கணிதம், பொதுவாக, அடிப்படையில் அமைப்புகள் மற்றும் உறவுகளின் அறிவியலாகும். — FELIX KLEIN

2.1 அறிமுகம்

அத்தியாயம் 1-ல், ஒரு சார்பின் நேர்மாறு $f$, $f^{-1}$ எனக் குறிக்கப்படுகிறது, $f$ ஒன்றுக்கொன்று மற்றும் மேல் சார்பாக இருந்தால் மட்டுமே அது இருக்கும் என்பதை நாம் படித்துள்ளோம். பல சார்புகள் ஒன்றுக்கொன்றோ, மேல் சார்பாகவோ அல்லது இரண்டுமோ இல்லாததால் அவற்றின் நேர்மாறுகளைப் பற்றி பேச முடியாது. 11ஆம் வகுப்பில், முக்கோணவியல் சார்புகள் அவற்றின் இயற்கையான ஆட்களங்கள் மற்றும் வீச்சுகளில் ஒன்றுக்கொன்று மற்றும் மேல் சார்புகள் அல்ல என்பதையும், எனவே அவற்றின் நேர்மாறுகள் இல்லை என்பதையும் படித்தோம். இந்த அத்தியாயத்தில், முக்கோணவியல் சார்புகளின் ஆட்களங்கள் மற்றும் வீச்சுகளில் விதிக்கப்படும் கட்டுப்பாடுகளைப் பற்றி படிப்போம், இவை அவற்றின் நேர்மாறுகளின் இருப்பை உறுதி செய்கின்றன மற்றும் வரைபட விளக்கங்கள் மூலம் அவற்றின் நடத்தையைக் காண்போம். மேலும், சில அடிப்படைப் பண்புகளும் விவாதிக்கப்படும். நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் கால்குலஸில் முக்கிய பங்கு வகிக்கின்றன, ஏனெனில் அவை பல தொகையீடுகளை வரையறுக்க உதவுகின்றன. நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளின் கருத்துகள் அறிவியல் மற்றும் பொறியியலிலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

ஆரியபட்டர்

($476-550$ A. D.)

2.2 அடிப்படைக் கருத்துகள்

11ஆம் வகுப்பில், முக்கோணவியல் சார்புகளைப் படித்துள்ளோம், அவை பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகின்றன:

சைன் சார்பு, அதாவது, sine : $\mathbf{R} \rightarrow[-1,1]$

கோசைன் சார்பு, அதாவது, $\cos : \mathbf{R} \rightarrow[-1,1]$

டேன்ஜென்ட் சார்பு, அதாவது, $\tan : \mathbf{R}-\{x: x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}$

கோடேன்ஜென்ட் சார்பு, அதாவது, $\cot : \mathbf{R}-\{x: x=n \pi, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}$

செகண்ட் சார்பு, அதாவது, sec : $\mathbf{R}-\{x: x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}-(-1,1)$

கோசெகண்ட் சார்பு, அதாவது, $cosec: \mathbf{R}-\{x: x=n \pi, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}-(-1,1)$

மேலும் அத்தியாயம் 1-ல், $f: X \rightarrow Y$ என்றால் $f(x)=y$ ஒன்றுக்கொன்று மற்றும் மேல் சார்பாக இருந்தால், ஒரு தனித்துவமான சார்பை $g: Y \rightarrow X$ என வரையறுக்கலாம் என்றும் கற்றுக்கொண்டோம், அதாவது $g(y)=x$, இங்கு $x \in X$ மற்றும் $y=f(x), y \in$ Y. இங்கு, $g=$ இன் ஆட்களம் $f$ இன் வீச்சு மற்றும் $g=$ இன் வீச்சு $f$ இன் ஆட்களம் ஆகும். சார்பு $g$ என்பது $f$ இன் நேர்மாறு என அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் $f^{-1}$ எனக் குறிக்கப்படுகிறது. மேலும், $g$ என்பதும் ஒன்றுக்கொன்று மற்றும் மேல் சார்பாகும் மற்றும் $g$ இன் நேர்மாறு $f$ ஆகும். எனவே, $g^{-1}=(f^{-1})^{-1}=f$. நம்மிடம் மேலும் உள்ளது

மற்றும் $$ (f^{-1} \circ f)(x)=f^{-1}(f(x))=f^{-1}(y)=x $$ $$ (f \circ f^{-1})(y)=f(f^{-1}(y))=f(x)=y $$

சைன் சார்பின் ஆட்களம் அனைத்து மெய்யெண்களின் கணமாகவும், வீச்சு மூடிய இடைவெளி $[-1,1]$ ஆகவும் இருப்பதால். அதன் ஆட்களத்தை $[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ க்கு மட்டுப்படுத்தினால், அது ஒன்றுக்கொன்று மற்றும் மேல் சார்பாக மாறி வீச்சு $[-1,1]$ ஆகிறது. உண்மையில், சைன் சார்பு $[\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}], [\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}], [\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]$ போன்ற இடைவெளிகளில் ஏதேனும் ஒன்றுக்கு மட்டுப்படுத்தப்பட்டால், அது ஒன்றுக்கொன்று சார்பாகும் மற்றும் அதன் வீச்சு $[-1,1]$ ஆகும். எனவே, இந்த ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் சைன் சார்பின் நேர்மாறை வரையறுக்கலாம். சைன் சார்பின் நேர்மாறை $\sin ^{-1}$ (ஆர்க் சைன் சார்பு) எனக் குறிக்கிறோம். எனவே, $\sin ^{-1}$ என்பது ஒரு சார்பு ஆகும், அதன் ஆட்களம் $[-1,1]$ மற்றும் வீச்சு $[\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}],[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ அல்லது $[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]$ போன்ற இடைவெளிகளில் ஏதேனும் ஒன்றாக இருக்கலாம். இதுபோன்ற ஒவ்வொரு இடைவெளிக்கும், $\sin ^{-1}$ சார்பின் ஒரு கிளையைப் பெறுகிறோம். $[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ வீச்சைக் கொண்ட கிளை முதன்மை மதிப்புக் கிளை என அழைக்கப்படுகிறது, அதேசமயம் வீச்சாக பிற இடைவெளிகள் $\sin ^{-1}$ இன் வெவ்வேறு கிளைகளைத் தருகின்றன. $\sin ^{-1}$ சார்பைக் குறிப்பிடும்போது, அதன் ஆட்களம் $[-1,1]$ மற்றும் வீச்சு $[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ ஆக இருக்கும் சார்பாக எடுத்துக்கொள்கிறோம். நாம் எழுதுவது $\sin ^{-1}:[-1,1] \rightarrow[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$

நேர்மாறு சார்புகளின் வரையறையிலிருந்து, $\sin (\sin ^{-1} x)=x$ என்றால் $-1 \leq x \leq 1$ மற்றும் $\sin ^{-1}(\sin x)=x$ என்றால் $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ என்பது பின்தொடர்கிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், $y=\sin ^{-1} x$ என்றால், $\sin y=x$.

குறிப்புகள்

(i) அத்தியாயம் 1-லிருந்து நாம் அறிவோம், $y=f(x)$ ஒரு நேர்மாறு சார்பாக இருந்தால், $x=f^{-1}(y)$. எனவே, $\sin^{-1}$ சார்பின் வரைபடத்தை அசல் சார்பின் வரைபடத்திலிருந்து $x$ மற்றும் $y$ அச்சுகளை மாற்றுவதன் மூலம் பெறலாம், அதாவது, $(a, b)$ சைன் சார்பின் வரைபடத்தில் ஒரு புள்ளியாக இருந்தால், $(b, a)$ சைன் சார்பின் நேர்மாறின் வரைபடத்தில் தொடர்புடைய புள்ளியாக மாறும். எனவே, $y=\sin ^{-1} x$ சார்பின் வரைபடத்தை $y=\sin x$ இன் வரைபடத்திலிருந்து $x$ மற்றும் $y$ மதிப்புகளை மாற்றுவதன் மூலம் பெறலாம். $y=\sin x$ மற்றும் $y=\sin ^{-1} x$ இன் வரைபடங்கள் படம் 2.1 (i), (ii), (iii) இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. $y=\sin ^{-1} x$ இன் வரைபடத்தின் கருப்பு பகுதி முதன்மை மதிப்புக் கிளையைக் குறிக்கிறது.

(ii) ஒரு நேர்மாறு சார்பின் வரைபடத்தை அசல் சார்பின் தொடர்புடைய வரைபடத்திலிருந்து $y=x$ கோட்டில் கண்ணாடிப் பிம்பமாக (அதாவது, பிரதிபலிப்பு) பெற முடியும் என்பதைக் காட்டலாம். இதை $y=\sin x$ மற்றும் $y=\sin ^{-1} x$ இன் வரைபடங்களை ஒரே அச்சுகளில் (படம் 2.1 (iii)) பார்ப்பதன் மூலம் கற்பனை செய்யலாம்.

சைன் சார்பைப் போலவே, கோசைன் சார்பும் ஒரு சார்பாகும், அதன் ஆட்களம் அனைத்து மெய்யெண்களின் கணமாகவும், வீச்சு $[-1,1]$ கணமாகவும் உள்ளது. கோசைன் சார்பின் ஆட்களத்தை $[0, \pi]$ க்கு மட்டுப்படுத்தினால், அது ஒன்றுக்கொன்று மற்றும் மேல் சார்பாக மாறி வீச்சு $[-1,1]$ ஆகிறது. உண்மையில், கோசைன் சார்பு $[-\pi, 0],[0, \pi],[\pi, 2 \pi]$ போன்ற இடைவெளிகளில் ஏதேனும் ஒன்றுக்கு மட்டுப்படுத்தப்பட்டால், அது இருபுறச் சார்பாகும் மற்றும் வீச்சு $[-1,1]$ ஆகும். எனவே, இந்த ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் கோசைன் சார்பின் நேர்மாறை வரையறுக்கலாம். கோசைன் சார்பின் நேர்மாறை $\cos ^{-1}$ (ஆர்க் கோசைன் சார்பு) எனக் குறிக்கிறோம். எனவே, $\cos ^{-1}$ என்பது ஒரு சார்பு ஆகும், அதன் ஆட்களம் $[-1,1]$ மற்றும் வீச்சு $[-\pi, 0],[0, \pi],[\pi, 2 \pi]$ போன்ற இடைவெளிகளில் ஏதேனும் ஒன்றாக இருக்கலாம். இதுபோன்ற ஒவ்வொரு இடைவெளிக்கும், $\cos ^{-1}$ சார்பின் ஒரு கிளையைப் பெறுகிறோம். $[0, \pi]$ வீச்சைக் கொண்ட கிளை $\cos ^{-1}$ சார்பின் முதன்மை மதிப்புக் கிளை என அழைக்கப்படுகிறது. நாம் எழுதுவது

$$ \cos ^{-1}:[-1,1] \rightarrow[0, \pi] . $$

$y=\cos ^{-1} x$ ஆல் கொடுக்கப்பட்ட சார்பின் வரைபடத்தை $y=\sin ^{-1} x$ பற்றி விவாதித்த அதே வழியில் வரையலாம். $y=\sin x$ மற்றும் $y=\cos ^{-1} x$ இன் வரைபடங்கள் படம் 2.2 (i) மற்றும் (ii) இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

படம். 2.2 (i)

படம் 2.2 (ii)

இப்போது $\csc^{-1} x$ மற்றும் ⟦99⟐ பற்றி பின்வருமாறு விவாதிப்போம்:

$cosec x=\frac{1}{\sin x}$ என்பதால், கோசெக் சார்பின் ஆட்களம் $\{x: x \in \mathbf{R}$ மற்றும் $x \neq n \pi, n \in \mathbf{Z}\}$ கணமாகும் மற்றும் வீச்சு $\{y: y \in \mathbf{R}, y \geq 1$ அல்லது $y \leq -1\}$ கணமாகும், அதாவது $\mathbf{R}-(-1,1)$ கணம். இதன் பொருள் $y=cosec x$ என்பது $-1<y<1$ தவிர அனைத்து மெய் மதிப்புகளையும் எடுக்கும் மற்றும் $\pi$ இன் முழு எண் மடங்குகளுக்கு வரையறுக்கப்படவில்லை. கோசெக் சார்பின் ஆட்களத்தை $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-\{0\}$ க்கு மட்டுப்படுத்தினால், அது ஒன்றுக்கொன்று மற்றும் மேல் சார்பாக மாறி அதன் வீச்சு $\mathbf{R}-(-1,1)$ கணமாக இருக்கும். உண்மையில், கோசெக் சார்பு $[\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}]-\{-\pi\},[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-\{0\}$, $[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]-\{\pi\}$ போன்ற இடைவெளிகளில் ஏதேனும் ஒன்றுக்கு மட்டுப்படுத்தப்பட்டால், அது இருபுறச் சார்பாகும் மற்றும் அதன் வீச்சு அனைத்து மெய்யெண்களின் கணம் $\mathbf{R}-(-1,1)$ ஆகும். எனவே $cosec^{-1}$ ஒரு சார்பாக வரையறுக்கப்படலாம், அதன் ஆட்களம் $\mathbf{R}-(-1,1)$ மற்றும் வீச்சு $[-\frac{3 \pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]-{-\pi}, [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-{0}, [\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]-{\pi}$ போன்ற இடைவெளிகளில் ஏதேனும் ஒன்றாக இருக்கலாம். $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-{0}$ வீச்சுடன் தொடர்புடைய சார்பு $cosec^{-1}$ இன் முதன்மை மதிப்புக் கிளை என அழைக்கப்படுகிறது. எனவே நம்மிடம் முதன்மைக் கிளை உள்ளது

$$ cosec^{-1}: \mathbf{R}-(-1,1) \rightarrow[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-{0} $$

$y=\csc x$ மற்றும் $y=\csc^{-1} x$ இன் வரைபடங்கள் படம் 2.3 (i), (ii) இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

மேலும், $\sec x=\frac{1}{\cos x}$ என்பதால், $y=\sec x$ இன் ஆட்களம் $\mathbf{R}-\left{x: x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}\right}$, $n \in \mathbf{Z}$ கணமாகும் மற்றும் வீச்சு $\mathbf{R}-(-1,1)$ கணமாகும். இதன் பொருள் sec (செகண்ட் சார்பு) என்பது $-1<y<1$ தவிர அனைத்து மெய் மதிப்புகளையும் எடுக்கும் மற்றும் $\frac{\pi}{2}$ இன் ஒற்றைப்படை மடங்குகளுக்கு வரையறுக்கப்படவில்லை. செகண்ட் சார்பின் ஆட்களத்தை $[0, \pi]-\left{\frac{\pi}{2}\right}$ க்கு மட்டுப்படுத்தினால், அது ஒன்றுக்கொன்று மற்றும் மேல் சார்பாக மாறி அதன் வீச்சு $\mathbf{R}-(-1,1)$ கணமாக இருக்கும். உண்மையில், செகண்ட் சார்பு $[-\pi, 0]-{\frac{-\pi}{2}},[0, \pi]-{\frac{\pi}{2}},[\pi, 2 \pi]-{\frac{3 \pi}{2}}$ போன்ற இடைவெளிகளில் ஏதேனும் ஒன்றுக்கு மட்டுப்படுத்தப்பட்டால், அது இருபுறச் சார்பாகும் மற்றும் அதன் வீச்சு $\mathbf{R}-{-1,1}$ ஆகும். எனவே $\sec ^{-1}$ ஒரு சார்பாக வரையறுக்கப்படலாம், அதன் ஆட்களம் $\mathbf{R}-(-1,1)$ மற்றும் வீச்சு $[-\pi, 0]-{\frac{-\pi}{2}},[0, \pi]-{\frac{\pi}{2}},[\pi, 2 \pi]-{\frac{3 \pi}{2}}$ போன்ற இடைவெளிகளில் ஏதேனும் ஒன்றாக இருக்கலாம். இவை ஒவ்வொரு இடைவெளிக்கும், $sec^{-1}$ சார்பின் வெவ்வேறு கிளைகளைப் பெறுகிறோம். $[0, \pi]-{\frac{\pi}{2}}$ வீச்சைக் கொண்ட கிளை $sec^{-1}$ சார்பின் முதன்மை மதிப்புக் கிளை என அழைக்கப்படுகிறது. எனவே நம்மிடம் உள்ளது

$$ \sec ^{-1}: \mathbf{R}-(-1,1) \rightarrow[0, \pi]-\{\frac{\pi}{2}\} $$

$y=\sec x$ மற்றும் $y=\sec^{-1} x$ சார்புகளின் வரைபடங்கள் படம் 2.4 (i), (ii) இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

இறுதியாக, இப்போது $\tan ^{-1}$ மற்றும் $\cot ^{-1}$ பற்றி விவாதிப்போம்

டேன் சார்பின் (டேன்ஜென்ட் சார்பு) ஆட்களம் $\{x: x \in \mathbf{R}, x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\}$ கணமாகவும், வீச்சு $\mathbf{R}$ ஆகவும் உள்ளது என்பதை நாம் அறிவோம். இதன் பொருள் சார்பு $\frac{\pi}{2}$ இன் ஒற்றைப்படை மடங்குகளுக்கு வரையறுக்கப்படவில்லை. டேன்ஜென்ட் சார்பின் ஆட்களத்தை $(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ க்கு மட்டுப்படுத்தினால், அது ஒன்றுக்கொன்று மற்றும் மேல் சார்பாக மாறி அதன் வீச்சு $\mathbf{R}$ ஆக இருக்கும். உண்மையில், டேன்ஜென்ட் சார்பு $(\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}),(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}),(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2})$ போன்ற இடைவெளிகளில் ஏதேனும் ஒன்றுக்கு மட்டுப்படுத்தப்பட்டால், அது இருபுறச் சார்பாகும் மற்றும் அதன் வீச்சு $\mathbf{R}$ ஆகும். எனவே $\tan ^{-1}$ ஒரு சார்பாக வரையறுக்கப்படலாம், அதன் ஆட்களம் $\mathbf{R}$ மற்றும் வீச்சு $(\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}),(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}),(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2})$ போன்ற இடைவெளிகளில் ஏதேனும் ஒன்றாக இருக்கலாம். இந்த இடைவெளிகள் $\tan ^{-1}$ சார்பின் வெவ்வேறு கிளைகளைத் தருகின்றன. $(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ வீச்சைக் கொண்ட கிளை $\tan ^{-1}$ சார்பின் முதன்மை மதிப்புக் கிளை என அழைக்கப்படுகிறது. எனவே நம்மிடம் உள்ளது

$$ \tan ^{-1}: \mathbf{R} \rightarrow(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $$

$y=\tan x$ மற்றும் $y=\arctan x$ சார்புகளின் வரைபடங்கள் படம் 2.5 (i), (ii) இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

கோட் சார்பின் (கோடேன்ஜென்ட் சார்பு) ஆட்களம் $\{x: x \in \mathbf{R}$ மற்றும் $x \neq n \pi, n \in \mathbf{Z}\}$ கணமாகவும், வீச்சு $\mathbf{R}$ ஆகவும் உள்ளது என்பதை நாம் அறிவோம். இதன் பொருள் கோடேன்ஜென்ட் சார்பு $\pi$ இன் முழு எண் மடங்குகளுக்கு வரையறுக்கப்படவில்லை. கோடேன்ஜென்ட் சார்பின் ஆட்களத்தை $(0, \pi)$ க்கு மட்டுப்படுத்தினால், அது இருபுறச் சார்பாக மாறி வீச்சு $\mathbf{R}$ ஆகும். உண்மையில், கோடேன்ஜென்ட் சார்பு $(-\pi, 0),(0, \pi),(\pi, 2 \pi)$ போன்ற இடைவெளிகளில் ஏதேனும் ஒன்றுக்கு மட்டுப்படுத்தப்பட்டால், அது இருபுறச் சார்பாகும் மற்றும் அதன் வீச்சு $\mathbf{R}$ ஆகும். எனவே $\cot ^{-1}$ ஒரு சார்பாக வரையறுக்கப்படலாம், அதன் ஆட்களம் $\mathbf{R}$ மற்றும் வீச்சு $(-\pi, 0),(0, \pi),(\pi, 2 \pi)$ போன்ற இடைவெளிகளில் ஏதேனும் ஒன்றாக இருக்கலாம். இந்த இடைவெளிகள் $\cot ^{-1}$ சார்பின் வெவ்வேறு கிளைகளைத் தருகின்றன. $(0, \pi)$ வீச்சைக் கொண்ட சார்பு $\cot ^{-1}$ சார்பின் முதன்மை மதிப்புக் கிளை என அழைக்கப்படுகிறது. எனவே நம்மிடம் உள்ளது

$$ \cot ^{-1}: \mathbf{R} \rightarrow(0, \pi) $$

$y=\cot x$ மற்றும் $y=\cot^{-1} x$ இன் வரைபடங்கள் படம் 2.6 (i), (ii) இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

பின்வரும் அட்டவணை நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளை (முதன்மை மதிப்புக் கிளைகள்) அவற்றின் ஆட்களங்கள் மற்றும் வீச்சுகளுடன் கொடுக்கிறது.

குறிப்பு

1. $\sin ^{-1} x$ என்பதை $(\sin x)^{-1}$ உடன் குழப்பிக் கொள்ளக்கூடாது. உண்மையில் $(\sin x)^{-1}=\frac{1}{\sin x}$ மற்றும் இதேபோல் பிற முக்கோணவியல் சார்புகளுக்கும்.

2. ஒரு நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்பின் எந்தக் கிளையும் குறிப்பிடப்படாதபோதெல்லாம், அந்தச் சார்பின் முதன்மை மதிப்புக் கிளையை நாம் குறிக்கிறோம்.

3. முதன்மைக் கிளையின் வீச்சில் இருக்கும் ஒரு நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்பின் மதிப்பு, அந்த நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்பின் முதன்மை மதிப்பு என அழைக்கப்படுகிறது.

இப்போது சில எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

எடுத்துக்காட்டு 1 $\sin ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})$ இன் முதன்மை மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு $\sin ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})=y$ என்க. பிறகு, $\sin y=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

$\sin ^{-1}$ இன் முதன்மை மதிப்புக் கிளையின் வீச்சு $\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}$ மற்றும் $\sin (\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}$ என்பதை நாம் அறிவோம். எனவே, $\sin ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})$ இன் முதன்மை மதிப்பு $\frac{\pi}{4}$ ஆகும்

எடுத்துக்காட்டு 2 $\cot ^{-1}(\frac{-1}{\sqrt{3}})$ இன் முதன்மை மதிப்பைக் கண்டறியவும்

தீர்வு $\cot ^{-1}(\frac{-1}{\sqrt{3}})=y$ என்க. பிறகு,

$$ \cot y=\frac{-1}{\sqrt{3}}=-\cot (\frac{\pi}{3})=\cot (\pi-\frac{\pi}{3})=\cot (\frac{2 \pi}{3}) $$

$\cot ^{-1}$ இன் முதன்மை மதிப்புக் கிளையின் வீச்சு $(0, \pi)$ மற்றும் $\cot (\frac{2 \pi}{3})=\frac{-1}{\sqrt{3}}$ என்பதை நாம் அறிவோம். எனவே, $\cot ^{-1}(\frac{-1}{\sqrt{3}})$ இன் முதன்மை மதிப்பு $\frac{2 \pi}{3}$ ஆகும்

2.3 நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளின் பண்புகள்

இந்தப் பிரிவில், நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளின் சில முக்கியமான பண்புகளை நிரூபிப்போம். இந்த முடிவுகள் தொடர்புடைய நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளின் முதன்மை மதிப்புக் கிளைகளுக்குள் மட்டுமே செல்லுபடியாகும் மற்றும் அவை வரையறுக்கப்பட்டுள்ள இடங்களில் மட்டுமே செல்லுபடியாகும் என்பதை இங்கு குறிப்பிடலாம். சில முடிவுகள் நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளின் ஆட்களங்களின் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் செல்லுபடியாகாது. உண்மையில், அவை $x$ இன் சில மதிப்புகளுக்கு மட்டுமே செல்லுபடியாகும், அதற்காக நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன. ஆட்களத்தில் $x$ இன் இந்த மதிப்புகளின் விவரங்களுக்குள் நாம் செல்ல மாட்டோம், ஏனெனில் இந்த விவாதம் இந்த பாடப்புத்தகத்தின் எல்லையைத் தாண்டியது.

$y=\sin ^{-1} x$ என்றால், $x=\sin y$ மற்றும் $x=\sin y$ என்றால், $y=\sin ^{-1} x$ என்பதை நினைவுபடுத்துவோம். இது சமமானது

$$ \sin (\sin ^{-1} x)=x, x \in[-1,1] \text { and } \sin ^{-1}(\sin x)=x, x \in[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $$

ஆட்களத்தில் பொருத்தமான மதிப்புகளுக்கு, மீதமுள்ள முக்கோணவியல் சார்புகளுக்கும் இதே போன்ற முடிவுகள் பின்தொடர்கின்றன. இப்போது சில எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

நிரூபிக்கவும்

(i) $\sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}})=2 \sin ^{-1} x,-\frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$

(ii) $\sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}})=2 \cos ^{-1} x, 0 \leq x \leq 1$

தீர்வு

(i) $x=\sin \theta$ என்க. பிறகு $\sin ^{-1} x=\theta$, இங்கு $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$. நம்மிடம் உள்ளது

$$ \begin{alignedat} \sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}}) & =\sin ^{-1}(2 \sin \theta \sqrt{1-\sin ^{2} \theta}) \\ & =\sin ^{-1}(2 \sin \theta \cos \theta)=\sin ^{-1}(\sin 2 \theta)=2 \theta \quad \text{for } \theta \in \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right] \\ & = 2 \sin^{-1} x \end{aligned} $$

(ii) $x=\cos \theta$ என எடுத்துக் கொண்டால், மேலே உள்ளதைப் போல தொடர்ந்து, நமக்கு கிடைப்பது $\sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}})=2 \cos ^{-1} x$

எடுத்துக்காட்டு 4 $\tan ^{-1} \frac{\cos x}{1-\sin x},-\frac{3 \pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$ ஐ எளிய வடிவத்தில் வெளிப்படுத்தவும்.

தீர்வு நாம் எழுதுவது

$$ \begin{alignedat} \tan ^{-1}(\frac{\cos x}{1-\sin x}) & =\tan ^{-1}[\frac{\cos ^{2} \frac{x}{2}-\sin ^{2} \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}+\sin ^{2} \frac{x}{2}-2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}] \\ & =\tan ^{-1}[\frac{(\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2})(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2})}{(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2})^{2}}] \\ & =\tan ^{-1}[\frac{\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}}]=\tan ^{-1}[\frac{1+\tan \frac{x}{2}}{1-\tan \frac{x}{2}}] \\ & =\tan ^{-1}[\tan (\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2})]=\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2} + n\pi \text{ for some integer } n \end{aligned} $$

எடுத்துக்காட்டு 5 $\cot ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}), x>1$ ஐ எளிய வடிவத்தில் எழுதவும்.

தீர்வு $x=\sec \theta$ என்க, பிறகு $\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{\sec ^{2} \theta-1}=\tan \theta$

எனவே, $\cot ^{-1} \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}=\cot ^{-1}(\cot \theta)=\theta=\sec ^{-1} x$, இது எளிய வடிவமாகும்.

பல்வேறு எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 6 $\sin ^{-1}(\sin \frac{3 \pi}{5})$ இன் மதிப்பைக் கண்டறியவும்

$\sin ^{-1}(\sin x)=x$ என்பதை நாம் அறிவோம். எனவே, $\sin ^{-1}(\sin \frac{3 \pi}{5})=\frac{3 \pi}{5}$

ஆனால் $\quad \frac{3 \pi}{5} \notin[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, இது $\sin ^{-1} x$ இன் முதன்மைக் கிளை ஆகும்

ஆனால் $\quad \sin (\frac{3 \pi}{5})=\sin (\pi-\frac{3 \pi}{5})=\sin \frac{2 \pi}{5}$ மற்றும் $\frac{2 \pi}{5} \in[0, \frac{\pi}{2}]$

எனவே $\quad \sin ^{-1}(\sin \frac{3 \pi}{5})=\sin ^{-1}(\sin \frac{2 \pi}{5})=\frac{2 \pi}{5}$

சுருக்கம்

நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளின் ஆட்களங்கள் மற்றும் வீச்சுகள் (முதன்மை மதிப்புக் கிளைகள்) பின்வரும் அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன:

• $\sin ^{-1} x$ என்பதை $(\sin x)^{-1}$ உடன் குழப்பிக் கொள்ளக்கூடாது. உண்மையில் $(\sin x)^{-1}=\frac{1}{\sin x}$ மற்றும் இதேபோல் பிற முக்கோணவியல் சார்புகளுக்கும்.
• முதன்மை மதிப்புக் கிளையில் இருக்கும் ஒரு நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்பின் மதிப்பு, அந்த நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்பின் முதன்மை மதிப்பு என அழைக்கப்படுகிறது.

किसी प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का वह मान, जो उसकी मुख्य कोण होता है, उसे मुख्य मान कहते हैं। $y=\sin ^{-1} x \Rightarrow x=\sin y$
$x=\sin y \Rightarrow y=\sin ^{-1} x$
$\sin (\sin ^{-1} x)=x$
$\sin ^{-1}(\sin x)=x$ for $x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$

வரலாற்றுக் குறிப்பு

முக்கோணவியல் ஆய்வு முதலில் கிரீஸில் தொடங்கப்பட்டது. பண்டைய இந்திய கணிதவியலாளர்களான ஆரியபட்டர் (476 A.D.), பிரம்மகுப்தர் (598 A.D.), பாஸ்கரர் I (600 A.D.) மற்றும் பாஸ்கரர் II (1114 A.D.) ஆகியோர் முக்கோணவியலின் முக்கியமான முடிவுகளைப் பெற்றனர். இந்த அறிவு முழுவதும் இந்தியாவிலிருந்து அரேபியாவுக்கும், பின்னர் அங்கிருந்து ஐரோப்பாவுக்கும் சென்றது. கிரேக்கர்களும் முக்கோணவியல் ஆய்வைத் தொடங்கினர், ஆனால் அவர்களின் அணுகுமுறை மிகவும் சிக்கலானதாக இருந்ததால், இந்திய அணுகுமுறை அறியப்பட்டதும், அது உடனடியாக உலகம் முழுவதும் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்டது.

இந்தியாவில், நவீன முக்கோணவியல் சார்புகளின் முன்னோடியான, ஒரு கோணத்தின் சைன் என அறியப்படுவது, மற்றும் சைன் சார்பின் அறிமுகம் சித்தாந்தங்களின் (சமஸ்கிருத வானியல் நூல்கள்) முக்கிய பங்களிப்புகளில் ஒன்றாகும்.

பாஸ்கரர் I (சுமார் 600 A.D.) $90^{\circ}$ க்கும் அதிகமான கோணங்களுக்கான சைன் சார்புகளின் மதிப்புகளைக் கண்டறிய சூத்திரங்களைக் கொடுத்தார். பதினாறாம் நூற்றாண்டின் மலையாள நூலான யுக்திபாஷா $\sin (A+B)$ விரிவாக்கத்திற்கான ஒரு நிரூபணத்தைக் கொண்டுள்ளது. $18^{\circ}, 36^{\circ}, 54^{\circ}, 72^{\circ}$ போன்றவற்றின் சைன் அல்லது கோசைன் கோணங்களுக்கான துல்லியமான வெளிப்பாடுகள் பாஸ்கரர் II ஆல் கொடுக்கப்பட்டன.

$\sin ^{-1} x, \cos ^{-3} x$, போன்ற குறியீடுகள் $arc \sin x, arc \cos x$, போன்றவற்றுக்கு வானியலாளர் சர் ஜான் F.W. ஹெர்ஷெல் (1813) முன்மொழிந்தார். தேல்ஸ் (சுமார் 600 B.C.) என்ற பெயர் எப்போதும் உயரம் மற்றும் தொலைவு சிக்கல்களுடன் தொடர்புடையது. எகிப்தில் உள்ள ஒரு பெரிய பிரமிட்டின் உயரத்தை பிரமிட்டின் நிழல்கள் மற்றும் அறியப்பட்ட உயரமுள்ள துணைக் கம்பி (அல்லது க்னோமன்) ஆகியவற்றை அளவிடுவதன் மூலம் மற்றும் விகிதங்களை ஒப்பிடுவதன் மூலம் தீர்மானித்ததற்கு அவர் கருதப்படுகிறார்:

$$ \frac{H}{S}=\frac{h}{S}=\tan \left( \text{sun’s altitude} \right) $$

ஒரே மாதிரியான முக்கோணங்களின் பக்கங்களின் விகிதாச்சாரத்தின் மூலம் கடலில் உள்ள ஒரு கப்பலின் தூரத்தையும் தேல்ஸ் கணக்கிட்டதாகக் கூறப்படுகிறது. ஒரே மாதிரியான பண்புகளைப் பயன்படுத்தி உயரம் மற்றும் தொலைவு பற்றிய சிக்கல்கள் பண்டைய இந்தியப் படைப்புகளிலும் காணப்படுகின்றன.