அனைத்து கணித உண்மைகளும் சார்புடையவை மற்றும் நிபந்தனையுடையவை - சி.பி. ஸ்டீன்மெட்ஸ்

4.1 அறிமுகம்

முந்தைய அத்தியாயத்தில், நாம் அணிகள் மற்றும் அணிகளின் இயற்கணிதம் பற்றி படித்தோம். இயற்கணிதச் சமன்பாடுகளின் ஒரு தொகுப்பை அணிகளின் வடிவத்தில் வெளிப்படுத்தலாம் என்பதையும் நாம் கற்றுக்கொண்டோம். அதாவது,

$$ \begin{aligned} & a _{1} x+b _{1} y=c _{1} \\ & a _{2} x+b _{2} y=c _{2} \end{aligned} $$

போன்ற நேரியல் சமன்பாடுகளின் தொகுப்பை $\begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{vmatrix}\begin{vmatrix}x \\ y\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}c_1 \\ c_2\end{vmatrix}$ எனக் குறிப்பிடலாம். இப்போது, இந்தச் சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளதா இல்லையா என்பது $a_1 b_2-a_2 b_1$ என்ற எண்ணால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. ($\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ அல்லது $a_1 b_2-a_2 b_1 \neq 0$ எனில், நேரியல் சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது என நினைவுகூருங்கள்).

பி.எஸ். லாப்லேஸ் $(1749-1827)$ சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது). தீர்வின் தனித்துவத்தை தீர்மானிக்கும் $a_1 b_2-a_2 b_1$ என்ற எண் $A=\begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{vmatrix}$ என்ற அணியுடன் தொடர்புடையது மற்றும் A இன் அணிக்கோவை அல்லது det A என அழைக்கப்படுகிறது. அணிக்கோவைகள் பொறியியல், அறிவியல், பொருளாதாரம், சமூக அறிவியல் போன்றவற்றில் பரவலான பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளன.

இந்த அத்தியாயத்தில், நாம் மெய்யெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட மூன்றாம் வரிசை வரையிலான அணிக்கோவைகளை மட்டுமே படிப்போம். மேலும், அணிக்கோவைகளின் பல்வேறு பண்புகள், சிற்றணிக்கோவைகள், இணைக்காரணிகள் மற்றும் ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கண்டறிவதில், ஒரு சதுர அணியின் இணை அணி மற்றும் நேர்மாறு அணி, நேரியல் சமன்பாடுகளின் தொகுப்பின் ஒருங்கமைவு மற்றும் ஒருங்கமையாமை மற்றும் இரண்டு அல்லது மூன்று மாறிகளில் உள்ள நேரியல் சமன்பாடுகளுக்கு அணியின் நேர்மாறைப் பயன்படுத்தி தீர்வு காண்பது ஆகியவற்றில் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகளைப் படிப்போம்.

4.2 அணிக்கோவை

ஒவ்வொரு சதுர அணி $A=[a _{i j}]$ (வரிசை $n$) க்கும், நாம் A சதுர அணியின் அணிக்கோவை எனப்படும் ஒரு எண்ணை (மெய் அல்லது கலப்பு) தொடர்புபடுத்தலாம், இங்கு $a _{i j}=(i, j)^{\text{th }}$ என்பது A இன் உறுப்பு ஆகும்.

இது ஒரு சார்பு எனக் கருதலாம், இது ஒவ்வொரு சதுர அணியையும் ஒரு தனித்துவமான எண்ணுடன் (மெய் அல்லது கலப்பு) தொடர்புபடுத்துகிறது. $M$ என்பது சதுர அணிகளின் கணமாகவும், $K$ என்பது எண்களின் (மெய் அல்லது கலப்பு) கணமாகவும் இருந்து, $f: M \to K$ ஆனது $f(A)=k$ என வரையறுக்கப்பட்டால், இங்கு $A \in M$ மற்றும் $k \in K$, எனில் $f(A)$ என்பது $A$ இன் அணிக்கோவை என அழைக்கப்படுகிறது. இது $|A|$ அல்லது $det A$ அல்லது $\Delta$ எனவும் குறிக்கப்படுகிறது.

$A=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$ எனில், A இன் அணிக்கோவை $|A|=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=det(A) $ என எழுதப்படுகிறது.

குறிப்புகள்

(i) A அணிக்கு, ⟦87⟎ என்பது $A$ இன் அணிக்கோவை எனப் படிக்கப்படுகிறது, $A$ இன் மட்டு மதிப்பு அல்ல.

(ii) சதுர அணிகளுக்கு மட்டுமே அணிக்கோவைகள் உள்ளன.

4.2.1 ஒரு வரிசை அணியின் அணிக்கோவை

$A=[a]$ என்பது வரிசை 1 அணியாக இருக்கட்டும், எனில் $A$ இன் அணிக்கோவை $a$ க்கு சமமாக வரையறுக்கப்படுகிறது.

4.2.2 இரண்டாம் வரிசை அணியின் அணிக்கோவை

$\text{Let}\qquad A=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{21} & a _{22} \end{vmatrix} \text{ be a matrix of order } 2 \times 2, $

எனில், $A$ இன் அணிக்கோவை பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

$ det(A)=|A|=\Delta=\begin{vmatrix} a _{11} & & a _{12} \\ a _{21} & & a _{22} \end{vmatrix}=a _{11} a _{22}-a _{21} a _{12} $

எடுத்துக்காட்டு 1 $\begin{vmatrix}2 & 4 \\ -1 & 2\end{vmatrix}$ ஐ மதிப்பிடுக.

தீர்வு நம்மிடம் $\begin{vmatrix}2 & 4 \\ -1 & 2\end{vmatrix}=2(2)-4(-1)=4+4=8$ உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 2 $\begin{vmatrix}x & x+1 \\ x-1 & x\end{vmatrix}$ ஐ மதிப்பிடுக.

தீர்வு நம்மிடம்

$ \begin{vmatrix} x & x+1 \\ x-1 & x \end{vmatrix}=x(x)-(x+1)(x-1)=x^{2}-(x^{2}-1)=x^{2}-x^{2}+1=1 $

4.2.3 $3 \times 3$ வரிசை அணியின் அணிக்கோவை

மூன்றாம் வரிசை அணியின் அணிக்கோவையை இரண்டாம் வரிசை அணிக்கோவைகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்துவதன் மூலம் தீர்மானிக்க முடியும். இது ஒரு வரிசையில் (அல்லது ஒரு நிரலில்) அணிக்கோவையை விரிவுபடுத்துதல் என அறியப்படுகிறது. ஒரு வரிசை 3 அணிக்கோவையை விரிவுபடுத்த ஆறு வழிகள் உள்ளன.

இவை மூன்று வரிசைகள் $(R_1, R_2.$ மற்றும் $.R_3)$ மற்றும் மூன்று நிரல்கள் $(C_1, C_2.$ மற்றும் $C_3)$ ஆகிய ஒவ்வொன்றுடனும் தொடர்புடையவை, கீழே காட்டப்பட்டுள்ளபடி ஒரே மதிப்பைத் தருகின்றன.

சதுர அணி $A=[a _{i j}] _{3 \times 3}$ இன் அணிக்கோவையைக் கவனியுங்கள்.

$\text{i.e}\qquad |A|=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} $

முதல் வரிசையில் விரிவாக்கம் $(\mathbf{R} _1)$

படி 1 $\mathbf{R} _ {1}$ இன் முதல் உறுப்பான $ a _ {11}$ ஐ $(-1)^{(1+1)}[(-1)^{.\text{sum of suffixes in } a _ {11}}.$ ஆல் பெருக்கி, முதல் வரிசை $(R_1)$ மற்றும் முதல் நிரல் $(C _ {1})$ ஆகியவற்றின் உறுப்புகளை நீக்குவதன் மூலம் பெறப்பட்ட இரண்டாம் வரிசை அணிக்கோவையுடன் பெருக்கவும், ஏனெனில் ⟦110⟎ என்பது $ R _ {1} $ மற்றும் $ C _ {1} $ இல் அமைந்துள்ளது,

$\text{i.e.,}\qquad (-1)^{1+1} a _{11}\left|\begin{array}{ll} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{array}\right| $

படி 2 $R_1$ இன் இரண்டாவது உறுப்பான $a _{12}$ ஐ $(-1)^{1+2}[(-1)^{\text{sum of suffixes in } a _{12}}]$ ஆல் பெருக்கி, முதல் வரிசை $(R_1)$ மற்றும் இரண்டாவது நிரல் $(C_2)$ ஆகியவற்றின் உறுப்புகளை நீக்குவதன் மூலம் பெறப்பட்ட இரண்டாம் வரிசை அணிக்கோவையுடன் பெருக்கவும், ஏனெனில் ⟦119⟎ என்பது $R_1$ மற்றும் $C_2$ இல் அமைந்துள்ளது,

அதாவது, $\quad(-1)^{1+2} a _{12}\begin{vmatrix}a _{21} & a _{23} \\ a _{31} & a _{33}\end{vmatrix}$

படி 3 $R_1$ இன் மூன்றாவது உறுப்பான $a _{13}$ ஐ $(-1)^{1+3}[(-1)^{\text{sum of suffixes in } a _{13}}]$ ஆல் பெருக்கி, முதல் வரிசை $(R_1)$ மற்றும் மூன்றாவது நிரல் $(C_3)$ ஆகியவற்றின் உறுப்புகளை நீக்குவதன் மூலம் பெறப்பட்ட இரண்டாம் வரிசை அணிக்கோவையுடன் பெருக்கவும், ஏனெனில் ⟦129⟎ என்பது $R_1$ மற்றும் $C_3$ இல் அமைந்துள்ளது,

அதாவது, $\quad(-1)^{1+3} a _{13}\begin{vmatrix}a _{21} & a _{22} \\ a _{31} & a _{32}\end{vmatrix}$

படி 4 இப்போது A இன் அணிக்கோவையின் விரிவாக்கம், அதாவது ⟦133⟎ என்பது படிகள் 1,2 மற்றும் 3 இல் பெறப்பட்ட மூன்று உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதப்படுகிறது, இது பின்வருமாறு வழங்கப்படுகிறது.

$$ \begin{aligned} & \operatorname{det} \mathrm{A}=|\mathrm{A}|=(-1)^{1+1} a _{11}\left|\begin{array}{ll} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{array}\right|+(-1)^{1+2} \quad a _{12}\left|\begin{array}{ll} a _{21} & a _{23} \\ a _{31} & a _{33} \end{array}\right| \\ & +(-1)^{1+3} a _{13}\left|\begin{array}{ll} a _{21} & a _{22} \\ a _{31} & a _{32} \end{array}\right| \end{aligned} $$

$ \begin{align*} \text{or} \qquad |\mathrm{A}|= & a _{11}\left(a _{22} a _{33}-a _{32} a _{23}\right)-a _{12}\left(a _{21} a _{33}-a _{31} a _{23}\right) \\ & +a _{13}\left(a _{21} a _{32}-a _{31} a _{22}\right) \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{32} a _{23}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{31} a _{23}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \tag{1} \end{align*} $

குறிப்பு நாம் நான்கு படிகளையும் ஒன்றாகப் பயன்படுத்துவோம்.

இரண்டாவது வரிசையில் விரிவாக்கம் $(\mathbf{R} _2)$

$$ |A|=\begin{vmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} \\ a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} \end{vmatrix} $$

$R_2$ இல் விரிவுபடுத்த, நாம் பெறுவது

$ \begin{aligned} |A|= & (-1)^{2+1} a _{21}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+(-1)^{2+2} a _{22}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{13} \\ a _{31} & a _{33} \end{vmatrix} \\ & +(-1)^{2+3} a _{23}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{31} & a _{32} \end{vmatrix} \\ = & -a _{21}(a _{12} a _{33}-a _{32} a _{13})+a _{22}(a _{11} a _{33}-a _{31} a _{13}) \\ & -a _{23}(a _{11} a _{32}-a _{31} a _{12}) \\ |A|= & -a _{21} a _{12} a _{33}+a _{21} a _{32} a _{13}+a _{22} a _{11} a _{33}-a _{22} a _{31} a _{13}-a _{23} a _{11} a _{32} \\ & +a _{23} a _{31} a _{12} \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{23} a _{31}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \end{aligned} $

முதல் நிரலில் விரிவாக்கம் $(C_1)$

$$ |A|=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} $$

$C_1$ இல் விரிவுபடுத்த, நாம் பெறுவது

$ \begin{aligned} |A|= & a _{11}(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+a _{21}(-1)^{2+1}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} \\ & +a _{31}(-1)^{3+1}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{22} & a _{23} \end{vmatrix} \\ = & a _{11}(a _{22} a _{33}-a _{23} a _{32})-a _{21}(a _{12} a _{33}-a _{13} a _{32})+a _{31}(a _{12} a _{23}-a _{13} a _{22}) \end{aligned} $ $ \begin{aligned} |A|= & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{21} a _{12} a _{33}+a _{21} a _{13} a _{32}+a _{31} a _{12} a _{23} \\ & -a _{31} a _{13} a _{22} \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{23} a _{31}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \end{aligned} $

தெளிவாக, (1), (2) மற்றும் (3) இல் உள்ள $|A|$ இன் மதிப்புகள் சமமாக உள்ளன. $R_3, C_2$ மற்றும் $C_3$ இல் விரிவுபடுத்துவதன் மூலம் $|A|$ இன் மதிப்புகள் (1), (2) அல்லது (3) இல் பெறப்பட்ட $|A|$ இன் மதிப்புக்கு சமம் என்பதை சரிபார்க்க வாசகருக்கு பயிற்சியாக விடப்படுகிறது.

எனவே, எந்த வரிசை அல்லது நிரலில் விரிவுபடுத்தினாலும் ஒரே மதிப்பு கிடைக்கும்.

குறிப்புகள்

(i) எளிதான கணக்கீடுகளுக்கு, அதிகபட்ச பூஜ்ஜியங்களைக் கொண்ட வரிசை அல்லது நிரலில் அணிக்கோவையை விரிவுபடுத்துவோம்.

(ii) விரிவுபடுத்தும் போது, $(-1)^{i+j}$ ஆல் பெருக்குவதற்குப் பதிலாக, $(i+j)$ இரட்டைப்படையா அல்லது ஒற்றைப்படையா என்பதைப் பொறுத்து +1 அல்லது -1 ஆல் பெருக்கலாம்.

(iii) $A=\begin{vmatrix}2 & 2 \\ 4 & 0\end{vmatrix}$ மற்றும் $B=\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 2 & 0\end{vmatrix}$ என்க. பிறகு, $A=2 B$ என்பதை சரிபார்க்க எளிதானது. மேலும் $|A|=0-8=-8$ மற்றும் $|B|=0-2=-2$.

கவனிக்கவும், $|A|=4(-2)=2^{2}|B|$ அல்லது $|A|=2^{n}|B|$, இங்கு ⟦152⟎ என்பது சதுர அணிகள் $A$ மற்றும் $B$ இன் வரிசையாகும்.

பொதுவாக, ⟦155⟎ எனில், இங்கு $A$ மற்றும் ⟦157⟎ என்பது வரிசை $n$ இன் சதுர அணிகள், எனில் $|A|=k^{n}$ $|B|$, இங்கு $n=1,2,3$

எடுத்துக்காட்டு 3 அணிக்கோவை $\Delta=\begin{vmatrix}1 & 2 & 4 \\ -1 & 3 & 0 \\ 4 & 1 & 0\end{vmatrix}$ ஐ மதிப்பிடுக.

தீர்வு மூன்றாவது நிரலில், இரண்டு உறுப்புகள் பூஜ்ஜியம் என்பதைக் கவனியுங்கள். எனவே மூன்றாவது நிரல் $(C_3)$ இல் விரிவுபடுத்த, நாம் பெறுவது

$$ \begin{aligned} \Delta & =4\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}-0\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}+0\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} \\ & =4(-1-12)-0+0=-52 \end{aligned} $$

எடுத்துக்காட்டு 4 $\Delta=\begin{vmatrix}0 & \sin \alpha & -\cos \alpha \\ -\sin \alpha & 0 & \sin \beta \\ \cos \alpha & -\sin \beta & 0\end{vmatrix}$ ஐ மதிப்பிடுக.

தீர்வு $R_1$ இல் விரிவுபடுத்த, நாம் பெறுவது

$ \begin{aligned} \Delta & =0\begin{vmatrix} 0 & \sin \beta \\ -\sin \beta & 0 \end{vmatrix}-\sin \alpha\begin{vmatrix} -\sin \alpha & \sin \beta \\ \cos \alpha & 0 \end{vmatrix}-\cos \alpha\begin{vmatrix} -\sin \alpha & 0 \\ \cos \alpha & -\sin \beta \end{vmatrix} \\ & =0-\sin \alpha(0-\sin \beta \cos \alpha)-\cos \alpha(\sin \alpha \sin \beta-0) \\ & =\sin \alpha \sin \beta \cos \alpha-\cos \alpha \sin \alpha \sin \beta=0 \end{aligned} $

எடுத்துக்காட்டு 5 $x$ இன் எந்த மதிப்புகளுக்கு $\begin{vmatrix}3 & x \\ x & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3 & 2 \\ 4 & 1\end{vmatrix}$ என்பதைக் கண்டறிக.

தீர்வு நம்மிடம் $\begin{vmatrix}3 & x \\ x & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3 & 2 \\ 4 & 1\end{vmatrix}$ உள்ளது.

அதாவது $\qquad 3-x^{2}=3-8$

$\text{i.e.}\qquad \begin{aligned} x^{2} & =8 \\ \end{aligned} $

எனவே $\qquad\ x= \pm 2 \sqrt{2}$

4.3 ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு

முந்தைய வகுப்புகளில், முனைகள் $(x_1, y_1),(x_2, y_2)$ மற்றும் $(x_3, y_3)$ ஆகியவற்றைக் கொண்ட ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு $\frac{1}{2}[x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+.$ ⟦174⟎ என்ற கோவையால் வழங்கப்படுகிறது என்பதை நாம் படித்துள்ளோம். இப்போது இந்த கோவை ஒரு அணிக்கோவையின் வடிவத்தில் பின்வருமாறு எழுதப்படலாம்.

$$ \Delta=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll} x _{1} & y _{1} & 1 \tag{1}\\ x _{2} & y _{2} & 1 \\ x _{3} & y _{3} & 1 \end{array}\right| $$

குறிப்புகள்

(i) பரப்பளவு ஒரு நேர்மறை அளவு என்பதால், நாம் எப்போதும் (1) இல் உள்ள அணிக்கோவையின் தனி மதிப்பை எடுத்துக்கொள்கிறோம்.

(ii) பரப்பளவு கொடுக்கப்பட்டால், கணக்கீட்டிற்கு அணிக்கோவையின் நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை மதிப்புகள் இரண்டையும் பயன்படுத்தவும்.

(iii) மூன்று ஒரே கோட்டில் அமையும் புள்ளிகளால் உருவாகும் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு பூஜ்ஜியமாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 6 முனைகள் $(3,8),(-4,2)$ மற்றும் $(5,1)$ ஆகியவற்றைக் கொண்ட முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கண்டறிக.

தீர்வு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு பின்வருமாறு வழங்கப்படுகிறது.

$$ \begin{aligned} \Delta & =\frac{1}{2}\left|\begin{array}{rrr} 3 & 8 & 1 \\ -4 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 1 \end{array}\right|=\frac{1}{2}[3(2-1)-8(-4-5)+1(-4-10)] \\ & =\frac{1}{2}(3+72-14)=\frac{61}{2} \end{aligned} $$

எடுத்துக்காட்டு 7 $A(1,3)$ மற்றும் $B(0,0)$ புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டின் சமன்பாட்டை அணிக்கோவைகளைப் பயன்படுத்திக் கண்டறிந்து, ABD முக்கோணத்தின் பரப்பளவு 3 சதுர அலகுகள் எனில் $k$ ஐக் கண்டறிக.

தீர்வு $AB$ மீது உள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளி $P(x, y)$ என்க. எனில், ABP முக்கோணத்தின் பரப்பளவு பூஜ்ஜியம் (ஏன்?).

$\text{so}\qquad \frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ x & y & 1 \end{array}\right|=0 $

$\text{This gives}\qquad \frac{1}{2}(y-3 x)=0 \text { या } y=3 x $

இது தேவையான கோட்டின் சமன்பாடு $AB$ ஆகும்.

மேலும், ABD முக்கோணத்தின் பரப்பளவு 3 சதுர அலகுகள் என்பதால், நம்மிடம்

$ \frac{1}{2}\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ k & 0 & 1 \end{vmatrix}= \pm 3 $ இது $\frac{-3 k}{2}= \pm 3$ ஐத் தருகிறது, அதாவது $k=\mp 2$.

4.4 சிற்றணிக்கோவைகள் மற்றும் இணைக்காரணிகள்

இந்தப் பகுதியில், சிற்றணிக்கோவைகள் மற்றும் இணைக்காரணிகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு அணிக்கோவையின் விரிவாக்கத்தை சுருக்கமான வடிவத்தில் எழுதக் கற்றுக்கொள்வோம்.

வரையறை 1 ஒரு அணிக்கோவையின் உறுப்பு $a _{i j}$ இன் சிற்றணிக்கோவை என்பது, அந்த உறுப்பு ⟦189⟎ அமைந்துள்ள ⟦187⟎ வது வரிசை மற்றும் ⟦188⟎ வது நிரலை நீக்குவதன் மூலம் பெறப்படும் அணிக்கோவை ஆகும். உறுப்பு ⟦190⟎ இன் சிற்றணிக்கோவை ⟦191⟎ எனக் குறிக்கப்படுகிறது.

குறிப்பு வரிசை ⟦192⟎ இன் ஒரு அணிக்கோவையின் ஒரு உறுப்பின் சிற்றணிக்கோவை என்பது வரிசை ⟦193⟎ இன் ஒரு அணிக்கோவை ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 8 அணிக்கோவை ⟦194⟎ இல் உள்ள உறுப்பு 6 இன் சிற்றணிக்கோவையைக் கண்டறிக.

தீர்வு 6 இரண்டாவது வரிசை மற்றும் மூன்றாவது நிரலில் அமைந்துள்ளதால், அதன் சிற்றணிக்கோவை ⟦195⟎ என்பது

$ M _{23}=\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}=8-14=-6 \text{ (Δ இல் } R_2 \text{ மற்றும் } C_3 \text{ ஐ நீக்குவதன் மூலம் பெறப்பட்டது). } $

வரையறை 2 உறுப்பு ⟦196⟎ இன் இணைக்காரணி, ⟦197⟎ எனக் குறிக்கப்படுகிறது, இது

$ A _{i j}=(-1)^{i+j} M _{i j} \text{, இங்கு } M _{i j} \text{ என்பது } a _{i j} \text{ இன் சிற்றணிக்கோவை. } $

என வரையறுக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 9 அணிக்கோவை ⟦198⟎ இன் அனைத்து உறுப்புகளின் சிற்றணிக்கோவைகள் மற்றும் இணைக்காரணிகளைக் கண்டறிக.

தீர்வு உறுப்பு ⟦199⟎ இன் சிற்றணிக்கோவை ⟦200⟎ ஆகும்.

இங்கு ⟦201⟎. எனவே ⟦202⟎ உறுப்பு ⟦203⟎ இன் சிற்றணிக்கோவை

$$ \begin{aligned} & \mathrm{M} _{12}=\text { Minor of the element } a _{12} =4 \\ & \mathrm{M} _{21}=\text { Minor of the element } a _{21} =-2 \\ & \mathrm{M} _{22}=\text { Minor of the element } a _{22} =1 \end{aligned} $$

இப்போது, ⟦204⟎ இன் இணைக்காரணி ⟦205⟎ ஆகும். எனவே

$$ \begin{aligned} & A _{11}=(-1)^{1+1} \quad M _{11}=(-1)^{2}(3)=3 \\ & A _{12}=(-1)^{1+2} \quad M _{12}=(-1)^{3}(4)=-4 \\ & A _{21}=(-1)^{2+1} \quad M _{21}=(-1)^{3}(-2)=2 \\ & A _{22}=(-1)^{2+2} \quad M _{22}=(-1)^{4}(1)=1 \end{aligned} $$

எடுத்துக்காட்டு 10 அணிக்கோவை $ \Delta=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} $ இல் உள்ள உறுப்புகள் ⟦206⟎ ஆகியவற்றின் சிற்றணிக்கோவைகள் மற்றும் இணைக்காரணிகளைக் கண்டறிக.

தீர்வு சிற்றணிக்கோவைகள் மற்றும் இணைக்காரணிகளின் வரையறையின்படி, நம்மிடம் உள்ளது

⟦207⟎ இன் சிற்றணிக்கோவை
⟦208⟎ இன் இணைக்காரணி
⟦209⟎ இன் சிற்றணிக்கோவை
⟦210⟎ இன் இணைக்காரணி

குறிப்பு எடுத்துக்காட்டு 21 இல் உள்ள அணிக்கோவை ⟦211⟎ ஐ ⟦212⟎ இல் விரிவுபடுத்த, நம்மிடம் உள்ளது

$ \begin{aligned} \Delta & =(-1)^{1+1} a _{11}\begin{vmatrix} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+(-1)^{1+2} a _{12}\begin{vmatrix} a _{21} & a _{23} \\ a _{31} & a _{33} \end{vmatrix}+(-1)^{1+3} a _{13}\begin{vmatrix} a _{21} & a _{22} \\ a _{31} & a _{32} \end{vmatrix} \\ & =a _{11} A _{11}+a _{12} A _{12}+a _{13} A _{13} \text{, இங்கு } A _{i j} \text{ என்பது } a _{i j} \text{ இன் இணைக்காரணி } \\ & =\text{ R}_1 \text{ இன் உறுப்புகளின் அவற்றின் தொடர்புடைய இணைக்காரணிகளுடனான பெருக்குத்தொகைகளின் கூட்டுத்தொகை } \end{aligned} $

இதேபோல், ⟦213⟎ ஐ விரிவுபடுத்துவதற்கான மற்ற ஐந்து வழிகளிலும், அதாவது ⟦214⟎, ⟦215⟎ மற்றும் ⟦216⟎ ஆகியவற்றில் விரிவுபடுத்துவதன் மூலம் கணக்கிடலாம்.

எனவே ⟦217⟎ = எந்த வரிசையின் (அல்லது நிரலின்) உறுப்புகளின் அவற்றின் தொடர்புடைய இணைக்காரணிகளுடனான பெருக்குத்தொகைகளின் கூட்டுத்தொகை.

குறிப்பு ஒரு வரிசையின் (அல்லது நிரலின்) உறுப்புகள் வேறு எந்த வரிசையின் (அல்லது நிரலின்) இணைக்காரணிகளுடன் பெருக்கப்பட்டால், அவற்றின் கூட்டுத்தொகை பூஜ்ஜியமாகும். எடுத்துக்காட்டாக,

$ \begin{aligned} \Delta & =a _{11} A _{21}+a _{12} A _{22}+a _{13} A _{23} \\ & =a _{11}(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+a _{12}(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{13} \\ a _{31} & a _{33} \end{vmatrix}+a _{13}(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{31} & a _{32} \end{vmatrix} \\ & =\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}=0 \text{ ஏனெனில் } R_1 \text{ மற்றும் } R_2 \text{ ஒரே மாதிரியானவை } \end{aligned} $

இதேபோல், மற்ற வரிசைகள் மற்றும் நிரல்களுக்கும் முயற்சி செய்யலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 11 அணிக்கோவை

$ \begin{vmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 6 & 0 & 4 \\ 1 & 5 & -7 \end{vmatrix} \text{ இன் உறுப்புகளின் சிற்றணிக்கோவைகள் மற்றும் இணைக்காரணிகளைக் கண்டறிந்து, } a _{11} A _{31}+a _{12} A _{32}+a _{13} A _{33}=0 \text{ என்பதைச் சரிபார்க்க. } $

தீர்வு நம்மிடம் $M _{11}=\begin{vmatrix}0 & 4 \\ 5 & -7\end{vmatrix}=0-20=-20 ; A _{11}=(-1)^{1+1}(-20)=-20$ உள்ளது.

$M _{12}=\begin{vmatrix}6 & 4 \\ 1 & -7\end{vmatrix}=-42-4=-46 ; \quad A _{12}=(-1)^{1+2}(-46)=46$

$M _{13}=\begin{vmatrix}6 & 0 \\ 1 & 5\end{vmatrix}=30-0=30 ; \quad A _{13}=(-1)^{1+3}(30)=30$

$M _{21}=\begin{vmatrix}-3 & 5 \\ 5 & -7\end{vmatrix}=21-25=-4 ; \quad A _{21}=(-1)^{2+1}(-4)=4$

$M _{22}=\begin{vmatrix}2 & 5 \\ 1 & -7\end{vmatrix}=-14-5=-19 ; \quad A _{22}=(-1)^{2+2}(-19)=-19$

$M _{23}=\begin{vmatrix}2 & -3 \\ 1 & 5\end{vmatrix}=10+3=13 ; \quad A _{23}=(-1)^{2+3}(13)=-13$

$M _{31}=\begin{vmatrix}-3 & 5 \\ 0 & 4\end{vmatrix}=-12-0=-12 ; \quad A _{31}=(-1)^{3+1}(-12)=-12$

$M _{32}=\begin{vmatrix}2 & 5 \\ 6 & 4\end{vmatrix}=8-30=-22 ; \quad A _{32}=(-1)^{3+2}(-22)=22$

மற்றும் $\quad M _{33}=\begin{vmatrix}2 & -3 \\ 6 & 0\end{vmatrix}=0+18=18 ; \quad A _{33}=(-1)^{3+3}(18)=18$

இப்போது $\quad a _{11}=2, a _{12}=-3, a _{13}=5 ; A _{31}=-12, A _{32}=22, A _{33}=18$

எனவே $\quad a _{11} A _{31}+a _{12} A _{32}+a _{13} A _{33}$

$=2(-12)+(-3)(22)+5(18)=-24-66+90=0$