ஒரு மாணவர் தானாகவே ஒரு பிரச்சனையை கண்டுபிடித்து தீர்க்கும் வாய்ப்பு அவருக்கு கிடைக்காது என்றால், அவரின் கணித அனுபவம் முழுமையடையாது. - ஜி. போல்யா

12.1 அறிமுகம்

முந்தைய வகுப்புகளில், நேரியல் சமன்பாடுகளின் தொகுதிகளையும் அன்றாட பிரச்சனைகளில் அவற்றின் பயன்பாடுகளையும் பற்றி விவாதித்தோம். 11 ஆம் வகுப்பில், இரண்டு மாறிகளில் நேரியல் சமனிலிகளையும், நேரியல் சமனிலிகளின் தொகுதிகளையும், மற்றும் வரைகலை முறையில் அவற்றின் தீர்வுகளையும் படித்தோம். கணிதத்தில் பல பயன்பாடுகள் சமனிலிகள்/சமன்பாடுகளின் தொகுதிகளை உள்ளடக்கியவை. இந்த அத்தியாயத்தில், நேரியல் சமனிலிகள்/சமன்பாடுகளின் தொகுதிகளை கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள வகையிலான சில நிஜ வாழ்க்கை பிரச்சனைகளை தீர்க்க பயன்படுத்துவோம்:

ஒரு தளபாடங்கள் வியாபாரி இரண்டு பொருட்களில் மட்டுமே வியாபாரம் செய்கிறார்- மேசைகள் மற்றும் நாற்காலிகள். அவரிடம் முதலீடு செய்ய ரூ. 50,000 உள்ளது மற்றும் அதிகபட்சம் 60 துண்டுகள் சேமிப்பு இடம் உள்ளது. ஒரு மேசையின் விலை ரூ. 2500 மற்றும் ஒரு நாற்காலியின் விலை ரூ. 500. ஒரு மேசையின் விற்பனையிலிருந்து, அவரால் ரூ. 250 லாபம் ஈட்ட முடியும் என்றும், ஒரு

எல். கான்டோரோவிச் நாற்காலியின் விற்பனையிலிருந்து ரூ. 75 லாபம் ஈட்ட முடியும் என்றும் அவர் மதிப்பிடுகிறார். அவர் கிடைக்கும் பணத்திலிருந்து எத்தனை மேசைகள் மற்றும் நாற்காலிகள் வாங்க வேண்டும், அதனால் அவரது மொத்த லாபம் அதிகபட்சமாகும் என்பதை அறிய விரும்புகிறார், அவர் வாங்கும் அனைத்து பொருட்களையும் விற்க முடியும் என்று கருதி. இத்தகைய பிரச்சனைகள், லாபத்தை (அல்லது, செலவை) அதிகரிக்க (அல்லது, குறைக்க) முயலும் பொதுவான வகை பிரச்சனைகள் உகப்பாக்கல் பிரச்சனைகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. எனவே, ஒரு உகப்பாக்கல் பிரச்சனையானது அதிகபட்ச லாபம், குறைந்தபட்ச செலவு, அல்லது வளங்களின் குறைந்தபட்ச பயன்பாடு போன்றவற்றை கண்டறிவதை உள்ளடக்கியிருக்கலாம்.

உகப்பாக்கல் பிரச்சனைகளின் ஒரு சிறப்பு ஆனால் மிக முக்கியமான வகை நேரியல் நிரலாக்க பிரச்சனை ஆகும். மேலே கூறப்பட்ட உகப்பாக்கல் பிரச்சனை ஒரு உதாரணம் நேரியல் நிரலாக்க பிரச்சனையின். நேரியல் நிரலாக்க பிரச்சனைகள் தொழிற்துறை, வணிகம், மேலாண்மை அறிவியல் போன்றவற்றில் அவற்றின் பரந்த பயன்பாட்டின் காரணமாக பெரும் ஆர்வத்தை கொண்டவை.

இந்த அத்தியாயத்தில், நாம் சில நேரியல் நிரலாக்க பிரச்சனைகளையும், அவற்றின் தீர்வுகளையும் வரைகலை முறையில் மட்டுமே படிப்போம், இருப்பினும் இத்தகைய பிரச்சனைகளை தீர்க்க பல வேறு முறைகளும் உள்ளன.

12.2 நேரியல் நிரலாக்க பிரச்சனை மற்றும் அதன் கணித வடிவமைப்பு

மேலே உள்ள உதாரணத்துடன் தளபாடங்கள் வியாபாரியுடன் நமது விவாதத்தை தொடங்குகிறோம், இது இரண்டு மாறிகளில் பிரச்சனையின் கணித வடிவமைப்பிற்கு வழிவகுக்கும். இந்த உதாரணத்தில், நாம் கவனிக்கிறோம்

(i) வியாபாரி தனது பணத்தை மேசைகள் அல்லது நாற்காலிகள் அல்லது அவற்றின் கலவையை வாங்குவதில் முதலீடு செய்யலாம். மேலும், வெவ்வேறு முதலீட்டு உத்திகளை பின்பற்றுவதன் மூலம் அவர் வெவ்வேறு லாபங்களை ஈட்டுவார்.

(ii) சில மேலோங்கிய நிபந்தனைகள் அல்லது கட்டுப்பாடுகள் உள்ளன, அதாவது, அவரது முதலீடு அதிகபட்சம் ரூ. 50,000 வரை மட்டுமே மற்றும் அவரது சேமிப்பு இடமும் அதிகபட்சம் 60 துண்டுகள் வரை மட்டுமே.

அவர் மேசைகள் மட்டுமே வாங்குவதாகவும், நாற்காலிகள் எதுவும் வாங்காமல் இருப்பதாகவும் முடிவு செய்தால், அவர் $50000 \div 2500$, அதாவது 20 மேசைகள் வாங்க முடியும். இந்த வழக்கில் அவரது லாபம் ரூ. $(250 \times 20)$, அதாவது ரூ. $\mathbf{5 0 0 0}$ ஆக இருக்கும்.

அவர் நாற்காலிகள் மட்டுமே வாங்குவதாகவும், மேசைகள் எதுவும் வாங்காமல் இருப்பதாகவும் தேர்வு செய்தால். ரூ. 50,000 மூலதனத்துடன், அவர் $50000 \div 500$, அதாவது 100 நாற்காலிகள் வாங்க முடியும். ஆனால் அவரால் 60 துண்டுகள் மட்டுமே சேமிக்க முடியும். எனவே, அவர் 60 நாற்காலிகள் மட்டுமே வாங்க கட்டாயப்படுத்தப்படுகிறார், இது அவருக்கு மொத்த லாபமாக ரூ. $(60 \times 75)$, அதாவது ரூ. 4500 ஐ தரும்.

பல வேறு சாத்தியங்கள் உள்ளன, உதாரணமாக, அவர் 10 மேசைகள் மற்றும் 50 நாற்காலிகள் வாங்க தேர்வு செய்யலாம், ஏனெனில் அவரால் 60 துண்டுகள் மட்டுமே சேமிக்க முடியும். இந்த வழக்கில் மொத்த லாபம் ரூ. $(10 \times 250+50 \times 75)$, அதாவது ரூ. $\mathbf{6 2 5 0}$ மற்றும் பல.

இவ்வாறு, வியாபாரி தனது பணத்தை வெவ்வேறு வழிகளில் முதலீடு செய்யலாம் மற்றும் வெவ்வேறு முதலீட்டு உத்திகளை பின்பற்றுவதன் மூலம் வெவ்வேறு லாபங்களை ஈட்டுவார் என்பதை நாம் காண்கிறோம்.

இப்போது பிரச்சனை: அதிகபட்ச லாபம் பெறுவதற்கு அவர் தனது பணத்தை எவ்வாறு முதலீடு செய்ய வேண்டும்? இந்த கேள்விக்கு பதிலளிக்க, பிரச்சனையை கணித ரீதியாக வடிவமைக்க முயற்சிப்போம்.

12.2.1 பிரச்சனையின் கணித வடிவமைப்பு

$x$ வியாபாரி வாங்கும் மேசைகளின் எண்ணிக்கையாகவும், $y$ நாற்காலிகளின் எண்ணிக்கையாகவும் இருக்கட்டும். வெளிப்படையாக, $x$ மற்றும் $y$ எதிர்மறையாக இருக்க முடியாது, அதாவது,

$$ \begin{align*} & x \geq 0 \tag{1}\\ & y \geq 0 \tag{2} \end{align*} \text { (Non-negative constraints) } $$

வியாபாரி அவர் முதலீடு செய்யக்கூடிய அதிகபட்ச தொகை (இங்கே அது ரூ. 50,000) மற்றும் அவர் சேமிக்கக்கூடிய அதிகபட்ச பொருட்களின் எண்ணிக்கை (இங்கே அது 60) ஆகியவற்றால் கட்டுப்படுத்தப்படுகிறார்.

கணித ரீதியாக கூறினால்,

அல்லது $$ \begin{array}{rlrl} 2500 x+500 y & \leq 50,000 & \text { (investment constraint ) } \\ 5 x+y & \leq 100 & & \\ x+y & \leq 60 & & \text { (storage constraint) } \tag{4} \end{array} $$

வியாபாரி தனது லாபத்தை, $Z$ என்று சொல்லலாம், அதிகரிக்கும் வகையில் முதலீடு செய்ய விரும்புகிறார், இது $x$ மற்றும் $y$ இன் சார்பாக கொடுக்கப்பட்டுள்ளது

$Z=250 x+75 y$ (இலக்கு சார்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது)

கணித ரீதியாக, கொடுக்கப்பட்ட பிரச்சனைகள் இப்போது குறைக்கப்படுகின்றன:

அதிகரிக்கவும் $Z=250 x+75 y$

கட்டுப்பாடுகளுக்கு உட்பட்டு:

$$ \begin{aligned} 5 x+y & \leq 100 \\ x+y & \leq 60 \\ x \geq 0, y & \geq 0 \end{aligned} $$

எனவே, நாம் நேரியல் சார்பு $Z$ ஐ சில நிபந்தனைகளுக்கு உட்பட்டு அதிகரிக்க வேண்டும், இந்த நிபந்தனைகள் மாறிகள் எதிர்மறையாக இல்லாத நேரியல் சமனிலிகளின் தொகுப்பால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. மேலும் சில பிற பிரச்சனைகளும் உள்ளன, அங்கு நாம் ஒரு நேரியல் சார்பை குறைக்க வேண்டும், இந்த நிபந்தனைகள் மாறிகள் எதிர்மறையாக இல்லாத நேரியல் சமனிலிகளின் தொகுப்பால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. இத்தகைய பிரச்சனைகள் நேரியல் நிரலாக்க பிரச்சனைகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

எனவே, ஒரு நேரியல் நிரலாக்க பிரச்சனை என்பது பல மாறிகளின் ($x$ மற்றும் $y$ என்று சொல்லலாம்) ஒரு நேரியல் சார்பின் (இலக்கு சார்பு என்று அழைக்கப்படும்) உகப்பு மதிப்பை (அதிகபட்ச அல்லது குறைந்தபட்ச மதிப்பு) கண்டறிவதில் அக்கறை கொண்ட ஒன்றாகும், இது மாறிகள் எதிர்மறையாக இல்லாத மற்றும் நேரியல் சமனிலிகளின் தொகுப்பால் (நேரியல் கட்டுப்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படும்) திருப்திப்படுத்தப்படும் நிபந்தனைகளுக்கு உட்பட்டது. நேரியல் என்ற சொல் பிரச்சனையில் பயன்படுத்தப்படும் அனைத்து கணித உறவுகளும் நேரியல் உறவுகள் என்பதை குறிக்கிறது, அதே சமயம் நிரலாக்கம் என்ற சொல் ஒரு குறிப்பிட்ட திட்டம் அல்லது செயல் திட்டத்தை தீர்மானிக்கும் முறையை குறிக்கிறது.

நாம் மேலும் தொடர்வதற்கு முன், நாம் இப்போது சில சொற்களை (மேலே பயன்படுத்தப்பட்டவை) முறையாக வரையறுக்கிறோம், இவை நேரியல் நிரலாக்க பிரச்சனைகளில் பயன்படுத்தப்படும்:

இலக்கு சார்பு நேரியல் சார்பு $Z=a x+b y$, இங்கு $a, b$ மாறிலிகள், இது அதிகரிக்கப்பட வேண்டும் அல்லது குறைக்கப்பட வேண்டும் என்பது ஒரு நேரியல் இலக்கு சார்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

மேலே உள்ள உதாரணத்தில், $Z=250 x+75 y$ ஒரு நேரியல் இலக்கு சார்பு ஆகும். மாறிகள் $x$ மற்றும் $y$ முடிவு மாறிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

கட்டுப்பாடுகள் ஒரு நேரியல் நிரலாக்க பிரச்சனையின் மாறிகளின் மீதான நேரியல் சமனிலிகள் அல்லது சமன்பாடுகள் அல்லது வரம்புகள் கட்டுப்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. நிபந்தனைகள் $x \geq 0, y \geq 0$ எதிர்மறை அல்லாத வரம்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. மேலே உள்ள உதாரணத்தில், சமனிலிகளின் தொகுப்பு (1) முதல் (4) வரை கட்டுப்பாடுகள் ஆகும்.

உகப்பாக்கல் பிரச்சனை ஒரு நேரியல் சார்பை (இரண்டு மாறிகள் $x$ மற்றும் $y$ என்று சொல்லலாம்) அதிகரிக்க அல்லது குறைக்க முயலும் ஒரு பிரச்சனை, இது நேரியல் சமனிலிகளின் தொகுப்பால் தீர்மானிக்கப்படும் சில கட்டுப்பாடுகளுக்கு உட்பட்டது, உகப்பாக்கல் பிரச்சனை என்று அழைக்கப்படுகிறது. நேரியல் நிரலாக்க பிரச்சனைகள் ஒரு சிறப்பு வகை உகப்பாக்கல் பிரச்சனைகள் ஆகும். ஒரு கொடுக்கப்பட்ட தொகையை வியாபாரி நாற்காலிகள் மற்றும் மேசைகள் வாங்குவதில் முதலீடு செய்யும் மேலே உள்ள பிரச்சனை ஒரு உதாரணம் ஒரு உகப்பாக்கல் பிரச்சனையின் மற்றும் ஒரு நேரியல் நிரலாக்க பிரச்சனையின்.

நேரியல் நிரலாக்க பிரச்சனைக்கு தீர்வுகளை எவ்வாறு கண்டறிவது என்பதை இப்போது விவாதிப்போம். இந்த அத்தியாயத்தில், நாம் வரைகலை முறையில் மட்டுமே அக்கறை கொள்வோம்.

12.2.2 நேரியல் நிரலாக்க பிரச்சனைகளை தீர்ப்பதற்கான வரைகலை முறை

11 ஆம் வகுப்பில், இரண்டு மாறிகள் $x$ மற்றும் $y$ ஐ உள்ளடக்கிய நேரியல் சமனிலிகளின் தொகுதியை வரைபடமாக்குவது மற்றும் அதன் தீர்வுகளை வரைகலை ரீதியாக கண்டறிவது எப்படி என்பதை நாம் கற்றுக்கொண்டோம். பிரிவு 12.2 இல் விவாதிக்கப்பட்ட மேசைகள் மற்றும் நாற்காலிகளில் முதலீடு செய்யும் பிரச்சனையை இப்போது குறிப்பிடுவோம். இந்த பிரச்சனையை இப்போது வரைகலை ரீதியாக தீர்ப்போம். நேரியல் சமனிலிகளாக கூறப்பட்ட கட்டுப்பாடுகளை வரைபடமாக்குவோம்:

$$ \begin{align*} 5 x+y & \leq 100 \tag{1} \\ x+y & \leq 60 \tag{2} \\ x & \geq 0 \tag{3} \\ y & \geq 0 \tag{4} \end{align*} $$

இந்த தொகுதியின் வரைபடம் (நிழலிடப்பட்ட பகுதி) சமனிலிகள் (1) முதல் (4) வரை தீர்மானிக்கப்பட்ட அனைத்து அரைத் தளங்களுக்கும் பொதுவான புள்ளிகளை கொண்டுள்ளது (படம் 12.1). இந்த பகுதியில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியும் மேசைகள் மற்றும் நாற்காலிகளில் முதலீடு செய்வதற்கு வியாபாரிக்கு கிடைக்கும் சாத்தியமான தேர்வை குறிக்கிறது. எனவே, இந்த பகுதி பிரச்சனைக்கான சாத்தியமான பகுதி என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த பகுதியின் ஒவ்வொரு புள்ளியும் பிரச்சனைக்கான சாத்தியமான தீர்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது. எனவே, நம்மிடம் உள்ளது,

படம் 12.1

சாத்தியமான பகுதி ஒரு நேரியல் நிரலாக்க பிரச்சனையின் அனைத்து கட்டுப்பாடுகளாலும், எதிர்மறை அல்லாத கட்டுப்பாடுகள் $x, y \geq 0$ உட்பட, தீர்மானிக்கப்பட்ட பொதுவான பகுதி பிரச்சனைக்கான சாத்தியமான பகுதி (அல்லது தீர்வு பகுதி) என்று அழைக்கப்படுகிறது. படம் 12.1 இல், OABC பகுதி (நிழலிடப்பட்டது) பிரச்சனைக்கான சாத்தியமான பகுதி ஆகும். சாத்தியமான பகுதி தவிர மற்ற பகுதி சாத்தியமற்ற பகுதி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

சாத்தியமான தீர்வுகள் சாத்தியமான பகுதிக்குள் மற்றும் அதன் எல்லையில் உள்ள புள்ளிகள் கட்டுப்பாடுகளின் சாத்தியமான தீர்வுகளை குறிக்கின்றன. படம் 12.1 இல், சாத்தியமான பகுதிக்குள் மற்றும் அதன் எல்லையில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியும் $OABC$ பிரச்சனைக்கான சாத்தியமான தீர்வை குறிக்கிறது. உதாரணமாக, புள்ளி $(10,50)$ பிரச்சனையின் ஒரு சாத்தியமான தீர்வு ஆகும், மேலும் புள்ளிகள் $(0,60),(20,0)$ போன்றவையும் சாத்தியமான தீர்வுகள் ஆகும்.

சாத்தியமான பகுதிக்கு வெளியே உள்ள எந்த புள்ளியும் சாத்தியமற்ற தீர்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது. உதாரணமாக, புள்ளி $(25,40)$ பிரச்சனையின் ஒரு சாத்தியமற்ற தீர்வு ஆகும்.

உகப்பான (சாத்தியமான) தீர்வு: இலக்கு சார்பின் உகப்பு மதிப்பை (அதிகபட்ச அல்லது குறைந்தபட்ச) கொடுக்கும் சாத்தியமான பகுதியில் உள்ள எந்த புள்ளியும் உகப்பான தீர்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

இப்போது, சாத்தியமான பகுதியில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியும் $OABC$ (1) முதல் (4) வரை கொடுக்கப்பட்ட அனைத்து கட்டுப்பாடுகளையும் திருப்திப்படுத்துகிறது என்பதை நாம் காண்கிறோம், மேலும் எண்ணற்ற புள்ளிகள் இருப்பதால், இலக்கு சார்பு $Z=250 x+75 y$ இன் அதிகபட்ச மதிப்பை கொடுக்கும் ஒரு புள்ளியை எவ்வாறு கண்டறிவது என்பது தெளிவாக இல்லை. இந்த நிலைமையை கையாள, நாம் பின்வரும் தேற்றங்களை பயன்படுத்துகிறோம், இவை நேரியல் நிரலாக்க பிரச்சனைகளை தீர்ப்பதில் அடிப்படையானவை. இந்த தேற்றங்களின் நிரூபணங்கள் புத்தகத்தின் எல்லைக்கு அப்பாற்பட்டவை.

தேற்றம் 1 $R$ ஒரு நேரியல் நிரலாக்க பிரச்சனைக்கான சாத்தியமான பகுதியாக (குவிவு பலகோணம்) இருக்கட்டும் மற்றும் $Z=a x+b y$ இலக்கு சார்பாக இருக்கட்டும். $Z$ ஒரு உகப்பு மதிப்பை (அதிகபட்ச அல்லது குறைந்தபட்ச) கொண்டிருக்கும் போது, இங்கு மாறிகள் $x$ மற்றும் $y$ நேரியல் சமனிலிகளால் விவரிக்கப்பட்ட கட்டுப்பாடுகளுக்கு உட்பட்டவை, இந்த உகப்பு மதிப்பு சாத்தியமான பகுதியின் ஒரு மூலைப் புள்ளியில்* (உச்சி) நிகழ வேண்டும்.

தேற்றம் 2 $R$ ஒரு நேரியல் நிரலாக்க பிரச்சனைக்கான சாத்தியமான பகுதியாக இருக்கட்டும், மற்றும் $Z=a x+b y$ இலக்கு சார்பாக இருக்கட்டும். $R$ வரம்புக்குட்பட்டது** என்றால், இலக்கு சார்பு $Z$ ஆனது $R$ இல் ஒரு அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச மதிப்பை கொண்டிருக்கும் மற்றும் இவை ஒவ்வொன்றும் R இன் ஒரு மூலைப் புள்ளியில் (உச்சி) நிகழும்.

குறிப்பு $R$ வரம்பற்றது என்றால், இலக்கு சார்பின் அதிகபட்ச அல்லது குறைந்தபட்ச மதிப்பு இல்லாமல் இருக்கலாம். இருப்பினும், அது இருந்தால், அது R இன் ஒரு மூலைப் புள்ளியில் நிகழ வேண்டும். (தேற்றம் 1 மூலம்).

மேலே உள்ள உதாரணத்தில், வரம்புக்குட்பட்ட (சாத்தியமான) பகுதியின் மூலைப் புள்ளிகள் (உச்சிகள்): $O, A, B$ மற்றும் $C$ மற்றும் அவற்றின் ஆயத்தொலைவுகளை முறையே $(0,0),(20,0),(10,50)$ மற்றும் $(0,60)$ என கண்டறிவது எளிது. இப்போது இந்த புள்ளிகளில் $Z$ இன் மதிப்புகளை கணக்கிடுவோம்.

நம்மிடம் உள்ளது

• ஒரு சாத்தியமான பகுதியின் மூலைப் புள்ளி என்பது பகுதியில் உள்ள ஒரு புள்ளியாகும், இது இரண்டு எல்லைக் கோடுகளின் வெட்டுப்புள்ளியாகும்.

• நேரியல் சமனிலிகளின் ஒரு தொகுதியின் சாத்தியமான பகுதி ஒரு வட்டத்திற்குள் அடைக்க முடிந்தால், அது வரம்புக்குட்பட்டது என்று கூறப்படுகிறது. இல்லையெனில், அது வரம்பற்றது என்று அழைக்கப்படுகிறது. வரம்பற்றது என்பது சாத்தியமான பகுதி எந்த திசையிலும் காலவரையின்றி நீண்டு செல்கிறது என்பதை குறிக்கிறது.

வியாபாரிக்கு அதிகபட்ச லாபம் முதலீட்டு உத்தி $(10,50)$ இலிருந்து வருகிறது என்பதை நாம் கவனிக்கிறோம், அதாவது 10 மேசைகள் மற்றும் 50 நாற்காலிகள் வாங்குவது.

நேரியல் நிரலாக்க பிரச்சனையை தீர்ப்பதற்கான இந்த முறை மூலைப் புள்ளி முறை என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. இந்த முறை பின்வரும் படிகளை உள்ளடக்கியது:

1. நேரியல் நிரலாக்க பிரச்சனையின் சாத்தியமான பகுதியை கண்டறிந்து, அதன் மூலைப் புள்ளிகளை (உச்சிகள்) ஆய்வு மூலம் அல்லது அந்த புள்ளியில் வெட்டும் இரண்டு கோடுகளின் சமன்பாடுகளை தீர்ப்பதன் மூலம் தீர்மானிக்கவும்.

2. ஒவ்வொரு மூலைப் புள்ளியிலும் இலக்கு சார்பு $Z=a x+b y$ ஐ மதிப்பிடவும். $\mathbf{M}$ மற்றும் $m$, முறையே இந்த புள்ளிகளின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளை குறிக்கட்டும்.

3. (i) சாத்தியமான பகுதி வரம்புக்குட்பட்டதாக இருக்கும் போது, $M$ மற்றும் $m$ ஆகியவை $Z$ இன் அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச மதிப்புகள் ஆகும்.

(ii) சாத்தியமான பகுதி வரம்பற்றதாக இருக்கும் வழக்கில், நம்மிடம் உள்ளது:

4. (a) $M$ ஆனது $Z$ இன் அதிகபட்ச மதிப்பாகும், $a x+b y>M$ ஆல் தீர்மானிக்கப்பட்ட திறந்த அரைத் தளம் சாத்தியமான பகுதியுடன் எந்த புள்ளியையும் பொதுவாக கொண்டிருக்கவில்லை என்றால். இல்லையெனில், $Z$ க்கு அதிகபட்ச மதிப்பு இல்லை.

(b) இதேபோல், $m$ ஆனது $Z$ இன் குறைந்தபட்ச மதிப்பாகும், $a x+b y<m$ ஆல் தீர்மானிக்கப்பட்ட திறந்த அரைத் தளம் சாத்தியமான பகுதியுடன் எந்த புள்ளியையும் பொதுவாக கொண்டிருக்கவில்லை என்றால். இல்லையெனில், $Z$ க்கு குறைந்தபட்ச மதிப்பு இல்லை.

சில உதாரணங்களை கருத்தில் கொண்டு, இப்போது மூலைப் புள்ளி முறையின் இந்த படிகளை விளக்குவோம்:

உதாரணம் 1 பின்வரும் நேரியல் நிரலாக்க பிரச்சனையை வரைகலை ரீதியாக தீர்க்கவும்:

அதிகரிக்கவும் $Z=4 x+y$ கட்டுப்பாடுகளுக்கு உட்பட்டு:

$$ \begin{aligned} x+y & \leq 50 \\ 3 x+y & \leq 90 \\ x \geq 0, y & \geq 0 \end{aligned} $$

தீர்வு படம் 12.2 இல் உள்ள நிழலிடப்பட்ட பகுதி சமன்பாடுகளின் தொகுதி (2) முதல் (4) வரை தீர்மானிக்கப்பட்ட சாத்தியமான பகுதி ஆகும். சாத்தியமான பகுதி OABC வரம்புக்குட்பட்டது என்பதை நாம் கவனிக்கிறோம். எனவே, $Z$ இன் அதிகபட்ச மதிப்பை தீர்மானிக்க மூலைப் புள்ளி முறையை இப்போது பயன்படுத்துகிறோம்.

மூலைப் புள்ளிகள் $O, A, B$ மற்றும் $C$ இன் ஆயத்தொலைவுகள் முறையே $(0,0),(30,0),(20,30)$ மற்றும் $(0,50)$ ஆகும். இப்போது ஒவ்வொரு மூலைப் புள்ளியிலும் $Z$ ஐ மதிப்பிடுகிறோம்.

படம் 12.2

எனவே, $Z$ இன் அதிகபட்ச மதிப்பு 120 ஆகும், இது புள்ளி $(30,0)$ இல் உள்ளது.

உதாரணம் 2 பின்வரும் நேரியல் நிரலாக்க பிரச்சனையை வரைகலை ரீதியாக தீர்க்கவும்:

குறைக்கவும் $Z=200 x+500 y$

கட்டுப்பாடுகளுக்கு உட்பட்டு:

$$ \begin{align*} x+2 y & \geq 10 \tag{1}\\ 3 x+4 y & \leq 24 \tag{2}\\ x \geq 0, y & \geq 0 \tag{3} \end{align*} $$

தீர்வு படம் 12.3 இல் உள்ள நிழலிடப்பட்ட பகுதி சமன்பாடுகளின் தொகுதி (2) முதல் (4) வரை தீர்மானிக்கப்பட்ட சாத்தியமான பகுதி ABC ஆகும், இது வரம்புக்குட்பட்டது. மூலைப் புள்ளிகள் A, B மற்றும் $C$ இன் ஆயத்தொலைவுகள் முறையே $(0,5),(4,3)$ மற்றும் $(0,6)$ ஆகும். இப்போது இந்த புள்ளிகளில் $Z=200 x+500 y$ ஐ மதிப்பிடுகிறோம்.

படம் 12.3

எனவே, $Z$ இன் குறைந்தபட்ச மதிப்பு 2300 ஆகும், இது புள்ளி $(4,3)$ இல் அடையப்படுகிறது

உதாரணம் 3 பின்வரும் பிரச்சனையை வரைகலை ரீதியாக தீர்க்கவும்:

குறைக்கவும் மற்றும் அதிகரிக்கவும் $Z=3 x+9 y$

கட்டுப்பாடுகளுக்கு உட்பட்டு: $\quad x+3 y \leq 60$

$$ \begin{align*} x+3 y & \leq 60 \tag{1}\\ x+y & \geq 10 \tag{2}\\ x & \leq y \tag{3}\\ x \geq 0, y & \geq 0 \tag{4} \end{align*} $$

தீர்வு முதலில், நேரியல் சமனிலிகளின் தொகுதி (2) முதல் (5) வரையிலான சாத்தியமான பகுதியை வரைபடமாக்குவோம். சாத்தியமான பகுதி ⟦100⟪ படம் 12.4 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது. பகுதி வரம்புக்குட்பட்டது என்பதை கவனிக்கவும். மூலைப் புள்ளிகள் A, B, C மற்றும் D இன் ஆயத்தொலைவுகள் முறையே $(0,10),(5,5),(15,15)$ மற்றும் $(0,20)$ ஆகும்.

படம் 12.4

இப்போது $Z$ இன் குறைந்தபட்ச மற்றும் அதிகபட்ச மதிப்பை காண்கிறோம். அட்டவணையில் இருந்து, $Z$ இன் குறைந்தபட்ச மதிப்பு 60 ஆகும், இது சாத்தியமான பகுதியின் புள்ளி $B(5,5)$ இல் உள்ளது.

சாத்தியமான பகுதியில் $Z$ இன் அதிகபட்ச மதிப்பு இரண்டு மூலைப் புள்ளிகள் $C(15,15)$ மற்றும் $D(0,20)$ இல் நிகழ்கிறது மற்றும் இது ஒவ்வ