வடிவியல், ஒரு தருக்க அமைப்பாக, குழந்தைகள் தங்கள் சொந்த ஆன்மாவின் மனித ஆன்மாவின் வலிமையை உணர வைக்கும் ஒரு வழிமுறையாகவும், மிகவும் சக்திவாய்ந்த வழிமுறையாகவும் உள்ளது. - எச். பிராய்டென்தால்

9.1 அறிமுகம்

முந்தைய வகுப்புகளில் இருந்து இரு பரிமாண ஆய வடிவியலுடன் நாம் பழக்கமானவர்கள். முக்கியமாக, இது இயற்கணிதம் மற்றும் வடிவியல் ஆகியவற்றின் கலவையாகும். இயற்கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி வடிவியலின் முறையான ஆய்வு முதன்முதலில் புகழ்பெற்ற பிரெஞ்சு தத்துவஞானியும் கணிதவியலாளருமான ரெனே டெக்கார்ட்டால், 1637 இல் வெளியிடப்பட்ட அவரது ‘லா ஜியோமெட்ரி’ என்ற புத்தகத்தில் மேற்கொள்ளப்பட்டது. இந்த புத்தகம் ஒரு வளைவரையின் சமன்பாட்டின் கருத்தையும் தொடர்புடைய பகுப்பாய்வு முறைகளையும் வடிவியல் ஆய்வில் அறிமுகப்படுத்தியது. இதன் விளைவாக வரும் பகுப்பாய்வு மற்றும் வடிவியலின் கலவை இப்போது பகுப்பியல் வடிவியல் என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. முந்தைய வகுப்புகளில், நாம் ஆய வடிவியல் படிப்பைத் தொடங்கினோம், அங்கு நாம் ஆய அச்சுகள், ஆயத் தளம், ஒரு தளத்தில் புள்ளிகளைக் குறித்தல், இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம், பிரிவு வாய்பாடுகள் போன்றவற்றைப் பற்றி படித்தோம். இந்தக் கருத்துக்கள் அனைத்தும் ஆய வடிவியலின் அடிப்படைகளாகும்.

முந்தைய வகுப்புகளில் செய்த ஆய வடிவியலை சுருக்கமாக நினைவுபடுத்துவோம். சுருக்கமாக, XY-தளத்தில் $(6,-4)$ மற்றும் $(3,0)$ புள்ளிகளின் இருப்பிடம் படம் 9.1 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது.

படம். 9.1

$(6,-4)$ புள்ளி நேர்மறை $x$-அச்சு வழியாக அளவிடப்பட்ட $y$-அச்சிலிருந்து 6 அலகுகள் தூரத்திலும், எதிர்மறை $y$-அச்சு வழியாக அளவிடப்பட்ட $x$-அச்சிலிருந்து 4 அலகுகள் தூரத்திலும் உள்ளது என்பதை நாம் கவனிக்கலாம். இதேபோல், $(3,0)$ புள்ளி நேர்மறை $x$-அச்சு வழியாக அளவிடப்பட்ட $y$-அச்சிலிருந்து 3 அலகுகள் தூரத்திலும், $x$-அச்சிலிருந்து பூஜ்ஜிய தூரத்திலும் உள்ளது.

நாம் பின்வரும் முக்கியமான வாய்பாடுகளையும் அங்கு படித்தோம்:

I. $P(x_1, y_1)$ மற்றும் $Q(x_2, y_2)$ புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம்

$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}} $

எடுத்துக்காட்டாக, $(6,-4)$ மற்றும் $(3,0)$ புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம்

$$ \sqrt{(3-6)^{2}+(0+4)^{2}}=\sqrt{9+16}=5 \text{ units. } $$

II. $(x_1, y_1)$ மற்றும் $(x_2, y_2)$ புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத் துண்டை உட்புறமாக $m: n$ என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கும் புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள் $(\frac{m x_2+n x_1}{m+n}, \frac{m y_2+n y_1}{m+n})$ ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டாக, A $(1,-3)$ மற்றும் $B(-3,9)$ ஆகியவற்றை இணைக்கும் கோட்டுத் துண்டை உட்புறமாக $1: 3$ என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கும் புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள் $x=\frac{1 .(-3)+3.1}{1+3}=0$ $\text{ and } y=\frac{1.9+3 \cdot(-3)}{1+3}=0$ ஆல் கொடுக்கப்படுகின்றன.

III. குறிப்பாக, $m=n$ எனில், $(x_1, y_1)$ மற்றும் $(x_2, y_2)$ புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத் துண்டின் நடுப்புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள் $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$ ஆகும்.

IV. முனைகள் $(x _{1,} y_1),(x_2, y_2)$ மற்றும் $(x_3, y_3)$ ஆகியவற்றைக் கொண்ட முக்கோணத்தின் பரப்பளவு

$\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)| .$

எடுத்துக்காட்டாக, முனைகள் $(4,4),(3,-2)$ மற்றும் $(-3,16)$ ஆகியவற்றைக் கொண்ட முக்கோணத்தின் பரப்பளவு

$ \frac{1}{2}|4(-2-16)+3(16-4)+(-3)(4+2)|=\frac{|-54|}{2}=27 $

குறிப்பு முக்கோணம் $ABC$ இன் பரப்பளவு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், மூன்று புள்ளிகள் $A, B$ மற்றும் $C$ ஒரு கோட்டின் மீது அமையும், அதாவது, அவை ஒரே கோட்டிலமைந்தவை (கோலினியர்).

இந்த அத்தியாயத்தில், நாம் ஆய வடிவியல் படிப்பைத் தொடர்ந்து, எளிய வடிவியல் உருவமான - நேர்கோட்டின் பண்புகளைப் படிப்போம். அதன் எளிமை இருந்தபோதிலும், கோடு என்பது வடிவியலின் ஒரு முக்கியமான கருத்தாகும் மற்றும் பல சுவாரஸ்யமான மற்றும் பயனுள்ள வழிகளில் நமது தினசரி அனுபவங்களில் நுழைகிறது. முக்கிய கவனம் கோட்டை இயற்கணித ரீதியாக குறிப்பிடுவதில் உள்ளது, இதற்கு சாய்வு மிகவும் அத்தியாவசியமானது.

9.2 ஒரு கோட்டின் சாய்வு

ஒரு ஆயத் தளத்தில் ஒரு கோடு $x$-அச்சுடன் இரண்டு கோணங்களை உருவாக்குகிறது, அவை நிரப்புக்கோணங்களாகும். $x$-அச்சின் நேர்மறை திசையுடன் $l$ கோடு உருவாக்கும் கோணம் (என்க) $\theta$ மற்றும் எதிர் கடிகார திசையில் அளவிடப்படுவது கோட்டின் சாய்வு (இன்கிளினேஷன்) எனப்படும். வெளிப்படையாக $0^{\circ} \leq \theta \leq 180^{\circ}$ (படம் 9.2).

படம் 9.2

$x$-அச்சுக்கு இணையான கோடுகள், அல்லது $x$-அச்சுடன் ஒத்துப்போகும் கோடுகள், $0^{\circ}$ சாய்வைக் கொண்டிருக்கும் என்பதை நாம் கவனிக்கிறோம். ஒரு செங்குத்து கோட்டின் ($y$-அச்சுக்கு இணையாக அல்லது ஒத்துப்போகும்) சாய்வு $90^{\circ}$ ஆகும்.

வரையறை 1 $l$ கோட்டின் சாய்வு $\theta$ எனில், $\tan \theta$ கோட்டின் சாய்வு அல்லது சரிவு (கிரேடியண்ட்) எனப்படும்.

சாய்வு $90^{\circ}$ ஆக இருக்கும் ஒரு கோட்டின் சாய்வு வரையறுக்கப்படவில்லை. ஒரு கோட்டின் சாய்வு $m$ ஆல் குறிக்கப்படுகிறது.

எனவே, $m=\tan \theta, \theta \neq 90^{\circ}$ $x$-அச்சின் சாய்வு பூஜ்ஜியம் மற்றும் $y$-அச்சின் சாய்வு வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதைக் கவனிக்கலாம்.

9.2.1 கோட்டின் மீது உள்ள ஏதேனும் இரண்டு புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகள் கொடுக்கப்பட்டிருக்கும் போது ஒரு கோட்டின் சாய்வு

ஒரு கோட்டின் மீது இரண்டு புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டால் அந்த கோடு முழுமையாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது என்பது நமக்குத் தெரியும். எனவே, கோட்டின் மீது உள்ள இரண்டு புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகளின் அடிப்படையில் கோட்டின் சாய்வைக் கண்டறிய நாம் தொடர்கிறோம்.

$P(x_1, y_1)$ மற்றும் $Q(x_2, y_2)$ ஆகியவை செங்குத்து அல்லாத கோடு $l$ இன் மீது உள்ள இரண்டு புள்ளிகளாக இருக்கட்டும், அதன் சாய்வு $\theta$ ஆகும். வெளிப்படையாக, $x_1 \neq x_2$, இல்லையெனில் கோடு $x$-அச்சுக்கு செங்குத்தாக மாறும் மற்றும் அதன் சாய்வு வரையறுக்கப்படாது. $l$ கோட்டின் சாய்வு குறுங்கோணமாக அல்லது விரிகோணமாக இருக்கலாம். இந்த இரண்டு நிகழ்வுகளையும் எடுத்துக்கொள்வோம்.

படங்கள் 9.3 (i) மற்றும் (ii) இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, $x$-அச்சுக்கு செங்குத்தாக $QR$ மற்றும் $RQ$ க்கு செங்குத்தாக ⟦109⟅ வரையவும்.

நிகழ்வு 1 கோணம் $\theta$ குறுங்கோணமாக இருக்கும் போது:

படம் 9.3

(i) இல், $\angle MPQ=\theta \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1)$

எனவே, கோட்டின் சாய்வு $l=m=\tan \theta$.

ஆனால் $\triangle MPQ$ இல், நம்மிடம் $\tan \theta=\frac{MQ}{MP}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2)$ உள்ளது

சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) இலிருந்து, நம்மிடம் உள்ளது

$ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $

நிகழ்வு II கோணம் $\theta$ விரிகோணமாக இருக்கும் போது:

படம் 9.3

(ii) இல், நம்மிடம் $\angle MPQ=180^{\circ}-\theta$ உள்ளது.

எனவே, $\theta=180^{\circ}-\angle MPQ$.

இப்போது, கோட்டின் சாய்வு $l=m=\tan \theta$.

$$ \begin{aligned} & =\tan \left(180^{\circ}-\angle \mathrm{MPQ}\right) \\ & =-\tan \angle \mathrm{MPQ} \\ & =-\frac{\mathrm{MQ}}{\mathrm{MP}}=-\frac{y _{2}-y _{1}}{x _{1}-x _{2}}=\frac{y _{2}-y _{1}}{x _{2}-x _{1}} . \end{aligned} $$

இதன் விளைவாக, இரண்டு நிகழ்வுகளிலும் $(x_1, y_1)$ மற்றும் $(x_2, y_2)$ புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் கோட்டின் சாய்வு $m$ ஆனது $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ ஆல் கொடுக்கப்படுகிறது என்பதை நாம் காண்கிறோம்.

9.2.2 கோடுகளின் இணை மற்றும் செங்குத்து நிலைக்கான நிபந்தனைகள் அவற்றின் சாய்வுகளின் அடிப்படையில்

ஒரு ஆயத் தளத்தில், செங்குத்து அல்லாத கோடுகள் $l_1$ மற்றும் $l_2$ ஆகியவை முறையே $m_1$ மற்றும் $m_2$ சாய்வுகளைக் கொண்டுள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம். அவற்றின் சாய்வுகள் முறையே $\alpha$ மற்றும் $\beta$ ஆக இருக்கட்டும். $\boldsymbol{l_1}$ கோடு $\boldsymbol{l_2}$ க்கு இணையாக இருந்தால் (படம் 9.4), அவற்றின் சாய்வுகள் சமமாக இருக்கும், அதாவது,

படம் 9.4

$ \alpha=\beta, \text{ மற்றும் எனவே, } \tan \alpha=\tan \beta $

எனவே $\quad m _{1}=m _{2}$, அதாவது, அவற்றின் சாய்வுகள் சமம்.

மாறாக, இரண்டு கோடுகள் $l_1$ மற்றும் $l_2$ இன் சாய்வு ஒரே மாதிரியாக இருந்தால், அதாவது,

$$ m_1=m_2 $$

பிறகு

$$ \tan \alpha=\tan \beta \text{. } $$

தொடுகோடு சார்பின் பண்பு மூலம் ($0^{\circ}$ மற்றும் $180^{\circ}$ க்கு இடையே), $\alpha=\beta$.

எனவே, கோடுகள் இணையாக உள்ளன.

எனவே, இரண்டு செங்குத்து அல்லாத கோடுகள் $l_1$ மற்றும் $l_2$ ஆகியவை இணையாக இருந்தால் மட்டுமே அவற்றின் சாய்வுகள் சமமாக இருக்கும்.

$ \boldsymbol{l_1 } $ மற்றும் $\boldsymbol{l_2 } $ கோடுகள் செங்குத்தாக இருந்தால் (படம் 9.5), பிறகு $\beta=\alpha+90^{\circ}$.

படம் 9.5

எனவே, $\quad \tan \beta=\tan (\alpha+90^{\circ})$

$$ =-\cot \alpha=-\frac{1}{\tan \alpha} $$

அதாவது, $\quad m_2=-\frac{1}{m_1}$ அல்லது $\quad m_1 m_2=-1$

மாறாக, $m_1 m_2=-1$ எனில், அதாவது, $\tan \alpha \tan \beta=-1$.

பிறகு $\tan \alpha=-\cot \beta=\tan (\beta+90^{\circ})$ அல்லது $\tan (\beta-90^{\circ})$

எனவே, $\alpha$ மற்றும் $\beta$ ஆகியவை $90^{\circ}$ ஆல் வேறுபடுகின்றன.

எனவே, கோடுகள் $l_1$ மற்றும் ⟦154⟆ ஆகியவை ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக உள்ளன.

எனவே, இரண்டு செங்குத்து அல்லாத கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக இருந்தால் மட்டுமே அவற்றின் சாய்வுகள் ஒன்றுக்கொன்றின் எதிர்மறை தலைகீழிகளாக இருக்கும்,

அதாவது, $\quad m_2=-\frac{1}{m_1}$ அல்லது, $m_1 m_2=-1$.

பின்வரும் உதாரணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1 கோடுகளின் சாய்வைக் கண்டறியவும்:

(அ) $(3,-2)$ மற்றும் $(-1,4)$ புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் கோடு,

(ஆ) $(3,-2)$ மற்றும் $(7,-2)$ புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் கோடு,

(இ) $(3,-2)$ மற்றும் $(3,4)$ புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் கோடு,

(ஈ) நேர்மறை $x$-அச்சின் திசையுடன் $60^{\circ}$ சாய்வை உருவாக்கும் கோடு.

தீர்வு (அ) $(3,-2)$ மற்றும் $(-1,4)$ வழியாக செல்லும் கோட்டின் சாய்வு

$$ m=\frac{4-(-2)}{-1-3}=\frac{6}{-4}=-\frac{3}{2} $$

(ஆ) $(3,-2)$ மற்றும் $(7,-2)$ புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் கோட்டின் சாய்வு

$$ m=\frac{-2-(-2)}{7-3}=\frac{0}{4}=0 $$

(இ) $(3,-2)$ மற்றும் $(3,4)$ புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் கோட்டின் சாய்வு

$ m=\frac{4-(-2)}{3-3}=\frac{6}{0} \text{, இது வரையறுக்கப்படவில்லை. } $

(ஈ) இங்கே கோட்டின் சாய்வு $\alpha=60^{\circ}$. எனவே, கோட்டின் சாய்வு

$$ m=\tan 60^{\circ}=\sqrt{3} \text{. } $$

9.2.3 இரண்டு கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம்

ஒரு தளத்தில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட கோடுகளைப் பற்றி நாம் சிந்திக்கும்போது, இந்த கோடுகள் ஒன்றையொன்று வெட்டுகின்றன அல்லது இணையாக உள்ளன என்பதைக் காண்கிறோம். இங்கே நாம் இரண்டு கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தை அவற்றின் சாய்வுகளின் அடிப்படையில் விவாதிப்போம்.

$L_1$ மற்றும் $L_2$ ஆகியவை முறையே $m_1$ மற்றும் $m_2$ சாய்வுகளைக் கொண்ட இரண்டு செங்குத்து அல்லாத கோடுகளாக இருக்கட்டும். $L_1$ மற்றும் $L_2$ கோடுகளின் சாய்வுகள் முறையே $\alpha_1$ மற்றும் $\alpha_2$ ஆக இருந்தால். பிறகு

$$ m_1=\tan \alpha_1 \text{ and } m_2=\tan \alpha_2 . $$

இரண்டு கோடுகள் ஒன்றையொன்று வெட்டும் போது, அவை இரண்டு ஜோடி செங்குத்து எதிர் கோணங்களை உருவாக்குகின்றன, அதாவது ஏதேனும் இரண்டு அடுத்தடுத்த கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை $180^{\circ}$ ஆகும் என்பது நமக்குத் தெரியும். $L_1$ மற்றும் $L_2$ கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள அடுத்தடுத்த கோணங்கள் $\theta$ மற்றும் $\phi$ ஆக இருக்கட்டும் (படம் 9.6). பிறகு

படம் 9.6

$$ \theta=\alpha_2-\alpha_1 \text{ and } \alpha_1, \alpha_2 \neq 90^{\circ} \text{. } $$

எனவே $\tan \theta=\tan (\alpha_2-\alpha_1)=\frac{\tan \alpha_2-\tan \alpha_1}{1+\tan \alpha_1 \tan \alpha_2}=\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2} \quad(.$, ஏனெனில் $.1+m_1 m_2 \neq 0)$ மற்றும் $\phi=180^{\circ}-\theta$

அதனால் $\tan \phi=\tan (180^{\circ}-\theta)=-\tan \theta=-\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}$, ஏனெனில் $1+m_1 m_2 \neq 0$

இப்போது, இரண்டு நிகழ்வுகள் எழுகின்றன:

நிகழ்வு I $\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}$ நேர்மறையாக இருந்தால், பிறகு $\tan \theta$ நேர்மறையாகவும் $\tan \phi$ எதிர்மறையாகவும் இருக்கும், அதாவது $\theta$ குறுங்கோணமாகவும் $\phi$ விரிகோணமாகவும் இருக்கும்.

நிகழ்வு II $\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}$ எதிர்மறையாக இருந்தால், பிறகு $\tan \theta$ எதிர்மறையாகவும் $\tan \phi$ நேர்மறையாகவும் இருக்கும், அதாவது $\theta$ விரிகோணமாகவும் $\phi$ குறுங்கோணமாகவும் இருக்கும்.

எனவே, முறையே $m_1$ மற்றும் $m_2$ சாய்வுகளைக் கொண்ட $L_1$ மற்றும் $L_2$ கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள குறுங்கோணம் (என்க $\theta$) என்பது

$ \tan \theta=|\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}|, \text{ என } 1+m_1 m_2 \neq 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(1) $

ஆல் கொடுக்கப்படுகிறது.

விரிகோணத்தை (என்க $\phi$) $\phi=180^{\circ}-\theta$ ஐப் பயன்படுத்திக் காணலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 2 இரண்டு கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம் $\frac{\pi}{4}$ மற்றும் கோடுகளில் ஒன்றின் சாய்வு $\frac{1}{2}$ எனில், மற்ற கோட்டின் சாய்வைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு $m_1$ மற்றும் $m_2$ சாய்வுகளைக் கொண்ட இரண்டு கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள குறுங்கோணம் $\theta$ என்பது

$\quad \tan \theta=\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2} \right| \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(1)$

ஆல் கொடுக்கப்படுகிறது என்பது நமக்குத் தெரியும்.

$m_1=\frac{1}{2}, m_2=m$ மற்றும் $\theta=\frac{\pi}{4}$ என்க.

இப்போது, இந்த மதிப்புகளை (1) இல் பிரதியிட, நமக்கு கிடைக்கும்

$$ \tan \frac{\pi}{4}=\left|\frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m}\right| \text{ or } 1=\left|\frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m}\right| $$

இது $\frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m}=1$ அல்லது $\frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m}=-1$ ஐத் தரும்.

எனவே $m=3$ அல்லது $m=-\frac{1}{3}$.

எனவே, மற்ற கோட்டின் சாய்வு 3 அல்லது $-\frac{1}{3}$ ஆகும். படம் 9.7 இரண்டு பதில்களுக்கான காரணத்தை விளக்குகிறது.

படம் 9.7

எடுத்துக்காட்டு 3 $(-2,6)$ மற்றும் $(4,8)$ புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் கோடு, $(8,12)$ மற்றும் $(x, 24)$ புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் கோட்டிற்கு செங்குத்தாக உள்ளது. $x$ இன் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு $(-2,6)$ மற்றும் $(4,8)$ புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் கோட்டின் சாய்வு

$ m_1=\frac{8-6}{4-(-2)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} $

$(8,12)$ மற்றும் $(x, 24)$ புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் கோட்டின் சாய்வு

$ m_2=\frac{24-12}{x-8}=\frac{12}{x-8} $

இரண்டு கோடுகளும் செங்குத்தாக இருப்பதால், $m_1 m_2=-1$, இது தருவது

$$ \frac{1}{3} \times \frac{12}{x-8}=-1 \text{ or } x=4 \text{. } $$

9.3 ஒரு கோட்டின் சமன்பாட்டின் பல்வேறு வடிவங்கள்

ஒரு தளத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு கோட்டிலும் எண்ணற்ற புள்ளிகள் உள்ளன என்பது நமக்குத் தெரியும். கோடு மற்றும் புள்ளிகளுக்கு இடையேயான இந்த உறவு பின்வரும் சிக்கலுக்கான தீர்வைக் கண்டறிய நம்மை வழிநடத்துகிறது:

கொடுக்கப்பட்ட கோட்டின் மீது கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி அமைந்துள்ளது என்று நாம் எப்படிச் சொல்ல முடியும்? அதன் பதில், கொடுக்கப்பட்ட கோட்டிற்கு, அந்தக் கோட்டின் மீது அமைந்துள்ள புள்ளிகளுக்கு ஒரு திட்டவட்டமான நிபந்தனை இருக்க வேண்டும் என்று இருக்கலாம். $P(x, y)$ XY-தளத்தில் ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியாகவும், $L$ கொடுக்கப்பட்ட கோடாகவும் இருக்கட்டும். $L$ இன் சமன்பாட்டிற்காக, $P$ ஆனது $L$ இன் மீது இருக்கும் போது உண்மையாக இருக்கும், இல்லையெனில் பொய்யாக இருக்கும், $P$ புள்ளிக்கான ஒரு கூற்று அல்லது நிபந்தனையை உருவாக்க விரும்புகிறோம். நிச்சயமாக இந்தக் கூற்று $x$ மற்றும் $y$ மாறிகளை உள்ளடக்கிய ஒரு இயற்கணித சமன்பாடு மட்டுமே. இப்போது, வெவ்வேறு நிபந்தனைகளின் கீழ் ஒரு கோட்டின் சமன்பாட்டைப் பற்றி விவாதிப்போம்.

9.3.1 கிடைமட்ட மற்றும் செங்குத்து கோடுகள்

ஒரு கிடைமட்ட கோடு $L$ ஆனது $x$ அச்சிலிருந்து $a$ தூரத்தில் இருந்தால், அந்தக் கோட்டின் மீது அமைந்துள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியின் குத்துயரம் (ஆர்டினேட்) $a$ அல்லது $-a$ ஆக இருக்கும் [படம் 9.8 (அ)]. எனவே, $L$ கோட்டின் சமன்பாடு $y=a$ அல்லது $y=-a$ ஆகும். கோடு $y$-அச்சுக்கு மேலே அல்லது கீழே இருக்கும் விதத்தின்படி கோட்டின் நிலையைப் பொறுத்து குறியின் தேர்வு இருக்கும். இதேபோல், $y$-அச்சிலிருந்து $b$ தூரத்தில் உள்ள ஒரு செங்குத்து கோட்டின் சமன்பாடு $x=b$ அல்லது $x=-b$ ஆகும் [படம் 9.8(ஆ)].

எடுத்துக்காட்டு 4 அச்சுகளுக்கு இணையாகவும் $(-2,3)$ வழியாகச் செல்லும் கோடுகளின் சமன்பாடுகளைக் கண்டறியவும்.

படம் 9.9

தீர்வு கோடுகளின் நிலை படம் 9.9 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது. $x$-அச்சுக்கு இணையான கோட்டின் மீது உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியின் $y$-ஆயம் 3 ஆகும், எனவே, x-அச்சுக்கு இணையாகவும் $(-2,3)$ வழியாகச் செல்லும் கோட்டின் சமன்பாடு $y=3$ ஆகும். இதேபோல், $y$-அச்சுக்கு இணையாகவும் $(-2,3)$ வழியாகச் செல்லும் கோட்டின் சமன்பாடு $x=-2$ ஆகும்.

9.3.2 புள்ளி-சாய்வு வடிவம்

சாய்வு $m$ ஆக இருக்கும் ஒரு செங்குத்து அல்லாத கோடு $L$ இன் மீது ஒரு நிலையான புள்ளி $P_0(x_0, y_0)$ உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். $P(x, y)$ ஆனது L இன் மீது ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியாக இருக்கட்டும் (படம் 9.10).

படம் 9.10

பிறகு, வரையறையின்படி, $L$ இன் சாய்வு

$ m=\frac{y-y_0}{x-x_0} \text{, அதாவது, } y-y_0=m(x-x_0) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $

ஆல் கொடுக்கப்படுகிறது.

$P_0(x_0, y_0)$ புள்ளி $L$ இன் மீது உள்ள அனைத்து புள்ளிகள் $(x, y)$ உடன் சேர்ந்து (1) ஐ நிறைவு செய்கிறது மற்றும் தளத்தில் வேறு எந்தப் புள்ளியும் (1) ஐ நிறைவு செய்யாது. சமன்பாடு (1) உண்மையில் கொடுக்கப்பட்ட கோட்டிற்கான சமன்பாடாகும்.

எனவே, புள்ளி $(x, y)$ ஆனது, நிலையான புள்ளி $(x_0, y_0)$ வழியாகச் செல்லும் $m$ சாய்வைக் கொண்ட கோட்டின் மீது அமைந்திருந்தால் மட்டுமே, அதன் ஆயத்தொலைவுகள் சமன்பாட்டை

$$ y-y_0=m(x-x_0) $$

நிறைவு செய்யும்.

எடுத்துக்காட்டு 5 $(-2,3)$ வழியாகச் செல்லும் -4 சாய்வைக் கொண்ட கோட்டின் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு இங்கே $m=-4$ மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி $(x_0, y_0)$ ஆனது $(-2,3)$ ஆகும்.

மேலே உள்ள சாய்வு-வெட்டு வடிவ சூத்திரம் (1) மூலம், கொடுக்கப்பட்ட கோட்டின் சமன்பாடு

$y-3=-4(x+2)$ அல்லது

$4 x+y+5=0$, இது தேவையான சமன்பாடு ஆகும்.

9.3.3 இரு-புள்ளி வடிவம்

$L$ கோடு $P_1(x_1, y_1)$ மற்றும் $P_2(x_2, y_2)$ ஆகிய இரண்டு கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லட்டும். $L$ இன் மீது ஒரு பொதுப் புள்ளி $P(x, y)$ ஆக இருக்கட்டும் (படம் 9.11).

மூன்று புள்ளிகள் $P_1, P_2$ மற்றும் $P$ ஆகியவை ஒரே கோட்டிலமைந்தவை (கோலினியர்), எனவே, நம்மிடம் உள்ளது

படம் 9.11 $P_1 P=$ இன் சாய்வு = $P_1 P_2$ இன் சாய்வு

$ \text{ அதாவது, } \quad \frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}, \quad \text{ அல்லது } \quad y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1) \text{. } $

எனவே, $(x_1, y_1)$ மற்றும் $(x_2, y_2)$ புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும் கோட்டின் சமன்பாடு

$$ y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $$

ஆல் கொடுக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 6 $(1,-1)$ மற்றும் $(3,5)$ புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும் கோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதவும்.

தீர்வு இங்கே $x_1=1, y_1=-1, x_2=3$ மற்றும் $y_2=5$. கோட்டின் சமன்பாட்டிற்கான மேலே உள்ள இரு-புள்ளி வடிவம் (2) ஐப் பயன்படுத்த, நம்மிடம் உள்ளது

$$ y-(-1)=\frac{5-(-1)}{3-1}(x-1) $$

அல்லது $ -3 x+y+4=0 \text{, இது தேவையான சமன்பாடு ஆகும். } $

9.3.4 சாய்வு-வெட்டு வடிவம்

சில நேரங்களில் ஒரு கோடு அதன் சாய்வு மற்றும் அச்சுகளில் ஒன்றின் மீது ஒரு வெட்டுத்துண்டுடன் நமக்குத் தெரிந்திருக்கும். இப்போது அத்தகைய கோடுகளின் சமன்பாடுகளைக் கண்டறிவோம்.

நிகழ்வு I சாய்வு $m$ உடைய ஒரு கோடு $L$ ஆனது $y$-அச்சைத் தோற்றத்திலிருந்து $c$ தூரத்தில் வெட்டுகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம் (ப