7.1 அறிமுகம்

நமது வாழ்க்கையின் ஆரம்பத்திலேயே, அனைத்துப் பொருட்களும் பூமியை நோக்கி ஈர்க்கப்படும் போக்கை நாம் உணர்கிறோம். மேலே எறியப்படும் எதுவும் பூமியை நோக்கி விழுகிறது, மலையேறுவது மலையிறங்குவதை விட மிகவும் சோர்வாக இருக்கும், மேகங்களிலிருந்து மழைத்துளிகள் பூமியை நோக்கி விழுகின்றன மற்றும் இதுபோன்ற பல நிகழ்வுகள் உள்ளன. வரலாற்று ரீதியாக, இத்தாலிய இயற்பியலாளர் கலிலியோ (1564-1642) ஆனார் அனைத்து பொருட்களும், அவற்றின் நிறைகளைப் பொருட்படுத்தாமல், ஒரு நிலையான முடுக்கத்துடன் பூமியை நோக்கி முடுக்கப்படுகின்றன என்பதை அறிந்தவர். இந்த உண்மையை அவர் பொதுமக்களுக்கு வெளிப்படையாக நிரூபித்ததாகக் கூறப்படுகிறது. உண்மையைக் கண்டறிய, அவர் சாய்ந்த தளங்களில் உருளும் பொருட்களுடன் சோதனைகளை நிச்சயமாகச் செய்தார், மேலும் பின்னர் பெறப்பட்ட மிகத் துல்லியமான மதிப்புக்கு அருகில் உள்ள ஈர்ப்பு விசையால் ஏற்படும் முடுக்கத்தின் மதிப்பை அடைந்தார்.

தோற்றத்தில் தொடர்பில்லாததாகத் தோன்றும் ஒரு நிகழ்வு, நட்சத்திரங்கள், கோள்கள் மற்றும் அவற்றின் இயக்கத்தைக் கவனித்தல், மிகப் பழங்காலத்திலிருந்தே பல நாடுகளில் கவனத்தின் பொருளாக இருந்து வந்துள்ளது. ஆரம்பகால காலங்களிலிருந்தே கவனிப்புகள், ஆண்டுதோறும் மாறாத நிலைகளுடன் வானத்தில் தோன்றும் நட்சத்திரங்களை அங்கீகரித்தன. மிகவும் சுவாரஸ்யமான பொருள்கள் கோள்கள் ஆகும், அவை நட்சத்திரங்களின் பின்னணியில் ஒழுங்கான இயக்கங்களைக் கொண்டிருப்பதாகத் தோன்றுகின்றன. சுமார் 2000 ஆண்டுகளுக்கு முன்பு டாலமி முன்மொழிந்த கோள இயக்கங்களுக்கான மிகப் பழமையான பதிவு செய்யப்பட்ட மாதிரி ஒரு ‘புவிமைய’ மாதிரியாகும், இதில் அனைத்து வானப் பொருட்களும், நட்சத்திரங்கள், சூரியன் மற்றும் கோள்கள் அனைத்தும் பூமியைச் சுற்றி வருகின்றன. வானப் பொருட்களுக்கு சாத்தியமான ஒரே இயக்கம் வட்டத்தில் இயக்கம் என்று நினைக்கப்பட்டது. கோள்களின் கவனிக்கப்பட்ட இயக்கத்தை விவரிக்க டாலமியால் இயக்கத்தின் சிக்கலான திட்டங்கள் முன்வைக்கப்பட்டன. கோள்கள் வட்டங்களில் நகர்வதாக விவரிக்கப்பட்டன, வட்டங்களின் மையங்கள் தாமே பெரிய வட்டங்களில் நகர்ந்தன. இதே போன்ற கோட்பாடுகள் சுமார் 400 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு இந்திய வானியலாளர்களாலும் முன்வைக்கப்பட்டன. இருப்பினும், சூரியன் மையமாக இருந்து கோள்கள் சுற்றிவரும் ஒரு மிகவும் நேர்த்தியான மாதிரி - ‘சூரிய மைய’ மாதிரி - ஏற்கனவே ஆரியபட்டா ( $5^{\text {th }}$ நூற்றாண்டு கி.பி.) அவரது நூலில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. ஆயிரம் ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு, நிக்கோலஸ் கோப்பர்னிக்கஸ் (1473-1543) என்ற போலந்து துறவி ஒரு நிலையான மைய சூரியனைச் சுற்றி கோள்கள் வட்டங்களில் நகரும் ஒரு திட்டவட்டமான மாதிரியை முன்மொழிந்தார். அவரது கோட்பாடு சர்ச்சால் மறுக்கப்பட்டது, ஆனால் அதன் ஆதரவாளர்களில் குறிப்பிடத்தக்கவர் கலிலியோ, அவர் தனது நம்பிக்கைகளுக்காக மாநிலத்திடமிருந்து வழக்கு நடத்த வேண்டியிருந்தது.

கலிலியோவின் காலத்தைச் சுற்றியே, டென்மார்க்கைச் சேர்ந்த டைக்கோ பிராகே (1546-1601) என்ற ஒரு பிரபு, தனது வாழ்நாள் முழுவதையும் கோள்களின் கண்காணிப்புகளை நிர்வாணக் கண்ணால் பதிவு செய்தார். அவரது தொகுக்கப்பட்ட தரவுகள் பின்னர் அவரது உதவியாளர் ஜோஹான்னஸ் கெப்லர் (1571-1640) ஆகியோரால் பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்டன. அவர் தரவுகளிலிருந்து மூன்று நேர்த்தியான விதிகளைப் பிரித்தெடுக்க முடிந்தது, அவை இப்போது கெப்லரின் விதிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. இந்த விதிகள் நியூட்டனுக்குத் தெரிந்திருந்தன, மேலும் அவரது உலகளாவிய ஈர்ப்பு விதியை முன்மொழியும் ஒரு பெரிய அறிவியல் பாய்ச்சலைச் செய்ய இது அவரை இயலச் செய்தது.

7.2 கெப்லரின் விதிகள்

கெப்லரின் மூன்று விதிகளை பின்வருமாறு கூறலாம்:

1. சுற்றுப்பாதைகளின் விதி : அனைத்து கோள்களும் நீள்வட்ட சுற்றுப்பாதைகளில் நகரும், சூரியன் நீள்வட்டத்தின் (படம் 7.1a) குவியங்களில் ஒன்றில் அமைந்துள்ளது (படம் 7.1a). இந்த விதி வட்ட சுற்றுப்பாதைகளை மட்டுமே அனுமதித்த கோப்பர்னிக்கன் மாதிரியிலிருந்து ஒரு விலகலாகும். நீள்வட்டம், இதில் வட்டம் ஒரு சிறப்பு வழக்கு, ஒரு மூடிய வளைவு ஆகும், இது பின்வருமாறு மிக எளிதாக வரையப்படலாம்.

படம். 7.1(a) சூரியனைச் சுற்றி ஒரு கோள் வரையப்பட்ட நீள்வட்டம். அருகிலுள்ள புள்ளி P மற்றும் தொலைதூர புள்ளி A, P என்பது புறநிலை என்றும் A என்பது அப்போஹிலியன் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. அரை-முக்கிய அச்சு என்பது AP தூரத்தின் பாதி

படம். 7.1(b) ஒரு நீள்வட்டத்தை வரைதல். ஒரு சரத்தின் முனைகள் F1 மற்றும் F2 இல் நிலையானவை. ஒரு பென்சிலின் நுனி சரத்தை இறுக்கமாகப் பிடித்து சுற்றி நகர்த்தப்படுகிறது

இரண்டு புள்ளிகள் $\mathrm{F}_1$ மற்றும் $\mathrm{F}_2$ ஐத் தேர்ந்தெடுக்கவும். ஒரு சரத்தின் நீளத்தை எடுத்து அதன் முனைகளை $F_1$ மற்றும் $F_2$ இல் ஊசிகளால் சரிசெய்யவும். ஒரு பென்சிலின் நுனியுடன் சரத்தை இறுக்கமாக நீட்டி, பின்னர் சரத்தை முழுவதுமாக இறுக்கமாக வைத்து பென்சிலை நகர்த்துவதன் மூலம் ஒரு வளைவை வரையவும்.(படம். 7.1(b)) நீங்கள் பெறும் மூடிய வளைவு நீள்வட்டம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. நீள்வட்டத்தின் எந்தப் புள்ளிக்கும் $\mathrm{T}$, $\mathrm{F}_1$ மற்றும் $\mathrm{F}_2$ இலிருந்து உள்ள தூரங்களின் கூட்டுத்தொகை ஒரு மாறிலி என்பது தெளிவாகிறது. $\mathrm{F}_1, \mathrm{~F}_2$ குவியங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. புள்ளிகள் $\mathrm{F}_1$ மற்றும் $\mathrm{F}_2$ ஐ இணைத்து, கோட்டை நீட்டி படம் 7.1(b) இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி புள்ளிகள் $\mathrm{P}$ மற்றும் $\mathrm{A}$ இல் நீள்வட்டத்தை வெட்டவும். PA கோட்டின் நடுப்புள்ளி நீள்வட்டத்தின் மையம் $\mathrm{O}$ மற்றும் நீளம் $\mathrm{PO}=$ AO நீள்வட்டத்தின் அரை-முக்கிய அச்சு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு வட்டத்திற்கு, இரண்டு குவியங்களும் ஒன்றாக இணைகின்றன மற்றும் அரை-முக்கிய அச்சு வட்டத்தின் ஆரமாக மாறும்.

2. பரப்பளவுகளின் விதி : எந்தக் கோளையும் சூரியனுடன் இணைக்கும் கோடு, சம கால இடைவெளிகளில் சம பரப்பளவுகளை வீசுகிறது (படம் 7.2). கோள்கள் சூரியனிடமிருந்து தொலைவில் இருக்கும்போது அவை அருகில் இருக்கும்போது விட மெதுவாக நகர்வதாகத் தோன்றுகின்றன என்பதிலிருந்து இந்த விதி வருகிறது.

படம். 7.2 கோள் P சூரியனைச் சுற்றி ஒரு நீள்வட்ட சுற்றுப்பாதையில் நகரும். நிழலாடிய பகுதி என்பது சிறிய கால இடைவெளி ∆t இல் வீசப்பட்ட பரப்பளவு ∆A ஆகும்.

3. காலங்களின் விதி : ஒரு கோளின் சுழற்சியின் காலத்தின் வர்க்கம், கோள் வரையப்பட்ட நீள்வட்டத்தின் அரை-முக்கிய அச்சின் கனசதுரத்திற்கு விகிதாசாரமாகும்.

அட்டவணை 7.1 சூரியனைச் சுற்றி எட்டு* கோள்களின் சுழற்சியின் தோராயமான காலங்களையும் அவற்றின் அரை-முக்கிய அச்சுகளின் மதிப்புகளையும் கொடுக்கிறது.

அட்டவணை 7.1

கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள கோள இயக்கங்களின் அளவீட்டிலிருந்து தரவுகள் கெப்லரின் காலங்களின் விதியை உறுதிப்படுத்துகின்றன

$$ \begin{aligned} & (a \equiv \text{Semi-major axis in units of } 10^{10} \mathrm{~m}. \\ & T \equiv \text{Time period of revolution of the planet in years }(y). \\ & Q \equiv \text{The quotient } ( T^{2} / a^{3})\\ & \text{in units of } 10^{-34} \mathrm{y}^{2} \mathrm{~m}^{-3}.) \end{aligned} $$

பரப்பளவுகளின் விதியை, எந்த மைய விசைக்கும் செல்லுபடியாகும் கோண உந்தப் பாதுகாப்பின் விளைவாக புரிந்து கொள்ளலாம். ஒரு மைய விசை என்பது கோளின் மீதான விசை சூரியன் மற்றும் கோளை இணைக்கும் திசையன் வழியாக இருக்கும். சூரியன் தோற்றத்தில் இருக்கட்டும் மற்றும் கோளின் நிலை மற்றும் உந்தம் முறையே $\mathbf{r}$ மற்றும் $\mathbf{p}$ ஆல் குறிக்கப்படட்டும். பின்னர் நிறை $\mathrm{m}$ கொண்ட கோள் கால இடைவெளி $\Delta t$ இல் வீசப்பட்ட பரப்பளவு (படம். 7.2) $\Delta \mathbf{A}$ ஆல் வழங்கப்படுகிறது

$$ \begin{equation*} \Delta \mathbf{A}=1 / 2(\mathbf{r} \times \mathbf{v} \Delta t) \tag{7.1} \end{equation*} $$

எனவே

$$ \Delta \mathbf{A} / \Delta \mathrm{t}=1 / 2(\mathbf{r} \times \mathbf{p}) / \mathrm{m},(\text { since } \mathbf{v}=\mathbf{p} / \mathrm{m}) $$ $$ \begin{equation*} =\mathrm{L} /(2 \mathrm{~m}) \tag{7.2} \end{equation*} $$

இங்கு $\mathbf{v}$ என்பது திசைவேகம், $\mathbf{L}$ என்பது கோண உந்தம் $(\mathbf{r} \times \mathbf{p})$ க்கு சமம். ஒரு மைய விசைக்கு, இது $\mathbf{r}, \mathbf{L}$ வழியாக இயக்கப்படுகிறது, கோள் சுற்றிவரும் போது ஒரு மாறிலியாகும். எனவே, $\Delta \mathbf{A} / \Delta t$ கடைசி சமன்பாட்டின் படி ஒரு மாறிலியாகும். இதுவே பரப்பளவுகளின் விதி. ஈர்ப்பு விசை ஒரு மைய விசை மற்றும் எனவே பரப்பளவுகளின் விதி பின்பற்றப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 7.1 படம் 7.1(a) இல் உள்ள புறநிலை $P$ இல் கோளின் வேகம் $V_P$ ஆகவும், சூரிய-கோள் தூரம் SP $r_P$ ஆகவும் இருக்கட்டும். ⟦118⟨ ஐ அப்போஹிலியன் $\{r_A, V_A\}$ இல் உள்ள தொடர்புடைய அளவுகளுடன் தொடர்புபடுத்தவும். கோள் $B A C$ மற்றும் $C P B$ ஐக் கடக்க சம நேரம் எடுக்குமா?

பதில் $P$ இல் உள்ள கோண உந்தத்தின் அளவு $L_p=m_p r_p V_p$ ஆகும், ஏனெனில் ஆய்வு $\mathbf{r}_p$ மற்றும் $\mathbf{v}_p$ பரஸ்பர செங்குத்தாக இருப்பதை நமக்குக் காட்டுகிறது. இதேபோல், $L_A=m_p r_A V_A$. கோண உந்தப் பாதுகாப்பிலிருந்து

$$ m_{p} r_{p} v_{p}=m_{p} r_{A} v_{A} $$

அல்லது $\frac{v_{p}}{v_{A}}=\frac{r_{A}}{r_{p}}$

$r_{A}>r_{p}, V_{p}>v_{A}$ என்பதால்.

பரப்பளவு $S B A C$ நீள்வட்டம் மற்றும் ஆரம் திசையன்கள் $S B$ மற்றும் $S C$ ஆல் வரையறுக்கப்பட்டது $\mathrm{SBPC}$ ஐ விட பெரியது படம் 7.1 இல். கெப்லரின் இரண்டாவது விதியிலிருந்து, சம பரப்பளவுகள் சம நேரங்களில் வீசப்படுகின்றன. எனவே கோள் ⟦133⟨ ஐ விட ⟦134⟨ ஐக் கடக்க அதிக நேரம் எடுக்கும்.

7.3 ஈர்ப்பு விசையின் உலகளாவிய விதி

ஒரு ஆப்பிளை மரத்திலிருந்து விழுவதைக் கவனித்து, நியூட்டன் பூமியீர்ப்பு விசை மற்றும் கெப்லரின் விதிகளுக்கு விளக்கத்திற்கு வழிவகுத்த ஒரு உலகளாவிய ஈர்ப்பு விதியை அடைய ஊக்கமளிக்கப்பட்டார் என்று கதை கூறுகிறது. நியூட்டனின் பகுத்தறிவு என்னவென்றால், ஆரம் $R_{m}$ கொண்ட சுற்றுப்பாதையில் சுழலும் சந்திரன் பூமியின் ஈர்ப்பு விசையால் ஏற்படும் மையநோக்கு முடுக்கத்திற்கு உட்பட்டது.

$$ \begin{equation*} a_{m}=\frac{V^{2}}{R_{m}}=\frac{4 \pi^{2} R_{m}}{T^{2}} \tag{7.3} \end{equation*} $$

இங்கு $V$ என்பது சந்திரனின் வேகம், இது காலம் $T$ உடன் $V=2 \pi R_{m} / T$ என்ற தொடர்புடன் தொடர்புடையது. காலம் $T$ சுமார் 27.3 நாட்கள் மற்றும் $R_{m}$ ஏற்கனவே சுமார் $3.84 \quad 10^{8} \mathrm{~m}$ என்று அறியப்பட்டது. இந்த எண்களை சமன்பாட்டில் (7.3) மாற்றினால், $a_{m}$ இன் மதிப்பைப் பெறுகிறோம், இது பூமியின் ஈர்ப்பு விசையால் ஏற்படும் பூமியின் மேற்பரப்பில் ஈர்ப்பு விசையால் ஏற்படும் முடுக்கம் $g$ இன் மதிப்பை விட மிகவும் சிறியது. இது பூமியின் ஈர்ப்பு விசையால் ஏற்படும் விசை தூரத்துடன் குறைகிறது என்பதை தெளிவாகக் காட்டுகிறது. பூமியின் ஈர்ப்பு விசை பூமியின் மையத்திலிருந்து உள்ள தூரத்தின் தலைகீழ் வர்க்கத்திற்கு விகிதாசாரமாக குறைகிறது என்று ஒருவர் கருதினால், நமக்கு $a_{m} \alpha R_{m}^{-2} ; g \alpha R_{E}^{-2}$ கிடைக்கும் மற்றும் நாம் பெறுகிறோம்

$$ \begin{equation*} \frac{g}{a_{m}}=\frac{R_{m}^{2}}{R_{E}^{2}} \simeq 3600 \tag{7.4} \end{equation*} $$

$g \simeq 9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$ இன் மதிப்புடன் மற்றும் சமன்பாட்டிலிருந்து (7.3) $a_{\mathrm{m}}$ இன் மதிப்புடன் ஒத்துப்போகிறது. இந்த கவனிப்புகள் நியூட்டனை பின்வரும் உலகளாவிய ஈர்ப்பு விதியை முன்மொழிய வழிவகுத்தன:

பிரபஞ்சத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு பொருளும் மற்ற ஒவ்வொரு பொருளையும் அவற்றின் நிறைகளின் பெருக்கத்திற்கு நேர்விகிதத்திலும், அவற்றுக்கிடையேயான தூரத்தின் வர்க்கத்திற்கு நேர்மாறான விகிதத்திலும் கொண்ட ஒரு விசையால் ஈர்க்கிறது.

இந்த மேற்கோள் அடிப்படையில் நியூட்டனின் பிரபலமான ‘இயற்கைத் தத்துவத்தின் கணிதக் கோட்பாடுகள்’ (சுருக்கமாக பிரின்சிபியா) என்ற நூலில் இருந்து எடுக்கப்பட்டது.

கணித ரீதியாக கூறினால், நியூட்டனின் ஈர்ப்பு விதி பின்வருமாறு: ஒரு புள்ளி நிறை $m_{2}$ மீது மற்றொரு புள்ளி நிறை $m_{1}$ காரணமாக ஏற்படும் விசை $\mathbf{F}$ அளவு கொண்டது

$$ \begin{equation*} |\mathbf{F}|=G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} \tag{7.5} \end{equation*} $$

சமன்பாடு (7.5) திசையன் வடிவத்தில் வெளிப்படுத்தப்படலாம்

$$ \begin{aligned} \mathbf{F} & =G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}(-\hat{\mathbf{r}})=-G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} \hat{\mathbf{r}} \\ \\ & =-G \frac{m_{1} m_{2}}{|\mathbf{r}|^{3}} \hat{\mathbf{r}} \end{aligned} $$

இங்கு $\mathrm{G}$ என்பது உலகளாவிய ஈர்ப்பு மாறிலி, $\hat{\mathbf{r}}$ என்பது $m_1$ இலிருந்து $m_2$ க்கு உள்ள அலகு திசையன் மற்றும் $\mathbf{r}=\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$ படம் 7.3 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது.

படம். 7.3 m2 காரணமாக m1 மீது ஈர்ப்பு விசை r வழியாக உள்ளது, இதில் திசையன் r (r2 – r1) ஆகும்.

$m_2$ காரணமாக $m_1$ மீது ஈர்ப்பு விசை $\mathbf{r}$ வழியாக உள்ளது, இதில் திசையன் $\mathbf{r}$ ($\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$) ஆகும். ஈர்ப்பு விசை கவர்ச்சிகரமானது, அதாவது விசை $\mathbf{F}$ $-\mathbf{r}$ வழியாக உள்ளது. புள்ளி நிறை $m_1$ மீது $m_2$ காரணமாக ஏற்படும் விசை நிச்சயமாக நியூட்டனின் மூன்றாவது விதியின்படி $-\mathbf{F}$ ஆகும். எனவே, உடல் 1 மீது உடல் 2 காரணமாக ஏற்படும் ஈர்ப்பு விசை F₁₂ மற்றும் உடல் 2 மீது உடல் 1 காரணமாக ஏற்படும் F₂₁ ஆகியவை தொடர்புடையவை

F₁₂=-F₂₁.

சமன்பாட்டை (7.5) கருதப்படும் பொருட்களுக்குப் பயன்படுத்துவதற்கு முன், நாம் கவனமாக இருக்க வேண்டும், ஏனெனில் விதி புள்ளி நிறைகளைக் குறிக்கிறது, அதே நேரத்தில் நாம் வரையறுக்கப்பட்ட அளவைக் கொண்ட நீட்டிக்கப்பட்ட பொருள்களைக் கையாளுகிறோம். புள்ளி நிறைகளின் தொகுப்பு இருந்தால், அவற்றில் ஏதேனும் ஒன்றின் மீதான விசை மற்ற புள்ளி நிறைகளால் செலுத்தப்படும் ஈர்ப்பு விசைகளின் திசையன் கூட்டுத்தொகையாகும், இது படம் 7.4 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது.

படம். 7.4 புள்ளி நிறை m1 மீது ஈர்ப்பு விசை என்பது m2, m3 மற்றும் m4 ஆகியவற்றால் செலுத்தப்படும் ஈர்ப்பு விசைகளின் திசையன் கூட்டுத்தொகையாகும்.

$m_1$ மீதான மொத்த விசை

$$ F_1=\frac{G m_2 m_1}{r_{21}^2} \hat{r_{21}}+\frac{G m_3 m_1}{r_{31}^2} \hat{r_{31}}+\frac{G m_4 m_1}{r_{41}^2} \hat{r_{41}} $$

எடுத்துக்காட்டு 7.2 மூன்று சம நிறைகள் $m \mathrm{~kg}$ ஒவ்வொன்றும் ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் $\mathrm{ABC}$ முனைகளில் நிலையானவை.

(a) மையம் $\mathrm{G}$ இல் வைக்கப்பட்ட ஒரு நிறை $2 m$ மீது செயல்படும் விசை என்ன?

(b) முனை $\mathrm{A}$ இல் உள்ள நிறை இரட்டிப்பாக்கப்பட்டால் விசை என்ன?

$\mathrm{AG}=\mathrm{BG}=\mathrm{CG}=1 \mathrm{~m}$ ஐ எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் (படம் 7.5 ஐப் பார்க்கவும்)

பதில் (a) GC மற்றும் நேர்மறை $x$-அச்சுக்கு இடையே உள்ள கோணம் $30^{\circ}$ மற்றும் GB மற்றும் எதிர்மறை $x$-அச்சுக்கு இடையே உள்ள கோணமும் ஆகும். திசையன் குறியீட்டில் தனிப்பட்ட விசைகள்

படம். 7.5 ∆ ABC இன் மூன்று முனைகளிலும் மூன்று சம நிறைகள் வைக்கப்பட்டுள்ளன. மையம் G இல் 2m நிறை வைக்கப்பட்டுள்ளது.

$$ \begin{aligned} & \mathbf{F_\mathrm{GA}}=\frac{G m(2 m)}{1} \hat{\mathbf{j}} \\ & \mathbf{F_\mathrm{GB}}=\frac{G m(2 m)}{1}\left(\hat{\mathbf{i}} \cos 30^{\circ}-\hat{\mathbf{j}} \sin 30^{\circ}\right) \\ & \mathbf{F_\mathrm{GC}}=\frac{G m(2 m)}{1}\left(+\hat{\mathbf{i}} \cos 30^{\circ}-\hat{\mathbf{j}} \sin 30^{\circ}\right) \end{aligned} $$

மேல்நிலைக் கொள்கை மற்றும் திசையன் கூட்டல் விதியிலிருந்து, $(2 m)$ மீதான விளைவு ஈர்ப்பு விசை $\mathbf{F}_{\mathrm{R}}$ ஆகும்

$$ \begin{aligned} & \mathbf{F_\mathrm{R}}= \mathbf{F_\mathrm{GA}}+\mathbf{F_\mathrm{GB}}+\mathbf{F_\mathrm{GC}} \\ & \mathbf{F_\mathrm{R}}=2 G m^{2} \hat{\mathbf{j}}+2 G m^{2}\left(-\hat{\mathbf{i}} \cos 30^{\circ}-\hat{\mathbf{j}} \sin 30^{\circ}\right) \\ &+2 G m^{2}\left(\hat{\mathbf{i}} \cos 30^{\circ}-\hat{\mathbf{j}} \sin 30^{\circ}\right)=0 \end{aligned} $$

மாற்றாக, சமச்சீரின் அடிப்படையில் விளைவு விசை பூஜ்ஜியமாக இருக்க வேண்டும் என்று ஒருவர் எதிர்பார்க்கிறார்.

(b) இப்போது A முனையில் உள்ள நிறை இரட்டிப்பாக்கப்பட்டால்

$$ \begin{aligned} & \mathrm{F_{G A}^{\prime}}=\frac{\mathrm{G} 2 m \cdot 2 m}{1} \hat{\mathrm{j}}=4 \mathrm{Gm}^{2} \hat{\mathrm{j}} \\ & \mathrm{F_{G B}^{\prime}}=\mathrm{F_G B} \text { and } \mathrm{F_G C}^{\prime}=\mathrm{F_G C} \\ & \mathrm{~F_{R}^{\prime}}=\mathrm{F_G A}^{\prime}+\mathrm{F_G B}^{\prime}+\mathrm{F_G C}^{\prime} \\ & \mathrm{F_{\mathrm{R}}^{\prime}}=2 G m^{2} \hat{\mathrm{j}} \end{aligned} $$

ஒரு நீட்டிக்கப்பட்ட பொருள் (பூமி போன்ற) மற்றும் ஒரு புள்ளி நிறைக்கு இடையே உள்ள ஈர்ப்பு விசைக்கு, சமன்பாடு (7.5) நேரடியாக பொருந்தாது. நீட்டிக்கப்பட்ட பொருளில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளி நிறையும் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி நிறை மீது ஒரு விசையைச் செலுத்தும், மேலும் இந்த விசைகள் அனைத்தும் ஒரே திசையில் இருக்காது. மொத்த விசையைப் பெற, நீட்டிக்கப்பட்ட பொருளில் உள்ள அனைத்து புள்ளி நிறைகளுக்கும் இந்த விசைகளை திசையன் ரீதியாகச் சேர்க்க வேண்டும். இது கால்குலஸைப் பயன்படுத்தி எளிதாகச் செய்யப்படுகிறது. இரண்டு சிறப்பு நிகழ்வுகளுக்கு, நீங்கள் அதைச் செய்யும்போது ஒரு எளிய விதி விளைகிறது:

(1) ஒரே சீரான அடர்த்தி கொண்ட ஒரு குழிவான கோள ஓட்டுக்கும் வெளியே அமைந்துள்ள ஒரு புள்ளி நிறைக்கும் இடையே உள்ள ஈர்ப்பு விசை, ஓட்டின் முழு நிறையும் ஓட்டின் மையத்தில் குவிந்துள்ளது போலவே இருக்கும்.

தரமான ரீதியாக இதை பின்வருமாறு புரிந்து கொள்ளலாம்: ஓட்டின் பல்வேறு பகுதிகளால் ஏற்படும் ஈர்ப்பு விசைகள், புள்ளி நிறையை மையத்துடன் இணைக்கும் கோட்டுடன் சேர்த்து, இந்தக் கோட்டிற்கு செங்குத்தாக ஒரு திசையிலும் கூறுகளைக் கொண்டுள்ளன. இந்தக் கோட்டிற்கு செங்குத்தாக உள்ள கூறுகள், ஓட்டின் அனைத்துப் பகுதிகளுக்கும் கூட்டும்போது ரத்து செய்யப்படுகின்றன, புள்ளியை மையத்துடன் இணைக்கும் கோட்டுடன் ஒரு விளைவு விசையை மட்டுமே விட்டுச் செல்கின்றன. இந்த விசையின் அளவு மேலே கூறியபடி செயல்படுகிறது.

(2) ஒரே சீரான அடர்த்தி கொண்ட ஒரு குழிவான கோள ஓட்டின் காரணமாக ஏற்படும் ஈர்ப்பு விசை, அதன் உள்ளே அமைந்துள்ள ஒரு புள்ளி நிறை மீது பூஜ்ஜியமாகும்.

தரமான ரீதியாக, இந்த முடிவை மீண்டும் புரிந்து கொள்ளலாம். கோள ஓட்டின் பல்வேறு பகுதிகள் அதன் உள்ளே உள்ள புள்ளி நிறையை பல்வேறு திசைகளில் ஈர்க்கின்றன. இந்த விசைகள் ஒன்றையொன்று முழுமையாக ரத்து செய்கின்றன.

7.4 ஈர்ப்பு மாறிலி

உலகளாவிய ஈர்ப்பு விதியில் நுழையும் ஈர்ப்பு மாறிலி $G$ இன் மதிப்பை சோதனை ரீதியாக தீர்மானிக்க முடியும், இது முதன்முதலில் 1798 இல் ஆங்கில விஞ்ஞானி ஹென்றி கேவென்டிஷ் என்பவரால் செய்யப்பட்டது. அவர் பயன்படுத்திய கருவி திட்டவட்டமாக படம் 7.6 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது

படம். 7.6 கேவென்டிஷின் சோதனையின் திட்டவட்டமான வரைபடம். S1 மற்றும் S2 ஆகியவை பெரிய கோளங்கள், அவை A மற்றும் B இல் உள்ள நிறைகளின் இருபுறமும் வைக்கப்பட்டுள்ளன (நிழல்களால் காட்டப்பட்டுள்ளன). பெரிய கோளங்கள் நிறைகளின் மறுபக்கத்திற்கு கொண்டு செல்லப்படும் போது (புள்ளியிடப்பட்ட வட்டங்களால் காட்டப்பட்டுள்ளன), AB பட்டை சிறிது சுழலும், ஏனெனில் முறுக்கு திசையை மாற்றுகிறது. சுழற்சியின் கோணம் சோதனை ரீதியாக அளவிடப்படலாம்.

பட்டை $\mathrm{AB}$ அதன் முனைகளில் இரண்டு சிறிய ஈயக் கோளங்கள் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. பட்டை ஒரு நேர்த்தியான கம்பி மூலம் ஒரு கடினமான ஆதரவிலிருந்து இடைநிறுத்தப்பட்டுள்ளது. இரண்டு பெரிய ஈயக் கோளங்கள் சிறியவற்றிற்கு அருகில் கொண்டு வரப்படுகின்றன, ஆனால் எதிரெதிர் பக்கங்களில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி. பெரிய கோளங்கள் அருகிலுள்ள சிறியவற்றை சமமான மற்றும் எதிர் விசைகளால் ஈர்க்கின்றன. பட்டையில் எந்த நிகர விசையும் இல்லை, ஆனால் ஒரு முறுக்கு மட்டுமே உள்ளது, இது தெளிவாக $\mathrm{F}$ மடங்கு பட்டையின் நீளத்திற்கு சமம், இங்கு $\mathrm{F}$ என்பது ஒரு பெரிய கோளத்திற்கும் அதன் அண்டை சிறிய கோளத்திற்கும் இடையே உள்ள ஈர்ப்பு விசையாகும். இந்த முறுக்கு காரணமாக, இடைநிறுத்தப்பட்ட கம்பி முறுக்கப்பட்டு, கம்பியின் மீட்டல் முறுக்கு ஈர்ப்பு முறுக்குக்கு சமமாகும் வரை இருக்கும். $\theta$ என்பது இடைநிறுத்தப்பட்ட கம்பியின் முறுக்குக் கோணமாக இருந்தால், மீட்டல் முறுக்கு $\theta$ க்கு விகிதாசாரமாகும், $\tau \theta$ க்கு சமமாகும். இங்கு $\tau$ என்பது முறுக்குக் கோணத்தின் அலகுக்கான மீட்டல் இணை ஆகும். $\tau$ சுயாதீனமாக அளவிடப்படலாம், எ.கா., அறியப்பட்ட முறுக்கைப் பயன்படுத்தி முறுக்குக்