு வழிகளில் தேர்ந்தெடுக்கப்படலாம்.

எனவே, சப்னம் இந்த பொருட்களை பள்ளிக்கு எடுத்துச் செல்லக்கூடிய வெவ்வேறு வழிகள் $6 \times 2=12$ உள்ளன. 2 பள்ளிப் பைகளை $B_1, B_2$ என்றும், மூன்று டிஃப்பின் பெட்டிகளை $T_1, T_2, T_3$ என்றும், இரண்டு நீர் பாட்டில்களை $W_1, W_2$ என்றும் பெயரிட்டால், இந்த சாத்தியங்களை படம் 6.2 இல் விளக்கலாம்.

படம் 6.2

உண்மையில், மேலே உள்ள வகையின் சிக்கல்கள் பின்வரும் கொள்கையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் தீர்க்கப்படுகின்றன, இது எண்ணியலின் அடிப்படைக் கொள்கை அல்லது, வெறுமனே, பெருக்கல் கொள்கை என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது கூறுகிறது

“ஒரு நிகழ்வு $m$ வெவ்வேறு வழிகளில் நிகழலாம், அதைத் தொடர்ந்து மற்றொரு நிகழ்வு $n$ வெவ்வேறு வழிகளில் நிகழலாம், பின்னர் கொடுக்கப்பட்ட வரிசையில் நிகழ்வுகளின் மொத்த நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை $m \times n$ ஆகும்.”

மேலே உள்ள கொள்கையை எந்தவொரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான நிகழ்வுகளுக்கும் பொதுமைப்படுத்தலாம். எடுத்துக்காட்டாக, 3 நிகழ்வுகளுக்கு, கொள்கை பின்வருமாறு:

‘ஒரு நிகழ்வு $m$ வெவ்வேறு வழிகளில் நிகழலாம், அதைத் தொடர்ந்து மற்றொரு நிகழ்வு $n$ வெவ்வேறு வழிகளில் நிகழலாம், அதைத் தொடர்ந்து மூன்றாவது நிகழ்வு $p$ வெவ்வேறு வழிகளில் நிகழலாம், பின்னர் கொடுக்கப்பட்ட வரிசையில் நிகழ்வுகளின் மொத்த நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை $m \times n \times p$ ஆகும்."

முதல் சிக்கலில், ஒரு பேண்ட் மற்றும் சட்டை அணிய தேவையான வழிகளின் எண்ணிக்கை பின்வரும் நிகழ்வுகளின் தொடர்ச்சியான நிகழ்வுகளின் வெவ்வேறு வழிகளின் எண்ணிக்கையாகும்:

(i) ஒரு பேண்ட் தேர்ந்தெடுக்கும் நிகழ்வு

(ii) ஒரு சட்டை தேர்ந்தெடுக்கும் நிகழ்வு.

இரண்டாவது சிக்கலில், தேவையான வழிகளின் எண்ணிக்கை பின்வரும் நிகழ்வுகளின் தொடர்ச்சியான நிகழ்வுகளின் வெவ்வேறு வழிகளின் எண்ணிக்கையாகும்:

(i) ஒரு பள்ளிப் பை தேர்ந்தெடுக்கும் நிகழ்வு

(ii) ஒரு டிஃப்பின் பெட்டி தேர்ந்தெடுக்கும் நிகழ்வு

(iii) ஒரு நீர் பாட்டில் தேர்ந்தெடுக்கும் நிகழ்வு.

இங்கே, இரண்டு நிகழ்வுகளிலும், ஒவ்வொரு சிக்கலிலும் உள்ள நிகழ்வுகள் பல்வேறு சாத்தியமான வரிசைகளில் நிகழக்கூடும். ஆனால், சாத்தியமான வரிசைகளில் ஏதேனும் ஒன்றை நாம் தேர்ந்தெடுத்து, இந்த தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட வரிசையில் நிகழ்வுகள் நிகழும் வெவ்வேறு வழிகளின் எண்ணிக்கையை எண்ண வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 1 ROSE என்ற வார்த்தையின் எழுத்துகளிலிருந்து உருவாக்கக்கூடிய 4 எழுத்து சொற்களின் எண்ணிக்கையைக் கண்டறியவும், அர்த்தம் உடன் அல்லது இல்லாமல், இங்கு எழுத்துகளின் மறுநிகழ்வு அனுமதிக்கப்படவில்லை.

தீர்வு 4 காலியான இடங்களை $\square \square \square \square$ 4 எழுத்துகளால் நிரப்புவதற்கு எத்தனை வழிகள் உள்ளதோ, அத்தனை சொற்கள் உள்ளன, மறுநிகழ்வு அனுமதிக்கப்படவில்லை என்பதை மனதில் கொண்டு. முதல் இடத்தை 4 எழுத்துகள் R,O,S,E இல் ஏதேனும் ஒன்றால் 4 வெவ்வேறு வழிகளில் நிரப்பலாம். அதைத் தொடர்ந்து, இரண்டாவது இடத்தை மீதமுள்ள 3 எழுத்துகளில் ஏதேனும் ஒன்றால் 3 வெவ்வேறு வழிகளில் நிரப்பலாம், அதைத் தொடர்ந்து மூன்றாவது இடத்தை 2 வெவ்வேறு வழிகளில் நிரப்பலாம்; அதைத் தொடர்ந்து, நான்காவது இடத்தை 1 வழியில் நிரப்பலாம். இவ்வாறு, பெருக்கல் கொள்கையின்படி, 4 இடங்களை நிரப்பக்கூடிய வழிகளின் எண்ணிக்கை $4 \times 3 \times 2 \times 1=24$ ஆகும். எனவே, தேவையான சொற்களின் எண்ணிக்கை 24 ஆகும்.

குறிப்பு - எழுத்துகளின் மறுநிகழ்வு அனுமதிக்கப்பட்டால், எத்தனை சொற்களை உருவாக்க முடியும்? 4 காலியான இடங்களில் ஒவ்வொன்றும் தொடர்ச்சியாக 4 வெவ்வேறு வழிகளில் நிரப்பப்படலாம் என்பதை எளிதாக புரிந்துகொள்ளலாம். எனவே, தேவையான சொற்களின் எண்ணிக்கை $=4 \times 4 \times 4 \times 4=256$ ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 2 4 வெவ்வேறு வண்ணக் கொடிகள் கொடுக்கப்பட்டால், ஒரு சமிக்ஞைக்கு 2 கொடிகள் ஒன்றுக்கு கீழே ஒன்றாக பயன்படுத்த வேண்டும் என்றால், எத்தனை வெவ்வேறு சமிக்ஞைகளை உருவாக்க முடியும்?

தீர்வு 4 வெவ்வேறு வண்ணக் கொடிகளால் தொடர்ச்சியாக 2 காலியான இடங்களை $\begin{array}{|l|} \hline \quad \\ \hline \\ \hline \end{array}$ நிரப்புவதற்கு எத்தனை வழிகள் உள்ளதோ, அத்தனை சமிக்ஞைகள் இருக்கும். மேல் காலியான இடத்தை 4 கொடிகளில் ஏதேனும் ஒன்றால் 4 வெவ்வேறு வழிகளில் நிரப்பலாம்; அதைத் தொடர்ந்து, கீழ் காலியான இடத்தை மீதமுள்ள 3 வெவ்வேறு கொடிகளில் ஏதேனும் ஒன்றால் 3 வெவ்வேறு வழிகளில் நிரப்பலாம். எனவே, பெருக்கல் கொள்கையின்படி, தேவையான சமிக்ஞைகளின் எண்ணிக்கை $=4 \times 3=12$ ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 3 $1,2,3,4,5$ என்ற இலக்கங்களிலிருந்து எத்தனை 2 இலக்க இரட்டை எண்களை உருவாக்க முடியும், இலக்கங்கள் மீண்டும் மீண்டும் வரலாம் என்றால்?

தீர்வு ஐந்து கொடுக்கப்பட்ட இலக்கங்களால் தொடர்ச்சியாக 2 காலியான இடங்களை $\square \square$ நிரப்புவதற்கு எத்தனை வழிகள் உள்ளதோ, அத்தனை வழிகள் இருக்கும். இங்கே, இந்த வழக்கில், நாம் ஒன்றின் இடத்தை நிரப்பத் தொடங்குகிறோம், ஏனெனில் இந்த இடத்திற்கான விருப்பங்கள் 2 மற்றும் 4 மட்டுமே மற்றும் இதை 2 வழிகளில் செய்ய முடியும்; அதைத் தொடர்ந்து பத்தின் இடத்தை ஏதேனும் 5 இலக்கங்களில் 5 வெவ்வேறு வழிகளில் நிரப்பலாம், ஏனெனில் இலக்கங்கள் மீண்டும் மீண்டும் வரலாம். எனவே, பெருக்கல் கொள்கையின்படி, தேவையான இரண்டு இலக்க இரட்டை எண்களின் எண்ணிக்கை $2 \times 5$, அதாவது 10 ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 4 குறைந்தது 2 கொடிகளை ஒரு செங்குத்து கம்பியில் வரிசையாக (ஒன்றுக்கு கீழே ஒன்று) அமைப்பதன் மூலம் எத்தனை வெவ்வேறு சமிக்ஞைகளை உருவாக்க முடியும், ஐந்து வெவ்வேறு கொடிகள் கிடைக்கும் என்றால்.

தீர்வு ஒரு சமிக்ஞையில் 2 கொடிகள், 3 கொடிகள், 4 கொடிகள் அல்லது 5 கொடிகள் இருக்கலாம். இப்போது, 2 கொடிகள், 3 கொடிகள், 4 கொடிகள் மற்றும் 5 கொடிகள் கொண்ட சமிக்ஞைகளின் சாத்தியமான எண்ணிக்கையை தனித்தனியாக எண்ணி, பின்னர் தொடர்புடைய எண்களைச் சேர்ப்போம்.

கிடைக்கக்கூடிய 5 கொடிகளால் தொடர்ச்சியாக 2 காலியான இடங்களை $\begin{array}{|l|} \hline \quad \\ \hline \\ \hline \end{array}$ நிரப்புவதற்கு எத்தனை வழிகள் உள்ளதோ, அத்தனை 2 கொடி சமிக்ஞைகள் இருக்கும். பெருக்கல் விதியின்படி, வழிகளின் எண்ணிக்கை $5 \times 4=20$ ஆகும்.

இதேபோல், 5 கொடிகளால் தொடர்ச்சியாக 3 காலியான இடங்களை $\begin{array}{|l|} \hline \quad \\ \hline \\ \hline \\ \hline \end{array}$ நிரப்புவதற்கு எத்தனை வழிகள் உள்ளதோ, அத்தனை 3 கொடி சமிக்ஞைகள் இருக்கும்.

வழிகளின் எண்ணிக்கை $5 \times 4 \times 3=60$ ஆகும்.

அதே வழியில் தொடர்ந்து, நாம் காண்கிறோம்

4 கொடி சமிக்ஞைகளின் எண்ணிக்கை $=5 \times 4 \times 3 \times 2=120$

மற்றும் 5 கொடி சமிக்ஞைகளின் எண்ணிக்கை $=5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=120$

எனவே, தேவையான சமிக்ஞைகளின் எண்ணிக்கை $=20+60+120+120=320$ ஆகும்.

6.3 வரிசைமாற்றங்கள்

முந்தைய பிரிவின் எடுத்துக்காட்டு 1 இல், ROSE, REOS, … போன்ற எழுத்துகளின் வெவ்வேறு சாத்தியமான ஏற்பாடுகளை நாம் உண்மையில் எண்ணுகிறோம். இங்கே, இந்த பட்டியலில், ஒவ்வொரு ஏற்பாடும் மற்றவற்றிலிருந்து வேறுபட்டது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், எழுத்துகளை எழுதும் வரிசை முக்கியமானது. ஒவ்வொரு ஏற்பாடும் ஒரு நேரத்தில் எடுக்கப்பட்ட 4 வெவ்வேறு எழுத்துகளின் வரிசைமாற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இப்போது, NUMBER என்ற வார்த்தையின் எழுத்துகளிலிருந்து உருவாக்கக்கூடிய 3-எழுத்து சொற்களின் எண்ணிக்கையை நாம் தீர்மானிக்க வேண்டும் என்றால், அர்த்தம் உடன் அல்லது இல்லாமல், எழுத்துகளின் மறுநிகழ்வு அனுமதிக்கப்படவில்லை, NUM, NMU, MUN, NUB, … போன்ற ஏற்பாடுகளை எண்ண வேண்டும். இங்கே, நாம் 6 வெவ்வேறு எழுத்துகளின் வரிசைமாற்றங்களை ஒரு நேரத்தில் 3 எடுத்துக்கொள்கிறோம். தேவையான சொற்களின் எண்ணிக்கை $=6 \times 5 \times 4=120$ (பெருக்கல் கொள்கையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம்).

எழுத்துகளின் மறுநிகழ்வு அனுமதிக்கப்பட்டால், தேவையான சொற்களின் எண்ணிக்கை $6 \times 6 \times 6=216$ ஆக இருக்கும்.

வரையறை 1 ஒரு வரிசைமாற்றம் என்பது சில அல்லது அனைத்து பொருள்களையும் ஒரு நேரத்தில் எடுத்துக்கொள்ளும் ஒரு குறிப்பிட்ட வரிசையில் உள்ள ஏற்பாடு ஆகும்.

பின்வரும் துணைப்பிரிவில், இந்த கேள்விகளுக்கு உடனடியாக பதிலளிக்க தேவையான சூத்திரத்தைப் பெறுவோம்.

6.3.1 அனைத்து பொருள்களும் தனித்தனியாக இருக்கும் போது வரிசைமாற்றங்கள்

தேற்றம் 1 $n$ வெவ்வேறு பொருள்களின் வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை, ஒரு நேரத்தில் $r$ எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது, இங்கு $0<r \leq n$ மற்றும் பொருள்கள் மீண்டும் மீண்டும் வராது, அது $n(n-1)(n-2) \ldots(n-r+1)$ ஆகும், இது ${ }^{n} P_r$ ஆல் குறிக்கப்படுகிறது.

நிரூபணம் $r$ காலியான இடங்களை $ \underset{\leftarrow r \text{ vacant places} \rightarrow}{\Large{\square \square \square \cdots }} \Large{\square}$ $n$ பொருள்களால் நிரப்புவதற்கு எத்தனை வழிகள் உள்ளதோ, அத்தனை வரிசைமாற்றங்கள் இருக்கும். முதல் இடத்தை $n$ வழிகளில் நிரப்பலாம்; அதைத் தொடர்ந்து, இரண்டாவது இடத்தை $(n-1)$ வழிகளில் நிரப்பலாம், அதைத் தொடர்ந்து மூன்றாவது இடத்தை $(n-2)$ வழிகளில் நிரப்பலாம்,…, $r$ வது இடத்தை $(n-(r-1))$ வழிகளில் நிரப்பலாம். எனவே, தொடர்ச்சியாக $r$ காலியான இடங்களை நிரப்புவதற்கான வழிகளின் எண்ணிக்கை $n(n-1)(n-2) \ldots(n-(r-1))$ அல்லது $n(n-1)(n-2) \ldots(n-r+1)$ ஆகும்.

${ }^{n} P$ க்கான இந்த வெளிப்பாடு சிக்கலானது மற்றும் இந்த வெளிப்பாட்டின் அளவைக் குறைக்க உதவும் ஒரு குறியீடு நமக்குத் தேவை. $n$! ($n$ காரவிகிதம் அல்லது $n$ காரவிகிதம் எனப் படிக்கவும்) என்பது நமது உதவிக்கு வருகிறது. பின்வரும் உரையில் $n$! உண்மையில் என்ன அர்த்தம் என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம்.

6.3.2 காரவிகிதக் குறியீடு

$n$! என்ற குறியீடு முதல் $n$ இயல் எண்களின் பெருக்கத்தைக் குறிக்கிறது, அதாவது, பெருக்கல் $1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times(n-1) \times n$ என்பது $n$ ! எனக் குறிக்கப்படுகிறது. இந்த குறியீட்டை ‘$n$ காரவிகிதம்’ என்று படிக்கிறோம். இவ்வாறு, $1 \times 2 \times 3 \times 4 \ldots \times(n-1) \times n=n$ !

$ \begin{aligned} & 1=1 ! \\ & 1 \times 2=2 ! \\ & 1 \times 2 \times 3=3 ! \\ & 1 \times 2 \times 3 \times 4=4 \text{ ! மற்றும் பல. } \end{aligned} $

நாம் வரையறுக்கிறோம் $0 !=1$

நாம் எழுதலாம் $5 !=5 \times 4 !=5 \times 4 \times 3 !=5 \times 4 \times 3 \times 2$ !

$$ =5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \text{ ! } $$

தெளிவாக, ஒரு இயல் எண்ணுக்கு $n$

$$ \begin{array}{rlrl} n ! & =n(n-1) ! & \\ & =n(n-1)(n-2) ! & & \text { [ provided } n \geq 2] \\ & =n(n-1)(n-2)(n-3) ! & & \text { [ provided } n \geq 3] \end{array} $$

மற்றும் பல.

எடுத்துக்காட்டு 5 மதிப்பிடவும்

(i) 5 !

(ii) 7 !

(iii) $7 !-5$ !

தீர்வு

(i) $5 !=1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5=120$

(ii) 7 ! $=1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7=5040$

மற்றும்

(iii) $7 !-5 !=5040-120=4920$.

எடுத்துக்காட்டு 6 கணக்கிடவும் (i) $\frac{7 !}{5 !}$

(ii) $\frac{12 !}{(10 !)(2 !)}$

தீர்வு

(i) நம்மிடம் உள்ளது $\frac{7 !}{5 !}=\frac{7 \times 6 \times 5 !}{5 !}=7 \times 6=42$

மற்றும்

(ii) $\frac{12 !}{(10 !)(2 !)}=\frac{12 \times 11 \times(10 !)}{(10 !) \times(2)}=6 \times 11=66$.

எடுத்துக்காட்டு 7 $\frac{n !}{r !(n-r) !}$ ஐ மதிப்பிடவும், இங்கு $n=5, r=2$.

தீர்வு நாம் $\frac{5 !}{2 !(5-2) !}($ ஐ மதிப்பிட வேண்டும், ஏனெனில் $n=5, r=2)$

நம்மிடம் உள்ளது $\quad \frac{5 !}{2 !(5-2) !}=\frac{5 !}{2 ! \times 3 !}=\frac{5 \times 4}{2}=10$

எடுத்துக்காட்டு 8 $\frac{1}{8 !}+\frac{1}{9 !}=\frac{x}{10 !}$ என்றால், ⟦102⟨ ஐக் கண்டறியவும்.

தீர்வு நம்மிடம் உள்ளது $\frac{1}{8 !}+\frac{1}{9 \times 8 !}=\frac{x}{10 \times 9 \times 8 !}$

எனவே $1+\frac{1}{9}=\frac{x}{10 \times 9}$ அல்லது $\frac{10}{9}=\frac{x}{10 \times 9}$

எனவே

$ x=100 . $

6.3.3 ${ }^{n} P_r$ க்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்

$ { }^{n} P_r=\frac{n !}{(n-r) !}, 0 \leq r \leq n $

இப்போது நாம் பின்வரும் சூத்திரத்தை தீர்மானித்த நிலைக்குத் திரும்புவோம்:

$$ { }^{n} P_r=n(n-1)(n-2) \ldots(n-r+1) $$

தொகுதி மற்றும் பகுதியை $(n-r)(n-r-1) \ldots 3 \times 2 \times 1$ ஆல் பெருக்கினால், நாம் பெறுகிறோம்

$ { }^{n} P_r=\frac{n(n-1)(n-2) \ldots(n-r+1)(n-r)(n-r-1) \ldots 3 \times 2 \times 1}{(n-r)(n-r-1) \ldots 3 \times 2 \times 1}=\frac{n !}{(n-r) !}, $

இவ்வாறு $\quad \quad \quad$ $ { }^{n} P_r=\frac{n !}{(n-r) !} \text{, இங்கு } 0<r \leq n $

இது ${ }^{n} P_r$ க்கு முந்தையதை விட மிகவும் வசதியான வெளிப்பாடு ஆகும்.

குறிப்பாக, $r=n,{ }^{n} P_n=\frac{n !}{0 !}=n$ !

வரிசைமாற்றங்களை எண்ணுவது என்பது சில அல்லது அனைத்து பொருள்களும் ஒரே நேரத்தில் மீண்டும் அமைக்கப்படும் வழிகளின் எண்ணிக்கையை மட்டுமே எண்ணுவதாகும். எந்த பொருளையும் ஏற்பாடு செய்யாமல் இருப்பது என்பது அனைத்து பொருள்களையும் பின்னால் விட்டுவிடுவதற்கு சமம், மேலும் அதைச் செய்வதற்கு ஒரே ஒரு வழி மட்டுமே உள்ளது என்பது நமக்குத் தெரியும். எனவே, நம்மால் கொள்ள முடியும்

$$ { }^{n} P_0=1=\frac{n !}{n !}=\frac{n !}{(n-0) !} \quad \quad \quad \quad \quad\quad\quad \ldots(1) $$

எனவே, சூத்திரம் (1) $r=0$ க்கும் பொருந்தும்.

இவ்வாறு $\quad \quad \quad$ $ { }^{n} P_r=\frac{n !}{(n-r) !}, 0 \leq r \leq n $

தேற்றம் 2 $n$ வெவ்வேறு பொருள்களின் வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை, ஒரு நேரத்தில் $r$ எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது, இங்கு மறுநிகழ்வு அனுமதிக்கப்படுகிறது, அது $n^{r}$ ஆகும்.

நிரூபணம் தேற்றம் 1 இன் நிரூபணத்தைப் போலவே மிகவும் ஒத்திருக்கிறது மற்றும் வாசகர் அதை அடைய விட்டுவிடப்படுகிறது.

இங்கே, ${ }^{n} P_r$ க்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி முந்தைய பிரிவின் சில சிக்கல்களைத் தீர்க்கிறோம், அதன் பயன்பாட்டை விளக்க.

எடுத்துக்காட்டு 1 இல், தேவையான சொற்களின் எண்ணிக்கை $={ }^{4} P_4=4 !=24$ ஆகும். இங்கே மறுநிகழ்வு அனுமதிக்கப்படவில்லை. மறுநிகழ்வு அனுமதிக்கப்பட்டால், தேவையான சொற்களின் எண்ணிக்கை $4^{4}=256$ ஆக இருக்கும்.

NUMBER என்ற வார்த்தையின் எழுத்துகளால் உருவாக்கக்கூடிய 3-எழுத்து சொற்களின் எண்ணிக்கை $={ }^{6} P_3=\frac{6 !}{3 !}=4 \times 5 \times 6=120$ ஆகும். இங்கே, இந்த வழக்கிலும், மறுநிகழ்வு அனுமதிக்கப்படவில்லை. மறுநிகழ்வு அனுமதிக்கப்பட்டால், தேவையான சொற்களின் எண்ணிக்கை $6^{3}=216$ ஆக இருக்கும்.

12 நபர்களின் குழுவிலிருந்து ஒரு தலைவர் மற்றும் துணைத் தலைவரைத் தேர்ந்தெடுக்கக்கூடிய வழிகளின் எண்ணிக்கை, ஒரு நபர் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பதவியை வகிக்க முடியாது என்று கருதி, தெளிவாக

$${ }^{12} P_2=\frac{12 !}{10 !}=11 \times 12=132$$.

6.3.4 அனைத்து பொருள்களும் தனித்தனி பொருள்கள் அல்லாதபோது வரிசைமாற்றங்கள்

ROOT என்ற வார்த்தையின் எழுத்துகளை மீண்டும் அமைக்கும் வழிகளின் எண்ணிக்கையை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம். இந்த வழக்கில், வார்த்தையின் எழுத்துகள் அனைத்தும் வெவ்வேறு அல்ல. $2 Os$ உள்ளன, அவை ஒரே வகையைச் சேர்ந்தவை. தற்காலிகமாக, ⟦122⟐ ஐ வெவ்வேறாகக் கருதுவோம், $O_1$ மற்றும் $O_2$ என்று சொல்லலாம். இந்த வழக்கில், 4-வெவ்வேறு எழுத்துகளின் வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை, ஒரே நேரத்தில் எடுக்கப்பட்டால், 4 ! ஆகும். இந்த வரிசைமாற்றங்களில் ஒன்றைக் கவனியுங்கள், $RO_1 O_2 T$ என்று சொல்லலாம். இந்த வரிசைமாற்றத்திற்கு ஒத்திருக்கும், நம்மிடம் 2 ! வரிசைமாற்றங்கள் $RO_1 O_2 T$ மற்றும் $RO_2 O_1 T$ உள்ளன, அவை $O_1$ மற்றும் $O_2$ வெவ்வேறாகக் கருதப்படாவிட்டால், அதாவது $O_1$ மற்றும் $O_2$ ஒரே $O$ ஆக இருந்தால், சரியாக ஒரே வரிசைமாற்றமாக இருக்கும். எனவே, தேவையான வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை $=\frac{4 !}{2 !}=3 \times 4=12$ ஆகும்.

$O_1, O_2$ இருக்கும் போது வரிசைமாற்றங்கள். $O_1, O_2$ இருக்கும் போது வரிசைமாற்றங்கள். வெவ்வேறு. ஒரே $O$.

$\left.\begin{array}{l}\mathrm{RO}_1 \mathrm{O}_2 \mathrm{T} \\ \mathrm{RO}_2 \mathrm{O}_1 \mathrm{T}\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{ROOT}$

$\left.\begin{array}{l}\mathrm{RO}_1 \mathrm{O}_2 \mathrm{T} \\ \mathrm{RO}_2 \mathrm{O}_1 \mathrm{T}\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{ROOT}$

$\left.\begin{array}{l}\mathrm{RO}_1 \mathrm{T} \mathrm{O}_2 \\ \mathrm{RO}_2 \mathrm{T} \mathrm{O}_1\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{ROTO}$

$\left.\begin{array}{l}\mathrm{T} \mathrm{O}_1 \mathrm{RO}_2 \\ \mathrm{TO}_2 \mathrm{R} \mathrm{O}_1\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{TORO}$

$\left.\begin{array}{l}\mathrm{RTO}_1 \mathrm{O}_2 \\ \mathrm{RTO}_2 \mathrm{O}_1\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{RTOO}$

$\left.\begin{array}{l}\mathrm{TRO}_1 \mathrm{O}_2 \\ \mathrm{TRO}_2 \mathrm{O}_1\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{TROO}$

$\left.\begin{array}{l}\mathrm{O}_1 \mathrm{O}_2 \mathrm{RT} \\ \mathrm{O}_2 \mathrm{O}_1 \text { TR }\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{OORT}$

$\left.\begin{array}{c}\mathrm{O}_1 \mathrm{RO}_2 \mathrm{~T} \\ \mathrm{O}_2 \mathrm{RO}_1 \mathrm{~T}\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{OROT}$

$\left.\begin{array}{c}\mathrm{O}_1 \mathrm{TO}_2 \mathrm{R} \\ \mathrm{O}_2 \mathrm{TO}_1 \mathrm{R}\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{OTOR}$

$\left.\begin{array}{lll}\mathrm{O}_1 \mathrm{R} \mathrm{TO}_2 \\ \mathrm{O}_2 \mathrm{R} \mathrm{T} \mathrm{O}_1\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{ORTO}$

$\left.\begin{array}{c}\mathrm{O}_1 \mathrm{TR}_2 \mathrm{O}_2 \\ \mathrm{O}_2 \mathrm{TRO}_1\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{OTRO}$

$\left.\begin{array}{c}\mathrm{O}_1 \mathrm{O}_2 \text { TR } \\ \mathrm{O}_2 \mathrm{O}_1 \text { TR }\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{OOTR}$

இப்போது INSTITUTE என்ற வார்த்தையின் எழுத்துகளை மீண்டும் அமைக்கும் வழிகளின் எண்ணிக்கையைக் கண்டுபிடிப்போம். இந்த வழக்கில் 9 எழுத்துகள் உள்ளன, இதில் I 2 முறை தோன்றுகிறது மற்றும் $T$ 3 முறை தோன்றுகிறது.

தற்காலிகமாக, இந்த எழுத்துகளை வெவ்வேறாகக் கருதி அவற்றை $I_1, I_2, T_1, T_2, T_3$ என்று பெயரிடுவோம். இந்த வழக்கில், 9 வெவ்வேறு எழுத்துகளின் வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை, ஒரே நேரத்தில் எடுக்கப்பட்டால், 9 ! ஆகும். ஒரு வரிசைமாற்றத்தைக் கவனியுங்கள், $I_1 NT_1 SI_2 T_2 UE_3$ என்று சொல்லலாம். இங்கே $I_1, I_2$ ஒரே மாதிரியாக இல்லை என்றால் மற்றும் $T_1, T_2, T_3$ ஒரே மாதிரியாக இல்லை என்றால், $I_1, I_2$ 2 ! வழிகளில் அமைக்கப்படலாம் மற்றும் $T_1, T_2, T_3$ 3 ! வழிகளில் அமைக்கப்படலாம். எனவே, $2 ! \times 3$ ! வரிசைமாற்றங்கள் இந்த தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட வரிசைமாற்றம் $I_1 NT_1 SI_2 T_2 UET_3$ க்கு ஒத்திருக்கும் அதே வரிசைமாற்றமாக இருக்கும். எனவே, மொத்த வெவ்வேறு வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை $\frac{9 !}{2 ! 3 !}$ ஆக இருக்கும்

நாம் பின்வரும் தேற்றங்களை (நிரூபணம் இல்லாமல்) கூறலாம்:

**தேற்றம்