“கல்குலஸை ஒரு சாவியாகக் கொண்டு, கணிதத்தை இயற்கையின் நிகழ்வுகளை விளக்குவதில் வெற்றிகரமாகப் பயன்படுத்தலாம்.” - வைட்ஹெட்

6.1 அறிமுகம்

அத்தியாயம் 5-ல், சேர்ப்பு சார்புகள், நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள், மறைமுக சார்புகள், அடுக்குக்குறிச் சார்புகள் மற்றும் மடக்கைச் சார்புகளின் வகைக்கெழுவை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதைக் கற்றோம். இந்த அத்தியாயத்தில், வகைக்கெழுவின் பயன்பாடுகளைப் பல்வேறு துறைகளில், எ.கா., பொறியியல், அறிவியல், சமூக அறிவியல் மற்றும் பல பிற துறைகளில் படிப்போம். உதாரணமாக, வகைக்கெழுவை எவ்வாறு பயன்படுத்தலாம் என்பதைக் கற்றுக் கொள்வோம் (i) அளவுகளின் மாறுவீதத்தைத் தீர்மானிக்க, (ii) ஒரு வளைவரையின் ஒரு புள்ளியில் தொடுகோடு மற்றும் இயல்நிலைக்கோட்டின் சமன்பாடுகளைக் கண்டறிய, (iii) ஒரு சார்பின் வரைபடத்தில் திருப்புப் புள்ளிகளைக் கண்டறிய, இது ஒரு சார்பின் மிகப்பெரிய அல்லது மிகச்சிறிய மதிப்பு (உள்ளூரில்) ஏற்படும் புள்ளிகளைக் கண்டறிய உதவும். ஒரு சார்பு எந்த இடைவெளிகளில் அதிகரிக்கிறது அல்லது குறைகிறது என்பதைக் கண்டறியவும் வகைக்கெழுவைப் பயன்படுத்துவோம். இறுதியாக, சில அளவுகளின் தோராய மதிப்பைக் கண்டறிய வகைக்கெழுவைப் பயன்படுத்துவோம்.

6.2 அளவுகளின் மாறுவீதம்

வகைக்கெழு $\\ \frac{ds}{dt} $ என்பது தூரத்தின் $s$ மாறுவீதத்தை நேரத்தைப் பொறுத்து $t$ குறிக்கிறது என்பதை நினைவுகூருங்கள். இதேபோல், ஒரு அளவு $y$ மற்றொரு அளவுடன் $x$ மாறும்போது, சில விதியைப் பின்பற்றி $y=f(x)$, பிறகு $\frac{d y}{d x}$ (அல்லது $f^{\prime}(x)$) என்பது $y$ இன் மாறுவீதத்தை $x$ ஐப் பொறுத்து குறிக்கிறது மற்றும் $\frac{d y}{d x} _{x=x_0}(.$ அல்லது $.f^{\prime}(x_0))$ என்பது $y$ இன் மாறுவீதத்தை $x$ ஐப் பொறுத்து $x=x_0$ இல் குறிக்கிறது.

மேலும், இரண்டு மாறிகள் $x$ மற்றும் $y$ மற்றொரு மாறி $t$ ஐப் பொறுத்து மாறினால், அதாவது $x=f(t)$ மற்றும் $y=g(t)$ எனில், சங்கிலி விதிப்படி

$$ \frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d t} / \frac{d x}{d t}, \text{ if } \frac{d x}{d t} \neq 0 $$

எனவே, $y$ இன் மாறுவீதத்தை $x$ ஐப் பொறுத்து $y$ மற்றும் $x$ ஆகிய இரண்டின் மாறுவீதத்தையும் $t$ ஐப் பொறுத்து பயன்படுத்திக் கணக்கிடலாம்.

சில எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1 ஒரு வட்டத்தின் பரப்பளவின் மாறுவீதத்தை வினாடிக்கு அதன் ஆரம் $r$ ஐப் பொறுத்து, $r=5 cm$ ஆக இருக்கும்போது காண்க.

தீர்வு ஆரம் $r$ கொண்ட வட்டத்தின் பரப்பளவு A என்பது $A=\pi r^{2}$ ஆல் தரப்படுகிறது. எனவே, பரப்பளவு A இன் மாறுவீதம் அதன் ஆரம் $r$ ஐப் பொறுத்து $\frac{d A}{d r}=\frac{d}{d r}(\pi r^{2})=2 \pi r$ ஆல் தரப்படுகிறது. $r=5 cm, \frac{d A}{d r}=10 \pi$ ஆக இருக்கும்போது. எனவே, வட்டத்தின் பரப்பளவு $10 \pi cm^{2} / s$ என்ற விகிதத்தில் மாறுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 2 ஒரு கனசதுரத்தின் கனஅளவு வினாடிக்கு 9 கன சென்டிமீட்டர் என்ற விகிதத்தில் அதிகரிக்கிறது. ஒரு விளிம்பின் நீளம் 10 சென்டிமீட்டர் ஆக இருக்கும்போது, புறப்பரப்பு எவ்வளவு வேகமாக அதிகரிக்கிறது?

தீர்வு $x$ பக்கத்தின் நீளமாகவும், $V$ கனஅளவாகவும், $S$ கனசதுரத்தின் புறப்பரப்பாகவும் இருக்கட்டும். பிறகு, $V=x^{3}$ மற்றும் $S=6 x^{2}$, இங்கு $x$ என்பது நேரத்தின் சார்பு $t$.

இப்போது $ \qquad \frac{d V}{d t}=9 cm^{3} / s$ (கொடுக்கப்பட்டது)

எனவே $ \qquad 9=\frac{d V}{d t}=\frac{d}{d t}(x^{3})=\frac{d}{d x}(x^{3}) \cdot \frac{d x}{d t} \quad(\text{ By Chain Rule })$

அல்லது $ \qquad =3 x^{2} \cdot \frac{d x}{d t} $

இப்போது $ \qquad \frac{d x}{d t}=\frac{3}{x^{2}} \tag{1}$

$$ \begin{array}{rlr} \frac{d S}{d t} & =\frac{d}{d t}\left(6 x^{2}\right)=\frac{d}{d x}\left(6 x^{2}\right) \cdot \frac{d x}{d t} & \text { (By Chain Rule) } \\ & =12 x \cdot\left(\frac{3}{x^{2}}\right)=\frac{36}{x} & \text { (Using (1) ) } \end{array} $$

எனவே, எப்போது $ x=10 \mathrm{~cm}, \frac{d S}{d t}=3.6 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} $

எடுத்துக்காட்டு 3 ஒரு கல்லை அமைதியான ஏரியில் போட்டால், அலைகள் வட்டங்களாக $4 cm$ வினாடிக்கு என்ற வேகத்தில் நகரும். வட்ட அலையின் ஆரம் $10 cm$ ஆக இருக்கும் தருணத்தில், சூழப்பட்ட பரப்பளவு எவ்வளவு வேகமாக அதிகரிக்கிறது?

தீர்வு ஆரம் $A$ கொண்ட வட்டத்தின் பரப்பளவு A என்பது $r$ ஆல் தரப்படுகிறது. எனவே, பரப்பளவு A இன் மாறுவீதம் நேரத்தைப் பொறுத்து $t$ ஆகும்

$$ \frac{d \mathrm{~A}}{d t}=\frac{d}{d t}\left(\pi r^{2}\right)=\frac{d}{d r}\left(\pi r^{2}\right) \cdot \frac{d r}{d t}=2 \pi r \frac{d r}{d t} $$

$\frac{d r}{d t}=4 \mathrm{~cm}$ என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது

எனவே, $ r=10 \mathrm{~cm} $ $ \frac{d \mathrm{~A}}{d t}=2 \pi(10)(4)=80 \pi $

எனவே, சூழப்பட்ட பரப்பளவு $80 \pi cm^{2} / s$ என்ற விகிதத்தில் அதிகரிக்கிறது, $r=10 cm$ ஆக இருக்கும்போது.

குறிப்பு $\frac{d y}{d x}$ என்பது நேர்மறையாக இருக்கும், $y$ அதிகரிக்கும் போது $x$ அதிகரித்தால்; மற்றும் எதிர்மறையாக இருக்கும், $y$ அதிகரிக்கும் போது $x$ குறைந்தால்.

எடுத்துக்காட்டு 4 ஒரு செவ்வகத்தின் நீளம் $x$ $3 cm /$ நிமிடம் என்ற விகிதத்தில் குறைகிறது மற்றும் அகலம் $y$ $2 cm /$ நிமிடம் என்ற விகிதத்தில் அதிகரிக்கிறது. $x=10 cm$ மற்றும் $y=6 cm$ ஆக இருக்கும்போது, (அ) சுற்றளவு மற்றும் (ஆ) செவ்வகத்தின் பரப்பளவின் மாறுவீதங்களைக் காண்க.

தீர்வு நீளம் $x$ நேரத்தைப் பொறுத்து குறைவதாலும், அகலம் $y$ அதிகரிப்பதாலும், நம்மிடம் உள்ளது

$$ \frac{d x}{d t}=-3 \mathrm{~cm} / \mathrm{min} \text { or } \frac{d y}{d t}=2 \mathrm{~cm} / \mathrm{min} $$

(அ) ஒரு செவ்வகத்தின் சுற்றளவு $P$ என்பது

$$ \mathrm{P}=2(x+y) $$

எனவே $ \frac{d \mathrm{P}}{d t}=2\left(\frac{d x}{d t}+\frac{d y}{d t}\right)=2(-3+2)=-2 \mathrm{~cm} / \mathrm{min} $

(ஆ) செவ்வகத்தின் பரப்பளவு $A$ என்பது

$ A=x \cdot y $

எனவே $ \begin{aligned} \frac{d \mathrm{~A}}{d t} & =\frac{d x}{d t} \cdot y+x \cdot \frac{d y}{d t} \\ & =-3(6)+10(2)(\text { because } x=10 \mathrm{~cm} \text { and } y=6 \mathrm{~cm}) \\ & =2 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{min} \end{aligned} $

எடுத்துக்காட்டு 5 $x$ அலகுகள் உற்பத்தியுடன் தொடர்புடைய மொத்த செலவு ⟦115�ம் ரூபாயில், கொடுக்கப்பட்டுள்ளது

$$ C(x)=0.005 x^{3}-0.02 x^{2}+30 x+5000 $$

3 அலகுகள் உற்பத்தி செய்யப்படும்போது இறுதிநிலைச் செலவைக் காண்க, இங்கு இறுதிநிலைச் செலவு என்பது எந்தவொரு வெளியீட்டு மட்டத்திலும் மொத்த செலவின் கணத் தருண மாறுவீதம் ஆகும்.

தீர்வு இறுதிநிலைச் செலவு என்பது மொத்த செலவின் வெளியீட்டைப் பொறுத்து மாறுவீதம் என்பதால், நம்மிடம் உள்ளது

$ \begin{aligned} \text{ Marginal } \qquad \mathrm{MC} & =\frac{d \mathrm{C}}{d x}=0.005\left(3 x^{2}\right)-0.02(2 x)+30 \\ \text{ When } \qquad \mathrm{MC} & =0.015\left(3^{2}\right)-0.04(3)+30 \\ & =0.135-0.12+30=30.015 \end{aligned} $

எனவே, தேவையான இறுதிநிலைச் செலவு ₹ 30.02 (தோராயமாக).

எடுத்துக்காட்டு 6 $x$ அலகுகள் ஒரு பொருளின் விற்பனையிலிருந்து பெறப்பட்ட மொத்த வருவாய் $R(x)=3 x^{2}+36 x+5$ ஆல் தரப்படுகிறது. $x=5$ ஆக இருக்கும்போது இறுதிநிலை வருவாயைக் காண்க, இங்கு இறுதிநிலை வருவாய் என்பது ஒரு தருணத்தில் விற்கப்பட்ட பொருட்களின் எண்ணிக்கையைப் பொறுத்து மொத்த வருவாயின் மாறுவீதம் ஆகும்.

தீர்வு இறுதிநிலை வருவாய் என்பது மொத்த வருவாயின் விற்கப்பட்ட அலகுகளின் எண்ணிக்கையைப் பொறுத்து மாறுவீதம் என்பதால், நம்மிடம் உள்ளது

$ \begin{aligned} \text{ Marginal Revenue } \qquad (MR) & =\frac{d R}{d x}=6 x+36 \end{aligned} $ $ \begin{aligned} \text{ when } \qquad x & =5, MR=6(5)+36=66 \end{aligned} $

எனவே, தேவையான இறுதிநிலை வருவாய் ₹ 66.

6.3 அதிகரிக்கும் மற்றும் குறையும் சார்புகள்

இந்தப் பிரிவில், ஒரு சார்பு அதிகரிக்கிறதா, குறைகிறதா அல்லது இல்லையா என்பதைக் கண்டறிய வகையீட்டைப் பயன்படுத்துவோம்.

$f$ ஆல் தரப்படும் சார்பு $f(x)=x^{2}, x \in \mathbf{R}$ ஐக் கருத்தில் கொள்வோம். இந்தச் சார்பின் வரைபடம் படம் 6.1 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளபடி ஒரு பரவளையமாகும்.

தொடக்கப் புள்ளிக்கு இடது பக்க மதிப்புகள்

இடமிருந்து வலமாக நகரும் போது, வரைபடத்தின் உயரம் குறைகிறது

இடமிருந்து வலமாக நகரும் போது, வரைபடத்தின் உயரம் அதிகரிக்கிறது தொடக்கப் புள்ளிக்கு வலது பக்க மதிப்புகள்

முதலில் தொடக்கப் புள்ளிக்கு வலப்புறம் உள்ள வரைபடத்தை (படம் 6.1) கருத்தில் கொள்வோம். வரைபடத்தில் இடமிருந்து வலமாக நகரும் போது, வரைபடத்தின் உயரம் தொடர்ச்சியாக அதிகரிக்கிறது என்பதைக் கவனிக்கவும். இந்தக் காரணத்திற்காக, சார்பு மெய்யெண்கள் $x>0$ க்கு அதிகரிக்கிறது என்று கூறப்படுகிறது.

இப்போது தொடக்கப் புள்ளிக்கு இடப்புறம் உள்ள வரைபடத்தைக் கருத்தில் கொண்டு, இங்கே இடமிருந்து வலமாக நகரும் போது, வரைபடத்தின் உயரம் தொடர்ச்சியாக குறைகிறது என்பதைக் கவனிக்கவும். இதன் விளைவாக, சார்பு மெய்யெண்கள் $x<0$ க்கு குறைகிறது என்று கூறப்படுகிறது.

ஒரு சார்பு ஒரு இடைவெளியில் அதிகரிக்கிறதா அல்லது குறைகிறதா என்பதற்கான பகுப்பாய்வு வரையறைகளை இப்போது தருவோம்.

வரையறை 1 I என்பது ஒரு மெய்மதிப்புச் சார்பு $f$ இன் ஆட்களத்தில் அடங்கிய ஒரு இடைவெளியாக இருக்கட்டும். பிறகு $f$ என்பது

(i) I இல் அதிகரிக்கும் என்று சொல்லப்படும், I இல் $x_1<x_2$ எனில் அனைத்து $x_1, x_2 \in I$ க்கும்.

(ii) $I$ இல் குறையும் என்று சொல்லப்படும், I இல் $x_1, x_2$ எனில் அனைத்து $x_1, x_2 \in I$ க்கும்.

(iii) $I$ இல் மாறிலி என்று சொல்லப்படும், அனைத்து $x \in I$ க்கும் $f(x)=c$ எனில், இங்கு $c$ ஒரு மாறிலி.

(iv) I இல் குறையும் என்று சொல்லப்படும், I இல் $x_1<x_2$ எனில் அனைத்து $x_1, x_2 \in I$ க்கும்.

(v) I இல் கண்டிப்பாக குறையும் என்று சொல்லப்படும், I இல் $x_1<x_2$ எனில் அனைத்து $x_1, x_2 \in I$ க்கும்.

இத்தகைய சார்புகளின் வரைகலைப் பிரதிநிதித்துவத்திற்கு படம் 6.2 ஐப் பார்க்கவும்.

ஒரு சார்பு ஒரு புள்ளியில் எப்போது அதிகரிக்கிறது அல்லது குறைகிறது என்பதை இப்போது வரையறுப்போம்.

வரையறை 2 $x_0$ ஒரு மெய்மதிப்புச் சார்பு $f$ இன் ஆட்கள வரையறையில் ஒரு புள்ளியாக இருக்கட்டும். பிறகு $f$, $x_0$ இல் அதிகரிக்கிறது, குறைகிறது என்று சொல்லப்படும், $x_0$ ஐக் கொண்ட ஒரு திறந்த இடைவெளி I இருக்குமானால், முறையே I இல் $f$ அதிகரிக்கிறது, குறைகிறது.

அதிகரிக்கும் சார்புக்கான இந்த வரையறையைத் தெளிவுபடுத்துவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 7 $f(x)=7 x-3$ ஆல் தரப்படும் சார்பு $\mathbf{R}$ இல் அதிகரிக்கிறது எனக் காட்டுக.

தீர்வு $x_1$ மற்றும் $x_2$ ஆகியவை $\mathbf{R}$ இல் உள்ள ஏதேனும் இரண்டு எண்களாக இருக்கட்டும். பிறகு

$$ \begin{aligned} x _{1}<x _{2} & \Rightarrow 7 x _{1}<7 x _{2} \\ & \Rightarrow 7 x _{1}-3<7 x _{2}-3 \\ & \Rightarrow f\left(x _{1}\right)<f\left(x _{2}\right) \end{aligned} $$

எனவே, வரையறை 1 இன் படி, $f$ என்பது $\mathbf{R}$ இல் கண்டிப்பாக அதிகரிக்கிறது.

அதிகரிக்கும் மற்றும் குறையும் சார்புகளுக்கான முதல் வகைக்கெழுச் சோதனையை இப்போது தருவோம். இந்தச் சோதனையின் நிறுவல் அத்தியாயம் 5 இல் படித்த சராசரி மதிப்புத் தேற்றத்தைத் தேவைப்படுத்துகிறது.

தேற்றம் 1 $f$ ஆனது $[a, b]$ இல் தொடர்ச்சியாகவும், திறந்த இடைவெளி $(a, b)$ இல் வகையிடத்தக்கதாகவும் இருக்கட்டும். பிறகு

(அ) $f$ என்பது $[a, b]$ இல் அதிகரிக்கும், ஒவ்வொரு $x \in(a, b)$ க்கும் $f^{\prime}(x)>0$ எனில்

(ஆ) $f$ என்பது $[a, b]$ இல் குறையும், ஒவ்வொரு $x \in(a, b)$ க்கும் $f^{\prime}(x)<0$ எனில்

(இ) $f$ என்பது $[a, b]$ இல் ஒரு மாறிலிச் சார்பு, ஒவ்வொரு $x \in(a, b)$ க்கும் $f^{\prime}(x)=0$ எனில்

நிறுவல் (அ) $x_1, x_2 \in[a, b]$ என்பது $x_1<x_2$ ஆக இருக்குமாறு இருக்கட்டும்.

பிறகு, சராசரி மதிப்புத் தேற்றத்தின்படி (அத்தியாயம் 5 இல் தேற்றம் 8), $x_1$ மற்றும் $x_2$ க்கு இடையே ஒரு புள்ளி $c$ உள்ளது, அதாவது

$$ f\left(x _{2}\right)-f\left(x _{1}\right)=f^{\prime}(c)\left(x _{2}-x _{1}\right) $$

அதாவது $\begin{array}{ll} f\left(x _{2}\right)-f\left(x _{1}\right)>0 & \left(\text { given } f^{\prime}(c)>0\right) \end{array}$

அதாவது $f(x_2)>f(x_1)$

எனவே, நம்மிடம் $x_1<x_2 \quad f(x_1) \quad f(x_2), \text{ for all } x_1, x_2 \quad[a, b]$ உள்ளது

எனவே, $f$ என்பது $[a, b]$ இல் ஒரு அதிகரிக்கும் சார்பு.

பகுதி (ஆ) மற்றும் (இ) இன் நிறுவல்கள் ஒத்தவை. வாசகருக்கு பயிற்சியாக விடப்படுகிறது.

குறிப்புகள்

மிகவும் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஒரு தேற்றம் உள்ளது, அது கூறுவது: ஒரு இடைவெளியில் (ஓரப்புள்ளிகளைத் தவிர்த்து) $x$ க்கு $f \phi(x)>0$ எனவும், அந்த இடைவெளியில் $f$ தொடர்ச்சியாக இருந்தால், பிறகு $f$ அதிகரிக்கும். இதேபோல், ஒரு இடைவெளியில் (ஓரப்புள்ளிகளைத் தவிர்த்து) $x$ க்கு $f \phi(x)<0$ எனவும், அந்த இடைவெளியில் $f$ தொடர்ச்சியாக இருந்தால், பிறகு $f$ குறையும்.

எடுத்துக்காட்டு 8 $f$ ஆல் தரப்படும் சார்பு

என்பது $\mathbf{R}$ இல் அதிகரிக்கிறது எனக் காட்டுக.

$$ f(x)=x^{3}-3 x^{2}+4 x, x \in \mathbf{R} $$

தீர்வு கவனிக்கவும்

$$ \begin{aligned} f^{\prime}(x) & =3 x^{2}-6 x+4 \\ & =3(x^{2}-2 x+1)+1 \\ & =3(x-1)^{2}+1>0, \text{ in every interval of } \mathbf{R} \end{aligned} $$

எனவே, சார்பு $f$ என்பது $\mathbf{R}$ இல் அதிகரிக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டு 9 $f(x)=\cos x$ ஆல் தரப்படும் சார்பு

(அ) $(0, \pi)$ இல் குறைகிறது (ஆ) $(\pi, 2 \pi)$ இல் அதிகரிக்கிறது, மற்றும் (இ) $(0,2 \pi)$ இல் அதிகரிக்கவில்லை அல்லது குறையவில்லை

என நிரூபிக்க.

தீர்வு கவனிக்கவும் $f^{\prime}(x)=-\sin x$

(அ) ஒவ்வொரு $x \in(0, \pi), \sin x>0$ க்கும், நம்மிடம் $f^{\prime}(x)<0$ உள்ளது, எனவே $f$ என்பது $(0, \pi)$ இல் குறைகிறது.

(ஆ) ஒவ்வொரு $x \in(\pi, 2 \pi)$ க்கும், $\sin x<0$, நம்மிடம் $f^{\prime}(x)>0$ உள்ளது, எனவே $f$ என்பது $(\pi, 2 \pi)$ இல் அதிகரிக்கிறது.

(இ) மேலே (அ) மற்றும் (ஆ) இலிருந்து தெளிவாக, $f$ என்பது $(0,2 \pi)$ இல் அதிகரிக்கவில்லை அல்லது குறையவில்லை.

எடுத்துக்காட்டு 10 $f$ ஆல் தரப்படும் சார்பு $f(x)=x^{2}-4 x+6$ எந்த இடைவெளிகளில் (அ) அதிகரிக்கிறது (ஆ) குறைகிறது எனக் காண்க.

தீர்வு நம்மிடம் உள்ளது

$$ f(x)=x^{2}-4 x+6 $$ $ or \qquad f^{\prime}(x)=2 x-4 $

எனவே, $f^{\prime}(x)=0$ என்பது $x=2$ ஐத் தருகிறது. இப்போது புள்ளி $x=2$ மெய்க்கோட்டை இரண்டு பிரிக்கப்பட்ட இடைவெளிகளாகப் பிரிக்கிறது, அதாவது $(-\infty, 2)$ மற்றும் $(2, \infty)$ (படம் 6.3). இடைவெளி $(-\infty, 2), f^{\prime}(x)=2 x$ இல் $-4<0$.

எனவே, $f$ இந்த இடைவெளியில் குறைகிறது. மேலும், இடைவெளி $(2, \infty), f^{\prime}(x)>0$ இல் மற்றும் சார்பு $f$ இந்த இடைவெளியில் அதிகரிக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டு 11 $f$ ஆல் தரப்படும் சார்பு $f(x)=4 x^{3}-6 x^{2}-72 x$ +30 எந்த இடைவெளிகளில் (அ) அதிகரிக்கிறது (ஆ) குறைகிறது எனக் காண்க.

தீர்வு நம்மிடம் உள்ளது

$$ \text{ or } \quad \begin{aligned} f(x) & =4 x^{3}-6 x^{2}-72 x+30 \\ f^{\prime}(x) & =12 x^{2}-12 x-72 \\ & =12(x^{2}-x-6) \\ & =12(x-3)(x+2) \end{aligned} $$

எனவே, $f^{\prime}(x)=0$ என்பது $x=-2,3$ ஐத் தருகிறது. புள்ளிகள் $x=-2$ மற்றும் $x=3$ மெய்க்கோட்டை மூன்று பிரிக்கப்பட்ட இடைவெளிகளாகப் பிரிக்கின்றன, அதாவது $(-\infty,-2),(-2,3)$

படம் 6.4 மற்றும் $(3, \infty)$.

இடைவெளிகள் $(-\infty,-2)$ மற்றும் $(3, \infty), f^{\prime}(x)$ இல் நேர்மறையாகவும், இடைவெளி $(-2,3)$ இல், $f^{\prime}(x)$ எதிர்மறையாகவும் உள்ளது. இதன் விளைவாக, சார்பு $f$ என்பது இடைவெளிகள் $(-\infty,-2)$ மற்றும் $(3, \infty)$ இல் அதிகரிக்கிறது, அதே சமயம் சார்பு இடைவெளி $(-2,3)$ இல் குறைகிறது. எனினும், $f$ என்பது $\mathbf{R}$ இல் அதிகரிக்கவில்லை அல்லது குறையவில்லை.

எடுத்துக்காட்டு 12 $f(x)=\sin 3 x, x \in 0, \frac{\pi}{2}$ ஆல் தரப்படும் சார்பு எந்த இடைவெளிகளில் (அ) அதிகரிக்கிறது (ஆ) குறைகிறது எனக் காண்க.

தீர்வு நம்மிடம் உள்ளது

$f(x) =\sin 3 x $

அல்லது $\quad f(x) =3 \cos 3 x$

எனவே, $f^{\prime}(x)=0$ என்பது $\cos 3 x=0$ ஐத் தருகிறது, இது மீண்டும் $3 x=\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}$ ஐத் தருகிறது ($x \in 0, \frac{\pi}{2}$ என்பது $3 x \in[0, \frac{3 \pi}{2}]$ ஐக் குறிக்கிறது என்பதால்). எனவே $x=\frac{\pi}{6}$ மற்றும் $\frac{\pi}{2}$. புள்ளி $x=\frac{\pi}{6}$ இடைவெளி $0, \frac{\pi}{2}$ ஐ இரண்டு பிரிக்கப்பட்ட இடைவெளிகளாகப் பிரிக்கிறது $[0, \frac{\pi}{6})$ மற்றும் $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}$.

படம் 6.5

இப்போது, அனைத்து $x \in[0, \frac{\pi}{6})$ க்கும் $f^{\prime}(x)>0$, ஏனெனில் $0 \leq x<\frac{\pi}{6} \Rightarrow 0 \leq 3 x<\frac{\pi}{2}$ மற்றும் அனைத்து $x \in(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})$ க்கும் $f^{\prime}(x)<0$, ஏனெனில் $\frac{\pi}{6}<x<\frac{\pi}{2} \Rightarrow \frac{\pi}{2}<3 x<\frac{3 \pi}{2}$.

எனவே, $f$ என்பது $[0, \frac{\pi}{6})$ இல் அதிகரிக்கிறது மற்றும் $(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})$ இல் குறைகிறது.

மேலும், கொடுக்கப்பட்ட சார்பு $x=0$ மற்றும் $x=\frac{\pi}{6}$ இல் தொடர்ச்சியாக உள்ளது. எனவே, தேற்றம் 1 இன் படி, $f$ என்பது $ [0, \frac{\pi}{6}]$ இல் அதிகரிக்கிறது மற்றும் $[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}]$ இல் குறைகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 13 $f$ ஆல் தரப்படும் சார்பு

$ f(x)=\sin x+\cos x, 0 \leq x \leq 2 \pi $

எந்த இடைவெளிகளில் அதிகரிக்கிறது அல்லது குறைகிறது எனக் காண்க.

தீர்வு நம்மிடம் உள்ளது

$$ \begin{array}{lrlr} & f(x) & =\sin x+\cos x, \quad 0 \leq x \leq 2 \pi \\ \text{or }&f^{\prime}(x) & =\cos x-\sin x & \end{array} $$

இப்போது $f^{\prime}(x)=0$ என்பது $\sin x=\cos x$ ஐத் தருகிறது, இது $x=\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}$ என்பதைத் தருகிறது, ஏனெனில் $0 \leq x \leq 2 \pi$

புள்ளிகள் $x=\frac{\pi}{4}$ மற்றும் $x=\frac{5 \pi}{4}$ இடைவெளி $[0,2 \pi]$ ஐ மூன்று பிரிக்கப்பட்ட இடைவெளிகளாகப் பிரிக்கின்றன,

அதாவது, $[0, \frac{\pi}{4}), \frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}$ மற்றும் $(\frac{5 \pi}{4}, 2 \pi]$.

படம் 6.6

கவனிக்கவும் $f^{\prime}(x)>0$, $x \in[0, \frac{\pi}{4}) \cup(\frac{5 \pi}{4}, 2 \pi]$ எனில்

அல்லது $\quad f$ என்பது இடைவெளிகள் $[0, \frac{\pi}{4})$ மற்றும் $(\frac{5 \pi}{4}, 2 \pi]$ இல் அதிகரிக்கிறது

மேலும் $\quad f^{\prime}(x)<0$, $x \in \frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}$ எனில்

அல்லது $\quad f$ என்பது $\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}$ இல் குறைகிறது

6.4 பெருமம் மற்றும் சிறுமம்

இந்தப் பிரிவில், பல்வேறு சார்புகளின் அதிகபட்ச அல்லது குறைந்தபட்ச மதிப்புகளைக் கணக்கிட வகைக்கெழுக்களின் கருத்தைப் பயன்படுத்துவோம். உண்மையில், ஒரு சார்பின் வரைபடத்தின் ‘திருப்புப் புள்ளிகளை’ கண்டறிந்து, வரைபடம் அதன் உள்ளூர் உயர்ந்த (அல்லது குறைந்த) புள்ளியை அடையும் புள்ளிகளைக் கண்டறிவோம். இத்தகைய புள்ளிகளின் அறிவு கொடுக்கப்பட்ட சார்பின் வரைபடத்தை வரைவதில் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். மேலும், ஒரு சார்பின் முழுமையான அதிகபட்சம் மற்றும் முழுமையான குறைந்தபட்சத்தையும் கண்டறிவோம், இது பல பயன்பாட்டுச் சிக்கல்களின் தீர்வுக்கு அவசியம்.

அன்றாட வாழ்க்கையில் எழும் பின்வரும் சிக்கல்களைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

(i) ஆரஞ்சு மரங்களின் ஒரு தோட்டத்திலிருந்து கிடைக்கும் லாபம் $P(x)=a x+b x^{2}$ ஆல் தரப்படுகிறது, இங்கு $a, b$ மாறிலிகள் மற்றும் $x$ என்பது ஏக்கருக்கு ஆரஞ்சு மரங்களின் எண்ணிக்கை. ஏக்கருக்கு எத்தனை மரங்கள் லாபத்தை அதிகரிக்கும்?

(ii) 60 மீட்டர் உயரமுள்ள ஒரு கட்டிடத்திலிருந்து காற்றில் எறியப்பட்ட ஒரு பந்து, $h(x)=60+x-\frac{x^{2}}{60}$ ஆல் தரப்படும் பாதையில் பயணிக்கிறது, இங்கு $x$ என்பது கட்டிடத்திலிருந்து கிடைமட்டத் தூரம் மற்றும் $h(x)$ என்பது பந்தின் உயரம். பந்து அடையும் அதிகபட்ச உயரம் என்ன?

(iii