கணிதத்தின் சாரம் அதன் சுதந்திரத்தில் உள்ளது. - கேன்டர்

3.1 அறிமுகம்

அணிகளின் அறிவு கணிதத்தின் பல்வேறு கிளைகளில் அவசியமானது. அணிகள் கணிதத்தில் மிகவும் சக்திவாய்ந்த கருவிகளில் ஒன்றாகும். இந்த கணிதக் கருவி, மற்ற நேரடி முறைகளுடன் ஒப்பிடும்போது நமது வேலையை பெரும் அளவில் எளிதாக்குகிறது. அணிகளின் கருத்து உருவாக்கம், நேரியல் சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்ப்பதற்கான சுருக்கமான மற்றும் எளிய முறைகளைப் பெறும் முயற்சியின் விளைவாகும். அணிகள் நேரியல் சமன்பாடுகளின் தொகுதியில் உள்ள கெழுக்களைக் குறிக்கும் பிரதிநிதித்துவமாக மட்டுமல்லாமல், அணிகளின் பயன்பாடு அந்தப் பயன்பாட்டை விட மிக அதிகமாக உள்ளது. அணி குறியீடு மற்றும் செயல்பாடுகள் தனிப்பட்ட கணினிகளுக்கான மின்னணு விரிதாள் நிரல்களில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, அவை பட்ஜெட்டிங், விற்பனை முன்னறிவிப்பு, செலவு மதிப்பீடு, ஒரு பரிசோதனையின் முடிவுகளை பகுப்பாய்வு செய்தல் போன்ற வணிகம் மற்றும் அறிவியலின் பல்வேறு பகுதிகளில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. மேலும், பெரிதாக்குதல், சுழற்சி மற்றும் ஒரு தளத்தின் வழியாக பிரதிபலிப்பு போன்ற பல இயற்பியல் செயல்பாடுகள் கணித ரீதியாக அணிகளால் குறிப்பிடப்படலாம். அணிகள் குறியாக்கவியலிலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இந்த கணிதக் கருவி சில அறிவியல் கிளைகளில் மட்டுமல்ல, மரபியல், பொருளாதாரம், சமூகவியல், நவீன உளவியல் மற்றும் தொழில்துறை மேலாண்மை ஆகியவற்றிலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

இந்த அத்தியாயத்தில், அணி மற்றும் அணி இயற்கணிதத்தின் அடிப்படைகளை அறிந்துகொள்வது சுவாரஸ்யமாக இருக்கும் என்பதைக் காண்போம்.

3.2 அணி

ராதாவிடம் 15 குறிப்பேடுகள் உள்ளன என்ற தகவலை வெளிப்படுத்த விரும்புகிறோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். [ ] இல் உள்ள எண் ராதாவிடம் உள்ள குறிப்பேடுகளின் எண்ணிக்கை என்பதைப் புரிந்துகொண்டு, அதை [15] என வெளிப்படுத்தலாம். இப்போது, ராதாவிடம் 15 குறிப்பேடுகள் மற்றும் 6 பேனாக்கள் உள்ளன என்பதை வெளிப்படுத்த வேண்டும் என்றால், [ ] இல் உள்ள முதல் எண் குறிப்பேடுகளின் எண்ணிக்கையாகவும், மற்றொன்று ராதாவிடம் உள்ள பேனாக்களின் எண்ணிக்கையாகவும் புரிந்துகொண்டு, அதை $\begin{bmatrix}15 & 6\end{bmatrix}$ என வெளிப்படுத்தலாம். இப்போது, ராதா மற்றும் அவரது இரண்டு நண்பர்கள் ஃபவுஸியா மற்றும் சிம்ரன் ஆகியோரிடம் உள்ள குறிப்பேடுகள் மற்றும் பேனாக்கள் பற்றிய தகவலை பின்வருமாறு வெளிப்படுத்த விரும்புகிறோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம்:

$$ \begin{array}{llllll} \text { Radha } & \text { has } & 15 & \text { notebooks } & \text { and } & 6 \text { pens, } \\ \text { Fauzia } & \text { has } & 10 & \text { notebooks } & \text { and } & 2 \text { pens, } \\ \text { Simran } & \text { has } & 13 & \text { notebooks } & \text { and } & 5 \text { pens. } \end{array} $$

இப்போது இதை பின்வரும் அட்டவணை வடிவத்தில் அமைக்கலாம்:

$$ \begin{array}{lcc} & \text { Notebooks } & \text { Pens } \\ \text { Radha } & 15 & 6 \\ \text { Fauzia } & 10 & 2 \\ \text { Simran } & 13 & 5 \end{array} $$

அல்லது

இதை பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தலாம்:

முதல் அமைப்பில், முதல் நிரலில் உள்ள உள்ளீடுகள் முறையே ராதா, ஃபவுஸியா மற்றும் சிம்ரன் ஆகியோரிடம் உள்ள குறிப்பேடுகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கின்றன, மேலும் இரண்டாவது நிரலில் உள்ள உள்ளீடுகள் முறையே ராதா, ஃபவுஸியா மற்றும் சிம்ரன் ஆகியோரிடம் உள்ள பேனாக்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கின்றன. இதேபோல், இரண்டாவது அமைப்பில், முதல் வரிசையில் உள்ள உள்ளீடுகள் முறையே ராதா, ஃபவுஸியா மற்றும் சிம்ரன் ஆகியோரிடம் உள்ள குறிப்பேடுகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கின்றன. இரண்டாவது வரிசையில் உள்ள உள்ளீடுகள் முறையே ராதா, ஃபவுஸியா மற்றும் சிம்ரன் ஆகியோரிடம் உள்ள பேனாக்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கின்றன. மேலே உள்ள வகையான ஒரு அமைப்பு அல்லது காட்சி ஒரு அணி என்று அழைக்கப்படுகிறது. முறையாக, அணியை பின்வருமாறு வரையறுக்கிறோம்:

வரையறை 1 ஒரு அணி என்பது எண்கள் அல்லது சார்புகளின் ஒரு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட செவ்வக பிரிவு ஆகும். அந்த எண்கள் அல்லது சார்புகள் அணியின் உறுப்புகள் அல்லது உள்ளீடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

அணிகளை பெரிய எழுத்துக்களால் குறிப்பிடுகிறோம். பின்வருவன அணிகளின் சில எடுத்துக்காட்டுகள்:

$$ A=\begin{bmatrix} -2 & 5 \\ 0 & \sqrt{5} \\ 3 & 6 \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} 2+i & 3 & -\frac{1}{2} \\ 3.5 & -1 & 2 \\ \sqrt{3} & 5 & \frac{5}{7} \end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix} 1+x & x^{3} & 3 \\ \cos x & \sin x+2 & \tan x \end{bmatrix} $$

மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளில், உறுப்புகளின் கிடைமட்ட கோடுகள் அணியின் வரிசைகளை உருவாக்குகின்றன என்றும், உறுப்புகளின் செங்குத்து கோடுகள் அணியின் நிரல்களை உருவாக்குகின்றன என்றும் கூறப்படுகிறது. எனவே $A$ க்கு 3 வரிசைகள் மற்றும் 2 நிரல்கள் உள்ளன, $B$ க்கு 3 வரிசைகள் மற்றும் 3 நிரல்கள் உள்ளன, அதே சமயம் $C$ க்கு 2 வரிசைகள் மற்றும் 3 நிரல்கள் உள்ளன.

3.2.1 ஒரு அணியின் வரிசை

$m$ வரிசைகள் மற்றும் $n$ நிரல்களைக் கொண்ட ஒரு அணி, $m \times n$ வரிசை அணி அல்லது வெறுமனே $m \times n$ அணி (ஒரு $m$ மூலம் $n$ அணி எனப் படிக்கப்படும்) என்று அழைக்கப்படுகிறது. எனவே மேலே உள்ள அணிகளின் எடுத்துக்காட்டுகளைக் குறிப்பிடுகையில், $A$ என்பது $3 \times 2$ அணியாகவும், $B$ என்பது $3 \times 3$ அணியாகவும், $C$ என்பது $2 \times 3$ அணியாகவும் உள்ளது. $A$ க்கு $3 \times 2=6$ உறுப்புகள் உள்ளன, $B$ மற்றும் $C$ க்கு முறையே 9 மற்றும் 6 உறுப்புகள் உள்ளன என்பதை நாம் கவனிக்கிறோம்.

பொதுவாக, ஒரு $m \times n$ அணி பின்வரும் செவ்வக பிரிவைக் கொண்டுள்ளது:

$ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & a_{i3} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} _{m \times n} $

அல்லது $ A=[a_{i j}]_{m \times n}, 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n \quad i, j \in N $

எனவே $i^{\text {th }}$ வரிசையானது $a_{i 1}, a_{i 2}, a_{i 3}, \ldots, a_{i n}$ ஆகிய உறுப்புகளைக் கொண்டுள்ளது, அதே சமயம் $j^{\text {th }}$ நிரலானது $a_{1 j}, a_{2 j}, a_{3 j}, \ldots, a_{m j}$ ஆகிய உறுப்புகளைக் கொண்டுள்ளது,

பொதுவாக $a_{i j}$, என்பது $i^{\text {th }}$ வரிசை மற்றும் $j^{\text {th }}$ நிரலில் இருக்கும் ஒரு உறுப்பு ஆகும். நாம் அதை $A$ இன் $(i, j)^{\text {th }}$ உறுப்பு என்றும் அழைக்கலாம். ஒரு $m \times n$ அணியில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை $m n$ க்கு சமமாக இருக்கும்.

குறிப்பு இந்த அத்தியாயத்தில்

1. $A$ என்பது $m \times n$ வரிசை அணி என்பதைக் குறிக்க, $A=[a_{i j}]_{m \times n}$ என்ற குறியீட்டைப் பின்பற்றுவோம்.

2. உறுப்புகள் மெய் எண்கள் அல்லது மெய் மதிப்புகளை எடுக்கும் சார்புகளாக இருக்கும் அணிகளை மட்டுமே கருத்தில் கொள்வோம்.

ஒரு தளத்தில் உள்ள எந்தப் புள்ளியையும் $(x, y)$ ஒரு அணியாக (நிரல் அல்லது வரிசை) $\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}$ (அல்லது $.[x, y]$) எனக் குறிப்பிடலாம். எடுத்துக்காட்டாக, புள்ளி $P(0,1)$ ஐ ஒரு அணிப் பிரதிநிதித்துவமாக பின்வருமாறு கொடுக்கலாம்

$$ \mathbf{P}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \text { or }\begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} $$

இந்த வழியில் ஒரு மூடிய நேர்கோட்டுப் புள்ளிவிவரத்தின் முனைகளை ஒரு அணி வடிவத்தில் வெளிப்படுத்தலாம் என்பதைக் கவனியுங்கள். எடுத்துக்காட்டாக, A $(1,0), B(3,2), C(1,3), D(-1,2)$ முனைகளைக் கொண்ட ஒரு நாற்கர $A B C D$ ஐக் கவனியுங்கள்.

இப்போது, நாற்கர $ABCD$ ஐ அணி வடிவில் பின்வருமாறு குறிப்பிடலாம்

எனவே, ஒரு தளத்தில் வடிவியல் புள்ளிவிவரங்களின் முனைகளின் பிரதிநிதித்துவமாக அணிகளைப் பயன்படுத்தலாம்.

இப்போது, சில எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1 I, II மற்றும் III ஆகிய மூன்று தொழிற்சாலைகளில் ஆண் மற்றும் பெண் தொழிலாளர்களின் எண்ணிக்கை குறித்த பின்வரும் தகவலைக் கவனியுங்கள்

மேலே உள்ள தகவலை ஒரு $3 \times 2$ அணி வடிவில் குறிப்பிடவும். மூன்றாவது வரிசை மற்றும் இரண்டாவது நிரலில் உள்ள உள்ளீடு எதைக் குறிக்கிறது?

தீர்வு தகவல் ஒரு $3 \times 2$ அணி வடிவில் பின்வருமாறு குறிப்பிடப்படுகிறது:

$$ A=\begin{bmatrix} 30 & 25 \\ 25 & 31 \\ 27 & 26 \end{bmatrix} $$

மூன்றாவது வரிசை மற்றும் இரண்டாவது நிரலில் உள்ள உள்ளீடு தொழிற்சாலை III இல் உள்ள பெண் தொழிலாளர்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டு 2 ஒரு அணியில் 8 உறுப்புகள் இருந்தால், அதன் சாத்தியமான வரிசைகள் என்ன?

தீர்வு ஒரு அணி $m \times n$ வரிசையில் இருந்தால், அதற்கு $m n$ உறுப்புகள் உள்ளன என்பது நமக்குத் தெரியும். எனவே, 8 உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு அணியின் அனைத்து சாத்தியமான வரிசைகளையும் கண்டறிய, 8 இன் பெருக்கற்பலனாக இருக்கும் இயற்கை எண்களின் அனைத்து வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஜோடிகளையும் கண்டுபிடிப்போம்.

எனவே, அனைத்து சாத்தியமான வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஜோடிகள் $(1,8),(8,1),(4,2),(2,4)$ எனவே, சாத்தியமான வரிசைகள் $1 \times 8,8 \times 1,4 \times 2,2 \times 4$

எடுத்துக்காட்டு 3 $a_{i j}=\frac{1}{2}|i-3 j|$ ஆல் வழங்கப்படும் உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு $3 \times 2$ அணியை உருவாக்கவும்.

தீர்வு பொதுவாக ஒரு $3 \times 2$ அணி $A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{bmatrix}$ ஆல் வழங்கப்படுகிறது.

இப்போது $\quad$ $a_{i j}=\frac{1}{2}|i-3 j|, i=1,2,3 \text { and } j=1,2$

எனவே $\quad a_{11}=\frac{1}{2}|1-3 \times 1|=1 \quad a_{12}=\frac{1}{2}|1-3 \times 2|=\frac{5}{2}$

$$ \begin{matrix} a_{21}= \frac{1}{2}|2-3 \times 1|=\frac{1}{2} & a_{22}=\frac{1}{2}|2-3 \times 2|=2 \\ \\ a_{31} =\frac{1}{2}|3-3 \times 1|=0 & a_{32} =\frac{1}{2}|3-3 \times 2|=\frac{3}{2} \end{matrix} $$

எனவே தேவையான அணி $A=\begin{bmatrix}1 & \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & \frac{3}{2}\end{bmatrix}$ ஆல் வழங்கப்படுகிறது.

3.3 அணிகளின் வகைகள்

இந்த பிரிவில், வெவ்வேறு வகையான அணிகளைப் பற்றி விவாதிப்போம்.

(i) நிரல் அணி

ஒரு அணிக்கு ஒரே ஒரு நிரல் இருந்தால், அது நிரல் அணி என்று கூறப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டாக, $A=\begin{bmatrix}{c}0 \\ \sqrt{3} \\ -1 \\ 1 / 2\end{bmatrix}$ என்பது $4 \times 1$ வரிசையின் நிரல் அணி ஆகும்.

பொதுவாக, $A=[a_{i j}]_{m \times 1}$ என்பது $m \times 1$ வரிசையின் நிரல் அணி ஆகும்.

(ii) வரிசை அணி

ஒரு அணிக்கு ஒரே ஒரு வரிசை இருந்தால், அது வரிசை அணி என்று கூறப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டாக, $B=[\begin{bmatrix}-\frac{1}{2} & \sqrt{5} & 2 & 3\end{bmatrix}]_{1 \times 4}$ என்பது ஒரு வரிசை அணி ஆகும்.

பொதுவாக, $B=[b_{i j}]_{1 \times n}$ என்பது $1 \times n$ வரிசையின் வரிசை அணி ஆகும்.

(iii) சதுர அணி

வரிசைகளின் எண்ணிக்கை நிரல்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இருக்கும் அணி, சதுர அணி என்று கூறப்படுகிறது. எனவே ஒரு $m \times n$ அணி $m=n$ எனில் சதுர அணி என்று கூறப்படுகிறது மற்றும் ‘$n$’ வரிசையின் சதுர அணி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டாக $A=\begin{bmatrix}3 & -1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 3 \sqrt{2} & 1 \\ 4 & 3 & -1\end{bmatrix}$ என்பது 3 வரிசையின் சதுர அணி ஆகும்.

பொதுவாக, $A=[a_{i j}]_{m \times m}$ என்பது $m$ வரிசையின் சதுர அணி ஆகும்.

குறிப்பு $A=[a_{i j}]$ என்பது $n$ வரிசையின் சதுர அணி என்றால், உறுப்புகள் (உள்ளீடுகள்) $a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{n n}$

அணி A இன் மூலைவிட்டத்தை உருவாக்குகின்றன என்று கூறப்படுகிறது. எனவே, $A=\begin{bmatrix}1 & -3 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \\ 3 & 5 & 6\end{bmatrix}$ என்றால்.

பின்னர் A இன் மூலைவிட்டத்தின் உறுப்புகள் 1, 4, 6 ஆகும்.

(iv) மூலைவிட்ட அணி

ஒரு சதுர அணி $B=[b_{ij}]_ {m\times m} $ அதன் அனைத்து மூலைவிட்டமற்ற உறுப்புகளும் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், அது மூலைவிட்ட அணி என்று கூறப்படுகிறது, அதாவது ஒரு அணி $B=[b_{ij}]_ {m\times m} $ $b_{i j}=0$, $i \neq j$ எனில் மூலைவிட்ட அணி என்று கூறப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டாக, $A=[4], B=\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix}-1.1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}$, முறையே 1,2,3 வரிசையின் மூலைவிட்ட அணிகள் ஆகும்.

(v) அளவிடு அணி

ஒரு மூலைவிட்ட அணியின் மூலைவிட்ட உறுப்புகள் சமமாக இருந்தால், அது அளவிடு அணி என்று கூறப்படுகிறது, அதாவது, ஒரு சதுர அணி $B=[b_{i j}]_{n \times n}$ பின்வருமாறு இருந்தால் அளவிடு அணி என்று கூறப்படுகிறது

$$ \begin{aligned} & b_{i j}=0, \quad \text { when } i \neq j \\ & b_{i j}=k, \quad \text { when } i=j, \text { for some constant } k . \end{aligned} $$

எடுத்துக்காட்டாக $A=[3], \quad B=[\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}], \quad C=\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{3}\end{bmatrix}$

முறையே 1,2 மற்றும் 3 வரிசையின் அளவிடு அணிகள் ஆகும்.

(vi) அலகு அணி

மூலைவிட்டத்தில் உள்ள உறுப்புகள் அனைத்தும் 1 ஆகவும், மீதமுள்ளவை அனைத்தும் பூஜ்ஜியமாகவும் இருக்கும் சதுர அணி அலகு அணி என்று அழைக்கப்படுகிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், சதுர அணி $A=[a_{i j}]_{n \times n}$ என்பது ஒரு

அலகு அணி ஆகும், $a_{ij}=\begin{cases}1 & \text { if } & i=j \\ 0 & \text { if } & i \neq j\end{cases}.$ எனில்.

$n$ வரிசையின் அலகு அணியை $I_{n}$ ஆல் குறிப்பிடுகிறோம். வரிசை சூழலில் இருந்து தெளிவாக இருக்கும்போது, அதை வெறுமனே I என எழுதுகிறோம்.

எடுத்துக்காட்டாக [1], $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}\sqrt 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt 3\end{bmatrix}$ முறையே 1, 2 மற்றும் 3 வரிசையின் அலகு அணிகள் ஆகும்.

$k=1$ எனில் ஒரு அளவிடு அணி ஒரு அலகு அணி என்பதைக் கவனியுங்கள். ஆனால் ஒவ்வொரு அலகு அணியும் தெளிவாக ஒரு அளவிடு அணி ஆகும்.

(vii) பூஜ்ஜிய அணி

ஒரு அணியின் அனைத்து உறுப்புகளும் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், அது பூஜ்ஜிய அணி அல்லது வெற்று அணி என்று கூறப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டாக, $[0],\begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix},[0,0]$ அனைத்தும் பூஜ்ஜிய அணிகள் ஆகும். பூஜ்ஜிய அணியை $O$ ஆல் குறிப்பிடுகிறோம். அதன் வரிசை சூழலில் இருந்து தெளிவாக இருக்கும்.

3.3.1 அணிகளின் சமன்பாடு

வரையறை 2 இரண்டு அணிகள் $A=[a_{i j}]$ மற்றும் $B=[b_{i j}]$ பின்வருமாறு இருந்தால் சமம் என்று கூறப்படுகிறது

(i) அவை ஒரே வரிசையைக் கொண்டுள்ளன

(ii) $A$ இன் ஒவ்வொரு உறுப்பும் $B$ இன் தொடர்புடைய உறுப்புக்குச் சமம், அதாவது அனைத்து $i$ மற்றும் $j$ க்கும் $a_{i j}=b_{i j}$.

எடுத்துக்காட்டாக, $\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ மற்றும் $\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ சம அணிகள் ஆனால் $\begin{bmatrix}3 & 2 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ மற்றும் $\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ சம அணிகள் அல்ல. குறியீட்டு ரீதியாக, இரண்டு அணிகள் $A$ மற்றும் $B$ சமமாக இருந்தால், $A=B$ என்று எழுதுகிறோம்.

$ \text { }\begin{bmatrix} x & y \\ z & a \\ b & c \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1.5 & 0 \\ 2 & \sqrt{6} \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \text {, என்றால் }$ $x=-1.5, y=0, z=2, a=\sqrt{6}, b=3, c=2 $

எடுத்துக்காட்டு 4 $\begin{bmatrix}x+3 & z+4 & 2 y-7 \\ -6 & a-1 & 0 \\ b-3 & -21 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 6 & 3 y-2 \\ -6 & -3 & 2 c+2 \\ 2 b+4 & -21 & 0\end{bmatrix}$ என்றால்

$a, b, c, x, y$ மற்றும் $z$ இன் மதிப்புகளைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு கொடுக்கப்பட்ட அணிகள் சமமாக இருப்பதால், அவற்றின் தொடர்புடைய உறுப்புகள் சமமாக இருக்க வேண்டும். தொடர்புடைய உறுப்புகளை ஒப்பிடுகையில், நாம் பெறுகிறோம்

$$ \begin{aligned} & x+3=0, \\ & z+4=6 \\ & 2 y-7=3 y-2 \\ & a-1=-3, \\ & 0=2 c+2 \\ & b-3=2 b+4 \text {, } \end{aligned} $$

எளிமைப்படுத்த, நாம் பெறுகிறோம்

$$ a=-2, b=-7, c=-1, x=-3, y=-5, z=2 $$

எடுத்துக்காட்டு 5 பின்வரும் சமன்பாட்டிலிருந்து $a, b, c$, மற்றும் $d$ இன் மதிப்புகளைக் கண்டறியவும்:

$$ \begin{bmatrix} 2 a+b & a-2 b \\ 5 c-d & 4 c+3 d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 11 & 24 \end{bmatrix} $$

தீர்வு இரண்டு அணிகளின் சமன்பாட்டின் மூலம், தொடர்புடைய உறுப்புகளை சமன் செய்தால், நாம் பெறுகிறோம்

$$ \begin{bmatrix} 2 a+b & =4 & 5 c-d & =11 \\ a-2 b & =-3 & 4 c+3 d & =24 \end{bmatrix} $$

இந்த சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதன் மூலம், நாம் பெறுகிறோம்

$$ a=1, b=2, c=3 \text { and } d=4 $$

3.4 அணிகளின் செயல்பாடுகள்

இந்த பிரிவில், அணிகளின் சில செயல்பாடுகளை அறிமுகப்படுத்துவோம், அதாவது, அணிகளின் கூட்டல், ஒரு அணியை ஒரு அளவிடு மதிப்பால் பெருக்கல், வேறுபாடு மற்றும் அணிகளின் பெருக்கல்.

3.4.1 அணிகளின் கூட்டல்

ஃபாதிமாவிடம் A மற்றும் B இடங்களில் இரண்டு தொழிற்சாலைகள் உள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம். ஒவ்வொரு தொழிற்சாலையும் 1,2 மற்றும் 3 என லேபிளிடப்பட்ட மூன்று வெவ்வேறு விலை வகைகளில் சிறுவர்கள் மற்றும் சிறுமிகளுக்கான விளையாட்டு காலணிகளை உற்பத்தி செய்கிறது. ஒவ்வொரு தொழிற்சாலையும் உற்பத்தி செய்யும் அளவுகள் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள அணிகளால் குறிப்பிடப்படுகின்றன:

ஒவ்வொரு விலை வகையிலும் விளையாட்டு காலணிகளின் மொத்த உற்பத்தியை ஃபாதிமா அறிய விரும்புகிறார் என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் மொத்த உற்பத்தி

வகை 1 இல் : சிறுவர்களுக்கு $(80+90)$, சிறுமிகளுக்கு $(60+50)$

வகை 2 இல் : சிறுவர்களுக்கு $(75+70)$, சிறுமிகளுக்கு $(65+55)$

வகை 3 இல் : சிறுவர்களுக்கு $(90+75)$, சிறுமிகளுக்கு $(85+75)$

இதை அணி வடிவில் பின்வருமாறு குறிப்பிடலாம்

$\begin{bmatrix}80+90 & 60+50 \\ 75+70 & 65+55 \\ 90+75 & 85+75\end{bmatrix}$.

இந்த புதிய அணி மேலே உள்ள இரண்டு அணிகளின் கூட்டுத்தொகையாகும். கொடுக்கப்பட்ட அணிகளின் தொடர்புடைய உறுப்புகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம் இரண்டு அணிகளின் கூட்டுத்தொகை ஒரு அணியாகும் என்பதை நாம் கவனிக்கிறோம். மேலும், இரண்டு அணிகளும் ஒரே வரிசையில் இருக்க வேண்டும்.

எனவே, $A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\end{bmatrix}$ ஒரு $2 \times 3$ அணி மற்றும் $B=\begin{bmatrix}b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23}\end{bmatrix}$ மற்றொன்று என்றால்

$2 \times 3$ அணி. பின்னர், $A+B=\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23}\end{bmatrix}$ என வரையறுக்கிறோம்.

பொதுவாக, $A=[a_{i j}]$ மற்றும் $B=[b_{i j}]$ ஒரே வரிசையின் இரண்டு அணிகள் என்றால், $m \times n$ என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர், இரண்டு அணிகள் A மற்றும் B இன் கூட்டுத்தொகை ஒரு அணி $= [c _{ij}] _{m \times n} $ என வரையறுக்கப்படுகிறது, இங்கு $ c _{i j} = a _{ij} + b _{ij} $, i மற்றும் j இன் அனைத்து சாத்தியமான மதிப்புகளுக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 6 $A=\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 0\end{bmatrix}$ மற்றும் $B=\begin{bmatrix}2 & \sqrt{5} & 1 \\ -2 & 3 & \frac{1}{2}\end{bmatrix}$ கொடுக்கப்பட்டால், $A+B$ ஐக் கண்டறியவும்

A, B ஆகியவை ஒரே வரிசையில் $2 \times 3$ இருப்பதால். எனவே, A மற்றும் B இன் கூட்டல் வரையறுக்கப்பட்டு பின்வருமாறு வழங்கப்படுகிறது

$$ A+B=\begin{bmatrix} 2+\sqrt{3} & 1+\sqrt{5} & 1-1 \\ 2-2 & 3+3 & 0+\frac{1}{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2+\sqrt{3} & 1+\sqrt{5} & 0 \\ 0 & 6 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} $$

குறிப்பு

1. A மற்றும் B ஒரே வரிசையில் இல்லாவிட்டால், A + B வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதை நாங்கள் வலியுறுத்துகிறோம். எடுத்துக்காட்டாக $A=\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 1 & 0\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1\end{bmatrix}$ என்றால், $A+B$ வரையறுக்கப்படவில்லை.

2. அணிகளின் கூட்டல் ஒரே வரிசையின் அணிகளின் தொகுப்பில் இரும செயல்பாட்டின் ஒரு எடுத்துக்காட்டு என்பதை நாம் கவனிக்கலாம்.

3.4.2 ஒரு அணியை ஒரு அளவிடு மதிப்பால் பெருக்கல்

இப்போது ஃபாதிமா அனைத்து வகைகளிலும் தொழிற்சாலை A இல் உற்பத்தியை இரட்டிப்பாக்கியுள்ளார் என்று வைத்துக்கொள்வோம் (3.4.1 ஐப் பார்க்கவும்).

முன்பு தொழிற்சாலை A ஆல் உற்பத்தி செய்யப்பட்ட அளவுகள் (நிலையான அலகுகளில்) இருந்தன

தொழிற்சாலை $A$ ஆல் திருத்தப்பட்ட அளவுகள் உற்பத்தி செய்யப்பட்டவை கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன:

இதை அணி வடிவில் $\begin{bmatrix}160 & 120 \\ 150 & 130 \\ 180 & 170\end{bmatrix}$ என குறிப்பிடலாம். நாம் கவனிக்கிறோம்

புதிய அணி முந்தைய அணியின் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் 2 ஆல் பெருக்குவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது.

பொதுவாக, ஒரு அணியை ஒரு அளவிடு மதிப்பால் பெருக்குவதை பின்வருமாறு வரையறுக்கலாம்: $ A=[a_{ij}]_{m\times n} $ ஒரு அணி மற்றும் k ஒரு அளவிடு மதிப்பு என்றால், k A என்பது A இன் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் அளவிடு மதிப்பு k ஆல் பெருக்குவதன் மூலம் பெறப்படும் மற்றொரு அணியாகும்.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், $ kA = k[a_{ij}]_ {m\times n} $ $ =[k(a _{ij})] _{m\times n} $ அதாவது, kA இன் $ (i,j)^{th} $ உறுப்பு i மற்றும் j இன் அனைத்து சாத்தியமான மதிப்புகளுக்கும் $ka _ {ij} $ ஆகும்

எடுத்துக்காட்டாக, $A=\begin{bmatrix}3 & 1 & 1.5 \\ \sqrt{5} & 7 & -3 \\ 2 & 0 & 5\end{bmatrix}$ என்றால்,

$$ 3 A=3[\begin{bmatrix} 3 & 1 & 1.5 \\ \sqrt{5} & 7 & -3 \\ 2 & 0 & 5 \end{bmatrix}]=[\begin{bmatrix} 9 & 3 & 4.5 \\ 3 \sqrt{5} & 21 & -9 \\ 6 & 0 & 15 \end{bmatrix}] $$

ஒரு அணியின் எதிர்மறை ஒரு அணியின் எதிர்மறை $-A$ ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. நாம் $-A=(-1) A$ என வரையறுக்கிறோம். எடுத்துக்காட்டாக, வைத்துக்கொள்வோம் $$ \begin{aligned} A & =\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -5 & x \end{bmatrix}, \text { then }-A \text { is given by } \\ -A & =(-1) A=(-1)\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -5 & x \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -3 & -1 \\ 5 & -x \end{bmatrix} \end{aligned} $$

அணிகளின் வேறுபாடு $A=[a_{i j}], B=[b_{i j}]$ ஒரே வரிசையின் இரண்டு அணிகள் என்றால், $m \times n$ என்று வைத்துக்கொள்வோம், பின்னர் வேறுபாடு $A-B$ ஒரு அணி $D=[d_{i j}]$ என வரையறுக்கப்படுகிறது,

இங்கு $d_{i j}=a_{i j}-b_{i j}$, $i$ மற்றும் $j$ இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், $D=A-B=A+(-1) B$, அதாவது அணி $A$ மற்றும் அணி -B இன் கூட்டுத்தொகை.

எடுத்துக்காட்டு 7 $A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1\end{bmatrix}$ மற்றும் $B=\begin{bmatrix}3 & -1 & 3 \\ -1 & 0 & 2\end{bmatrix}$ என்றால், $2 A-B$ ஐக் கண்டறியவும்.

தீர்வு நம்மிடம் உள்ளது

$$ \begin{aligned} & 2 A-B=2 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 3 & -1 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \end{bmatrix} \\ & =\begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 6 & 2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -3 & 1 & -3 \\ 1 & 0 & -2 \end{bmatrix} \\ & \begin{bmatrix} 2-3 & 4+1 & 6-3 \\ 4+1 & 6+0 & 2-2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 5 & 3 \\ 5 & 6 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned} $$

3.4.3 அணி கூட்டலின் பண்புகள்

அணிகளின் கூட்டல் பின்வரும் பண்புகளைப் பூர்த்தி செய்கிறது:

(i) பரிமாற்ற விதி $A=[a_{i j}], B=[b_{i j}]$ ஒரே வரிசையின் அணிகள் என்றால், $m \times n$ என்று வைத்துக்கொள்வோம், பின்னர் $A+B=B+A$.

இப்போது $$ \begin{aligned} A+B & =[a_{i j}]+[b_{i j}]=[a_{i j}+b_{i j}] \\ & =[b_{i j}+a_{i j}] \text { (addition of numbers is commutative) } \\ & =([b_{i j}]+[a_{i j}])=B+A \end{aligned} $$

(ii) சேர்ப்பு விதி ஒரே வரிசையின் ஏதேனும் மூன்று அணிகள் $A=[a_{i j}], B=[b_{i j}], C=[c_{i j}]$ க்கு, $m \times n,(A+B)+C=A+(B+C)$ என்று வைத்துக்கொள்வோம்.

இப்போது ⟦22