3.1 அறிமுகம்

கடந்த அத்தியாயத்தில், ஒரு நேர்கோட்டில் ஒரு பொருளின் இயக்கத்தை விவரிக்கத் தேவையான நிலை, இடப்பெயர்ச்சி, திசைவேகம் மற்றும் முடுக்கம் ஆகிய கருத்துகளை நாம் உருவாக்கினோம். இந்த அளவுகளின் திசை அம்சத்தை + மற்றும் - குறிகளால் கவனித்துக் கொள்ள முடியும் என்பதைக் கண்டறிந்தோம், ஏனெனில் ஒரு பரிமாணத்தில் இரண்டு திசைகள் மட்டுமே சாத்தியமாகும். ஆனால், இரண்டு பரிமாணங்களில் (ஒரு தளம்) அல்லது மூன்று பரிமாணங்களில் (வெளி) ஒரு பொருளின் இயக்கத்தை விவரிக்க, மேற்குறிப்பிட்ட இயற்பியல் அளவுகளை விவரிக்க திசையன்களைப் பயன்படுத்த வேண்டும். எனவே, முதலில் திசையன்களின் மொழியைக் கற்றுக்கொள்வது அவசியம். திசையன் என்றால் என்ன? திசையன்களை எவ்வாறு கூட்டுவது, கழிப்பது மற்றும் பெருக்குவது? ஒரு திசையனை ஒரு மெய்யெண்ணால் பெருக்குவதன் விளைவு என்ன? ஒரு தளத்தில் திசைவேகம் மற்றும் முடுக்கத்தை வரையறுக்க திசையன்களைப் பயன்படுத்துவதற்காக இதை நாம் கற்றுக்கொள்வோம். பின்னர் ஒரு தளத்தில் ஒரு பொருளின் இயக்கத்தைப் பற்றி விவாதிப்போம். ஒரு தளத்தில் இயக்கத்தின் எளிய வழக்காக, நிலையான முடுக்கத்துடன் கூடிய இயக்கத்தை விவாதித்து, எறிபொருள் இயக்கத்தை விரிவாகக் கையாள்வோம். வட்ட இயக்கம் என்பது அன்றாட வாழ்க்கைச் சூழ்நிலைகளில் சிறப்புப் பொருள் வாய்ந்த ஒரு பழக்கமான இயக்க வகையாகும். சீரான வட்ட இயக்கத்தை சிறிது விரிவாக விவாதிப்போம். இந்த அத்தியாயத்தில் ஒரு தளத்தில் இயக்கத்திற்காக உருவாக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளை மூன்று பரிமாணங்களின் வழக்குக்கு எளிதாக விரிவுபடுத்தலாம்.

3.2 அளவிகளும் திசையன்களும்

இயற்பியலில், அளவுகளை அளவிகள் அல்லது திசையன்களாக வகைப்படுத்தலாம். அடிப்படையில், வேறுபாடு என்னவென்றால், ஒரு திசையனுடன் ஒரு திசை தொடர்புடையது, ஆனால் ஒரு அளவியுடன் அல்ல. ஒரு அளவி அளவு என்பது அளவு மட்டுமே கொண்ட ஒரு அளவு. இது ஒரு ஒற்றை எண்ணால், சரியான அலகுடன் முழுமையாகக் குறிப்பிடப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டுகள்: இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம், ஒரு பொருளின் நிறை, ஒரு பொருளின் வெப்பநிலை மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட நிகழ்வு நடந்த நேரம். அளவிகளை இணைப்பதற்கான விதிகள் சாதாரண இயற்கணித விதிகள். அளவிகளை சாதாரண எண்களைப் போலவே கூட்டலாம், கழிக்கலாம், பெருக்கலாம் மற்றும் வகுக்கலாம்*. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு செவ்வகத்தின் நீளமும் அகலமும் முறையே 1.0 m மற்றும் 0.5 m எனில், அதன் சுற்றளவு நான்கு பக்கங்களின் நீளங்களின் கூட்டுத்தொகையாகும், 1.0 m + 0.5 m +1.0 m + 0.5 m = 3.0 m. ஒவ்வொரு பக்கத்தின் நீளமும் ஒரு அளவி மற்றும் சுற்றளவும் ஒரு அளவியாகும். மற்றொரு எடுத்துக்காட்டை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்: ஒரு குறிப்பிட்ட நாளில் அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச வெப்பநிலைகள் முறையே 35.6 °C மற்றும் 24.2 °C ஆகும். பின்னர், இரண்டு வெப்பநிலைகளுக்கு இடையே உள்ள வேறுபாடு 11.4 °C ஆகும். இதேபோல், 10 cm பக்கமுள்ள அலுமினியத்தின் ஒரே மாதிரியான திட கனசதுரத்தின் நிறை 2.7 kg எனில், அதன் கனஅளவு 10–3 m3 (ஒரு அளவி) மற்றும் அதன் அடர்த்தி 2.7×103 kg m–3 (ஒரு அளவி) ஆகும். ஒரு திசையன் அளவு என்பது ஒரு அளவு மற்றும் ஒரு திசை இரண்டையும் கொண்ட மற்றும் கூட்டலின் முக்கோண விதி அல்லது சமமான கூட்டலின் இணைகர விதியைப் பின்பற்றும் ஒரு அளவு ஆகும். எனவே, ஒரு திசையன் அதன் அளவை ஒரு எண்ணாலும் அதன் திசையாலும் குறிப்பிடுவதன் மூலம் குறிப்பிடப்படுகிறது. திசையன்களால் குறிப்பிடப்படும் சில இயற்பியல் அளவுகள் இடப்பெயர்ச்சி, திசைவேகம், முடுக்கம் மற்றும் விசை.

ஒரு திசையனைக் குறிக்க, இந்த புத்தகத்தில் தடிமனான எழுத்துருவைப் பயன்படுத்துகிறோம். எனவே, ஒரு திசைவேக திசையன் v என்ற குறியீட்டால் குறிப்பிடப்படலாம். தடிமனான எழுத்து உருவாக்குவது கடினமாக இருப்பதால், கையால் எழுதப்படும் போது, ஒரு திசையன் பெரும்பாலும் ஒரு எழுத்தின் மேல் வைக்கப்பட்டுள்ள அம்புக்குறியால் குறிப்பிடப்படுகிறது, rv என்று சொல்லுங்கள். எனவே, v மற்றும் rv இரண்டும் திசைவேக திசையனைக் குறிக்கின்றன. ஒரு திசையனின் அளவு பெரும்பாலும் அதன் முழுமையான மதிப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது |v| = v ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. எனவே, ஒரு திசையன் ஒரு தடிமனான எழுத்துருவால் குறிப்பிடப்படுகிறது, எ.கா. A, a, p, q, r, … x, y, முறையே இலகுவான எழுத்துரு A, a, p, q, r, … x, y ஆல் குறிக்கப்படுகிறது.

3.2.1 நிலை மற்றும் இடப்பெயர்ச்சி திசையன்கள்

ஒரு தளத்தில் நகரும் ஒரு பொருளின் நிலையை விவரிக்க, ஒரு வசதியான புள்ளியைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும், O என்பதைத் தோற்றமாகக் கொள்ளுங்கள். P மற்றும் P′ முறையே t மற்றும் t′ நேரங்களில் பொருளின் நிலைகளாக இருக்கட்டும் [படம். 3.1(a)]. O மற்றும் P ஐ ஒரு நேர்கோட்டுடன் இணைக்கிறோம். பின்னர், OP என்பது t நேரத்தில் பொருளின் நிலை திசையன் ஆகும். இந்த வரியின் தலையில் ஒரு அம்புக்குறி குறிக்கப்பட்டுள்ளது. இது r என்ற குறியீட்டால் குறிப்பிடப்படுகிறது, அதாவது OP = r. புள்ளி P′ மற்றொரு நிலை திசையனால் குறிப்பிடப்படுகிறது, OP′ என்பது r′ ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. திசையன் r இன் நீளம் திசையனின் அளவைக் குறிக்கிறது மற்றும் அதன் திசையானது O இலிருந்து பார்க்கும்போது P இருக்கும் திசையாகும். பொருள் P இலிருந்து P′ க்கு நகர்ந்தால், திசையன் PP′ (P இல் வால் மற்றும் P′ இல் முனை) என்பது P புள்ளியிலிருந்து (t நேரத்தில்) P′ புள்ளிக்கு (t′ நேரத்தில்) இயக்கத்திற்கு ஒத்த இடப்பெயர்ச்சி திசையன் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

படம். 3.1 (a) நிலை மற்றும் இடப்பெயர்ச்சி திசையன்கள். (b) இடப்பெயர்ச்சி திசையன் PQ மற்றும் வெவ்வேறு இயக்கப் பாதைகள்.

இடப்பெயர்ச்சி திசையன் என்பது ஆரம்ப மற்றும் இறுதி நிலைகளை இணைக்கும் நேர்கோடு மற்றும் இரண்டு நிலைகளுக்கு இடையில் பொருளால் மேற்கொள்ளப்பட்ட உண்மையான பாதையைப் பொறுத்தது அல்ல என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டியது அவசியம். எடுத்துக்காட்டாக, படம். 4.1(b) இல், ஆரம்ப மற்றும் இறுதி நிலைகள் P மற்றும் Q என கொடுக்கப்பட்டால், இடப்பெயர்ச்சி திசையன் வெவ்வேறு பயணப் பாதைகளுக்கு ஒரே PQ ஆகும், PABCQ, PDQ மற்றும் PBEFQ என்று சொல்லுங்கள். எனவே, இடப்பெயர்ச்சியின் அளவு இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள ஒரு பொருளின் பாதை நீளத்தை விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும். இந்த உண்மை ஒரு நேர்கோட்டில் இயக்கத்தை விவாதிக்கும் போது முந்தைய அத்தியாயத்திலும் வலியுறுத்தப்பட்டது.

3.2.2 திசையன்களின் சமத்துவம்

இரண்டு திசையன்கள் A மற்றும் B சமமாக இருந்தால், மற்றும் அவை ஒரே அளவு மற்றும் ஒரே திசையைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே சமமாக இருக்கும்.**

படம். 3.2 (a) இரண்டு சம திசையன்கள் A மற்றும் B. (b) இரண்டு திசையன்கள் A′ மற்றும் B′ சமமற்றவை, அவை ஒரே நீளம் கொண்டவை.

படம் 3.2(a) இரண்டு சம திசையன்கள் A மற்றும் B ஐக் காட்டுகிறது. அவற்றின் சமத்துவத்தை நாம் எளிதாகச் சரிபார்க்கலாம். B இன் வால் Q, A இன் வாலுடன் ஒத்துப்போகும் வரை, அதாவது Q, O உடன் ஒத்துப்போகும் வரை, B ஐ தன்னுடன் இணையாக மாற்றவும். பின்னர், அவற்றின் முனைகள் S மற்றும் P ஆகியவை ஒத்துப்போவதால், இரண்டு திசையன்களும் சமமாக இருக்கும் என்று கூறப்படுகிறது. பொதுவாக, சமத்துவம் A = B எனக் குறிக்கப்படுகிறது. படம். 3.2(b) இல், திசையன்கள் A′ மற்றும் B′ ஒரே அளவைக் கொண்டிருக்கின்றன, ஆனால் அவை வெவ்வேறு திசைகளைக் கொண்டிருப்பதால் அவை சமமாக இல்லை. B′ இன் வால் Q′ A′ இன் வால் O′ உடன் ஒத்துப்போகும் வகையில் B′ ஐ தன்னுடன் இணையாக மாற்றினாலும், B′ இன் முனை S′ A′ இன் முனை P′ உடன் ஒத்துப்போகாது.

3.3 திசையன்களை மெய்யெண்களால் பெருக்குதல்

ஒரு திசையன் A ஐ ஒரு நேர்மறை எண் λ உடன் பெருக்குவது அளவு λ காரணியால் மாற்றப்பட்ட ஒரு திசையனைக் கொடுக்கிறது, ஆனால் திசை A இன் திசையைப் போலவே இருக்கும்:

$$ |\lambda \mathbf{A}|=\lambda|\mathbf{A}| \text { if } \lambda=0 $$

எடுத்துக்காட்டாக, A ஐ 2 ஆல் பெருக்கினால், விளைவாக வரும் திசையன் 2A ஆனது A இன் அதே திசையில் இருக்கும் மற்றும் படம். 3.3(a) இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி |A| இன் இருமடங்கு அளவைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு திசையன் A ஐ ஒரு எதிர்மறை எண் −λ ஆல் பெருக்குவது A இன் திசைக்கு எதிரான திசையையும், அளவு λ மடங்கு |A| ஐயும் கொண்ட மற்றொரு திசையனைக் கொடுக்கிறது.

கொடுக்கப்பட்ட திசையன் A ஐ எதிர்மறை எண்களால், –1 மற்றும் –1.5 என்று பெருக்கினால், படம் 3.3(b) இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி திசையன்கள் கிடைக்கும். ஒரு திசையன் A பெருக்கப்படும் λ காரணி அதன் சொந்த இயற்பியல் பரிமாணத்தைக் கொண்ட ஒரு அளவியாக இருக்கலாம். பின்னர், λ A இன் பரிமாணம் λ மற்றும் A இன் பரிமாணங்களின் பெருக்கமாகும். எடுத்துக்காட்டாக, நாம் ஒரு நிலையான திசைவேக திசையனை கால அளவு (நேரம்) மூலம் பெருக்கினால், ஒரு இடப்பெயர்ச்சி திசையன் கிடைக்கும்.

படம். 3.3 (a) திசையன் A மற்றும் விளைவாக வரும் திசையன் A ஐ ஒரு நேர்மறை எண் 2 ஆல் பெருக்கிய பின். (b) திசையன் A மற்றும் விளைவாக வரும் திசையன்கள் அதை ஒரு எதிர்மறை எண் –1 மற்றும் –1.5 ஆல் பெருக்கிய பின்.

3.4 திசையன்களின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் — வரைகலை முறை

பிரிவு 3.2 இல் குறிப்பிட்டுள்ளபடி, திசையன்கள், வரையறையின்படி, முக்கோண விதி அல்லது சமமான, கூட்டலின் இணைகர விதியைப் பின்பற்றுகின்றன. வரைகலை முறையைப் பயன்படுத்தி இந்த கூட்டல் விதியை இப்போது விவரிப்போம். படம். 3.4(a) இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி ஒரு தளத்தில் இருக்கும் இரண்டு திசையன்கள் A மற்றும் B ஐக் கருத்தில் கொள்வோம். இந்த திசையன்களைக் குறிக்கும் கோடு பிரிவுகளின் நீளம் திசையன்களின் அளவுக்கு விகிதாசாரமாகும். கூட்டுத்தொகை A + B ஐக் கண்டறிய, திசையன் B இன் வால் திசையன் A இன் தலையில் இருக்கும் வகையில் வைக்கிறோம், படம். 3.4(b) இல் உள்ளது போல. பின்னர், A இன் வாலை B இன் தலையுடன் இணைக்கிறோம். இந்த கோடு OQ ஒரு திசையன் R ஐக் குறிக்கிறது, அதாவது திசையன்கள் A மற்றும் B இன் கூட்டுத்தொகை. இந்த திசையன் கூட்டல் செயல்முறையில், திசையன்கள் தலை முதல் வால் வரை அமைக்கப்பட்டிருப்பதால், இந்த வரைகலை முறை தலை-முதல்-வால் முறை என்று அழைக்கப்படுகிறது. இரண்டு திசையன்களும் அவற்றின் விளைவாகவும் ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களை உருவாக்குகின்றன, எனவே இந்த முறை திசையன் கூட்டலின் முக்கோண முறை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. படம். 3.4(c) இல் உள்ளது போல B + A இன் விளைவாகக் கண்டால், அதே திசையன் R கிடைக்கும். எனவே, திசையன் கூட்டல் பரிமாற்றுப் பண்புடையது:

A + B = B + A $\quad \quad \quad$ (3.1)

படம். 3.4 (a) திசையன்கள் A மற்றும் B. (b) திசையன்கள் A மற்றும் B வரைகலை முறையில் சேர்க்கப்பட்டது. (c) திசையன்கள் B மற்றும் A வரைகலை முறையில் சேர்க்கப்பட்டது. (d) விளக்குகிறது திசையன் கூட்டலின் சேர்ப்பு விதி.

திசையன்களின் கூட்டல் படம். 3.4(d) இல் விளக்கப்பட்டுள்ளபடி சேர்ப்பு விதியையும் பின்பற்றுகிறது. முதலில் திசையன்கள் A மற்றும் B ஐச் சேர்த்து, பின்னர் திசையன் C ஐச் சேர்ப்பதன் விளைவு, முதலில் B மற்றும் C ஐச் சேர்த்து, பின்னர் திசையன் A ஐச் சேர்ப்பதன் விளைவாகும்:

$$ \begin{equation*} (\mathbf{A}+\mathbf{B})+\mathbf{C}=\mathbf{A}+(\mathbf{B}+\mathbf{C}) \tag{3.2} \end{equation*} $$

இரண்டு சமமான மற்றும் எதிரெதிர் திசையன்களைச் சேர்ப்பதன் விளைவு என்ன? படம். 3.3(b) இல் காட்டப்பட்டுள்ள இரண்டு திசையன்கள் A மற்றும் –A ஐக் கவனியுங்கள். அவற்றின் கூட்டுத்தொகை A + (–A). இரண்டு திசையன்களின் அளவுகள் ஒரே மாதிரியாக இருப்பதால், ஆனால் திசைகள் எதிரெதிர்களாக இருப்பதால், விளைவாக வரும் திசையன் பூஜ்ஜிய அளவைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் பூஜ்ய திசையன் அல்லது பூஜ்ய திசையன் என்று அழைக்கப்படும் 0 ஆல் குறிக்கப்படுகிறது:

$$\mathbf{A}-\mathbf{A}=\mathbf{0} \qquad |\mathbf{0}|=0 \tag{3.3}$$

ஒரு பூஜ்ய திசையனின் அளவு பூஜ்ஜியமாக இருப்பதால், அதன் திசையைக் குறிப்பிட முடியாது. ஒரு திசையன் A ஐ பூஜ்ஜிய எண்ணால் பெருக்கும் போது பூஜ்ய திசையனும் விளைகிறது. 0 இன் முக்கிய பண்புகள்:

$$ \begin{align*} & \mathbf{A}+\mathbf{0}=\mathbf{A} \\ & \lambda \mathbf{0}=\mathbf{0} \\ & 0 \mathbf{A}=\mathbf{0} \tag{3.4} \end{align*} $$

ஒரு பூஜ்ய திசையனின் இயற்பியல் பொருள் என்ன? படம். 3.1(a) இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி ஒரு தளத்தில் நிலை மற்றும் இடப்பெயர்ச்சி திசையன்களைக் கவனியுங்கள். இப்போது t நேரத்தில் P இல் இருக்கும் ஒரு பொருள், P′ க்கு நகர்ந்து, பின்னர் P க்குத் திரும்புகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர், அதன் இடப்பெயர்ச்சி என்ன? ஆரம்ப மற்றும் இறுதி நிலைகள் ஒத்துப்போவதால், இடப்பெயர்ச்சி ஒரு “பூஜ்ய திசையன்” ஆகும்.

திசையன்களின் கழித்தலை திசையன்களின் கூட்டல் அடிப்படையில் வரையறுக்கலாம். இரண்டு திசையன்கள் A மற்றும் B இன் வேறுபாட்டை இரண்டு திசையன்கள் A மற்றும் –B இன் கூட்டுத்தொகையாக வரையறுக்கிறோம்:

$$ \begin{equation*} \mathbf{A}-\mathbf{B}=\mathbf{A}+(-\mathbf{B}) \tag{3.5} \end{equation*} $$

இது படம் 3.5 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது. திசையன் $-\mathbf{B}$ திசையன் $\mathbf{A}$ உடன் சேர்க்கப்பட்டு $\mathbf{R} _{2}=(\mathbf{A}-\mathbf{B})$ கிடைக்கிறது. ஒப்பிடுவதற்கு அதே படத்தில் திசையன் $\mathbf{R} _{1}=\mathbf{A}+\mathbf{B}$ காட்டப்பட்டுள்ளது. இரண்டு திசையன்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிய இணைகர முறையையும் பயன்படுத்தலாம். நம்மிடம் இரண்டு திசையன்கள் $\mathbf{A}$ மற்றும் $\mathbf{B}$ உள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம். இந்த திசையன்களைச் சேர்க்க, அவற்றின் வால்களை ஒரு பொதுவான தோற்றம் $\mathrm{O}$ க்கு கொண்டு வருகிறோம், படம். 3.6(a) இல் காட்டப்பட்டுள்ளது. பின்னர் $\mathbf{A}$ இன் தலையிலிருந்து $\mathbf{B}$ க்கு இணையாக ஒரு கோட்டையும், B இன் தலையிலிருந்து A க்கு இணையாக மற்றொரு கோட்டையும் வரைந்து ஒரு இணைகர OQSP ஐ முடிக்கிறோம். இப்போது இந்த இரண்டு கோடுகளின் குறுக்குவெட்டுப் புள்ளியை தோற்றம் O உடன் இணைக்கிறோம். விளைவாக வரும் திசையன் R பொதுவான தோற்றம் O இலிருந்து இணைகரத்தின் [படம். 3.6(b)] மூலைவிட்டத்தில் (OS) உள்ள திசையில் உள்ளது. படம்.3.6(c) இல், A மற்றும் B இன் விளைவாகப் பெற முக்கோண விதி பயன்படுத்தப்படுகிறது மற்றும் இரண்டு முறைகளும் ஒரே முடிவைத் தருகின்றன என்பதைக் காண்கிறோம். எனவே, இரண்டு முறைகளும் சமமானவை.

படம். 3.5 (a) இரண்டு திசையன்கள் A மற்றும் B, – B யும் காட்டப்பட்டுள்ளது. (b) திசையன் A இலிருந்து திசையன் B ஐக் கழித்தல் – முடிவு R2 . ஒப்பிடுவதற்கு, திசையன்கள் A மற்றும் B இன் கூட்டல், அதாவது R1 யும் காட்டப்பட்டுள்ளது.

படம். 3.6 (a) இரண்டு திசையன்கள் A மற்றும் B அவற்றின் வால்கள் ஒரு பொதுவான தோற்றத்திற்கு கொண்டு வரப்பட்டுள்ளன. (b) இணைகர முறையைப் பயன்படுத்தி பெறப்பட்ட A + B கூட்டுத்தொகை. (c) திசையன் கூட்டலின் இணைகர முறை முக்கோண முறைக்கு சமமானது.

எடுத்துக்காட்டு 3.1 மழை செங்குத்தாக 35 m s–1 வேகத்தில் விழுகிறது. சிறிது நேரம் கழித்து காற்று 12 m s–1 வேகத்தில் கிழக்கிலிருந்து மேற்கு திசையில் வீசத் தொடங்குகிறது. பஸ் நிறுத்தத்தில் காத்திருக்கும் ஒரு பையன் தனது குடையை எந்த திசையில் பிடிக்க வேண்டும்?

பதில் மழை மற்றும் காற்றின் திசைவேகங்கள் படம். 3.7 இல் உள்ள திசையன்கள் $\mathbf{v_r}$ மற்றும் $\mathbf{v_w}$ ஆல் குறிக்கப்படுகின்றன மற்றும் சிக்கலால் குறிப்பிடப்பட்ட திசையில் உள்ளன. திசையன் கூட்டல் விதியைப் பயன்படுத்தி, $\mathbf{v_r}$ மற்றும் $\mathbf{v_w}$ இன் விளைவாக $\mathrm{R}$ என்பதை படத்தில் காண்கிறோம். $\mathrm{R}$ இன் அளவு

$$ R=\sqrt{v _{r}^{2}+v _{w}^{2}}=\sqrt{35^{2}+12^{2}} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}=37 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} $$

$\theta$ செங்குத்துடன் உருவாக்கும் திசை

$$ \tan \theta=\frac{v _{w}}{v _{r}}=\frac{12}{35}=0.343 $$

அல்லது, $\theta=\tan ^{-1}(0.343)=19^{\circ}$

எனவே, பையன் தனது குடையை கிழக்கு நோக்கி செங்குத்துடன் சுமார் $19^{\circ}$ கோணத்தில் செங்குத்து தளத்தில் பிடிக்க வேண்டும்.

3.5 திசையன்களின் பிரிதல்

a மற்றும் b ஒரு தளத்தில் உள்ள எந்த இரண்டு பூஜ்ஜியமற்ற திசையன்களாகவும், வெவ்வேறு திசைகளுடனும், A அதே தளத்தில் உள்ள மற்றொரு திசையனாகவும் இருக்கட்டும் (படம். 3.8). A ஐ இரண்டு திசையன்களின் கூட்டுத்தொகையாக வெளிப்படுத்தலாம் — ஒன்று a ஐ ஒரு மெய்யெண்ணால் பெருக்குவதன் மூலம் பெறப்பட்டது மற்றும் மற்றொன்று b ஐ மற்றொரு மெய்யெண்ணால் பெருக்குவதன் மூலம் பெறப்பட்டது. இதைப் பார்க்க, O மற்றும் P முறையே திசையன் A இன் வால் மற்றும் தலை ஆக இருக்கட்டும். பின்னர், O வழியாக, a க்கு இணையாக ஒரு நேர்கோட்டையும், P வழியாக, b க்கு இணையாக ஒரு நேர்கோட்டையும் வரையவும். அவை Q இல் வெட்டட்டும். பின்னர், நம்மிடம் உள்ளது:

$$ \begin{equation*} \mathbf{A}=\mathbf{O P}=\mathbf{O} \mathbf{Q}+\mathbf{Q P} \tag{3.6} \end{equation*} $$

ஆனால் OQ ஆனது a க்கு இணையாகவும், QP ஆனது b க்கு இணையாகவும் இருப்பதால், நாம் எழுதலாம்:

$$ \begin{equation*} \mathbf{O} \mathbf{Q}=\lambda \mathbf{a} \text { तथा } \mathbf{Q P}=\mu \mathbf{b} \tag{3.7} \end{equation*} $$

இங்கு λ மற்றும் µ மெய்யெண்கள்.

எனவே,

$$\mathbf{A}=\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{b}\tag{3.8}$$

படம். 3.8 (a) இரண்டு ஒரே கோட்டில் இல்லாத திசையன்கள் a மற்றும் b. (b) ஒரு திசையன் A ஐ திசையன்கள் a மற்றும் b அடிப்படையில் பிரித்தல்.

A ஆனது முறையே a மற்றும் b வழியாக இரண்டு கூறு திசையன்களாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது என்று கூறுகிறோம். இந்த முறையைப் பயன்படுத்தி, கொடுக்கப்பட்ட திசையனை இரண்டு திசையன்களின் தொகுப்பில் இரண்டு கூறு திசையன்களாக பிரிக்கலாம் - மூன்றும் ஒரே தளத்தில் உள்ளன. அலகு அளவுள்ள திசையன்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு செவ்வக ஆய அமைப்பின் அச்சுகளில் ஒரு பொதுவான திசையனைத் தீர்ப்பது வசதியானது. இவை அலகு திசையன்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, அவற்றை இப்போது விவாதிப்போம். ஒரு அலகு திசையன் என்பது அலகு அளவு கொண்ட ஒரு திசையன் மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட திசையில் சுட்டிக்காட்டுகிறது. இதற்கு பரிமாணமும் அலகும் இல்லை. இது ஒரு திசையை மட்டுமே குறிப்பிட பயன்படுகிறது. ஒரு செவ்வக ஆய அமைப்பின் x-, y- மற்றும் z- அச்சுகளில் உள்ள அலகு திசையன்கள் முறையே $\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}} \text{ and }\hat{\mathbf{k}}$ ஆல் குறிக்கப்படுகின்றன, படம். 3.9(a) இல் காட்டப்பட்டுள்ளது. இவை அலகு திசையன்கள் என்பதால், நம்மிடம் உள்ளது

$$ \begin{equation*} |\hat{\mathbf{i}}|=\hat{\mathbf{j}}|=\hat{\mathbf{k}}|=1 \tag{3.9} \end{equation*} $$

இந்த அலகு திசையன்கள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக உள்ளன. இந்த உரையில், அவை மற்ற திசையன்களிலிருந்து வேறுபடுத்திக் காட்ட ஒரு தொப்பி (^) உடன் தடிமனான எழுத்துருவில் அச்சிடப்படுகின்றன. இந்த அத்தியாயத்தில் இரண்டு பரிமாணங்களில் இயக்கத்தைக் கையாள்வதால், இரண்டு அலகு திசையன்களை மட்டுமே பயன்படுத்த வேண்டும். நாம் ஒரு அலகு திசையனை, $\hat{\mathbf{n}}$ ஐ ஒரு அளவியால் பெருக்கினால், விளைவு ஒரு திசையன் $\lambda = \lambda\hat{\mathbf{n}}$ ஆகும். பொதுவாக, ஒரு திசையன் A என எழுதலாம்

$$ \begin{equation*} \mathbf{A}=|\mathbf{A}| \hat{\mathbf{n}} \tag{3.10} \end{equation*} $$

இங்கு $\hat{\mathbf{n}}$ என்பது A வழியாக உள்ள அலகு திசையன் ஆகும். இப்போது நாம் ஒரு திசையன் A ஐ $\hat{\mathbf{i}}$ மற்றும் $\hat{\mathbf{j}}$ அலகு திசையன்களில் உள்ள கூறு திசையன்களின் அடிப்படையில் தீர்க்கலாம். படம். 3.9(b) இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி x-y தளத்தில் இருக்கும் ஒரு திசையன் A ஐக் கவனியுங்கள். படம். 3.9(b) இல் உள்ளது போல, A இன் தலையிலிருந்து ஆய அச்சுகளுக்கு செங்குத்தாக கோடுகளை வரைகிறோம், மேலும் $\mathbf{A_1}$ மற்றும் $\mathbf{A_2}$ திசையன்களைப் பெறுகிறோம், அதாவது $\mathbf{A_1} + \mathbf{A_2} = \mathbf{A}$. $\mathbf{A_1}$ ஆனது $\hat{\mathbf{i}}$ க்கு இணையாகவும், $\mathbf{A_2}$ ஆனது $\hat{\mathbf{j}}$ க்கு இணையாகவும் இருப்பதால், நம்மிடம் உள்ளது:

படம். 3.9 (a) அலகு திசையன்கள் ɵ i , ɵ j மற்றும் ɵk ஆகியவை x-, y-, மற்ற