கணிதக் கண்டுபிடிப்பின் இயக்க சக்தி பகுத்தறிவு அல்ல, ஆனால் கற்பனை. - ஏ.டிமோர்கன்

11.1 அறிமுகம்

தரம் XI-ல், இரு பரிமாணங்களில் பகுமுறை வடிவியல் மற்றும் முப்பரிமாண வடிவியலுக்கான அறிமுகத்தைப் படிக்கும் போது, நாம் கார்ட்டீசிய முறைகளுக்கு மட்டுமே கட்டுப்பட்டிருந்தோம். இந்த புத்தகத்தின் முந்தைய அத்தியாயத்தில், நாம் திசையன்களின் சில அடிப்படைக் கருத்துகளைப் படித்தோம். இப்போது நாம் திசையன் இயற்கணிதத்தை முப்பரிமாண வடிவியலுக்குப் பயன்படுத்துவோம். 3-பரிமாண வடிவியலுக்கான இந்த அணுகுமுறையின் நோக்கம், இது ஆய்வை எளிமையாகவும் நேர்த்தியாகவும்* ஆக்குகிறது.

இந்த அத்தியாயத்தில், இரண்டு புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டின் திசைக் கொசைன்கள் மற்றும் திசை விகிதங்களைப் படிப்போம் மற்றும் வெவ்வேறு நிபந்தனைகளின் கீழ் வெளியில் உள்ள கோடுகள் மற்றும் தளங்களின் சமன்பாடுகள், இரண்டு கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம், இரண்டு தளங்கள், ஒரு கோடு மற்றும் ஒரு தளம், இரண்டு சாய்வான கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள மிகக் குறுகிய தூரம் மற்றும் ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு தளத்திற்கான தூரம் பற்றியும் விவாதிப்போம். மேலே உள்ள பெரும்பாலான முடிவுகள் திசையன் வடிவத்தில் பெறப்படுகின்றன. இருப்பினும், இந்த முடிவுகளை கார்ட்டீசிய வடிவத்திலும் மொழிபெயர்ப்போம், இது சில சமயங்களில் நிலைமையின் மிகத் தெளிவான வடிவியல் மற்றும் பகுப்பாய்வுப் படத்தை வழங்குகிறது.

லியோனார்ட் ஆய்லர் $(\mathbf{1 7 0 7 - 1 7 8 3 })$

11.2 ஒரு கோட்டின் திசைக் கொசைன்கள் மற்றும் திசை விகிதங்கள்

அத்தியாயம் 10-ல் இருந்து நினைவுகூருங்கள், ஒரு திசைப்படுத்தப்பட்ட கோடு $L$ தோற்றம் வழியாகச் சென்று $\alpha, \beta$ மற்றும் $\gamma$ கோணங்களை முறையே $x, y$ மற்றும் $z$-அச்சுகளுடன் உருவாக்கினால், அவை திசைக் கோணங்கள் எனப்படும், பின்னர் இந்த கோணங்களின் கொசைன்கள், அதாவது, $\cos \alpha, \cos \beta$ மற்றும் $\cos \gamma$ ஆகியவை திசைப்படுத்தப்பட்ட கோட்டின் $L$ திசைக் கொசைன்கள் எனப்படும்.

$L$ இன் திசையை நாம் தலைகீழாக மாற்றினால், திசைக் கோணங்கள் அவற்றின் துணைக் கோணங்களால் மாற்றப்படும், அதாவது, $\pi-\alpha, \pi-\beta$ மற்றும் $\pi-\gamma$. எனவே, திசைக் கொசைன்களின் அறிகுறிகள் தலைகீழாக மாற்றப்படும்.

படம் 11.1

விண்வெளியில் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு கோடு இரண்டு எதிர் திசைகளில் நீட்டிக்கப்படலாம் என்பதையும், எனவே அதற்கு இரண்டு தொகுப்பு திசைக் கொசைன்கள் உள்ளன என்பதையும் கவனிக்கவும். விண்வெளியில் கொடுக்கப்பட்ட கோட்டிற்கு ஒரு தனித்துவமான தொகுப்பு திசைக் கொசைன்களைக் கொண்டிருக்க, கொடுக்கப்பட்ட கோட்டை ஒரு திசைப்படுத்தப்பட்ட கோடாக எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும். இந்த தனித்துவமான திசைக் கொசைன்கள் $l, m$ மற்றும் $n$ ஆல் குறிக்கப்படுகின்றன.

குறிப்பு விண்வெளியில் கொடுக்கப்பட்ட கோடு தோற்றம் வழியாகச் செல்லவில்லை என்றால், அதன் திசைக் கொசைன்களைக் கண்டறிய, தோற்றம் வழியாக ஒரு கோட்டை வரைந்து கொடுக்கப்பட்ட கோட்டிற்கு இணையாக எடுத்துக்கொள்கிறோம். இப்போது தோற்றத்திலிருந்து ஒரு திசைப்படுத்தப்பட்ட கோடுகளை எடுத்து அதன் திசைக் கொசைன்களைக் கண்டறியவும், ஏனெனில் இரண்டு இணை கோடுகளும் ஒரே மாதிரியான திசைக் கொசைன்களைக் கொண்டிருக்கும்.

ஒரு கோட்டின் திசைக் கொசைன்களுக்கு விகிதாசாரமாக இருக்கும் ஏதேனும் மூன்று எண்கள் அந்த கோட்டின் திசை விகிதங்கள் எனப்படும். $l, m, n$ திசைக் கொசைன்களாகவும் $a, b, c$ ஒரு கோட்டின் திசை விகிதங்களாகவும் இருந்தால், $a=\lambda l, b=\lambda m$ மற்றும் $c=\lambda n$, எந்த பூஜ்ஜியமற்ற $\lambda \in \mathbf{R}$ க்கும்.

குறிப்பு சில ஆசிரியர்கள் திசை விகிதங்களை திசை எண்கள் என்றும் அழைக்கிறார்கள்.

$a, b, c$ ஒரு கோட்டின் திசை விகிதங்களாக இருக்கட்டும் மற்றும் $l, m$ மற்றும் $n$ கோட்டின் திசைக் கொசைன்களாக (d.c’s) இருக்கட்டும். பிறகு

$$ \frac{l}{a}=\frac{m}{b}=\frac{n}{c}=k \text{ (say), } k \text{ being a constant. } $$

எனவே $ \qquad l=a k, m=b k, n=c k $

ஆனால் $ \qquad l^{2}+m^{2}+n^{2}=1 $

எனவே $ \qquad k^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=1 $

அல்லது $ \qquad k= \pm \frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} $

எனவே, (1) இலிருந்து, கோட்டின் d.c.‘கள் $ \qquad l= \pm \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}, m= \pm \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}, n= \pm \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} $

இங்கு, $k$ இன் விரும்பிய அடையாளத்தைப் பொறுத்து, $l, m$ மற்றும் $n$ க்கு நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை அடையாளம் எடுக்கப்பட வேண்டும். எந்தவொரு கோட்டிற்கும், $a, b, c$ ஒரு கோட்டின் திசை விகிதங்களாக இருந்தால், $k a, k b, k c ; k \neq 0$ என்பதும் திசை விகிதங்களின் தொகுப்பாகும். எனவே, ஒரு கோட்டின் திசை விகிதங்களின் ஏதேனும் இரண்டு தொகுப்புகளும் விகிதாசாரமாக இருக்கும். மேலும், எந்தவொரு கோட்டிற்கும் எண்ணற்ற திசை விகிதங்களின் தொகுப்புகள் உள்ளன.

11.2.1 இரண்டு புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும் கோட்டின் திசைக் கொசைன்கள்

இரண்டு கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் வழியாக ஒரு மற்றும் ஒரே ஒரு கோடு செல்வதால், கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் $P(x_1, y_1, z_1)$ மற்றும் $Q(x_2, y_2, z_2)$ வழியாகச் செல்லும் கோட்டின் திசைக் கொசைன்களை பின்வருமாறு தீர்மானிக்கலாம் (படம் 11.2 (அ)).

படம் 11.2

$l, m, n$ கோடு PQ இன் திசைக் கொசைன்களாக இருக்கட்டும் மற்றும் அது $\alpha, \beta$ மற்றும் $\gamma$ கோணங்களை முறையே $x, y$ மற்றும் $z$-அச்சுடன் உருவாக்கட்டும்.

$P$ மற்றும் $Q$ இலிருந்து செங்குத்துகளை $XY$-தளத்திற்கு வரைந்து $R$ மற்றும் $S$ இல் சந்திக்கவும். $P$ இலிருந்து ஒரு செங்குத்தை $QS$ க்கு வரைந்து $N$ இல் சந்திக்கவும். இப்போது, செங்கோண முக்கோணம் $PNQ, \angle PQN=\gamma$ இல் (படம் 11.2 (b)).

$$ \begin{aligned} & \cos \gamma=\frac{\mathrm{NQ}}{\mathrm{PQ}}=\frac{z _{2}-z _{1}}{\mathrm{PQ}} \\ & \cos \alpha=\frac{x _{2}-x _{1}}{\mathrm{PQ}} \text { और } \cos \beta=\frac{y _{2}-y _{1}}{\mathrm{PQ}} \end{aligned} $$

எனவே எனவே, $P(x_1, y_1, z_1)$ மற்றும் $Q(x_2, y_2, z_2)$ புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுப் பகுதியின் திசைக் கொசைன்கள்

$$ \frac{x_2-x_1}{PQ}, \frac{y_2-y_1}{PQ}, \frac{z_2-z_1}{PQ} $$

இங்கு $ \qquad PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}} $

குறிப்பு $P(x_1, y_1, z_1)$ மற்றும் $Q(x_2, y_2, z_2)$ புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுப் பகுதியின் திசை விகிதங்கள் பின்வருமாறு எடுத்துக்கொள்ளப்படலாம்

$$ x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1 \text{ or } x_1-x_2, y_1-y_2, z_1-z_2 $$

எடுத்துக்காட்டு 1 ஒரு கோடு நேர்மறை திசையுடன் $90^{\circ}, 60^{\circ}$ மற்றும் $30^{\circ}$ கோணங்களை முறையே $x, y$ மற்றும் $z$-அச்சுடன் உருவாக்கினால், அதன் திசைக் கொசைன்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு $d . c$ ஆக இருக்கட்டும். கோடுகளின் ‘$s$ $l, m, n$ ஆக இருக்கட்டும். பிறகு $l=\cos 90^{\circ}=0, m=\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$, $n=\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

எடுத்துக்காட்டு 2 ஒரு கோட்டின் திசை விகிதங்கள் 2, - 1, - 2 எனில், அதன் திசைக் கொசைன்களைத் தீர்மானிக்கவும்.

தீர்வு திசைக் கொசைன்கள்

$$ \frac{2}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}}, \frac{-1}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}}, \frac{-2}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}} $$

அல்லது $\qquad \frac{2}{3}, \frac{-1}{3}, \frac{-2}{3}$

எடுத்துக்காட்டு 3 $(-2,4,-5)$ மற்றும் $(1,2,3)$ ஆகிய இரண்டு புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும் கோட்டின் திசைக் கொசைன்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு $P(x_1, y_1, z_1)$ மற்றும் $Q(x_2, y_2, z_2)$ ஆகிய இரண்டு புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும் கோட்டின் திசைக் கொசைன்கள் பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளன என்பது நமக்குத் தெரியும்

இங்கு $ \qquad \frac{x_2-x_1}{PQ}, \frac{y_2-y_1}{PQ}, \frac{z_2-z_1}{PQ} $

$$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}} $$

இங்கு $P$ என்பது $(-2,4,-5)$ மற்றும் $Q$ என்பது $(1,2,3)$ ஆகும்.

எனவே $ \qquad P Q=\sqrt{(1-(-2))^{2}+(2-4)^{2}+(3-(-5))^{2}}=\sqrt{77} $

எனவே, இரண்டு புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டின் திசைக் கொசைன்கள்

$ \qquad \frac{3}{\sqrt{77}}, \frac{-2}{\sqrt{77}}, \frac{8}{\sqrt{77}} $

எடுத்துக்காட்டு 4 $x, y$ மற்றும் $z$-அச்சுகளின் திசைக் கொசைன்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு $x$-அச்சு முறையே $0^{\circ}, 90^{\circ}$ மற்றும் $90^{\circ}$ கோணங்களை $x, y$ மற்றும் $z$-அச்சுகளுடன் உருவாக்குகிறது. எனவே, $x$-அச்சின் திசைக் கொசைன்கள் $\cos 0^{\circ}, \cos 90^{\circ}, \cos 90^{\circ}$ அதாவது, $1,0,0$ ஆகும். இதேபோல், $y$-அச்சு மற்றும் $z$-அச்சின் திசைக் கொசைன்கள் முறையே $0,1,0$ மற்றும் $0,0,1$ ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 5 A $(2,3,-4), B(1,-2,3)$ மற்றும் $C(3,8,-11)$ புள்ளிகள் ஒரே கோட்டில் அமையும் எனக் காட்டுக.

தீர்வு A மற்றும் B புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டின் திசை விகிதங்கள்

$1-2,-2-3,3+4$ அதாவது, $-1,-5,7$.

$B$ மற்றும் $C$ புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டின் திசை விகிதங்கள் $3-1,8+2,-11-3$, அதாவது, $2,10,-14$.

$AB$ மற்றும் $BC$ இன் திசை விகிதங்கள் விகிதாசாரமாக உள்ளன என்பது தெளிவாக உள்ளது, எனவே, $AB$ ஆனது $BC$ க்கு இணையாக உள்ளது. ஆனால் $B$ புள்ளி $AB$ மற்றும் $BC$ இரண்டிற்கும் பொதுவானது. எனவே, $A, B, C$ புள்ளிகள் ஒரே கோட்டில் அமையும் புள்ளிகள் ஆகும்.

11.3 வெளியில் ஒரு கோட்டின் சமன்பாடு

இரு பரிமாணங்களில் கோடுகளின் சமன்பாட்டை நாம் தரம் XI-ல் படித்துள்ளோம், இப்போது வெளியில் ஒரு கோட்டின் திசையன் மற்றும் கார்ட்டீசிய சமன்பாடுகளைப் படிப்போம்.

ஒரு கோடு தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது

(i) அது கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி வழியாகச் சென்று கொடுக்கப்பட்ட திசையைக் கொண்டிருக்கும், அல்லது

(ii) அது கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும்.

11.3.1 ஒரு கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி வழியாகவும் $\vec{a}$ கொடுக்கப்பட்ட திசையன் $\vec{b}$ க்கு இணையாகவும் உள்ள கோட்டின் சமன்பாடு

$\vec{a}$ செவ்வக ஆய அமைப்பின் தோற்றம் $O$ ஐப் பொறுத்து கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி A இன் நிலைத் திசையனாக இருக்கட்டும். $l$ என்பது $A$ புள்ளி வழியாகச் செல்லும் மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட திசையன் $\vec{b}$ க்கு இணையாக இருக்கும் கோடாக இருக்கட்டும். $\vec{r}$ கோட்டின் மீது (படம் 11.3) உள்ள ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி $P$ இன் நிலைத் திசையனாக இருக்கட்டும்.

பிறகு $\overrightarrow{{}AP}$ ஆனது திசையன் $\vec{b}$ க்கு இணையாக உள்ளது, அதாவது, $\overrightarrow{{}AP}=\lambda \vec{b}$, இங்கு $\lambda$ என்பது சில மெய்யெண்.

ஆனால் $$ \overrightarrow{{}AP}=\overrightarrow{{}OP}-\overrightarrow{{}OA} $$

அதாவது. $$\lambda \vec{b}=\vec{r}-\vec{a}$$

மாறாக, $\lambda$ அளவுருவின் ஒவ்வொரு மதிப்புக்கும், இந்த சமன்பாடு கோட்டின் மீது உள்ள ஒரு புள்ளி $P$ இன் நிலைத் திசையனைத் தருகிறது. எனவே, கோட்டின் திசையன் சமன்பாடு பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது

$$ \begin{equation*} \vec{r}=\vec{a}+\lambda \vec{b} \tag{1} \end{equation*} $$

குறிப்பு $\vec{b}=a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k}$ எனில், $a, b, c$ கோட்டின் திசை விகிதங்கள் மற்றும் மாறாக, $a, b, c$ ஒரு கோட்டின் திசை விகிதங்களாக இருந்தால், ⟦178⟆ கோட்டிற்கு இணையாக இருக்கும். இங்கு, $b$ ஐ $|\vec{b}|$ உடன் குழப்பிக் கொள்ளக்கூடாது. திசையன் வடிவத்திலிருந்து கார்ட்டீசிய வடிவத்தைப் பெறுதல்

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி $A$ இன் ஆயங்கள் $(x_1, y_1, z_1)$ ஆகவும், கோட்டின் திசை விகிதங்கள் $a, b, c$ ஆகவும் இருக்கட்டும். ஏதேனும் ஒரு புள்ளி $P$ இன் ஆயங்கள் $(x, y, z)$ ஆக இருக்கட்டும். பிறகு

$$ \overrightarrow{{}r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k} ; \overrightarrow{{}a}=x_1 \hat{i}+y_1 \hat{j}+z_1 \hat{k} $$

மற்றும் $$ \vec{b}=a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k} $$

இந்த மதிப்புகளை (1) இல் பிரதியிட்டு $\hat{i}, \hat{j}$ மற்றும் $\hat{k}$ இன் குணகங்களை சமப்படுத்த, நாம் பெறுவது

$$ \begin{equation*} x=x _{1}+\lambda a ; \quad y=y _{1}+\lambda b ;\quad z=z _{1}+\lambda c \tag{2} \end{equation*} $$

இவை கோட்டின் அளவுரு சமன்பாடுகள் ஆகும். $\lambda$ அளவுருவை (2) இலிருந்து நீக்கி, நாம் பெறுவது

$$ \begin{equation*} \frac{x-x _{1}}{a}=\frac{y-y _{1}}{b}=\frac{z-z _{1}}{c} \tag{3} \end{equation*} $$

இது கோட்டின் கார்ட்டீசிய சமன்பாடு ஆகும்.

குறிப்பு $l, m, n$ கோட்டின் திசைக் கொசைன்களாக இருந்தால், கோட்டின் சமன்பாடு

$$ \frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n} $$

எடுத்துக்காட்டு 6 $(5,2,-4)$ புள்ளி வழியாகச் செல்லும் மற்றும் திசையன் $3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k}$ க்கு இணையாக இருக்கும் கோட்டின் திசையன் மற்றும் கார்ட்டீசிய சமன்பாடுகளைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு நம்மிடம் உள்ளது

$$ \vec{a}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k} \text{ and } \vec{b}=3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k} $$

எனவே, கோட்டின் திசையன் சமன்பாடு

$$ \vec{r}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k}) $$

இப்போது, $\vec{r}$ என்பது கோட்டின் மீது உள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளி $P(x, y, z)$ இன் நிலைத் திசையன் ஆகும்.

எனவே, $$\quad x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k})$$ $$ =(5+3 \lambda) \hat{i}+(2+2 \lambda) \hat{j}+(-4-8 \lambda) \hat{k} $$

$\lambda$ ஐ நீக்கி, நாம் பெறுவது

$$ \frac{x-5}{3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+4}{-8} $$

இது கார்ட்டீசிய வடிவத்தில் கோட்டின் சமன்பாடு ஆகும்.

11.4 இரண்டு கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம்

$L_1$ மற்றும் $L_2$ ஆகியவை தோற்றம் வழியாகச் செல்லும் மற்றும் முறையே $a_1, b_1, c_1$ மற்றும் $a_2, b_2, c_2$ திசை விகிதங்களைக் கொண்ட இரண்டு கோடுகளாக இருக்கட்டும். $P$ என்பது $L_1$ மீது உள்ள ஒரு புள்ளியாகவும், $Q$ என்பது $L_2$ மீது உள்ள ஒரு புள்ளியாகவும் இருக்கட்டும். படம் 11.6 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளபடி திசைப்படுத்தப்பட்ட கோடுகள் $OP$ மற்றும் $OQ$ ஐக் கவனியுங்கள். $\theta$ OP மற்றும் OQ க்கு இடையே உள்ள குறுங்கோணமாக இருக்கட்டும். இப்போது திசைப்படுத்தப்பட்ட கோட்டுப் பகுதிகள் OP மற்றும் OQ ஆகியவை முறையே $a_1, b_1, c_1$ மற்றும் $a_2, b_2, c_2$ கூறுகளைக் கொண்ட திசையன்கள் என்பதை நினைவுகூருங்கள். எனவே, அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் $\theta$ என்பது $\cos \theta=\left|\frac{a _{1} a _{2}+b _{1} b _{2}+c _{1} c _{2}}{\sqrt{a _{1}^{2}+b _{1}^{2}+c _{1}^{2}} \sqrt{a _{2}^{2}+b _{2}^{2}+c _{2}^{2}}}\right|$ ஆல் வழங்கப்படுகிறது

$\sin \theta$ அடிப்படையில் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம் பின்வருமாறு வழங்கப்படுகிறது

$$ \begin{aligned} \sin \theta & =\sqrt{1-\cos ^{2} \theta} \\ & =\sqrt{1-\frac{(a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2)^{2}}{(a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2})(a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2})}} \\ & =\frac{\sqrt{(a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2})(a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2})-(a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2)^{2}}}{\sqrt{(a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2})} \sqrt{(a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2})}} \\ & =\frac{\sqrt{(a_1 b_2-a_2 b_1)^{2}+(b_1 c_2-b_2 c_1)^{2}+(c_1 a_2-c_2 a_1)^{2}}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2}} \sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2}}} \end{aligned} $$

குறிப்பு $L_1$ மற்றும் $L_2$ கோடுகள் தோற்றம் வழியாகச் செல்லவில்லை என்றால், $L_1^{\prime}$ மற்றும் $L_2^{\prime}$ ஆகிய கோடுகளை எடுத்துக்கொள்ளலாம், அவை முறையே $L_1$ மற்றும் $L_2$ க்கு இணையாகவும் தோற்றம் வழியாகச் செல்லும்.

$L_1$ மற்றும் $L_2$ கோடுகளுக்கான திசை விகிதங்களுக்குப் பதிலாக, திசைக் கொசைன்கள், அதாவது, $l_1, m_1, n_1$ ஆனது $L_1$ க்கும் $l_2, m_2, n_2$ ஆனது $L_2$ க்கும் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால், (1) மற்றும் (2) பின்வரும் வடிவத்தை எடுக்கும்:

$$ \cos \theta=|l_1 l_2+m_1 m_2+n_1 n_2| \quad(\text{ as } l_1^{2}+m_1^{2}+n_1^{2}=1=l_2^{2}+m_2^{2}+n_2^{2}) $$

மற்றும் $$ \sin \theta=\sqrt{(l_1 m_2-l_2 m_1)^{2}-(m_1 n_2-m_2 n_1)^{2}+(n_1 l_2-n_2 l_1)^{2}} $$

$a_1, b_1, c_1$ மற்றும் $a_2, b_2, c_2$ திசை விகிதங்களைக் கொண்ட இரண்டு கோடுகள்

(i) செங்குத்தாக இருந்தால் அதாவது $\theta=90^{\circ}$ எனில் (1) மூலம்

$$ a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2=0 $$

(ii) இணையாக இருந்தால் அதாவது $\theta=0$ எனில் (2) மூலம்

$$\frac{\boldsymbol{a} _{\mathbf{1}}}{\boldsymbol{a} _{2}}=\frac{\boldsymbol{b} _{\mathbf{1}}}{\boldsymbol{b} _{\mathbf{2}}}=\frac{\boldsymbol{c} _{\mathbf{1}}}{\boldsymbol{c} _{\mathbf{2}}}$$

இப்போது, அவற்றின் சமன்பாடுகள் கொடுக்கப்பட்டிருக்கும் போது இரண்டு கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் காண்கிறோம். $\theta$ குறுங்கோணமாக இருந்தால், கோடுகள் $\vec{r}=\vec{a} _{1}+\lambda \vec{b} _{1}$ மற்றும் $\vec{r}=\vec{a} _{2}+\mu \vec{b} _{2}$ க்கு இடையே உள்ள கோணம். கார்ட்டீசிய வடிவத்தில், $\theta$ கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணமாக இருந்தால்

பிறகு $$ \begin{aligned} \cos \theta & =\left|\frac{\vec{b}_1 \cdot \vec{b}_2}{\left|\vec{b}_1\right|\left|\vec{b}_2\right|}\right|
\end{aligned} $$

$$ \frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1} \tag{1} $$

மற்றும் $$ \frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2} \tag{2} $$

இங்கு, $a_1, b _{1,} c_1$ மற்றும் $a _{2,}, b_2, c_2$ ஆகியவை முறையே கோடுகள் (1) மற்றும் (2) இன் திசை விகிதங்கள் எனில்,

$$ \cos \theta=|\frac{a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2}} \sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2}}}| $$

எடுத்துக்காட்டு 7 பின்வரும் கோடுகளின் இணைக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்

$$ \vec{r}=3 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}) $$

மற்றும் $$ \vec{r}=5 \hat{i}-2 \hat{j}+\mu(3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}) $$

தீர்வு இங்கு $ \vec{b} _ {1}=\hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k} $ மற்றும் $ \vec{b} _ {2}=3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k} $

இரண்டு கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம் $\theta$ என்பது பின்வருமாறு வழங்கப்படுகிறது

$$ \begin{aligned} \cos \theta & = |\frac{ \vec{b} _ {1} \cdot \vec{b} _ {2}}{| \vec{b} _ {1}|| \vec{b} _ {2}|}| = |\frac{(\hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k}) \cdot(3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k})}{\sqrt{1 + 4+ 4} \sqrt{9 + 4 + 36}}| \\ & =|\frac{3+4+12}{3 \times 7}|=\frac{19}{21} ) \end{aligned} $$

எனவே $$ \theta=\cos ^{-1}\left(\frac{19}{21}\right) $$

எடுத்துக்காட்டு 8 பின்வரும் கோடுகளின் இணைக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்

மற்றும் $$ \begin{aligned} & \frac{x+3}{3}=\frac{y-1}{5}=\frac{z+3}{4} \\ & \frac{x+1}{1}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-5}{2} \end{aligned} $$

தீர்வு முதல் கோட்டின் திசை விகிதங்கள் 3, 5, 4 மற்றும் இரண்டாவது கோட்டின் திசை விகிதங்கள் $1,1,2$ ஆகும். $\theta$ அவற்றுக்கிடையேயான கோணமாக இருந்தால்,

$$ \cos \theta=|\frac{3.1+5.1+4.2}{\sqrt{3^{2}+5^{2}+4^{2}} \sqrt{1^{2}+1^{2}+2^{2}}}|=\frac{16}{\sqrt{50} \sqrt{6}}=\frac{16}{5 \sqrt{2} \sqrt{6}}=\frac{8 \sqrt{3}}{15} $$

எனவே, தேவையான கோணம் $\cos ^{-1}(\frac{8 \sqrt{3}}{15})$ ஆகும்.

11.5 இரண்டு கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள மிகக் குறுகிய தூரம்

வெளியில் இரண்டு கோடுகள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டினால், அவற்றுக்கிடையேயான மிகக் குறுகிய தூரம் பூஜ்ஜியமாகும். மேலும், வெளியில் இரண்டு கோடுகள் இணையாக இருந்தால், அவற்றுக்கிடையேயான மிகக் குறுகிய தூரம் செங்குத்து தூரமாக இருக்கும், அதாவது ஒரு கோட்டின் மீது உள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து மற்றொரு கோட்டின் மீது வரையப்பட்ட செங்குத்தின் நீளம்.

மேலும், வெளியில், வெட்டும் அல்லது இணையாக இல்லாத கோடுகள் உள்ளன. உண்மையில், அத்தகைய கோடுகளின் இணை ஒரே தளத்தில் அமையாதவை மற்றும் சாய்வான கோடுகள் எனப்படும். உதாரணமாக, அளவு 1, 3, 2 அலகுகள் கொண்ட ஒரு அறையைக் கருத்தில் கொள்வோம்

படம் 11.5 $x, y$ மற்றும் $z$-அச்சுகள் முறையே படம் 11.5.

கூரையின் குறுக்காக மூலைவிட்டமாகச் செல்லும் GE கோடு மற்றும் DB கோடு A க்கு நேர்மேலே உள்ள கூரையின் ஒரு மூலையைக் கடந்து சுவரின் குறுக்காக மூலைவிட்டமாகக் கீழே செல்கிறது. இந்த கோடுகள் இணையாக இல்லாததாலும், ஒருபோதும் சந்திக்காததாலும் சாய்வானவை.

இரண்டு கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள மிகக் குறுகிய தூரம் என்று நாம் கூறும்போது, ஒரு கோட்டில் உள்ள ஒரு புள்ளியை மற்றொரு கோட்டில் உள்ள ஒரு புள்ளியுடன் இணைப்பதன் மூலம் பெறப்பட்ட பகுதியின் நீளம் மிகச் சிறியதாக இருக்கும். சாய்வான கோடுகளுக்கு, மிகக் குறுகிய தூரத்தின் கோடு இரண்டு கோடுகளுக்கும் செங்குத்தாக இருக்கும்.

11.5.1 இரண்டு சாய்வான கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம்

இரண்டு சாய்வான கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள மிகக் குறுகிய தூரத்தை இப்போது பின்வரும் வழியில் தீர்மானிக்கிறோம்: $l_1$ மற்றும் $l_2$ ஆகியவை பின்வரும் சமன்பாடுகளைக் கொண்ட இரண்டு சாய்வான கோடுகளாக இருக்கட்டும் (படம். 11.6)

மற்றும் $$ \vec{r} = \vec{a} _ {1}+\lambda \vec{b} _ {1} \tag{1}$$ $$ \vec{r} = \vec{a} _ {2}+\mu \vec{b} _ {2} \tag{2} $$

$ S $ புள்ளியை $l_ {1} $ மீது நிலைத் திசையன் $ \overrightarrow{{}a}_ {1} $ உடனும், $ T $ புள்ளியை $ l_ {2} $ மீது நிலைத் திசையன் ⟦248⟉ உடனும் எடுத்துக்கொள்ளவும். பிறகு மிகக் குறுகிய தூரத் திசையனின் அளவு, மிகக் குறுகிய தூரத்தின் கோட்டின் திசையில் ST இன் வீழலின் அளவுக்குச் சமமாக இருக்கும் (10.6.2 ஐப் பார்க்கவும்).

$\overrightarrow{{}PQ}$ ஆனது $l_1$ மற்றும் $l_2$ க்கு இடையே உள்ள மிகக் குறுகிய தூரத் திசையனாக இருந்தால், அது $ \vec{b} _1$ மற்றும் $ \vec{b} _2$ இரண்டிற்கும் செங்குத்தாக இருப்பதால், $\hat{n}$ அலகு திசையன் $\overrightarrow{{}PQ}$ வழியாக பின்வருமாறு இருக்கும்

படம் 11.6

$$ \hat{n} = \frac{ \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}}{| \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}|} \tag{3} $$

பிறகு $$ \overrightarrow{{}PQ}=d \hat{n} $$

இங்கு, $d$ என்பது மிகக் குறுகிய தூரத் திசையனின் அளவு ஆகும். $\theta$ ஆனது $\overrightarrow{{}ST}$ மற்றும் $\overrightarrow{{}PQ}$ க்கு இடையே உள்ள கோணமாக இருக்கட்டும். பிறகு

ஆனால் $$ \begin{aligned} PQ & = ST|\cos \theta| \\ \cos \theta & = |\frac{\overrightarrow{{}PQ} \cdot \overrightarrow{{}ST}}{|\overrightarrow{{}PQ}||\overrightarrow{{}ST}|}| \\ & = |\frac{d \hat{n} \cdot( \vec{a} _ {2}- \vec{a} _ {1})}{d ST}| \quad(\text{ since } \overrightarrow{{}ST}= \vec{a} _ {2}- \vec{a} _ {1}) \\ & = |\frac{( \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}) \cdot( \vec{a} _ {2}- \vec{a} _ {1})}{ST| \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}|}| \end{aligned} $$

எனவே, தேவையான மிகக் குறுகிய தூரம்

அல்லது $$ \begin{aligned} & d = PQ = ST|\cos \theta| \\ & \boldsymbol{{}d} = |\frac{(\overrightarrow{{}b}_ {1} \times \overrightarrow{{}b}_ {2}) \cdot( \vec{a} _ {2} \times \vec{a} _ {1})}{| \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}|}| \end{aligned} $$

கார்ட்டீசிய வடிவம்

மற்றும் $$ l _{1}: \frac{x-x _{1}}{a _{1}}=\frac{y-y _{1}}{b _{1}}=\frac{z-z _{1}}{c _{1}} $$

மற்றும் $$ l _{2}: \frac{x-x _{2}}{a _{2}}=\frac{y-y _{2}}{b _{2}}=\frac{z-z _{2}}{c _{2}} $$

$$ \frac{\left|\begin{array}{ccc} x _{2}-x _{1} & y _{2}-y _{1} & z _{2}-z _{1} \\ a _{1} & b _{1} & c _{1} \\ a _{2} & b _{2} & c _{2} \end{array}\right|}{\sqrt{\left(b _{1} c _{2}-b _{2} c _{1}\right)^{2}+\left(c _{1} a _{2}-c _{2} a _{1}\right)^{2}+\left(a _{1} b _{2}-a _{2} b _{1}\right)^{2}}} $$

11.5.2 இணை கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம்

இரண்டு கோடுகள் $l_1$ மற்றும் $l_2$ இணையாக இருந்தால், அவை ஒரே தளத்தில் அமையும். கோடுகள் பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டிருக்கட்டும்

$$ \begin{align*} & \vec{r}=\vec{a} _{1}+\lambda \vec{b} \tag{1}\\ & \vec{r}=\vec{a} _{2}+\mu \vec{b} \tag{2} \end{align*} $$

இங்கு, $ \vec{a} _1$ என்பது $l_1$ மீது உள்ள ஒரு புள்ளி $S$ இன் நிலைத் திசையன் மற்றும் $ \vec{a} _2$ என்பது $l_2$ மீது உள்ள ஒரு புள்ளி $T$ இன் நிலைத் திசையன் ஆகும் படம் 11.7.

$l_1, l_2$ ஒரே தளத்தில் அமைந்திருப்பதால், $T$ இலிருந்து கோடு $l_1$ மீது வரையப்பட்ட செங்குத்தின் அடி $P$ ஆக இருந்தால், கோடுகள் $l_1$ மற்றும் $l_2=|TP|$ க்கு இடையே உள்ள தூரம்.

$\theta$ ஆனது திசையன்கள் $\overrightarrow{{}ST}$ மற்றும் $\vec{b}$ க்கு இடையே உள்ள கோணமாக இருக்கட்டும். பிறகு

$$ \vec{b} \times \overrightarrow{{}ST}=(|\vec{b}||\overrightarrow{{}ST}| \sin \theta) \hat{n} \ldots \tag{3} $$

இங்கு $\hat{n}$ என்பது கோடுகள் $l_1$ மற்றும் $l_2$ ஆகியவற்றின் தளத்திற்கு செங்குத்தான அலகு திசையன் ஆகும்.

ஆனால் $$ \overrightarrow{{}ST} = \vec{a} _2 - \vec{a} _1 $$

எனவே, (3) இலிருந்து, நாம் பெறுவது $$ \begin{matrix} & \quad \vec{b} \times ( \vec{a} _2 - \vec{a} _1) = \vec{b} , |PT| \hat{n} \quad (\text{since } PT = ST \sin \theta) \\ \text{i.e.,} & |\vec{b} \times ( \vec{a} _2 - \vec{a} _1)| = |\vec{b}| , |PT| \cdot 1 \quad (\text{as } |\hat{n}| = 1) \end{matrix} $$

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட இணை கோடுக