“அறிவியல் முழுவதும் அன்றாட சிந்தனையின் ஒரு சுத்திகரிப்பு தவிர வேறில்லை.” - ஆல்பர்ட் ஐன்ஸ்டைன்

5.1 அறிமுகம்

இந்த அத்தியாயம் அடிப்படையில் 11 ஆம் வகுப்பில் நாம் படித்த சார்புகளின் வகையிடலைத் தொடர்ந்து ஆய்வு செய்வதாகும். பல்லுறுப்புக்கோவை சார்புகள் மற்றும் முக்கோணவியல் சார்புகள் போன்ற சில சார்புகளை வகையிட நாம் கற்றிருந்தோம். இந்த அத்தியாயத்தில், தொடர்ச்சி, வகையிடுதல் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான உறவுகள் போன்ற மிக முக்கியமான கருத்துகளை அறிமுகப்படுத்துகிறோம். மேலும், நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளின் வகையிடலையும் கற்றுக்கொள்வோம். மேலும், அடுக்குக்குறிச் சார்புகள் மற்றும் மடக்கைச் சார்புகள் என்ற புதிய வகை சார்புகளை அறிமுகப்படுத்துகிறோம். இந்த சார்புகள் வகையிடலின் சக்திவாய்ந்த நுட்பங்களுக்கு வழிவகுக்கின்றன. வகையீட்டுக் கணிதத்தின் மூலம் சில வடிவியல் ரீதியாகத் தெளிவான நிபந்தனைகளை விளக்குகிறோம். இந்த செயல்பாட்டில், இந்தப் பகுதியில் உள்ள சில அடிப்படைத் தேற்றங்களைக் கற்றுக்கொள்வோம்.

5.2 தொடர்ச்சி

நாம் தொடங்குகிறோம் இந்தப் பகுதியை தொடர்ச்சியின் உணர்வைப் பெற இரண்டு முறைசாரா எடுத்துக்காட்டுகளுடன். சார்பைக் கவனியுங்கள்

$$ f(x)=\begin{cases} 1, \text{ if } x \leq 0 \\ 2, \text{ if } x>0 \end{cases}. $$

இந்தச் சார்பு நிச்சயமாக மெய் எண்கோட்டின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. இந்தச் சார்பின் வரைபடம் படம் 5.1 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. $x$-அச்சில் அருகிலுள்ள புள்ளிகளில் சார்பின் மதிப்பு $x=0$ ஐத் தவிர மற்ற புள்ளிகளில் ஒன்றுக்கொன்று அருகில் இருக்கும் என்பதை வரைபடத்திலிருந்து ஒருவர் தீர்மானிக்கலாம். 0 க்கு அருகிலுள்ள மற்றும் இடதுபுறத்தில் உள்ள புள்ளிகளில், அதாவது $-0.1,-0.01,-0.001$ போன்ற புள்ளிகளில், சார்பின் மதிப்பு 1 ஆகும். 0 க்கு அருகிலுள்ள மற்றும் வலதுபுறத்தில் உள்ள புள்ளிகளில், அதாவது $0.1,0.01$ போன்ற புள்ளிகளில்,

0.001 , சார்பின் மதிப்பு 2 ஆகும். இடது மற்றும் வலது கை எல்லைகளின் மொழியைப் பயன்படுத்தி, $f$ இன் 0 இல் இடது (முறையே வலது) கை எல்லை 1 (முறையே 2) என்று கூறலாம். குறிப்பாக, இடது மற்றும் வலது கை எல்லைகள் ஒத்துப்போவதில்லை. $x=0$ இல் சார்பின் மதிப்பு இடது கை எல்லையுடன் ஒத்துப்போகிறது என்பதையும் நாம் கவனிக்கிறோம். வரைபடத்தை வரைய முயற்சிக்கும் போது, அதை ஒரே தடவையில் வரைய முடியாது, அதாவது, காகிதத்தின் தளத்திலிருந்து பேனாவைத் தூக்காமல், இந்தச் சார்பின் வரைபடத்தை வரைய முடியாது. உண்மையில், இடதுபுறத்திலிருந்து 0 க்கு வரும்போது பேனாவைத் தூக்க வேண்டும். இது $x=0$ இல் சார்பு தொடர்ச்சியாக இல்லாததற்கான ஒரு உதாரணமாகும்.

இப்போது, பின்வருமாறு வரையறுக்கப்பட்ட சார்பைக் கவனியுங்கள்

$$ f(x)=\begin{cases} & 1, \text{ if } x \neq 0 \\ & 2, \text{ if } x=0 \end{cases} $$

இந்தச் சார்பும் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. $x=0$ இல் இடது மற்றும் வலது கை எல்லைகள் இரண்டும் 1 க்கு சமம். ஆனால் $x=0$ இல் சார்பின் மதிப்பு 2 க்கு சமம், இது இடது மற்றும் வலது கை எல்லைகளின் பொதுவான மதிப்புடன் ஒத்துப்போவதில்லை. மீண்டும், பேனாவைத் தூக்காமல் சார்பின் வரைபடத்தை வரைய முடியாது என்பதைக் கவனிக்கிறோம். இது $x=0$ இல் ஒரு சார்பு தொடர்ச்சியாக இல்லாததற்கான மற்றொரு உதாரணமாகும்.

எளிமையாக, ஒரு நிலையான புள்ளியில் சார்பு தொடர்ச்சியாக இருந்தால், அந்தப் புள்ளியைச் சுற்றி காகிதத்தின் தளத்திலிருந்து பேனாவைத் தூக்காமல் சார்பின் வரைபடத்தை வரையலாம் என்று கூறலாம்.

கணித ரீதியாக, இது பின்வருமாறு துல்லியமாக வெளிப்படுத்தப்படலாம்:

வரையறை 1 $f$ என்பது மெய் எண்களின் ஒரு உட்கணத்தின் மீது ஒரு மெய் சார்பு என்றும், $c$ என்பது $f$ இன் ஆட்களத்தில் ஒரு புள்ளி என்றும் வைத்துக்கொள்வோம். பிறகு $f$ ஆனது $c$ இல் தொடர்ச்சியாக இருக்கும் என்றால்

$$ \lim _{x \to c} f(x)=f(c) $$

மேலும் விரிவாக, $x=c$ இல் இடது கை எல்லை, வலது கை எல்லை மற்றும் சார்பின் மதிப்பு இருந்து ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருந்தால், $f$ ஆனது $x=c$ இல் தொடர்ச்சியாக உள்ளது என்று கூறப்படுகிறது. $x=c$ இல் வலது கை மற்றும் இடது கை எல்லைகள் ஒத்துப்போனால், அந்த பொதுவான மதிப்பு $x=c$ இல் சார்பின் எல்லை என்று நாம் கூறுவோம் என்பதை நினைவுகூருங்கள். எனவே தொடர்ச்சியின் வரையறையை பின்வருமாறு மீண்டும் வெளிப்படுத்தலாம்: ஒரு சார்பு $x=c$ இல் தொடர்ச்சியாக இருக்கும் என்றால், சார்பு $x=c$ இல் வரையறுக்கப்பட்டிருக்க வேண்டும் மற்றும் $x=c$ இல் சார்பின் மதிப்பு $x=c$ இல் சார்பின் எல்லைக்குச் சமமாக இருக்க வேண்டும். $f$ ஆனது $c$ இல் தொடர்ச்சியாக இல்லாவிட்டால், $f$ ஆனது $c$ இல் தொடர்ச்சியற்றது என்று கூறுகிறோம் மற்றும் $c$ ஆனது $f$ இன் ஒரு தொடர்ச்சியற்ற புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 1 $f$ ஆல் கொடுக்கப்பட்ட $f(x)=2 x+3$ என்ற சார்பின் தொடர்ச்சியை $x=1$ இல் சரிபார்க்கவும்.

தீர்வு முதலில், கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி $x=1$ இல் சார்பு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் அதன் மதிப்பு 5 என்பதைக் கவனிக்கவும். பிறகு $x=1$ இல் சார்பின் எல்லையைக் கண்டறியவும். தெளிவாக

$$ \lim _{x \to 1} f(x)=\lim _{x \to 1}(2 x+3)=2(1)+3=5 $$

எனவே $\qquad \lim _{x \to 1} f(x)=5=f(1)$

எனவே, $f$ ஆனது $x=1$ இல் தொடர்ச்சியாக உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 2 $f$ ஆல் கொடுக்கப்பட்ட $f(x)=x^{2}$ என்ற சார்பு $x=0$ இல் தொடர்ச்சியாக உள்ளதா என்பதைப் பரிசோதிக்கவும்.

தீர்வு முதலில், கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி $x=0$ இல் சார்பு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் அதன் மதிப்பு 0 என்பதைக் கவனிக்கவும். பிறகு $x=0$ இல் சார்பின் எல்லையைக் கண்டறியவும். தெளிவாக

$$ \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} x^{2}=0^{2}=0 $$

எனவே $\qquad \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0=f(0)$

எனவே, $f$ ஆனது $x=0$ இல் தொடர்ச்சியாக உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 3 $f$ ஆல் கொடுக்கப்பட்ட $f(x)=|x|$ என்ற சார்பின் தொடர்ச்சியை $x=0$ இல் விவாதிக்கவும்.

தீர்வு வரையறையின்படி

$$ f(x)= \begin{cases}-x, & \text{ if } x<0 \\ x, & \text{ if } x \geq 0\end{cases} $$

தெளிவாக சார்பு 0 மற்றும் $f(0)=0$ இல் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. $f$ இன் 0 இல் இடது கை எல்லை

$$ \lim _{x \to 0^{-}} f(x)=\lim _{x \to 0^{-}}(-x)=0 $$

இதேபோல், $f$ இன் 0 இல் வலது கை எல்லை

$$ \lim _{x \to 0^{+}} f(x)=\lim _{x \to 0^{+}} x=0 $$

எனவே, இடது கை எல்லை, வலது கை எல்லை மற்றும் சார்பின் மதிப்பு $x=0$ இல் ஒத்துப்போகின்றன. எனவே, $f$ ஆனது $x=0$ இல் தொடர்ச்சியாக உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 4 $f$ ஆல் கொடுக்கப்பட்ட சார்பு

$$ f(x)= \begin{cases}x^{3}+3, & \text{ if } x \neq 0 \\ 1, & \text{ if } x=0\end{cases} $$

ஆனது $x=0$ இல் தொடர்ச்சியாக இல்லை என்பதைக் காட்டுக.

தீர்வு சார்பு $x=0$ இல் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் $x=0$ இல் அதன் மதிப்பு 1 ஆகும். $x \neq 0$ ஆக இருக்கும்போது, சார்பு ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையால் வழங்கப்படுகிறது. எனவே,

$$ \lim _{x \to 0} f(x)=\lim _{x \to 0}(x^{3}+3)=0^{3}+3=3 $$

$f$ இன் $x=0$ இல் உள்ள எல்லை $f(0)$ உடன் ஒத்துப்போகாததால், சார்பு $x=0$ இல் தொடர்ச்சியாக இல்லை. $x=0$ ஆனது இந்தச் சார்புக்கான ஒரே தொடர்ச்சியற்ற புள்ளி என்பதைக் கவனிக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 5 மாறிலிச் சார்பு $f(x)=k$ தொடர்ச்சியாக இருக்கும் புள்ளிகளைச் சரிபார்க்கவும்.

தீர்வு சார்பு அனைத்து மெய் எண்களிலும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் வரையறையின்படி, எந்த மெய் எண்ணிலும் அதன் மதிப்பு $k$ க்குச் சமம். $c$ என்பது ஏதேனும் ஒரு மெய் எண்ணாக இருக்கட்டும். பிறகு

$$ \lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c} k=k $$

ஏதேனும் மெய் எண் $c$ க்கு $f(c)=k=\lim _{x \to c} f(x)$ ஆக இருப்பதால், சார்பு $f$ ஆனது ஒவ்வொரு மெய் எண்ணிலும் தொடர்ச்சியாக உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 6 மெய் எண்களின் மீது அமைந்துள்ள முற்றொருமைச் சார்பு $f(x)=x$ ஆனது ஒவ்வொரு மெய் எண்ணிலும் தொடர்ச்சியாக உள்ளது என நிரூபிக்கவும்.

தீர்வு சார்பு ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் தெளிவாக வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் ஒவ்வொரு மெய் எண் $c$ க்கும் $f(c)=c$ ஆகும்.

மேலும், $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c} x=c$

எனவே, $\lim _{x \to c} f(x)=c=f(c)$ மற்றும் எனவே சார்பு ஒவ்வொரு மெய் எண்ணிலும் தொடர்ச்சியாக உள்ளது.

ஒரு கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் ஒரு சார்பின் தொடர்ச்சியை வரையறுத்த பிறகு, இப்போது இந்த வரையறையை இயற்கையாக விரிவுபடுத்தி ஒரு சார்பின் தொடர்ச்சியை விவாதிக்கிறோம்.

வரையறை 2 ஒரு மெய் சார்பு $f$ தொடர்ச்சியானது என்று கூறப்படும் என்றால், அது $f$ இன் ஆட்களத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் தொடர்ச்சியாக இருந்தால். இந்த வரையறைக்கு சிறிது விரிவான விளக்கம் தேவை. $f$ என்பது ஒரு மூடிய இடைவெளி $[a, b]$ இல் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு சார்பு என்று வைத்துக்கொள்வோம், பிறகு $f$ தொடர்ச்சியாக இருக்க, அது $[a, b]$ இல் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியிலும், முனைகள் $a$ மற்றும் $b$ உட்பட, தொடர்ச்சியாக இருக்க வேண்டும். $f$ இன் $a$ இல் தொடர்ச்சி என்பது மற்றும் $f$ இன் $b$ இல் தொடர்ச்சி என்பது

$$ \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=f(a) $$

$$ \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=f(b) $$

$\lim _{x \to a^{-}} f(x)$ மற்றும் $\lim _{x \to b^{+}} f(x)$ ஆகியவை அர்த்தமுள்ளதாக இல்லை என்பதைக் கவனிக்கவும். இந்த வரையறையின் விளைவாக, f ஆனது ஒரே ஒரு புள்ளியில் மட்டுமே வரையறுக்கப்பட்டிருந்தால், அது அங்கு தொடர்ச்சியாக இருக்கும், அதாவது, $f$ இன் ஆட்களம் ஒரு தனிமம் மட்டுமே என்றால், $f$ ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பு ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 7 $f(x)=|x|$ ஆல் வரையறுக்கப்பட்ட சார்பு, ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பா?

தீர்வு ⟦204⟐ ஐ பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதலாம்

$ f(x)= \begin{cases}-x, & \text{ if } x<0 \\ x, & \text{ if } x \geq 0\end{cases} $

எடுத்துக்காட்டு 3 மூலம், $f$ ஆனது $x=0$ இல் தொடர்ச்சியாக உள்ளது என்பது நமக்குத் தெரியும்.

$c$ என்பது $c<0$ போன்ற ஒரு மெய் எண்ணாக இருக்கட்டும். பிறகு $f(c)=-c$.

மேலும் $$\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(-x)=-c$$

$\lim _{x \to c} f(x)=f(c), f$ ஆனது அனைத்து எதிர்ம மெய் எண்களிலும் தொடர்ச்சியாக உள்ளது.

இப்போது, $c$ என்பது $c>0$ போன்ற ஒரு மெய் எண்ணாக இருக்கட்டும். பிறகு $f(c)=c$. மேலும்

$$ \lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c} x=c $$

$\lim _{x \to c} f(x)=f(c), f$ ஆனது அனைத்து நேர்ம மெய் எண்களிலும் தொடர்ச்சியாக உள்ளது. எனவே, $f$ ஆனது அனைத்து புள்ளிகளிலும் தொடர்ச்சியாக உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 8 $f$ ஆல் கொடுக்கப்பட்ட $f(x)=x^{3}+x^{2}-1$ என்ற சார்பின் தொடர்ச்சியை விவாதிக்கவும்.

தீர்வு தெளிவாக $f$ ஆனது ஒவ்வொரு மெய் எண் $c$ இலும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் $c$ இல் அதன் மதிப்பு $c^{3}+c^{2}-1$ ஆகும். மேலும்

$$ \lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c}\left(x^{3}+x^{2}-1\right)=c^{3}+c^{2}-1 $$

எனவே $\lim _{x \to c} f(x)=f(c)$, மற்றும் எனவே $f$ ஆனது ஒவ்வொரு மெய் எண்ணிலும் தொடர்ச்சியாக உள்ளது. இதன் பொருள் $f$ ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பு ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 9 $f$ ஆல் வரையறுக்கப்பட்ட $f(x)=\frac{1}{x}, x \neq 0$ என்ற சார்பின் தொடர்ச்சியை விவாதிக்கவும்.

தீர்வு எந்த பூஜ்ஜியமற்ற மெய் எண் $c$ ஐயும் நிலைநிறுத்தவும், நம்மிடம் உள்ளது

$$ \lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c} \frac{1}{x}=\frac{1}{c} $$

மேலும், $c \neq 0, f(c)=\frac{1}{c}$ க்கு, நம்மிடம் $\lim _{x \to c} f(x)=f(c)$ உள்ளது மற்றும் எனவே, $f$ ஆனது $f$ இன் ஆட்களத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் தொடர்ச்சியாக உள்ளது. எனவே $f$ ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பு ஆகும்.

முடிவிலி என்ற கருத்தை விளக்க இந்த வாய்ப்பைப் பயன்படுத்துகிறோம். $f(x)=\frac{1}{x}$ என்ற சார்பை $x=0$ அருகில் பகுப்பாய்வு செய்வதன் மூலம் இதைச் செய்கிறோம். இந்தப் பகுப்பாய்வைச் செய்ய, 0 க்கு அருகிலுள்ள மெய் எண்களில் சார்பின் மதிப்பைக் கண்டறிவதற்கான வழக்கமான தந்திரத்தைப் பின்பற்றுகிறோம். அடிப்படையில் $f$ இன் 0 இல் வலது கை எல்லையைக் கண்டறிய முயற்சிக்கிறோம். இதை பின்வரும் அட்டவணை 5.1 இல் குறிப்பிடுகிறோம்.

அட்டவணை 5.1

$x$ ஆனது வலதுபுறத்திலிருந்து 0 க்கு நெருக்கமாக வரும்போது, $f(x)$ இன் மதிப்பு மேலே செல்கிறது என்பதை நாம் கவனிக்கிறோம். இதை பின்வருமாறு மீண்டும் வெளிப்படுத்தலாம்: $f(x)$ இன் மதிப்பை 0 க்கு மிக அருகில் ஒரு நேர்ம மெய் எண்ணைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் எந்தக் கொடுக்கப்பட்ட எண்ணையும் விட பெரியதாக ஆக்கலாம். குறியீடுகளில், நாம் எழுதுகிறோம்

$$ \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=+\infty $$

($f(x)$ இன் 0 இல் வலது கை எல்லை கூட்டல் முடிவிலி எனப் படிக்க வேண்டும்). $+\infty$ ஒரு மெய் எண் அல்ல என்பதையும், எனவே $f$ இன் 0 இல் வலது கை எல்லை (ஒரு மெய் எண்ணாக) இல்லை என்பதையும் வலியுறுத்த விரும்புகிறோம்.

இதேபோல், $f$ இன் 0 இல் இடது கை எல்லையைக் காணலாம். பின்வரும் அட்டவணை தன்னை விளக்குகிறது.

அட்டவணை 5.2

அட்டவணை 5.2 இலிருந்து, 0 க்கு மிக அருகில் ஒரு எதிர்ம மெய் எண்ணைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் $f(x)$ இன் மதிப்பை எந்தக் கொடுக்கப்பட்ட எண்ணையும் விட சிறியதாக ஆக்கலாம் என்று நாம் தீர்மானிக்கிறோம். குறியீடுகளில், நாம் எழுதுகிறோம்

$$ \lim _{x \to 0^{-}} f(x)=-\infty $$

($f(x)$ இன் 0 இல் இடது கை எல்லை கழித்தல் முடிவிலி எனப் படிக்க வேண்டும்). மீண்டும், $-\infty$ ஒரு மெய் எண் அல்ல என்பதையும், எனவே $f$ இன் 0 இல் இடது கை எல்லை (ஒரு மெய் எண்ணாக) இல்லை என்பதையும் வலியுறுத்த விரும்புகிறோம். படம் 5.3 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ள பரஸ்பரச் சார்பின் வரைபடம் மேலே குறிப்பிடப்பட்ட உண்மைகளின் வடிவியல் பிரதிநிதித்துவமாகும்.

படம் 5.3

எடுத்துக்காட்டு 10 $f$ ஆல் வரையறுக்கப்பட்ட சார்பின் தொடர்ச்சியை விவாதிக்கவும்

$$ f(x)=\begin{cases} x+2, \text{ if } x \leq 1 \\ x-2, \text{ if } x1 > 1 \\ \end{cases}. $$

தீர்வு சார்பு $f$ ஆனது மெய் கோட்டின் அனைத்து புள்ளிகளிலும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது.

நிலை 1 $c<1$ என்றால், பிறகு $f(c)=c+2$. எனவே, $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(x+2)=c+2$

எனவே, $f$ ஆனது 1 ஐ விடக் குறைவான அனைத்து மெய் எண்களிலும் தொடர்ச்சியாக உள்ளது.

நிலை 2 $c>1$ என்றால், பிறகு $f(c)=c-2$. எனவே,

$ \lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(x-2)=c-2=f(c) $

எனவே, $f$ ஆனது அனைத்து புள்ளிகள் $x>1$ இலும் தொடர்ச்சியாக உள்ளது.

நிலை 3 $c=1$ என்றால், பிறகு $f$ இன் $x=1$ இல் இடது கை எல்லை

$$ \lim _{x \to 1^{-}} f(x)=\lim _{x \to 1^{-}}(x+2)=1+2=3 $$

$f$ இன் $x=1$ இல் வலது கை எல்லை

$$ \lim _{x \to 1^{+}} f(x)=\lim _{x \to 1^{+}}(x-2)=1-2=-1 $$

$f$ இன் $x=1$ இல் இடது மற்றும் வலது கை எல்லைகள் ஒத்துப்போகாததால், $f$ ஆனது $x=1$ இல் தொடர்ச்சியாக இல்லை. எனவே

படம் 5.4

$x=1$ ஆனது $f$ இன் ஒரே தொடர்ச்சியற்ற புள்ளியாகும். சார்பின் வரைபடம் படம் 5.4 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 11 $f$ ஆல் வரையறுக்கப்பட்ட சார்பின் அனைத்து தொடர்ச்சியற்ற புள்ளிகளையும் கண்டறியவும்

$$ f(x)=\begin{cases} x+2, \text{ if } x<1 \\ 0, \text{ if } \quad x=1 \\ x-2, \text{ if } x>1 \end{cases}. $$

தீர்வு முந்தைய எடுத்துக்காட்டில் உள்ளதைப் போல, $f$ ஆனது அனைத்து மெய் எண்கள் $x \neq 1$ இலும் தொடர்ச்சியாக உள்ளது என்பதைக் காண்கிறோம். $f$ இன் $x=1$ இல் இடது கை எல்லை

$ \lim _{x \to 1^{-}} f(x)=\lim _{x \to 1^{-}}(x+2)=1+2=3 $

$f$ இன் $x=1$ இல் வலது கை எல்லை

$ \lim _{x \to 1^{+}} f(x)=\lim _{x \to 1^{+}}(x-2)=1-2=-1 $

$f$ இன் $x=1$ இல் இடது மற்றும் வலது கை எல்லைகள் ஒத்துப்போகாததால், $f$ ஆனது $x=1$ இல் தொடர்ச்சியாக இல்லை. எனவே $x=1$ ஆனது $f$ இன் ஒரே தொடர்ச்சியற்ற புள்ளியாகும். சார்பின் வரைபடம் படம் 5.5 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

படம் 5.5

எடுத்துக்காட்டு 12 பின்வருமாறு வரையறுக்கப்பட்ட சார்பின் தொடர்ச்சியை விவாதிக்கவும்

$$ f(x)=\begin{cases} x+2, \text{ if } x<0 \\ -x+2, \text{ if } x>0 \end{cases}. $$

தீர்வு சார்பு 0 ஐத் தவிர அனைத்து மெய் எண்களிலும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது என்பதைக் கவனிக்கவும். இந்தச் சார்பின் வரையறையின் ஆட்களம்

$ \begin{aligned} D_1 \cup D_2 \text{ where } D_1 & =\{x \in \mathbf{R}: x<0\} \text{ and } \\ & D_2=\{x \in \mathbf{R}: x>0\} \end{aligned} $

நிலை 1

$\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(x+2) \text= c + 2 = f (c)$ என்றால் மற்றும் எனவே $f$ ஆனது $D_1$ இல் தொடர்ச்சியாக உள்ளது

நிலை 2

$ If c \in D_2, then \lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(-x+2) =-c+2=f(c) $

மற்றும் எனவே $f$ ஆனது $D_2$ இல் தொடர்ச்சியாக உள்ளது. $f$ ஆனது $f$ இன் ஆட்களத்தில் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளிலும் தொடர்ச்சியாக இருப்பதால், $f$ ஆனது தொடர்ச்சியானது என்று தீர்மானிக்கிறோம். இந்தச் சார்பின் வரைபடம் படம் 5.6 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இந்தச் சார்பை வரைபடமாக்க, காகிதத்தின் தளத்திலிருந்து பேனாவைத் தூக்க வேண்டும் என்பதைக் கவனிக்கவும்

படம் 5.6 ஆனால், சார்பு வரையறுக்கப்படாத புள்ளிகளுக்கு மட்டுமே அதைச் செய்ய வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 13 $f$ ஆல் கொடுக்கப்பட்ட சார்பின் தொடர்ச்சியை விவாதிக்கவும்

$$ f(x)= \begin{cases}x, & \text { or } x \geq 0 \\ x^{2}, & \text { or } x<0\end{cases} $$

தீர்வு தெளிவாக சார்பு ஒவ்வொரு மெய் எண்ணிலும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. சார்பின் வரைபடம் படம் 5.7 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஆய்வின் மூலம், $f$ இன் வரையறையின் ஆட்களத்தை மெய் கோட்டின் மூன்று வெட்டாத உட்கணங்களாகப் பிரிப்பது விவேகமானது என்று தெரிகிறது.

$\qquad \begin{aligned}& D_1={x \in \mathbf{R}: x<0}, D_2={0} \text{ and } \& D_3={x \in \mathbf{R}: x>0}\end{aligned}$ என்க

படம் 5.7

நிலை 1 $D_1$ இல் உள்ள எந்தப் புள்ளியிலும், நம்மிடம் $f(x)=x^{2}$ உள்ளது மற்றும் அது அங்கு தொடர்ச்சியாக உள்ளது என்பதைப் பார்ப்பது எளிது (எடுத்துக்காட்டு 2 ஐப் பார்க்கவும்).

நிலை 2 $D_3$ இல் உள்ள எந்தப் புள்ளியிலும், நம்மிடம் $f(x)=x$ உள்ளது மற்றும் அது அங்கு தொடர்ச்சியாக உள்ளது என்பதைப் பார்ப்பது எளிது (எடுத்துக்காட்டு 6 ஐப் பார்க்கவும்).

நிலை 3 இப்போது நாம் $x=0$ இல் சார்பைப் பகுப்பாய்வு செய்கிறோம். 0 இல் சார்பின் மதிப்பு $f(0)=0$ ஆகும். $f$ இன் 0 இல் இடது கை எல்லை

$$ \lim _{x \to 0^{-}} f(x)=\lim _{x \to 0^{-}} x^{2}=0^{2}=0 $$

$f$ இன் 0 இல் வலது கை எல்லை

$$ \lim _{x \to 0^{+}} f(x)=\lim _{x \to 0^{+}} x=0 $$

எனவே $\lim _{x \to 0} f(x)=0=f(0)$ மற்றும் எனவே $f$ ஆனது 0 இல் தொடர்ச்சியாக உள்ளது. இதன் பொருள் $f$ ஆனது அதன் ஆட்களத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் தொடர்ச்சியாக உள்ளது மற்றும் எனவே, $f$ ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பு ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 14 ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவைச் சார்பும் தொடர்ச்சியானது என்பதை