இயற்பியல் ஒரு மிகவும் துல்லியமான அறிவியல் மற்றும் அதன் முடிவுகள் 절대 சாத்தியமான நிரூபணங்களை வெளிப்படுத்துகின்றன. - C.P. ஸ்டைன்மெட்ஸ்

7.1 அறிமுகம்

முந்தைய வகுப்புகளில், நாம் $a+b$ மற்றும் $a-b$ போன்ற இரு அலகுகளின் வர்க்கங்களை எவ்வாறு கண்டுபிடித்தோம் என்பதை நாம் கற்றுக்கொண்டோம். அவற்றைப் பயன்படுத்தி, $(98)^{2}=(100-2)^{2},(999)^{3}=(1000-1)^{3}$ போன்ற எண்களின் எண்ணிக்கை மதிப்புகளை நாம் கணக்கிடலாம். இருந்தாலும், $(98)^{5},(101)^{6}$ போன்ற அதிக அளவிலான அடுக்குகளுக்கு, மீண்டும் மீண்டும் பெருக்கலைப் பயன்படுத்துவது கணக்கீடுகளை கடினமாக்குகிறது. இந்த சிரமத்தை மீறிய ஒரு விதி எனப்படும் இரு அலகு விதி என்பது அறியப்பட்டது. இது $(a+b)^{n}$ ஐ விரிவாக்குவதற்கு ஒரு எளிதான வழியை வழங்குகிறது, அங்கு $n$ ஒரு எண் அல்லது ஒரு பிரதிச் சமன் எண். இந்த அலகில், நாம் இதனை நேரடியான எண்களின் எதிர்காலத்திற்கான இரு அலகு விதியை மட்டுமே ஆராய்கிறோம்.

பிளேச் பாஸ்கல் (1623-1662 அ.டி.)

7.2 நேரடியான எண்களின் எதிர்காலத்திற்கான இரு அலகு விதி

நாம் முன்பு செய்த பின்வருமாறு சமன்பாடுகளை நாம் பார்க்கிறோம்:

$$ \begin{aligned} & (a+b)^{0}=1 ; a+b \neq 0 \\ & (a+b)^{1}=a+b \\ & (a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2} \\ & (a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3} \\ & (a+b)^{4}=(a+b)^{3}(a+b)=a^{4}+4 a^{3} b+6 a^{2} b^{2}+4 a b^{3}+b^{4} \end{aligned} $$

இந்த விரிவாக்கங்களில், நாம் பின்வருமாறு கவனிக்கிறோம்:

(ஐ) விரிவாக்கத்தில் உள்ள மொத்த உருப்படிகளின் எண்ணிக்கை அடுக்குக்கு ஒரு அதிகமாகும். உதாரணமாக, $(a+b)^{2}$ இன் விரிவாக்கத்தில் உள்ள உருப்படிகளின் எண்ணிக்கை 3 ஆகும் அதே நேரத்தில் $(a+b)^{2}$ இன் அடுக்கு 2 ஆகும்.

(ஐஐ) முதல் உருப்படி ’ $a$ ’ இன் அடுக்குகள் ஒவ்வொரு உருப்படியிலும் 1 ஆல் குறைந்து போகும் அதே நேரத்தில் இரண்டாம் உருப்படி ’ $b$ ’ இன் அடுக்குகள் 1 ஆல் அதிகரிக்கின்றன.

(ஐஐஐ) விரிவாக்கத்தின் ஒவ்வொரு உருப்படியிலும், $a$ மற்றும் $b$ இன் அடுக்குகளின் கூட்டல் ஒரு ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் மற்றும் $a+b$ இன் அடுக்குக்கு சமமாகும்.

இப்போது, நாம் இந்த விரிவாக்கங்களை பின்வருமாறு வரிசைப்படுத்துகிறோம் (படம் 7.1):

இந்த அட்டவணத்தில் எந்த மாதிரியை நாம் கவனிக்கிறோம் என்பது என்ன? அது என்னவென்பதை நாம் கவனித்துக்கொள்ள முடியுமா? ஆம், நாம் அதை கவனிக்கிறோம். அது பின்வருமாறு காணப்படுகிறது: அடுக்கு 1 இன் வரியில் உள்ள 1 ஐ கூட்டுவது அடுக்கு 2 இன் வரியில் 2 ஐ உருவாக்குகிறது. அடுக்கு 2 இன் வரியில் உள்ள 1,2 மற்றும் 2, 1 ஐ கூட்டுவது அடுக்கு 3 இன் வரியில் 3 மற்றும் 3 ஐ உருவாக்குகிறது மற்றும் அதே மாதிரியாக இருக்கிறது. மேலும், ஒவ்வொரு வரியின் தொடக்கத்திலும் முடிவிலும் 1 உள்ளது. இதை நாம் எந்த அடுக்குக்கு வரை நம்பிக்கையுடன் செய்யலாம்.

நாம் படம் 7.2 இல் கொடுக்கப்பட்ட மாதிரியை சில வரிகளை எழுதுவதன் மூலம் விரிவாக்கலாம்.

பாஸ்கலின் முக்கோணம்

படத்தில் கொடுக்கப்பட்ட சூழல் ஒரு முக்கோணத்தின் போல் தோன்றுகிறது அதில் 1 உள்ளது மேல் மூலையில் மற்றும் இரண்டு சாய்வு பக்கங்களில் கீழே செல்கிறது. இந்த எண் அமைப்பு பிரஞ்சு கணித ஆளுமை பிளேச் பாஸ்கலின் பெயரைப் பெற்ற பாஸ்கலின் முக்கோணமாக அறியப்படுகிறது. இது பிங்லாவினால் மேரு பிரச்சரம் எனவும் அறியப்படுகிறது.

பாஸ்கலின் முக்கோணத்தைப் பயன்படுத்தி இரு அலகுகளின் அதிக அடுக்குகளுக்கான விரிவாக்கங்களும் சாத்தியமாகும். நாம் பாஸ்கலின் முக்கோணத்தைப் பயன்படுத்தி $(2 x+3 y)^{5}$ ஐ விரிவாக்குவோம். அடுக்கு 5 இன் வரி இதுவாகும்:

$$ \begin{matrix} 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 \end{matrix} $$

இந்த வரி மற்றும் எங்கள் கவனிப்புகள் (ஐ), (ஐஐ) மற்றும் (ஐஐஐ) ஐப் பயன்படுத்தி, நாம் பின்வருமாறு பெறுகிறோம்:

$ \begin{aligned} (2 x+3 y)^{5} & =(2 x)^{5}+5(2 x)^{4}(3 y)+10(2 x)^{3}(3 y)^{2}+10(2 x)^{2}(3 y)^{3}+5(2 x)(3 y)^{4}+(3 y)^{5} \\ & =32 x^{5}+240 x^{4} y+720 x^{3} y^{2}+1080 x^{2} y^{3}+810 x y^{4}+243 y^{5} \end{aligned} $

இப்போது, நாம் $(2 x+3 y)^{12}$ இன் விரிவாக்கத்தை கண்டுபிடிக்க விரும்பினால், நாம் முதலில் அடுக்கு 12 இன் வரியை பெற வேண்டும். இது பாஸ்கலின் முக்கோணத்தின் அடுக்கு 12 வரை அனைத்து வரிகளையும் எழுதுவதன் மூலம் செய்யப்படுகிறது. இது சற்று நீண்ட செயல்முறையாகும். நீங்கள் கவனித்துக்கொள்ளும் படி, நீங்கள் இதை மேலும் அதிக அடுக்குகளை உள்ளடக்கியதாக தேவைப்படும் போது செயல்முறை மேலும் கடினமாகும்.

எனவே, நாம் பாஸ்கலின் முக்கோணத்தின் அனைத்து வரிகளையும் எழுதாமல் இரு அலகுகளின் எந்த அடுக்குக்கான விரிவாக்கத்தையும் கண்டுபிடிக்க உதவும் ஒரு விதியை நாம் கண்டுபிடிக்க முயற்சிக்கிறோம்.

இதற்கு, நாம் முன்பு ஆராய்ந்த கூட்டுத்தன்மைகளின் கருத்தைப் பயன்படுத்தி பாஸ்கலின் முக்கோணத்தில் உள்ள எண்களை மீண்டும் எழுதுவதை நாம் செய்கிறோம். நாம் அறிந்துள்ளனவே, ${ }^{n} C_r=\frac{n !}{r !(n-r) !}, 0 \leq r \leq n$ மற்றும் $n$ ஒரு எத்தனையாவது எண்களாக இருக்கும். மேலும், ${ }^{n} C_0=1={ }^{n} C_n$ பாஸ்கலின் முக்கோணம் இப்போது பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதப்பட்டுள்ளது (படம் 7.3)

படம் 7.3 பாஸ்கலின் முக்கோணம்

இந்த மாதிரியை கவனித்துக்கொள்வோம், இப்போது நாம் முந்தைய வரிகளை எழுதாமல் எந்த அடுக்குக்கான பாஸ்கலின் முக்கோணத்தின் வரியையும் எழுதலாம். உதாரணமாக, அடுக்கு 7 இன் வரி இதுவாகும்:

$$ { }^{7} C_0 \quad{ }^{7} C_1 \quad{ }^{7} C_2 \quad{ }^{7} C_3 \quad{ }^{7} C_4 \quad{ }^{7} C_5 \quad{ }^{7} C_6 \quad{ }^{7} C_7 $$

இந்த வரி மற்றும் கவனிப்புகள் (ஐ), (ஐஐ) மற்றும் (ஐஐஐ) ஐப் பயன்படுத்தி, நாம் பின்வருமாறு உள்ளடக்குகிறோம்:

$(a+b)^{7}={ }^{7} C_0 a^{7}+7 C_1 a^{6} b+{ }^{7} C_2 a^{5} b^{2}+{ }^{7} C_3 a^{4} b^{3}+7 C_4 a^{3} b^{4}+{ }^{7} C_5 a^{2} b^{5}+{ }^{7} C_6 a b^{6}+{ }^{7} C_7 b^{7}$

இந்த கவனிப்புகளைப் பயன்படுத்தி இரு அலகுகளின் எந்த நேரடியான எண்களின் எதிர்காலத்தையும் இப்போது நாம் காண்பிக்கலாம். இப்போது, நாம் இரு அலகுகளின் எந்த நேரடியான எண்களின் எதிர்காலத்தையும் எழுத இடைவெளி உள்ளோம்.

7.2.1 எந்த நேரடியான எண்ணிற்கான இரு அலகு விதி, $n$,

$ (a+b)^{n}={ }^{n} C_0 a^{n}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b+{ }^{n} C_2 a^{n-2} b^{2}+\ldots+{ }^{n} C _{n-1} a \cdot b^{n-1}+{ }^{n} C_n b^{n} $

நிரூபணம் இது இயற்பியல் தொகையின் அடிப்படையை பயன்படுத்தி பெறப்படுகிறது.

ஒரு கொடுக்கப்பட்ட உண்மையை நிரூபிக்க நாம் பின்வருமாறு செய்யும்:

$ P(n):(a+b)^{n}={ }^{n} C_0 a^{n}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b+{ }^{n} C_2 a^{n-2} b^{2}+\ldots+{ }^{n} C _{n-1} a \cdot b^{n-1}+{ }^{n} C_n b^{n} $

$n$ இன் மதிப்புக்கு, நாம் பின்வருமாறு உள்ளடக்குகிறோம்:

$ P(1):(a+b)^{1}={ }^{1} C_0 a^{1}+{ }^{1} C_1 b^{1}=a+b $

எனவே, $n=1$ உண்மையாகும்.

ஒரு நேரடியான எண்ணிற்கு $P(1)$ உண்மையாகும் என்பதை நாம் கூறுவோம், அதாவது:

$ (a+b)^{k}={ }^{k} C_0 a^{k}+{ }^{k} C_1 a^{k-1} b+{ }^{k} C_2 a^{k-2} b^{2}+\ldots+{ }^{k} C_k b^{k} $

நாம் பின்வருமாறு நிரூபிக்க வேண்டும், அதாவது:

$ (a+b)^{k+1}={ }^{k+1} C_0 a^{k+1}+{ }^{k+1} C_1 a^{k} b+{ }^{k+1} C_2 a^{k-1} b^{2}+\ldots+{ }^{k+1} C_{k+1} b^{k+1} $

இப்போது, $P(k)$ $ =(a+b)({ }^{k} C_0 a^{k}+{ }^{k} C_1 a^{k-1} b+{ }^{k} C_2 a^{k-2} b^{2}+\ldots+{ }^{k} C_{k-1} a b^{k-1}+{ }^{k} C_k b^{k}) [\text{from}(1)] $ $k$ $P(k+1)$ [உண்மையான பெருக்கலால்] $(a+b)^{k+1}=(a+b)(a+b)^{k}$ $={ }^{k} C_0 a^{k+1}+{ }^{k} C_1 a^{k} b+{ }^{k} C_2 a^{k-1} b^{2}+\ldots+{ }^{k} C _{k-1} a^{2} b^{k-1}+{ }^{k} C_k a b^{k}+{ }^{k} C_0 a^{k} b$ [ஒரே மாதிரியான உருப்படிகளை கூட்டுவதன் மூலம்] $+{ }^{k} C_1 a^{k-1} b^{2}+{ }^{k} C_2 a^{k-2} b^{3}+\ldots+{ }^{k} C _{k-1} a b^{k}+{ }^{k} C_k b^{k+1}$ ($={ }^{k} C_0 a^{k+1}+({ }^{k} C_1+{ }^{k} C_0) a^{k} b+({ }^{k} C_2+{ }^{k} C_1) a^{k-1} b^{2}+\ldots$ மற்றும் $+({ }^{k} C_k+{ }^{k} C _{k-1}) a b^{k}+{ }^{k} C_k b^{k+1} \quad$ ஐப் பயன்படுத்தி )

எனவே, $={ }^{k+1} C_0 a^{k+1}+{ }^{k+1} C_1 a^{k} b+{ }^{k+1} C_2 a^{k-1} b^{2}+\ldots+{ }^{k+1} C_k a b^{k}+{ }^{k+1} C _{k+1} b^{k+1}$ உண்மையாகும் என்பது ${ }^{k+1} C_0=1,{ }^{k} C_r+{ }^{k} C _{r-1}={ }^{k+1} C_r \quad$ உண்மையாகும்போது உண்மையாகும். எனவே, இயற்பியல் தொகையின் அடிப்படையைப் பயன்படுத்தி, $\quad{ }^{k} C_k=1={ }^{k+1} C _{k+1}$ ஒவ்வொரு நேரடியான எண்ணிற்கும் உண்மையாகும் $P(k+1)$.

இந்த விதியை நாம் $P(k)$ இன் விரிவாக்கத்தை விளக்குகிறோம்:

$ \begin{aligned} (x+2)^{6} & ={ }^{6} C_0 x^{6}+{ }^{6} C_1 x^{5} \cdot 2+{ }^{6} C_2 x^{4} 2^{2}+{ }^{6} C_3 x^{3} \cdot 2^{3}+{ }^{6} C_4 x^{2} \cdot 2^{4}+{ }^{6} C_5 x \cdot 2^{5}+{ }^{6} C_6 \cdot 2^{6} . \\ & =x^{6}+12 x^{5}+60 x^{4}+160 x^{3}+240 x^{2}+192 x+64 \end{aligned} $

எனவே $P(n)$.

கவனிப்புகள்

1. குறியீடு $n$ என்பது பின்வருமாறு காணப்படுகிறது:

$(x+2)^{6}$, அங்கு $(x+2)^{6}=x^{6}+12 x^{5}+60 x^{4}+160 x^{3}+240 x^{2}+192 x+64$.

எனவே, இந்த விதியை நாம் பின்வருமாறு கூறலாம்:

$$ (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{ }^{n} \mathrm{C} _{k} a^{n-k} b^{k} $$

2. இரு அலகு விதியில் உள்ள கூறுகள் இரு அலகு கூறுகளாக அறியப்படுகின்றன.

3. $\sum_{k=0}^{n}{ }^{n} C_k a^{n-k} b^{k}$ இன் விரிவாக்கத்தில் உள்ள உருப்படிகளின் எண்ணிக்கை ${ }^{n} C_0 a^{n} b^{0}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b^{1}+\ldots+{ }^{n} C_r a^{n-r} b^{r}+\ldots+{ }^{n} C_n a^{n-n} b^{n}$, அதாவது அடுக்குக்கு ஒரு அதிகமாகும்.

4. விரிவாக்கத்தின் மேலேயும் கீழேயும் உருப்படிகளில் $b^{0}=1=a^{n-n}$ இன் அடுக்கு ஒவ்வொரு உருப்படியிலும் ஒரு அலகு குறைந்து போகும். இது முதல் உருப்படியில் ${ }^{n} C_r$, இரண்டாம் உருப்படியில் $(n+1)$ மற்றும் அதே மாதிரியாக கடைசி உருப்படியில் பூஜ்ஜியமாகும். அதே நேரத்தில் $(a+b)^{n}$ இன் அடுக்கு ஒரு அலகு அதிகரிக்கிறது, முதல் உருப்படியில் பூஜ்ஜியமாக தொடங்கி இரண்டாம் உருப்படியில் 1 ஆக மற்றும் அதே மாதிரியாக கடைசி உருப்படியில் $a$ ஆகும்.

5. $n$ இன் விரிவாக்கத்தில், $(n-1)$ மற்றும் $b$ இன் அடுக்குகளின் கூட்டல் முதல் உருப்படியில் $n$, இரண்டாம் உருப்படியில் $(a+b)^{n}$ மற்றும் அதே மாதிரியாக கடைசி உருப்படியில் $a$ ஆகும். எனவே, நாம் காணலாம் அந்த $b$ மற்றும் $n+0=n$ இன் அடுக்குகளின் கூட்டல் விரிவாக்கத்தின் ஒவ்வொரு உருப்படியிலும் $(n-1)+1=n$ ஆகும்.

7.2.2 சில சிறப்பு சமன்பாடுகள்

$0+n=n$ இன் விரிவாக்கத்தில்,

(ஐ) $a$ மற்றும் $b$ ஐ எடுத்துக்கொள்வோம், நாம் பின்வருமாறு பெறுகிறோம்:

$ \begin{aligned} (x-y)^{n} & =[x+(-y)]^{n} \\ & ={ }^{n} C_0 x^{n}+{ }^{n} C_1 x^{n-1}(-y)+{ }^{n} C_2 x^{n-2}(-y)^{2}+{ }^{n} C_3 x^{n-3}(-y)^{3}+\ldots+{ }^{n} C_n(-y)^{n} \\ & ={ }^{n} C_0 x^{n}-{ }^{n} C_1 x^{n-1} y+{ }^{n} C_2 x^{n-2} y^{2}-{ }^{n} C_3 x^{n-3} y^{3}+\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n y^{n} \end{aligned} $

எனவே $n$

இதைப் பயன்படுத்தி, நாம் $(a+b)^{n}$ உள்ளடக்குகிறோம்:

$ \begin{aligned} & { }^{5} C_4 x(2 y)^{4}-{ }^{5} C_5(2 y)^{5} \\ = & x^{5}-10 x^{4} y+40 x^{3} y^{2}-80 x^{2} y^{3}+80 x y^{4}-32 y^{5} . \end{aligned} $

(ஐஐ) $a=x$ ஐ எடுத்துக்கொள்வோம், நாம் பின்வருமாறு பெறுகிறோம்:

$ \begin{gathered} (1+x)^{n}={ }^{n} C_0(1)^{n}+{ }^{n} C_1(1)^{n-1} x+{ }^{n} C_2(1)^{n-2} x^{2}+\ldots+{ }^{n} C_n x^{n} \\ ={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 x+{ }^{n} C_2 x^{2}+{ }^{n} C_3 x^{3}+\ldots+{ }^{n} C_n x^{n} \end{gathered} $

எனவே $b=-y$

ஒரு சிறப்பு சமன்பாடாக, $(x-y)^{n}={ }^{n} C_0 x^{n}-{ }^{n} C_1 x^{n-1} y+{ }^{n} C_2 x^{n-2} y^{2}+\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n y^{n}$ இன் மதிப்புக்கு, நாம் பின்வருமாறு உள்ளடக்குகிறோம்:

$ 2^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1+{ }^{n} C_2+\ldots+{ }^{n} C_n $

(ஐஐஐ) $\quad(x-2 y)^{5}={ }^{5} C_0 x^{5}-{ }^{5} C_1 x^{4}(2 y)+{ }^{5} C_2 x^{3}(2 y)^{2}-{ }^{5} C_3 x^{2}(2 y)^{3}+$ ஐ எடுத்துக்கொள்வோம், நாம் பின்வருமாறு பெறுகிறோம்:

$ (1-x)^{n}={ }^{n} C_0-{ }^{n} C_1 x+{ }^{n} C_2 x^{2}-\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n x^{n} $

ஒரு சிறப்பு சமன்பாடாக, $a=1, b=x$ இன் மதிப்புக்கு, நாம் பின்வருமாறு பெறுகிறோம்:

$ 0={ }^{n} C_0-{ }^{n} C_1+{ }^{n} C_2-\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n $

உதாரணம் 1 விரிவாக்கம் $\quad(1+x)^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 x+{ }^{n} C_2 x^{2}+{ }^{n} C_3 x^{3}+\ldots+{ }^{n} C_n x^{n}$

தீர்வு இரு அலகு விதியைப் பயன்படுத்தி, நாம் பின்வருமாறு உள்ளடக்குகிறோம்:

$ \begin{aligned} x^{2}+\frac{3}{x} & ={ }^{4} C_0(x^{2})^{4}+{ }^{4} C_1(x^{2})^{3}(\frac{3}{x})+{ }^{4} C_2(x^{2})^{2}(\frac{3}{x})^{2}+{ }^{4} C_3(x^{2})(\frac{3}{x})^{3}+{ }^{4} C_4(\frac{3}{x})^{4} \\ & =x^{8}+4 \cdot x^{6} \cdot \frac{3}{x}+6 \cdot x^{4} \cdot \frac{9}{x^{2}}+4 \cdot x^{2} \cdot \frac{27}{x^{3}}+\frac{81}{x^{4}} \\ & =x^{8}+12 x^{5}+54 x^{2}+\frac{108}{x}+\frac{81}{x^{4}} . \end{aligned} $

உதாரணம் 2 கணக்கிடுக $x=1$.

தீர்வு நாம் 98 ஐ இரு எண்களின் கூட்டல் அல்லது விலகலாக எழுதி, அந்த எண்களின் அடுக்குகளை எளிதாக கணக்கிட முடியும் என்பதை நாம் எழுதிக்கொள்கிறோம், பின்னர் இரு அலகு விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

நீங்கள் எழுதுகிறீர்கள் $a=1, b=-x$

எனவே, $x=1$ $ \begin{aligned} = & { }^{5} C_0(100)^{5}-{ }^{5} C_1(100)^{4} .2+{ }^{5} C_2(100)^{3} 2^{2} \\ & -{ }^{5} C_3(100)^{2}(2)^{3}+{ }^{5} C_4(100)(2)^{4}-{ }^{5} C_5(2)^{5} \\ = & 10000000000-5 \times 100000000 \times 2+10 \times 1000000 \times 4-10 \times 10000 \\ & \times 8+5 \times 100 \times 16-32 \\ = & 10040008000-1000800032=9039207968 . \end{aligned} $

உதாரணம் 3 எந்த அளவு பெரியது (1.01) $(x^{2}+\frac{3}{x})^{4}, x \neq 0$ அல்லது 10,000 ?

தீர்வு 1.01 ஐ பிரித்து முதல் சில உருப்படிகளை இரு அலகு விதியைப் பயன்படுத்தி எழுதுவோம் நாம் பின்வருமாறு உள்ளடக்குகிறோம்:

$ \begin{aligned} (1.01)^{1000000} & =(1+0.01)^{1000000} \\ & ={ }^{1000000} C_0+{ }^{1000000} C_1(0.01)+\text{ other positive terms } \\ & =1+1000000 \times 0.01+\text{ other positive terms } \\ & =1+10000+\text{ other positive terms } \\ & >10000 \end{aligned} $

எனவே $(98)^{5}$

உதாரணம் 4 இரு அலகு விதியைப் பயன்படுத்தி, $98=100-2$ எப்போதும் 25 இன் வகுப்பில் போதுமான மீதமுள்ளது 1 என்பதை நிரூபிக்கவும்.

தீர்வு இரு எண்கள் $(98)^{5}=(100-2)^{5}$ மற்றும் ${ }^{1000000}$ என்பதில் இருந்து, நாம் எண்களை $\quad(1.01)^{1000000}>10000$ மற்றும் $6^{n}-5 n$ என கண்டுபிடிக்க முடிந்தால், நாம் சொல்கிறோம் அந்த $a$ இன் $b$ ஐ வகுத்து $q$ ஆனது மீதமுள்ளது மற்றும் $r$ ஆனது வகுப்பு என்பதை. எனவே, நாம் $a=b q+r$ என்பதை நிரூபிப்பதன் மூலம் 25 இன் வகுப்பில் போதுமான மீதமுள்ளது 1 என்பதை நிரூபிக்க முயற்சிக்கிறோம், நாம் நிரூபிக்க முயற்சிக்கிறோம் $b$, அங்கு $a$ ஒரு இயல்பான எண்.

நாம் உள்ளடக்குகிறோம்:

$ (1+a)^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 a+{ }^{n} C_2 a^{2}+\ldots+{ }^{n} C_n a^{n} $

$q$ இன் மதிப்புக்கு, நாம் பின்வருமாறு பெறுகிறோம்:

$$ (1+5)^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 5+{ }^{n} C_2 5^{2}+\ldots+{ }^{n} C_n 5^{n} $$

அதாவது: $$ \quad (6)^{n}=1+5 n+5^{2} \cdot{ }^{n} C_2+5^{3} \cdot{ }^{n} C_3+\ldots+5^{n} $$

அதாவது $$\quad 6^{n}-5 n=1+5^{2}({ }^{n} C_2+{ }^{n} C_3 5+\ldots+5^{n-2})$$

அல்லது $$\quad 6^{n}-5 n=1+25({ }^{n} C_2+5 \cdot{ }^{n} C_3+\ldots+5^{n-2})$$

இது வகுப்பில் போதுமான மீதமுள்ளது 1 என்பதை காட்டுகிறது.

சுருக்கம்

• இரு அலகுகளின் எந்த நேரடியான எண்ணிற்கான விரிவாக்கம் இரு அலகு விதியால் வழங்கப்படுகிறது, அது $r$ $6^{n}-5 n$

• விரிவாக்கங்களில் உள்ள கூறுகள் ஒரு அட்டவணத்தில் வரிசைப்படுத்தப்படுகின்றன. இந்த அட்டவணம் பாஸ்கலின் முக்கோணமாக அறியப்படுகிறது.

வரவிழாவின் குறிப்பு

பழங்கால இந்திய கணித ஆளுமைகள் $6^{n}-5 n=25 k+1$ இன் விரிவாக்கங்களில் உள்ள கூறுகளை அறிந்திருந்தனர். இந்த கூறுகளின் வரிசைப்படுத்தல் பிங்லாவின் புத்தகத்தில் சஹ்ட்டே சஸ்திரம் (200 ஆம் ஆண்டு ஆ/ச.) என்ற வர்ணனையில் வழங்கப்பட்ட மேரு-பிரச்சரம் எனப்படும் வர்ணனையாக இருந்தது. இந்த முக்கோண வரிசைப்படுத்தல் 1303 இல் சீன கணித ஆளுமை சுக்கியின் பணிகளிலும் காணப்படுகிறது. இரு அலகு கூறுகள் என்ற சொல் மெக்கல் ஸ்டைபல் (1486-1567) என்ற ஜெர்மன் கணித ஆளுமையினால் குறிப்பிடப்பட்ட சமயத்தில் முதலில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது (சுமார் 1544). பாம்போல்லி (1572) இரு அலகுகளின் விரிவாக்கத்தில் உள்ள கூறுகளை $k$ மற்றும் $a=5$ ஆக வழங்கியுள்ளார். பிங்லாவின் மேரு-பிரச்சரத்திற்கு ஒத்த இயல்பான முக்கோணம், பிரஞ்சு கணித ஆளுமை பிளேச் பாஸ்கல் (1623-1662) என்ற ஆளுமையினால் 1665 இல் கட்டப்பட்டது.

இரு அலகு விதியின் இப்போதைய படிமம் என்பது பாஸ்கலினால் எழுதப்பட்ட டிராட் டு டிரிங்க் அரிதியின் புத்தகத்தில் 1665 இல் பின்னர் வெளியிடப்பட்டது.