8.1 அறிமுகம்

இயற்பியலில், “வரிசை” என்ற சொல் பொதுவான ஆங்கிலத்தில் உள்ளது போன்றே பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு பொருள்களின் தொகுப்பு ஒரு வரிசையில் பட்டியலிடப்பட்டால், அதில் ஒரு அறியப்பட்ட முதல் உறுப்பினர், இரண்டாம் உறுப்பினர், மூன்றாம் உறுப்பினர் மற்றும் போன்றவை இருப்பதை எங்களால் வழக்கமாக எந்த வகையிலும் சொல்வோம். உதாரணமாக, மனிதர்கள் அல்லது பூஞ்சைகளின் மக்கள்தொகை வெவ்வேறு நேரங்களில் ஒரு வரிசையை உருவாக்குகிறது. ஒரு வங்கியில் ஒரு வருடங்களுக்கு மேலான பணத்தின் தொகை ஒரு வரிசையை உருவாக்குகிறது. சில பொருட்களின் பழைய மதிப்புகள் ஒரு வரிசையில் நிகழ்கின்றன. வரிசைகள் மனித செயல்பாடுகளின் பல மூலகங்களில் முக்கியமான பயன்களைக் கொண்டுள்ளன.

குறிப்பிட்ட முறைகளைப் பின்பற்றும் வரிசைகள் முன்னேற்றங்கள் எனப்படும். முந்தைய வகுப்பில், கணித முன்னேற்றம் (A.P) பற்றி நாங்கள் படித்தோம். இந்த அதிகாரத்தில், A.P பற்றி மேலும் விவரிப்பதோடு கூட, கணித சாதாரணம், வடிவியல் சாதாரணம், A.M. மற்றும் G.M. இடையேயான தொடர்பு, நேரடியான இயற்கை எண்களின் சுருக்கங்கள் ஆகியவற்றின் படிமங்கள் மூலம் சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு எண்களின் வரிசையில் இருந்து சுருக்கம் செய்யப்பட்ட இரண்டு