பெரும்பாலான அறிவியல்களில் ஒரு தலைமுறை மற்றொன்று கட்டியதை இடித்து, ஒருவர் நிறுவியதை மற்றொருவர் அழிக்கிறார். கணிதத்தில் மட்டுமே ஒவ்வொரு தலைமுறையும் பழைய கட்டமைப்பில் ஒரு புதிய கதையை கட்டுகிறது. - ஹெர்மன் ஹேங்கல்

10.1 அறிமுகம்

நம் அன்றாட வாழ்க்கையில், பல கேள்விகளை நாம் சந்திக்கிறோம் - உங்கள் உயரம் என்ன? ஒரு கால்பந்து வீரர் தனது அணியின் மற்றொரு வீரருக்கு பாஸ் கொடுக்க பந்தை எவ்வாறு அடிக்க வேண்டும்? முதல் கேள்விக்கு சாத்தியமான பதில் 1.6 மீட்டர் என்று கவனிக்கவும், இது ஒரு மெய்யெண்ணாக இருக்கும் ஒரு மதிப்பை (அளவு) மட்டுமே உள்ளடக்கிய ஒரு அளவு. இத்தகைய அளவுகள் ஸ்கேலர்கள் (ஸ்கேலர் அளவுகள்) என்று அழைக்கப்படுகின்றன. இருப்பினும், இரண்டாவது கேள்விக்கான பதில் ஒரு அளவு (விசை என்று அழைக்கப்படுகிறது) இது தசை வலிமை (அளவு) மற்றும் திசையை (மற்றொரு வீரர் எந்த திசையில் அமைந்துள்ளார்) உள்ளடக்கியது. இத்தகைய அளவுகள் திசையன்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. கணிதம், இயற்பியல் மற்றும் பொறியியலில், நாம் அடிக்கடி இரு வகையான அளவுகளையும் சந்திக்கிறோம், அதாவது, நீளம், நிறை, நேரம், தூரம், வேகம், பரப்பளவு, கனஅளவு, வெப்பநிலை, வேலை, பணம், மின்னழுத்தம், அடர்த்தி, தடை போன்ற ஸ்கேலர் அளவுகள் மற்றும் இடப்பெயர்ச்சி, திசைவேகம், முடுக்கம், விசை, எடை, உந்தம், மின்புலச் செறிவு போன்ற திசையன் அளவுகள்.

டபிள்யூ.ஆர். ஹாமில்டன் $(1805-1865)$

இந்த அத்தியாயத்தில், திசையன்கள் பற்றிய சில அடிப்படைக் கருத்துகள், திசையன்களின் பல்வேறு செயல்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் இயற்கணித மற்றும் வடிவியல் பண்புகளைப் படிப்போம். இந்த இரண்டு வகையான பண்புகளும், ஒன்றாகக் கருதப்படும்போது, திசையன்களின் கருத்துக்கு முழுமையான உணர்வைத் தருகின்றன, மேலும் மேலே குறிப்பிட்டுள்ள பல்வேறு பகுதிகளில் அவற்றின் முக்கியமான பயன்பாட்டிற்கு வழிவகுக்கின்றன.

10.2 சில அடிப்படைக் கருத்துகள்

’ $l$ ’ என்பது தளத்தில் அல்லது முப்பரிமாண இடத்தில் உள்ள எந்த நேர்கோடாகவும் இருக்கட்டும். இந்த கோட்டிற்கு அம்புக்குறிகளின் மூலம் இரண்டு திசைகளை கொடுக்கலாம். இந்த திசைகளில் ஒன்று குறிப்பிடப்பட்ட ஒரு கோடு, திசைப்படுத்தப்பட்ட கோடு என்று அழைக்கப்படுகிறது (படம் 10.1 (i), (ii)).

படம் 10.1

இப்போது கவனிக்கவும், நாம் கோட்டை $l$ AB என்ற கோட்டுத் துண்டுக்கு மட்டுப்படுத்தினால், கோட்டின் மீது $l$ இரண்டு திசைகளில் ஒன்றுடன் ஒரு அளவு குறிப்பிடப்படுகிறது, இதனால் நமக்கு ஒரு திசைப்படுத்தப்பட்ட கோட்டுத் துண்டு கிடைக்கும் (படம் 10.1(iii)). இவ்வாறு, ஒரு திசைப்படுத்தப்பட்ட கோட்டுத் துண்டு அளவு மற்றும் திசை இரண்டையும் கொண்டுள்ளது.

வரையறை 1 அளவு மற்றும் திசை இரண்டையும் கொண்ட ஒரு அளவு திசையன் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு திசைப்படுத்தப்பட்ட கோட்டுத் துண்டு ஒரு திசையன் என்பதை கவனிக்கவும் (படம் 10.1(iii)), இது $\overrightarrow{{}AB}$ அல்லது வெறுமனே $\vec{a}$ எனக் குறிக்கப்படுகிறது, மேலும் ‘திசையன் $\overrightarrow{{}AB}$’ அல்லது ‘திசையன் $\vec{a}$’ எனப் படிக்கப்படுகிறது.

திசையன் $\overrightarrow{{}AB}$ தொடங்கும் புள்ளி ⟦109⟅ அதன் தொடக்கப் புள்ளி என்றும், அது முடிவடையும் புள்ளி $B$ அதன் முனைப் புள்ளி என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு திசையனின் தொடக்க மற்றும் முனைப் புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம் திசையனின் அளவு (அல்லது நீளம்) என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது $|\overrightarrow{{}AB}|$, அல்லது $|\vec{a}|$, அல்லது $a$ எனக் குறிக்கப்படுகிறது. அம்புக்குறி திசையனின் திசையைக் குறிக்கிறது.

குறிப்பு நீளம் ஒருபோதும் எதிர்மறையாக இல்லாததால், $|\vec{a}|<0$ என்ற குறியீட்டிற்கு எந்த அர்த்தமும் இல்லை.

நிலைத் திசையன்

11 ஆம் வகுப்பிலிருந்து, முப்பரிமாண வலது கை செவ்வக ஆய அமைப்பை நினைவுகூருங்கள் (படம் 10.2(i)). O என்ற தோற்றத்தைப் பொறுத்து $(x, y, z)$ ஆயங்களைக் கொண்ட இடத்தில் ஒரு புள்ளி $P$ ஐக் கவனியுங்கள். பின்னர், $O$ மற்றும் ⟦121⟅ ஆகியவற்றை முறையே அதன் தொடக்க மற்றும் முனைப் புள்ளிகளாகக் கொண்ட திசையன் $\overrightarrow{{}OP}$, O ஐப் பொறுத்து புள்ளி $P$ இன் நிலைத் திசையன் என்று அழைக்கப்படுகிறது. (11 ஆம் வகுப்பிலிருந்து) தூர வாய்பாட்டைப் பயன்படுத்தி, $\overrightarrow{{}OP}$ (அல்லது $\vec{r}$) இன் அளவு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது

$$ |\overrightarrow{{}OP}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} $$

நடைமுறையில், தோற்றம் O $O$ ஐப் பொறுத்து P, Q, முதலிய புள்ளிகளின் நிலைத் திசையன்கள் முறையே $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$, முதலியவற்றால் குறிக்கப்படுகின்றன (படம் 10.2 (ii)).

படம் 10.2

திசைக் கோசைன்கள்

படம் 10.3 இல் உள்ளதைப் போல ஒரு புள்ளி P $P(x, y, z)$ இன் நிலைத் திசையன் $\overrightarrow{{}OP}$ (அல்லது $\vec{r}$) ஐக் கவனியுங்கள். திசையன் $\vec{r}$ ஆனது x, y மற்றும் z $x, y$ மற்றும் $z$-அச்சுகளின் நேர்மறை திசைகளுடன் உருவாக்கும் கோணங்கள் $\alpha$, $\beta, \gamma$ முறையே அதன் திசைக் கோணங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. இந்த கோணங்களின் கோசைன் மதிப்புகள், அதாவது, $\cos \alpha, \cos \beta$ மற்றும் $\cos \gamma$ ஆகியவை திசையன் $\vec{r}$ இன் திசைக் கோசைன்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் அவை பொதுவாக $l, m$ மற்றும் $n$ எனக் குறிக்கப்படுகின்றன.

படம் 10.3 இலிருந்து, OAP முக்கோணம் செங்கோண முக்கோணம் என்பதைக் கவனிக்கலாம், மேலும் அதில், நம்மிடம் $\cos \alpha=\frac{x}{r}(r$ உள்ளது, இது $|\vec{r}|)$ ஐக் குறிக்கிறது. இதேபோல், செங்கோண முக்கோணங்கள் OBP மற்றும் OCP இலிருந்து, நாம் $\cos \beta=\frac{y}{r}$ மற்றும் $\cos \gamma=\frac{z}{r}$ என்று எழுதலாம். இவ்வாறு, P புள்ளியின் ஆயங்கள் $(l r, m r, n r)$ எனவும் வெளிப்படுத்தப்படலாம். திசைக் கோசைன்களுக்கு விகிதசமமான எண்கள் $l r, m r$ மற்றும் $n r$ ஆகியவை திசையன் $\vec{r}$ இன் திசை விகிதங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் அவை முறையே $a, b$ மற்றும் $c$ எனக் குறிக்கப்படுகின்றன.

குறிப்பு $l^{2}+m^{2}+n^{2}=1$ ஆனால் பொதுவாக $a^{2}+b^{2}+c^{2} \neq 1$ என்பதை ஒருவர் கவனிக்கலாம்.

10.3 திசையன்களின் வகைகள்

பூஜ்ஜிய திசையன் தொடக்க மற்றும் முனைப் புள்ளிகள் ஒன்றிணைந்த ஒரு திசையன், பூஜ்ஜிய திசையன் (அல்லது சுழி திசையன்) என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் $\overrightarrow{{}0}$ எனக் குறிக்கப்படுகிறது. பூஜ்ஜிய திசையனுக்கு பூஜ்ஜிய அளவு இருப்பதால் ஒரு திட்டவட்டமான திசையை ஒதுக்க முடியாது. அல்லது, மாற்றாக, அதற்கு எந்த திசையும் இருக்கலாம் என்று கருதலாம். திசையன்கள் $\overrightarrow{{}AA}, \overrightarrow{{}BB}$ பூஜ்ஜிய திசையனைக் குறிக்கின்றன,

அலகுத் திசையன் அளவு ஒன்று (அதாவது, 1 அலகு) கொண்ட ஒரு திசையன் அலகுத் திசையன் என்று அழைக்கப்படுகிறது. கொடுக்கப்பட்ட திசையன் $\vec{a}$ இன் திசையில் உள்ள அலகுத் திசையன் $\hat{a}$ எனக் குறிக்கப்படுகிறது.

ஒரே தொடக்கத் திசையன்கள் ஒரே தொடக்கப் புள்ளியைக் கொண்ட இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட திசையன்கள் ஒரே தொடக்கத் திசையன்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

நேர்கோட்டுத் திசையன்கள் இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட திசையன்கள் அவற்றின் அளவுகள் மற்றும் திசைகள் இருப்பதைப் பொருட்படுத்தாமல், ஒரே கோட்டிற்கு இணையாக இருந்தால், அவை நேர்கோட்டுத் திசையன்கள் என்று கூறப்படுகின்றன.

சம திசையன்கள் இரண்டு திசையன்கள் $\vec{a}$ மற்றும் $\vec{b}$ ஆகியவை சமம் என்று கூறப்படுகின்றன, அவை ஒரே அளவு மற்றும் திசையைக் கொண்டிருந்தால், அவற்றின் தொடக்கப் புள்ளிகளின் நிலைகளைப் பொருட்படுத்தாமல், மேலும் $\vec{a}=\vec{b}$ என எழுதப்படுகிறது.

ஒரு திசையனின் எதிர்மறை கொடுக்கப்பட்ட திசையனின் (எடுத்துக்காட்டாக, $\overrightarrow{{}AB}$) அளவு போன்றே இருக்கும், ஆனால் திசை அதற்கு எதிரானதாக இருக்கும் ஒரு திசையன், கொடுக்கப்பட்ட திசையனின் எதிர்மறை என்று அழைக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, திசையன் $\overrightarrow{{}BA}$ என்பது திசையன் $\overrightarrow{{}AB}$ இன் எதிர்மறை ஆகும், மேலும் $\overrightarrow{{}BA}=-\overrightarrow{{}AB}$ என எழுதப்படுகிறது.

குறிப்பு மேலே வரையறுக்கப்பட்ட திசையன்கள், அவற்றில் ஏதேனும் ஒன்று அதன் அளவு மற்றும் திசையை மாற்றாமல் அதன் இணை இடப்பெயர்ச்சிக்கு உட்படுத்தப்படக்கூடியவை. இத்தகைய திசையன்கள் கட்டற்ற திசையன்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. இந்த அத்தியாயம் முழுவதும், நாம் கட்டற்ற திசையன்களை மட்டுமே கையாள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1 தெற்கின் மேற்கே $40 km, 30^{\circ}$ இடப்பெயர்ச்சியை வரைபடமாக குறிப்பிடவும்.

தீர்வு திசையன் $\overrightarrow{{}OP}$ தேவையான இடப்பெயர்ச்சியைக் குறிக்கிறது (படம் 10.4).

படம் 10.4

எடுத்துக்காட்டு 2 பின்வரும் அளவீடுகளை வகைப்படுத்துங்கள் ஸ்கேலர்கள் மற்றும் திசையன்கள்.

(i) $5 \mathrm{~s}$

(ii) $1000 \mathrm{~cm}^{3}$

(iii) $10 \mathrm{~N}$

(iv) $30 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$

(v) $10 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}$

(vi) $20 m / s$ வடக்கு நோக்கி

தீர்வு

(i) நேரம்-ஸ்கேலர்

(ii) கனஅளவு-ஸ்கேலர்

(iii) விசை-திசையன்

(iv) வேகம்-ஸ்கேலர்

(v) அடர்த்தி-ஸ்கேலர்

(vi) திசைவேகம்-திசையன்

எடுத்துக்காட்டு 3 படம் 10.5 இல், எந்த திசையன்கள்:

(i) நேர்கோட்டுத் திசையன்கள்

(ii) சம திசையன்கள்

(iii) ஒரே தொடக்கத் திசையன்கள்

தீர்வு

(i) நேர்கோட்டுத் திசையன்கள்: $\vec{a}, \vec{c}$ மற்றும் $\vec{d}$.

(ii) சம திசையன்கள்: $\vec{a}$ மற்றும் $\vec{c}$.

(iii) ஒரே தொடக்கத் திசையன்கள்: $\vec{b}, \vec{c}$ மற்றும் $\vec{d}$.

10.4 திசையன்களின் கூட்டல்

ஒரு திசையன் $\overrightarrow{{}AB}$ என்பது A புள்ளியிலிருந்து B புள்ளிக்கு $B$ இடப்பெயர்ச்சியைக் குறிக்கிறது. இப்போது ஒரு சூழ்நிலையைக் கவனியுங்கள், ஒரு பெண் A $A$ இலிருந்து B $B$ க்கு நகர்ந்து, பின்னர் B $B$ இலிருந்து C $C$ க்கு நகருகிறார் (படம் 10.7). A $A$ புள்ளியிலிருந்து C $C$ புள்ளிக்கு பெண் செய்த நிகர இடப்பெயர்ச்சி, திசையன் $\overrightarrow{{}AC}$ மூலம் வழங்கப்படுகிறது மற்றும் பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தப்படுகிறது

படம் 10.7

$ \overrightarrow{{}AC}=\overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC} $

இது திசையன் கூட்டலின் முக்கோண விதி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

பொதுவாக, நம்மிடம் இரண்டு திசையன்கள் $\vec{a}$ மற்றும் $\vec{b}$ இருந்தால் (படம் 10.8 (i)), அவற்றைக் கூட்ட, ஒன்றின் தொடக்கப் புள்ளி மற்றொன்றின் முனைப் புள்ளியுடன் ஒத்துப்போகும் வகையில் அவை அமைக்கப்படுகின்றன (படம் 10.8(ii)).

படம் 10.8

எடுத்துக்காட்டாக, படம் 10.8 (ii) இல், திசையன் $\vec{b}$ ஐ அதன் அளவு மற்றும் திசையை மாற்றாமல் மாற்றியுள்ளோம், அதனால் அதன் தொடக்கப் புள்ளி $\vec{a}$ இன் முனைப் புள்ளியுடன் ஒத்துப்போகிறது. பின்னர், முக்கோணம் ABC $ABC$ இன் மூன்றாவது பக்கம் AC $AC$ ஆல் குறிக்கப்படும் திசையன் $\vec{a}+\vec{b}$, திசையன்கள் $\vec{a}$ மற்றும் $\vec{b}$ ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகையை (அல்லது தொகுபயன்) நமக்குத் தருகிறது, அதாவது, முக்கோணம் ABC $ABC$ இல் (படம் 10.8 (ii)), நம்மிடம் உள்ளது

$ \overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC}=\overrightarrow{{}AC} $

இப்போது மீண்டும், $\overrightarrow{{}AC}=-\overrightarrow{{}CA}$ என்பதால், மேலே உள்ள சமன்பாட்டிலிருந்து, நம்மிடம் உள்ளது

$$ \overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC}+\overrightarrow{{}CA}=\overrightarrow{{}AA}=\overrightarrow{{}0} $$

இதன் பொருள், ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் வரிசையாக எடுக்கப்படும்போது, அது பூஜ்ஜிய தொகுபயனுக்கு வழிவகுக்கிறது, ஏனெனில் தொடக்க மற்றும் முனைப் புள்ளிகள் ஒன்றிணைகின்றன (படம் 10.8(iii)).

இப்போது, ஒரு திசையன் $\overrightarrow{{}BC^{\prime}}$ ஐ உருவாக்குவோம், அதன் அளவு திசையன் $\overrightarrow{{}BC}$ போலவே இருக்கும், ஆனால் திசை அதற்கு எதிரானது (படம் 10.8 (iii)), அதாவது, $ \overrightarrow{{}BC^{\prime}}=-\overrightarrow{{}BC} $ பின்னர், படம் 10.8 (iii) இலிருந்து முக்கோண விதியைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நம்மிடம் உள்ளது $ \overrightarrow{{}AC^{\prime}}=\overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC^{\prime}}=\overrightarrow{{}AB}+(-\overrightarrow{{}BC})=\vec{a}-\vec{b} $

திசையன் $\overrightarrow{{}AC^{\prime}}$ ஆனது $\vec{a}$ மற்றும் $\vec{b}$ ஆகியவற்றின் வித்தியாசத்தைக் குறிக்கிறது என்று கூறப்படுகிறது.

இப்போது, ஒரு ஆற்றில் ஒரு படகு ஆற்றின் ஓட்டத்திற்கு செங்குத்தாக ஒரு கரையிலிருந்து மற்றொரு கரைக்குச் செல்வதைக் கவனியுங்கள். பின்னர், அது இரண்டு திசைவேக திசையன்களால் செயல்படுத்தப்படுகிறது-ஒன்று அதன் இயந்திரத்தால் படகுக்கு வழங்கப்படும் திசைவேகம் மற்றொன்று ஆற்று நீரின் ஓட்டத்தின் திசைவேகம். இந்த இரண்டு திசைவேகங்களின் ஒரே நேரத்திலான தாக்கத்தின் கீழ், படகு உண்மையில் வேறுபட்ட திசைவேகத்துடன் பயணிக்கத் தொடங்குகிறது. படகின் பயனுள்ள வேகம் மற்றும் திசை (அதாவது, தொகுபயன் திசைவேகம்) பற்றிய துல்லியமான யோசனையைப் பெற, திசையன் கூட்டலின் பின்வரும் விதியை நாம் கொண்டுள்ளோம்.

ஒரு இணைகரத்தின் இரண்டு அடுத்துள்ள பக்கங்களால் அளவு மற்றும் திசையில் (படம் 10.9) குறிக்கப்படும் இரண்டு திசையன்கள் $\vec{a}$ மற்றும் $\vec{b}$ இருந்தால், அவற்றின் கூட்டுத்தொகை $\vec{a}+\vec{b}$ அளவு மற்றும் திசையில் அவற்றின் பொதுப் புள்ளி வழியாக செல்லும் இணைகரத்தின் மூலைவிட்டத்தால் குறிக்கப்படுகிறது. இது திசையன் கூட்டலின் இணைகர விதி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

படம் 10.9

குறிப்பு படம் 10.9 இலிருந்து, முக்கோண விதியைப் பயன்படுத்தி, ஒருவர் கவனிக்கலாம்

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ அல்லது $\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ ($\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ என்பதால்)

இது இணைகர விதி. இவ்வாறு, திசையன் கூட்டலின் இரண்டு விதிகளும் ஒன்றுக்கொன்று சமமானவை என்று நாம் கூறலாம்.

திசையன் கூட்டலின் பண்புகள்

பண்பு 1 எந்த இரண்டு திசையன்களுக்கும் $\vec{a}$ மற்றும் $\vec{b}$,

$ \vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a} $

(பரிமாற்றுப் பண்பு) நிரூபணம் இணைகரம் ABCD $ABCD$ ஐக் கவனியுங்கள் (படம் 10.10). $\overrightarrow{{}AB}=\vec{a}$ மற்றும் $\overrightarrow{{}BC}=\vec{b}$ என்க, பின்னர் முக்கோண விதியைப் பயன்படுத்தி, முக்கோண ABC $ABC$ இலிருந்து, நம்மிடம் உள்ளது $ \overrightarrow{{}AC}=\vec{a}+\vec{b} $

இப்போது, ஒரு இணைகரத்தின் எதிரெதிர் பக்கங்கள் சமமாகவும் இணையாகவும் இருப்பதால், படம் 10.10 இலிருந்து, நம்மிடம் $\overrightarrow{{}AD}=\overrightarrow{{}BC}=\vec{b}$ மற்றும் $\overrightarrow{{}DC}=\overrightarrow{{}AB}=\vec{a}$ உள்ளது. மீண்டும் முக்கோண விதியைப் பயன்படுத்தி,

படம் 10.10 முக்கோணம் ADC $ADC$ இலிருந்து, நம்மிடம் உள்ளது

$ \overrightarrow{{}AC}=\overrightarrow{{}AD}+\overrightarrow{{}DC}=\vec{b}+\vec{a} $

எனவே

$ \vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a} $

பண்பு 2 எந்த மூன்று திசையன்களுக்கும் $a, b$ மற்றும் $c$

$ (\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c}) $

நிரூபணம் திசையன்கள் $\vec{a}, \vec{b}$ மற்றும் $\vec{c}$ ஆகியவை முறையே $\overrightarrow{{}PQ}, \overrightarrow{{}QR}$ மற்றும் $\overrightarrow{{}RS}$ ஆகியவற்றால் குறிக்கப்படட்டும், படம் 10.11(i) மற்றும் (ii) இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி.

படம் 10.11

பின்னர் $$\quad\quad\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{{}PQ}+\overrightarrow{{}QR}=\overrightarrow{{}PR}$$

மற்றும் $$ \quad\quad\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{{}QR}+\overrightarrow{{}RS}=\overrightarrow{{}QS}$$

எனவே $$ \quad\quad(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\overrightarrow{{}PR}+\overrightarrow{{}RS}=\overrightarrow{{}PS}$$

மற்றும் $$\quad \quad\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})=\overrightarrow{{}PQ}+\overrightarrow{{}QS}=\overrightarrow{{}PS}$$

எனவே $$\quad(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$$

குறிப்பு திசையன் கூட்டலின் சேர்ப்புப் பண்பு, மூன்று திசையன்களின் கூட்டுத்தொகை $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ஐ $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ என அடைப்புக்குறிகள் இல்லாமல் எழுத அனுமதிக்கிறது.

எந்த திசையனுக்கும் $a$, நம்மிடம் உள்ளது என்பதைக் கவனிக்கவும்

$$ \vec{a}+\overrightarrow{{}0}=\overrightarrow{{}0}+\vec{a}=\vec{a} $$

இங்கே, பூஜ்ஜிய திசையன் $\overrightarrow{{}0}$ திசையன் கூட்டலுக்கான கூட்டல் முற்றொருமை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

10.5 ஒரு திசையனை ஒரு ஸ்கேலரால் பெருக்கல்

$\vec{a}$ ஒரு கொடுக்கப்பட்ட திசையனாகவும், $\lambda$ ஒரு ஸ்கேலராகவும் இருக்கட்டும். பின்னர் திசையன் $\vec{a}$ இன் ஸ்கேலர் $\lambda$ ஆல் பெருக்கல், $\lambda \vec{a}$ எனக் குறிக்கப்படுகிறது, இது திசையன் $\vec{a}$ ஐ ஸ்கேலர் $\lambda$ ஆல் பெருக்குதல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. $\lambda \vec{a}$ என்பதும் ஒரு திசையன் என்பதைக் கவனிக்கவும், இது திசையன் $\vec{a}$ க்கு நேர்கோட்டில் உள்ளது. திசையன் $\lambda \vec{a}$ ஆனது திசையன் $\vec{a}$ இன் திசையைப் போலவே (அல்லது எதிரெதிர்) கொண்டுள்ளது, ஸ்கேலர் $\lambda$ இன் மதிப்பு நேர்மறையாக (அல்லது எதிர்மறையாக) இருப்பதைப் பொறுத்து. மேலும், திசையன் $\lambda \vec{a}$ இன் அளவு $|\lambda|$ மடங்கு திசையன் $\vec{a}$ இன் அளவு ஆகும், அதாவது,

$$ |\lambda \vec{a}|=|\lambda||\vec{a}| $$

ஒரு திசையனை ஒரு ஸ்கேலரால் பெருக்குவதற்கான வடிவியல் காட்சிப்படுத்தல் படம் 10.12 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

படம் 10.12

$\lambda=-1$ ஆக இருக்கும்போது, $\lambda \vec{a}=-\vec{a}$, இது ஒரு திசையன் ஆகும், இது திசையன் $\vec{a}$ இன் அளவுக்கு சமமான அளவைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் திசை திசையன் $\vec{a}$ இன் திசைக்கு எதிரானது. திசையன் $-\vec{a}$ திசையன் $\vec{a}$ இன் எதிர்மறை (அல்லது கூட்டல் நேர்மாறு) என்று அழைக்கப்படுகிறது மேலும் நம்மிடம் எப்போதும் உள்ளது

$ \vec{a}+(-\vec{a})=(-\vec{a})+\vec{a}=\overrightarrow{{}0} $

மேலும், $\lambda=\frac{1}{|a|}$ எனில், $\vec{a} \neq 0$ வழங்கப்பட்டது, அதாவது $\vec{a}$ ஒரு சுழி திசையன் அல்ல,

பின்னர் $$ |\lambda \vec{a}|=|\lambda||\vec{a}|=\frac{1}{|\vec{a}|}|\vec{a}|=1 $$

எனவே, $\lambda \vec{a}$ ஆனது திசையன் $\vec{a}$ இன் திசையில் உள்ள அலகுத் திசையனைக் குறிக்கிறது. நாம் அதை இவ்வாறு எழுதுகிறோம்

$$ \hat{a}=\frac{1}{|\vec{a}|} \vec{a} $$

குறிப்பு எந்த ஸ்கேலருக்கும் $k, k \overrightarrow{{}0}=\overrightarrow{{}0}$.

10.5.1 ஒரு திசையனின் கூறுகள்

x-அச்சு, y-அச்சு மற்றும் z-அச்சு மீது முறையே புள்ளிகள் A(1,0,0), B(0,1,0) மற்றும் C(0,0,1) $A(1,0,0), B(0,1,0)$ மற்றும் $C(0,0,1)$ ஐ எடுத்துக்கொள்வோம். பின்னர், தெளிவாக

$$ |\overrightarrow{{}OA}|=1,|\overrightarrow{{}OB}|=1 \text{ and }|\overrightarrow{{}OC}|=1 $$

திசையன்கள் $\overrightarrow{{}OA}, \overrightarrow{{}OB}$ மற்றும் $\overrightarrow{{}OC}$, ஒவ்வொன்றும் அளவு 1 ஐக் கொண்டவை, முறையே x, y மற்றும் z $OX, OY$ மற்றும் $OZ$ அச்சுகளின் வழியாக உள்ள அலகுத் திசையன்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் முறையே $\hat{i}, \hat{j}$ மற்றும் $\hat{k}$ எனக் குறிக்கப்படுகின்றன (படம் 10.13).

இப்போது, படம் 10.14 இல் உள்ளதைப் போல ஒரு புள்ளி P(x, y, z) $P(x, y, z)$ இன் நிலைத் திசையன் $\overline{OP}$ ஐக் கவனியுங்கள். P இலிருந்து XOY தளத்திற்கு செங்குத்தாக உள்ள பாதத்தை N $P_1$ என்க. இவ்வாறு, PN ஆனது z-அச்சுக்கு இணையாக உள்ளது என்பதை நாம் காண்கிறோம். $\hat{i}, \hat{j}$ மற்றும் $\hat{k}$ ஆகியவை முறையே x மற்றும் y $x, y$ மற்றும் $z$-அச்சுகளின் வழியாக உள்ள அலகுத் திசையன்களாக இருப்பதால், மற்றும் P $P$ இன் ஆயங்களின் வரையறையின்படி, நம்மிடம் $\overrightarrow{{}P_1 P}=\overrightarrow{{}OR}=z \hat{k}$ உள்ளது. இதேபோல், $\overrightarrow{{}QP_1}=\overrightarrow{{}OS}=y \hat{j}$ மற்றும் $\overrightarrow{{}OQ}=x \hat{i}$.

எனவே, அது பின்வருமாறு

$$ \begin{aligned} & \overrightarrow{{}OP_1}=\overrightarrow{{}OQ}+\overrightarrow{{}QP_1}=x \hat{i}+y \hat{j} \\ & \overrightarrow{{}OP}=\overrightarrow{{}OP_1}+\overrightarrow{{}P_1 P}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k} \end{aligned} $$

எனவே, O $O$ ஐப் பொறுத்து P $P$ இன் நிலைத் திசையன் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது

$ \overrightarrow{{}OP}(\text{ or } \vec{r})=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k} $

எந்தவொரு திசையனின் இந்த வடிவமும் அதன் கூறு வடிவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இங்கே, x,