அதிவேளையின் தத்துவம் என்பது நியாயத்தை எண்ணியல் முறையில் அளவிடுவது மட்டுமல்லாமல், உயர்ந்த அறிவியலாகும் - சி.எஸ். பீர்ஸ்

13.1 அறிமுகம்

பியர் டி பெர்மா $(1601-1665)$

முன்னர் படித்த வகுப்புகளில், ஒரு சீரற்ற செயல்பாட்டில் நிகழ்வுகளின் நிச்சயத்தன்மையை அளவிடுவதற்கான அதிவேளையை நாம் ஆய்வு செய்தோம். ஆய்வின் அச்சு அணுகுமுறையை உலக மேதை அ.ந். கொல்மொகோரோவின் (1903-1987) வழங்கிய முறையில் நாம் விவாதித்தோம், மேலும் செயல்பாட்டின் விளைவுகளுக்கு அதிவேளையை ஒரு சார்பாக கருதினோம். சமமான சாத்தியமான விளைவுகள் இருக்கும் விசயத்தில், ஆச்சு தத்துவம் மற்றும் ஆரம்ப தத்துவம் ஆகிய இரு அதிவேளை தத்துவங்களுக்கு இடையே ஒப்பீட்டை நாம் நிறுவினோம். இந்த உறவை அடிப்படையாக எடுத்து, சிறிய மாதிரி இடங்களுடன் தொடர்புடைய நிகழ்வுகளின் அதிவேளைகளை நாம் பெற்றோம். நாம் மேலும் அதிவேளையின் சேர்க்கை விதியை ஆராய்ந்தோம். இந்த அதிகாரத்தில், ஒரு நிகழ்வு நிகழ்ந்ததால் என்று அறியப்பட்ட இன்னொரு நிகழ்வு இல்லாத நிகழ்வின் அதிவேளை என்பது ஒரு முக்கியமான கருத்தாகும், இது பேயிட்ஸ் உருவாக்கும் தேர்வு, அதிவேளையின் பெருக்கு விதி மற்றும் நிகழ்வுகளின் சுதந்திரத்தை புரிதலுக்கு உதவும். நாம் இந்த அதிகாரத்தில் சீரற்ற மாறியை மற்றும் அதன் அதிவேளை விநியோகத்தை மற்றும் ஒரு அதிவேளை விநியோகத்தின் சுழற்சி மற்றும் வெவ்வேறு வகையான சிறிய அதிவேளை விநியோகங்களையும் அறிந்துகொள்வோம். இந்த அதிகாரத்தின் கடைசி பகுதியில், பினியம் விநியோகம் எனப்படும் ஒரு முக்கியமான சிறிய அதிவேளை விநியோகத்தை நாம் ஆராய்வோம். இந்த அதிகாரத்திற்கு முழுவதும், நாம் சமமான சாத்தியமான விளைவுகளை கொண்ட செயல்பாடுகளை எடுத்துக்கொள்வோம், மறுபடியும் கூறப்படவில்லை என்றால்.

13.2 நிரப்பப்பட்ட அதிவேளை

இதுவரை அதிவேளையில், நிகழ்வுகளின் அதிவேளைகளை கணக்கிடும் முறைகளை நாம் விவாதித்தோம். ஒரு மாதிரி இடத்திலிருந்து இரண்டு நிகழ்வுகள் இருந்தால், ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்வை அறிவது மற்றொரு நிகழ்வின் அதிவேளையை ஏற்படுத்துகிறதா என்பதை நாம் இதையொறு விளக்கமாக கூற முயற்சிப்போம். இதை சீரற்ற செயல்பாட்டை எடுத்துக்கொள்வோம், அதில் விளைவுகள் சமமாக சாத்தியமாகும்.

மூன்று நியாயமான மீட்டை எரிச்சல் செய்வதற்கான செயல்பாட்டை பார்க்கலாம். இந்த செயல்பாட்டின் மாதிரி இடம் இது:

$$ \mathrm{S}=\{\mathrm{HHH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}, \mathrm{HTT}, \mathrm{THT}, \mathrm{TTH}, \mathrm{TTT}\} $$

மீட்டைகள் நியாயமானவை என்பதால், ஒவ்வொரு மாதிரி இடத்திற்கும் அதிவேளை $\frac{1}{8}$ ஐ ஒதுக்க முடியும். $E$ என்பது ‘இரு மேலே இருக்கும் தலைகள் ஒன்றாய் இருக்கும்’ நிகழ்வாகும் மற்றும் $F$ என்பது ‘முதல் மீட்டை தோணி காட்டும்’ நிகழ்வாகும். அப்போது

$\mathrm{E}=\{\mathrm{HHH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}\}$

அல்லது $\mathrm{F}=\{ \mathrm{THH, THT, TTH, TTT} \}$

எனவே $$ \mathrm{P}(\mathrm{E})=\mathrm{P}(\{\mathrm{HHH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{HHT}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{HTH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{THH}\}) $$

$$ =\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2} \text { (क्यों ?) } $$

அல்லது $$ \mathrm{P}(\mathrm{F})=\mathrm{P}(\{\mathrm{THH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{THT}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{TTH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{TTT}\}) $$

$$ =\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2} $$

மீட்டை முதலில் தோணி காட்டும் என்பதை நாம் அறிந்தால், $E$ இன் நிகழ்வை எவ்வாறு செய்வது என்பதை நாம் கேட்கிறோம்? $F$ இன் நிகழ்வை அறிவது முதல் மீட்டை தோணி காட்டாத விளைவுகளை நாம் $E$ இன் அதிவேளையை கணக்கிடும்போது கருதாதே என்று நாம் அறிந்துகொள்ளவேண்டும். இந்த அறிவு மாதிரி இடத்தை மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டின் சூழ்நிலையில் இருந்து மாதிரி இடத்தின் உள்ளே உள்ள சபெஸ்ட்டை மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி இடம் செய்யும் செயல்பாட்டிற்கு மாதிரி