உலகில் அழகற்ற கணிதத்திற்கு நிரந்தரமான இடம் எதுவும் இல்லை … . கணித அழகை வரையறுப்பது மிகவும் கடினமாக இருக்கலாம், ஆனால் எந்தவொரு வகையான அழகுக்கும் இது உண்மைதான், ஒரு அழகான கவிதை என்றால் நாம் என்ன அர்த்தம் என்று தெரியாமல் இருக்கலாம், ஆனால் அது நாம் ஒன்றைப் படிக்கும்போது அதை அடையாளம் காண்பதைத் தடுக்காது. - ஜி. ஹெச். ஹார்டி

1.1 அறிமுகம்

ஒன்பதாம் வகுப்பில் உறவுகள் மற்றும் சார்புகள், ஆட்களம், இணை ஆட்களம் மற்றும் வீச்சு ஆகிய கருத்துகள் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன என்பதை நினைவுகூருங்கள், மேலும் வெவ்வேறு வகையான குறிப்பிட்ட மெய்யெண் சார்புகள் மற்றும் அவற்றின் வரைபடங்களும் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன. கணிதத்தில் ‘உறவு’ என்ற சொல்லின் கருத்து ஆங்கில மொழியில் உள்ள உறவு என்ற சொல்லின் அர்த்தத்திலிருந்து எடுக்கப்பட்டது, அதன்படி இரண்டு பொருள்கள் அல்லது அளவுகளுக்கு இடையே அடையாளம் காணக்கூடிய தொடர்பு அல்லது இணைப்பு இருந்தால், அந்த இரண்டு பொருள்கள் அல்லது அளவுகள் தொடர்புடையதாக இருக்கும். A என்பது ஒரு பள்ளியின் பன்னிரண்டாம் வகுப்பு மாணவர்களின் கணமாகவும், B என்பது அதே பள்ளியின் பதினொன்றாம் வகுப்பு மாணவர்களின் கணமாகவும் இருக்கட்டும். பின்னர் $A$ இலிருந்து ⟦9⟞ க்கு உள்ள உறவுகளின் சில எடுத்துக்காட்டுகள்

(i) $\{(a, b) \in A \times B: \text{a is brother of b}\}$

(ii) $\{(a, b) \in A \times B: \text{a is sister of b}\}$,

லெஜியூன் டிரிச்லெட் (1805-1859)

(iii) $\{(a, b) \in A \times B : \text{age of a is greater than age of b}\}$,

(iv) $\{(a, b) \in A \times B$ : இறுதித் தேர்வில் a பெற்ற மொத்த மதிப்பெண்கள் b பெற்ற மொத்த மதிப்பெண்களை விடக் குறைவு $\}$

(v) $\{(a, b) \in A \times B: a$ என்பவர் $b\}$ வதிவிடத்தில் வசிக்கிறார். இருப்பினும், இதிலிருந்து சுருக்கமாக, $A$ இலிருந்து ⟦19⟞ க்கு ஒரு உறவு $R$ஐ $A \times B$ன் ஒரு தன்னிச்சையான உட்கணமாக கணித ரீதியாக வரையறுக்கிறோம்.

$(a, b) \in R$ எனில், $a$ என்பவர் $b$ உடன் $R$ என்ற உறவின் கீழ் தொடர்புடையவர் என்று கூறுகிறோம் மற்றும் $a R b$ என எழுதுகிறோம். பொதுவாக, $(a, b) \in R$, $a$ மற்றும் $b$ க்கு இடையே அடையாளம் காணக்கூடிய தொடர்பு அல்லது இணைப்பு உள்ளதா இல்லையா என்பதைப் பற்றி நாம் கவலைப்படுவதில்லை. ஒன்பதாம் வகுப்பில் பார்த்தது போல், சார்புகள் என்பது சிறப்பு வகை உறவுகள் ஆகும்.

இந்த அத்தியாயத்தில், வெவ்வேறு வகையான உறவுகள் மற்றும் சார்புகள், சார்புகளின் தொகுப்பு, நேர்மாற்றத்தக்க சார்புகள் மற்றும் இரும செயல்பாடுகளைப் படிப்போம்.

1.2 உறவுகளின் வகைகள்

இந்த பிரிவில், வெவ்வேறு வகையான உறவுகளைப் படிக்க விரும்புகிறோம். ஒரு கணம் $A$ இல் உள்ள ஒரு உறவு என்பது $A \times A$ இன் ஒரு உட்கணம் என்பது நமக்குத் தெரியும். எனவே, வெற்றுக் கணம் $\phi$ மற்றும் $A \times A$ ஆகியவை இரண்டு தீவிர உறவுகள் ஆகும். விளக்கத்திற்கு, $A=\{1,2,3,4\}$ என்ற கணத்தில் உள்ள ஒரு உறவு $R$ஐ $R=\{(a, b): a-b=10\}$ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது எனக் கருதுங்கள். இது வெற்றுக் கணமாகும், ஏனெனில் எந்த ஜோடியும் $(a, b)$ $a-b=10$ என்ற நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யாது. இதேபோல், $R^{\prime}=\{(a, b):|a-b| \geq 0\}$ என்பது முழுக் கணம் $A \times A$ ஆகும், ஏனெனில் A $\times$ A இல் உள்ள அனைத்து ஜோடிகள் $(a, b)$ ஆனது $|a-b| \geq 0$ஐ பூர்த்தி செய்கின்றன. இந்த இரண்டு தீவிர எடுத்துக்காட்டுகள் பின்வரும் வரையறைகளுக்கு வழிவகுக்கின்றன.

வரையறை 1 ஒரு கணம் $A$ இல் உள்ள ஒரு உறவு $R$ வெற்று உறவு எனப்படும், $A$ இன் எந்த உறுப்பும் $A$ இன் எந்த உறுப்புடனும் தொடர்புடையதாக இல்லாவிட்டால், அதாவது $R=\phi \subset A \times A$.

வரையறை 2 ஒரு கணம் $A$ இல் உள்ள ஒரு உறவு $R$ சார்வுநிலை உறவு (universal relation) எனப்படும், $A$ இன் ஒவ்வொரு உறுப்பும் $A$ இன் ஒவ்வொரு உறுப்புடனும் தொடர்புடையதாக இருந்தால், அதாவது $R=A \times A$.

வெற்று உறவு மற்றும் சார்வுநிலை உறவு ஆகிய இரண்டும் சில நேரங்களில் அற்பமான உறவுகள் (trivial relations) என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு 1 $A$ ஒரு ஆண்கள் பள்ளியின் அனைத்து மாணவர்களின் கணமாக இருக்கட்டும். $A$ இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ள உறவு $R$ ஆனது $R=\{(a, b): a$ என்பவர் $b\}$ இன் சகோதரி என்பது வெற்று உறவு என்பதையும், $R^{\prime}=\{(a, b):$ $a$ மற்றும் $b$ இன் உயரங்களுக்கு இடையேயான வித்தியாசம் 3 மீட்டருக்கும் குறைவாக உள்ளது $\}$ என்பது சார்வுநிலை உறவு என்பதையும் காட்டுக.

தீர்வு பள்ளி ஒரு ஆண்கள் பள்ளியாக இருப்பதால், பள்ளியின் எந்த மாணவரும் பள்ளியின் எந்த மாணவரின் சகோதரியாக இருக்க முடியாது. எனவே, $R=\phi$, இது $R$ வெற்று உறவு என்பதைக் காட்டுகிறது. பள்ளியின் எந்த இரண்டு மாணவர்களின் உயரங்களுக்கும் இடையேயான வித்தியாசம் 3 மீட்டருக்கும் குறைவாக இருக்க வேண்டும் என்பதும் வெளிப்படையானது. இது $R^{\prime}=A \times A$ சார்வுநிலை உறவு என்பதைக் காட்டுகிறது.

குறிப்பு ஒன்பதாம் வகுப்பில், ஒரு உறவைக் குறிப்பிட இரண்டு வழிகளைப் பார்த்தோம், அதாவது பட்டியல் முறை மற்றும் கண கட்டமைப்பு முறை. இருப்பினும், $\{1,2,3,4\}$ என்ற கணத்தில் உள்ள ஒரு உறவு $R$ ஆனது $R$ $=\{(a, b): b=a+1\}$ என வரையறுக்கப்பட்டால், பல ஆசிரியர்களால் $a R b$ என்றால் மட்டுமே $b=a+1$ எனவும் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. வசதியானபோது, இந்தக் குறியீட்டையும் நாம் பயன்படுத்தலாம்.

$(a, b) \in R$ எனில், $a$ என்பவர் $b$ உடன் தொடர்புடையவர் என்று கூறுகிறோம் மற்றும் அதை $a R b$ எனக் குறிக்கிறோம்.

கணிதத்தில் முக்கிய பங்கு வகிக்கும் மிக முக்கியமான உறவுகளில் ஒன்று, சமான உறவு ஆகும். சமான உறவைப் படிக்க, முதலில் மூன்று வகையான உறவுகளைக் கருதுகிறோம், அதாவது எதிர்வு உறவு, சமச்சீர் உறவு மற்றும் கடப்பு உறவு.

வரையறை 3 ஒரு கணம் $A$ இல் உள்ள ஒரு உறவு $R$

(i) எதிர்வு உறவு எனப்படும், $(a, a) \in R$, ஒவ்வொரு ⟦78⟞ க்கும்,

(ii) சமச்சீர் உறவு எனப்படும், $(a_{1}, a_{2}) \in R$ எனில் $(a_{2}, a_{1}) \in R$, அனைத்து ⟦81⟞ க்கும்.

(iii) கடப்பு உறவு எனப்படும், $(a_{1}, a_{2}) \in R$ மற்றும் $(a_{2}, a_{3}) \in R$ எனில் $(a_{1}, a_{3}) \in R$, அனைத்து $a_{1}, a_{2}$, ⟦86⟞ க்கும்.

வரையறை 4 ஒரு கணம் $A$ இல் உள்ள ஒரு உறவு $R$ சமான உறவு எனக் கூறப்படும், $R$ எதிர்வு, சமச்சீர் மற்றும் கடப்பு ஆகியவை ஆக இருந்தால்.

எடுத்துக்காட்டு 2 $T$ ஒரு தளத்தில் உள்ள அனைத்து முக்கோணங்களின் கணமாக இருக்கட்டும் மற்றும் $T$ இல் உள்ள ஒரு உறவு $R$ ஆனது $R=\{(T_{1}, T_{2}): T_{1}.$ என்பது $.T_{2}\}$ உடன் சர்வசமம் எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. $R$ ஒரு சமான உறவு எனக் காட்டுக.

தீர்வு $R$ எதிர்வு உறவு ஆகும், ஏனெனில் ஒவ்வொரு முக்கோணமும் தனக்குத் தானே சர்வசமமாக இருக்கும். மேலும், $(T_{1}, T_{2}) \in R \Rightarrow T_{1}$ என்பது $T_{2} \Rightarrow T_{2}$ உடன் சர்வசமம் எனில் $T_{1} \Rightarrow(T_{2}, T_{1}) \in R$ உடன் சர்வசமம் ஆகும். எனவே, $R$ சமச்சீர் உறவு ஆகும். மேலும், $(T_{1}, T_{2}),(T_{2}, T_{3}) \in R \Rightarrow T_{1}$ என்பது $T_{2}$ உடன் சர்வசமம் மற்றும் $T_{2}$ என்பது $T_{3} \Rightarrow T_{1}$ உடன் சர்வசமம் எனில் $T_{3} \Rightarrow(T_{1}, T_{3}) \in R$ உடன் சர்வசமம் ஆகும். எனவே, $R$ ஒரு சமான உறவு ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 3 $ Let L$ ஒரு தளத்தில் உள்ள அனைத்து கோடுகளின் கணமாக இருக்கட்டும் மற்றும் $L$ இல் உள்ள உறவு $R$ ஆனது $R=\{(L_{1}, L_{2}): L_{1}.$ என்பது ⟦111⟞ க்கு செங்குத்தாக உள்ளது என வரையறுக்கப்படுகிறது. $R$ சமச்சீர் உறவு ஆனால் எதிர்வு அல்லது கடப்பு உறவு அல்ல எனக் காட்டுக.

தீர்வு $R$ எதிர்வு உறவு அல்ல, ஏனெனில் ஒரு கோடு $L_{1}$ தனக்குத் தானே செங்குத்தாக இருக்க முடியாது, அதாவது $(L_{1}, L_{1})$ $\notin R$. R சமச்சீர் உறவு ஆகும், ஏனெனில் $(L_{1}, L_{2}) \in R$

$$ \begin{array}{ll} \Rightarrow & L_{1} \text { is perpendicular to } L_{2} \\ \Rightarrow & L_{2} \text { is perpendicular to } L_{1} \\ \Rightarrow & (L_{2}, L_{1}) \in R . \end{array} $$

$R$ கடப்பு உறவு அல்ல. உண்மையில், $L_{1}$ என்பது ⟦120⟞ க்கு செங்குத்தாகவும், $L_{2}$ என்பது ⟦122⟞ க்கு செங்குத்தாகவும் இருந்தால், $L_{1}$ என்பது ஒருபோதும் ⟦124⟞ க்கு செங்குத்தாக இருக்க முடியாது. உண்மையில், $L_{1}$ என்பது ⟦126⟞ க்கு இணையாக இருக்கும், அதாவது $(L_{1}, L_{2}) \in R,(L_{2}, L_{3}) \in R$ ஆனால் $(L_{1}, L_{3}) \notin R$.

படம் 1.1

எடுத்துக்காட்டு 4 $\{1,2,3\}$ என்ற கணத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள உறவு $R$ ஆனது R=$\{(1,1),(2,2), (3,3),(1,2),(2,3)\}$ எதிர்வு உறவு ஆனால் சமச்சீர் அல்லது கடப்பு உறவு அல்ல எனக் காட்டுக.

தீர்வு $R$ எதிர்வு உறவு ஆகும், ஏனெனில் $(1,1),(2,2)$ மற்றும் $(3,3)$ ஆகியவை $R$ இல் உள்ளன. மேலும், $R$ சமச்சீர் உறவு அல்ல, ஏனெனில் $(1,2) \in R$ ஆனால் $(2,1) \notin R$. இதேபோல், $R$ கடப்பு உறவு அல்ல, ஏனெனில் $(1,2) \in R$ மற்றும் $(2,3) \in R$ ஆனால் $(1,3) \notin R$.

எடுத்துக்காட்டு 5 $\mathbf{Z}$ என்ற முழு எண்களின் கணத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள உறவு $R$ ஆனது $R=\{(a, b): 2 \text { divides } a-b\}$ ஒரு சமான உறவு எனக் காட்டுக.

தீர்வு $R$ எதிர்வு உறவு ஆகும், ஏனெனில் 2 ஆனது அனைத்து ⟦148⟞ க்கும் $(a-a)$ஐ வகுக்கும். மேலும், $(a, b) \in R$ எனில், 2 ஆனது $a-b$ஐ வகுக்கும். எனவே, 2 ஆனது $b-a$ஐ வகுக்கும். எனவே, $(b, a) \in R$, இது $R$ சமச்சீர் உறவு என்பதைக் காட்டுகிறது. இதேபோல், $(a, b) \in R$ மற்றும் $(b, c) \in R$ எனில், $a-b$ மற்றும் $b-c$ ஆகியவை 2 ஆல் வகுபடும். இப்போது, $a-c=(a-b)+(b-c)$ இரட்டை எண் (ஏன்?). எனவே, $(a-c)$ 2 ஆல் வகுபடும். இது $R$ கடப்பு உறவு என்பதைக் காட்டுகிறது. எனவே, $R$ என்பது $\mathbf{Z}$ இல் உள்ள ஒரு சமான உறவு ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 5 இல், அனைத்து இரட்டை எண்களும் பூஜ்ஜியத்துடன் தொடர்புடையவை என்பதைக் கவனிக்கவும், ஏனெனில் $(0, \pm 2),(0, \pm 4)$ போன்றவை $R$ இல் உள்ளன மற்றும் எந்த ஒற்றைப்படை எண்ணும் 0 உடன் தொடர்புடையதல்ல, ஏனெனில் $(0, \pm 1),(0, \pm 3)$ போன்றவை $R$ இல் இல்லை. இதேபோல், அனைத்து ஒற்றைப்படை எண்களும் ஒன்றுடன் தொடர்புடையவை மற்றும் எந்த இரட்டை எண்ணும் ஒன்றுடன் தொடர்புடையதல்ல. எனவே, அனைத்து இரட்டை எண்களின் கணம் $E$ மற்றும் அனைத்து ஒற்றைப்படை எண்களின் கணம் $O$ ஆகியவை $\mathbf{Z}$ இன் உட்கணங்களாகும், அவை பின்வரும் நிபந்தனைகளைப் பூர்த்தி செய்கின்றன:

(i) $E$ இன் அனைத்து உறுப்புகளும் ஒன்றுக்கொன்று தொடர்புடையவை மற்றும் $O$ இன் அனைத்து உறுப்புகளும் ஒன்றுக்கொன்று தொடர்புடையவை.

(ii) $E$ இன் எந்த உறுப்பும் $O$ இன் எந்த உறுப்புடனும் தொடர்புடையதல்ல மற்றும் நேர்மாறாகவும்.

(iii) $E$ மற்றும் $O$ ஆகியவை வெட்டாத கணங்கள் மற்றும் $\mathbf{Z}=E \cup O$.

$E$ என்ற உட்கணம் பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்ட சமானப் பகுதி என அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் [0] எனக் குறிக்கப்படுகிறது. இதேபோல், $O$ என்பது 1 ஐக் கொண்ட சமானப் பகுதி மற்றும் [1] எனக் குறிக்கப்படுகிறது. $[0] \neq[1],[0]=[2 r]$ மற்றும் $[1]=[2 r+1], r \in \mathbf{Z}$ என்பதைக் கவனிக்கவும். உண்மையில், மேலே நாம் பார்த்தது ஒரு தன்னிச்சையான சமான உறவு $R$ க்கு ஒரு கணம் $X$ இல் உண்மையாகும். ஒரு தன்னிச்சையான கணம் $X, R$ இல் ஒரு தன்னிச்சையான சமான உறவு $R$ கொடுக்கப்பட்டால், அது $X$ஐ பரஸ்பரம் வெட்டாத உட்கணங்களாக $A_{i}$ பிரிக்கிறது, அவை $X$ இன் பிரிவுகள் அல்லது உட்பிரிவுகள் என அழைக்கப்படுகின்றன, அவை பின்வருவனவற்றைப் பூர்த்தி செய்கின்றன:

(i) $A_{i}$ இன் அனைத்து உறுப்புகளும் ஒன்றுக்கொன்று தொடர்புடையவை, அனைத்து ⟦189⟞ க்கும்.

(ii) $A_{i}$ இன் எந்த உறுப்பும் $A_{j}, i \neq j$ இன் எந்த உறுப்புடனும் தொடர்புடையதல்ல.

(iii) $\cup A_{j}=X$ மற்றும் $A_{i} \cap A_{j}=\phi, i \neq j$.

$A_{i}$ என்ற உட்கணங்கள் சமானப் பகுதிகள் என அழைக்கப்படுகின்றன. இந்த நிலைமையின் சுவாரஸ்யமான பகுதி என்னவென்றால், நாம் தலைகீழாகவும் செல்லலாம். எடுத்துக்காட்டாக, $\mathbf{Z}$ என்ற கணத்தின் ஒரு பிரிவைக் கருதுங்கள், அது மூன்று பரஸ்பரம் வெட்டாத உட்கணங்களான $A_{1}, A_{2}$ மற்றும் $A_{3}$ ஆகியவற்றால் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, அவற்றின் சேர்ப்பு $\mathbf{Z}$ ஆகும், மேலும்

$$ \begin{aligned} & A_{1}=\{x \in \mathbf{Z}: x \text { is a multiple of } 3\}=\{\ldots,-6,-3,0,3,6, \ldots\} \\ & A_{2}=\{x \in \mathbf{Z}: x-1 \text { is a multiple of } 3\}=\{\ldots,-5,-2,1,4,7, \ldots\} \\ & A_{3}=\{x \in \mathbf{Z}: x-2 \text { is a multiple of } 3\}=\{\ldots,-4,-1,2,5,8, \ldots\} \end{aligned} $$

$\mathbf{Z}$ இல் ஒரு உறவு $R$ஐ $R=\{(a, b): 3$ வகுக்கும் $a-b\}$ என வரையறுக்கவும். எடுத்துக்காட்டு 5 இல் பயன்படுத்தப்பட்ட வாதங்களைப் போன்ற வாதங்களைப் பின்பற்றி, $R$ ஒரு சமான உறவு என்பதைக் காட்டலாம். மேலும், $A_{1}$ என்பது $\mathbf{Z}$ இல் உள்ள பூஜ்ஜியத்துடன் தொடர்புடைய அனைத்து முழு எண்களின் கணத்துடன் ஒத்துப்போகிறது, $A_{2}$ என்பது 1 உடன் தொடர்புடைய அனைத்து முழு எண்களின் கணத்துடன் ஒத்துப்போகிறது மற்றும் $A_{3}$ என்பது $\mathbf{Z}$ இல் உள்ள 2 உடன் தொடர்புடைய அனைத்து முழு எண்களின் கணத்துடன் ஒத்துப்போகிறது. எனவே, $A_{1}=[0], A_{2}=[1]$ மற்றும் $A_{3}=[2]$. உண்மையில், $A_{1}=[3 r], A_{2}=[3 r+1]$ மற்றும் $A_{3}=[3 r+2]$, அனைத்து ⟦213⟞ க்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 6 $A=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ என்ற கணத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட உறவு $R$ ஆனது R=$\{(a, b) :$ a மற்றும் b இரண்டும் ஒற்றைப்படை அல்லது இரட்டைப்படை $\}$ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. $R$ ஒரு சமான உறவு எனக் காட்டுக. மேலும், $\{1,3,5,7\}$ என்ற உட்கணத்தின் அனைத்து உறுப்புகளும் ஒன்றுக்கொன்று தொடர்புடையவை மற்றும் $\{2,4,6\}$ என்ற உட்கணத்தின் அனைத்து உறுப்புகளும் ஒன்றுக்கொன்று தொடர்புடையவை, ஆனால் $\{1,3,5,7\}$ என்ற உட்கணத்தின் எந்த உறுப்பும் $\{2,4,6\}$ என்ற உட்கணத்தின் எந்த உறுப்புடனும் தொடர்புடையதல்ல எனக் காட்டுக.

தீர்வு A இல் உள்ள எந்த உறுப்பு $a$ஐயும் கொடுத்தால், $a$ மற்றும் $a$ இரண்டும் ஒற்றைப்படை அல்லது இரட்டைப்படையாக இருக்க வேண்டும், அதனால் $(a, a) \in R$. மேலும், $(a, b) \in R \Rightarrow$ $a$ மற்றும் $b$ இரண்டும் ஒற்றைப்படை அல்லது இரட்டைப்படையாக இருக்க வேண்டும் $\Rightarrow(b, a) \in R$. இதேபோல், $(a, b) \in R$ மற்றும் $(b, c) \in R \Rightarrow$ அனைத்து உறுப்புகள் $a, b, c$, ஒரே நேரத்தில் இரட்டைப்படை அல்லது ஒற்றைப்படையாக இருக்க வேண்டும் $\Rightarrow(a, c) \in R$. எனவே, $R$ ஒரு சமான உறவு ஆகும். மேலும், $\{1,3,5,7\}$ என்ற உட்கணத்தின் அனைத்து உறுப்புகளும் ஒன்றுக்கொன்று தொடர்புடையவை, ஏனெனில் இந்த உட்கணத்தின் அனைத்து உறுப்புகளும் ஒற்றைப்படை எண்களாகும். இதேபோல், $\{2,4,6\}$ என்ற உட்கணத்தின் அனைத்து உறுப்புகளும் ஒன்றுக்கொன்று தொடர்புடையவை, ஏனெனில் அவை அனைத்தும் இரட்டைப்படை எண்களாகும். மேலும், $\{1,3,5,7\}$ என்ற உட்கணத்தின் எந்த உறுப்பும் $\{2,4,6\}$ என்ற உட்கணத்தின் எந்த உறுப்புடனும் தொடர்புடையதாக இருக்க முடியாது, ஏனெனில் $\{1,3,5,7\}$ இன் உறுப்புகள் ஒற்றைப்படை எண்களாகும், அதேசமயம் $\{2,4,6\}$ இன் உறுப்புகள் இரட்டைப்படை எண்களாகும்.

1.3 சார்புகளின் வகைகள்

ஒரு சார்பு என்ற கருத்து, அதன் சில சிறப்பு சார்புகளான முற்றொருமைச் சார்பு, மாறிலிச் சார்பு, பல்லுறுப்புச் சார்பு, விகிதமுறு சார்பு, மட்டு சார்பு, குறிச் சார்பு போன்றவை அவற்றின் வரைபடங்களுடன் ஒன்பதாம் வகுப்பில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

இரண்டு சார்புகளின் கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் ஆகியவையும் படிக்கப்பட்டுள்ளன. கணிதத்திலும் பிற துறைகளிலும் சார்பு என்ற கருத்து மிகவும் முக்கியமானதாக இருப்பதால், நாம் முன்பு முடித்த இடத்திலிருந்து சார்பு பற்றிய நமது படிப்பை விரிவுபடுத்த விரும்புகிறோம். இந்தப் பிரிவில், வெவ்வேறு வகையான சார்புகளைப் படிக்க விரும்புகிறோம்.

பின்வரும் வரைபடங்களால் கொடுக்கப்பட்ட சார்புகள் $f_{1}, f_{2}, f_{3}$ மற்றும் $f_{4}$ஐக் கவனியுங்கள்.

படம் 1.2 இல், $X_{1}$ இன் வெவ்வேறு உறுப்புகளின் படங்கள் சார்பு $f_{1}$ இன் கீழ் வெவ்வேறாக இருப்பதைக் காண்கிறோம், ஆனால் $X_{1}$ இன் இரண்டு வெவ்வேறு உறுப்புகள் 1 மற்றும் 2 இன் படம் $f_{2}$ இன் கீழ் ஒரே மாதிரியாக உள்ளது, அதாவது $b$. மேலும், $X_{2}$ இல் $e$ மற்றும் $f$ போன்ற சில உறுப்புகள் உள்ளன, அவை $X_{1}$ இன் எந்த உறுப்பின் படங்களும் அல்ல, சார்பு $f_{1}$ இன் கீழ், அதேசமயம் $X_{3}$ இன் அனைத்து உறுப்புகளும் $X_{1}$ இன் சில உறுப்புகளின் படங்களாகும், சார்பு $f_{3}$ இன் கீழ். மேலே உள்ள கவனிப்புகள் பின்வரும் வரையறைகளுக்கு வழிவகுக்கின்றன:

வரையறை 5 $ A$ சார்பு $f: X \rightarrow Y$ ஒன்றுக்கொன்று (அல்லது உள்ளீட்டு) என வரையறுக்கப்படுகிறது, $X$ இன் வெவ்வேறு உறுப்புகளின் படங்கள் சார்பு $f$ இன் கீழ் வெவ்வேறாக இருந்தால், அதாவது ஒவ்வொரு ⟦261⟞ க்கும் $x_{1}=x_{2}$ எனில். இல்லையெனில், $f$ பலவற்றுக்கொன்று என அழைக்கப்படுகிறது.

படம் 1.2 (i) மற்றும் (iv) இல் உள்ள சார்புகள் $f_{1}$ மற்றும் $f_{4}$ ஒன்றுக்கொன்று சார்புகள் மற்றும் படம் 1.2 (ii) மற்றும் (iii) இல் உள்ள சார்புகள் $f_{2}$ மற்றும் $f_{3}$ பலவற்றுக்கொன்று சார்புகள் ஆகும்.

வரையறை 6 ஒரு சார்பு $f: X \rightarrow Y$ மேல் சார்பு (அல்லது மேலீட்டு) எனக் கூறப்படுகிறது, $Y$ இன் ஒவ்வொரு உறுப்பும் $X$ இன் சில உறுப்பின் படமாக சார்பு $f$ இன் கீழ் இருந்தால், அதாவது ஒவ்வொரு ⟦272⟞ க்கும், $X$ இல் ஒரு உறுப்பு $x$ உள்ளது, அதாவது $f(x)=y$.

படம் 1.2 (iii), (iv) இல் உள்ள சார்புகள் $f_{3}$ மற்றும் $f_{4}$ மேல் சார்புகள் மற்றும் படம் 1.2 (i) இல் உள்ள சார்பு $f_{1}$ மேல் சார்பு அல்ல, ஏனெனில் $X_{2}$ இல் உள்ள உறுப்புகள் $e, f$ ஆகியவை $X_{1}$ இல் உள்ள எந்த உறுப்பின் படங்களும் அல்ல, சார்பு $f_{1}$ இன் கீழ்.

படம் 1.2 (i) முதல் (iv) வரை

குறிப்பு $f: X \rightarrow Y$ மேல் சார்பு ஆகும் என்றால் மட்டுமே $f=Y$ இன் வீச்சு.

வரையறை 7 ஒரு சார்பு $f: X \rightarrow Y$ ஒன்றுக்கொன்று மற்றும் மேல் சார்பு (அல்லது இருபுறச்சார்பு) எனக் கூறப்படுகிறது, $f$ ஒன்றுக்கொன்று மற்றும் மேல் சார்பு ஆக இருந்தால்.

படம் 1.2 (iv) இல் உள்ள சார்பு $f_{4}$ ஒன்றுக்கொன்று மற்றும் மேல் சார்பு ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 7 A என்பது ஒரு பள்ளியில் உள்ள $X$ வகுப்பின் அனைத்து 50 மாணவர்களின் கணமாக இருக்கட்டும். $f: A \rightarrow \mathbf{N}$ என்பது $f(x)=$ மாணவர் $x$ இன் ரோல் எண் என வரையறுக்கப்பட்ட சார்பாக இருக்கட்டும். $f$ ஒன்றுக்கொன்று சார்பு ஆனால் மேல் சார்பு அல்ல எனக் காட்டுக.

தீர்வு வகுப்பின் இரண்டு வெவ்வேறு மாணவர்களுக்கு ஒரே ரோல் எண் இருக்க முடியாது. எனவே, $f$ ஒன்றுக்கொன்று சார்பாக இருக்க வேண்டும். மாணவர்களின் ரோல் எண்கள் 1 முதல் 50 வரை உள்ளன என்று எந்த இழப்பும் இல்லாமல் கருதலாம். இது $\mathbf{N}$ இல் உள்ள 51 என்பது வகுப்பின் எந்த மாணவரின் ரோல் எண்ணும் அல்ல என்று பொருள், எனவே 51 ஆனது $X$ இன் எந்த உறுப்பின் படமாகவும் இருக்க முடியாது, சார்பு $f$ இன் கீழ். எனவே, $f$ மேல் சார்பு அல்ல.

எடுத்துக்காட்டு 8 $f: \mathbf{N}\rightarrow \mathbf{N}$ என்ற சார்பு, $f(x)=2 x$ எனக் கொடுக்கப்பட்டால், ஒன்றுக்கொன்று சார்பு ஆனால் மேல் சார்பு அல்ல எனக் காட்டுக.

தீர்வு சார்பு $f$ ஒன்றுக்கொன்று சார்பு ஆகும், ஏனெனில் $f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow 2 x_{1}=2 x_{2} \Rightarrow x_{1}=x_{2}$. மேல