ஒரு மலையேறுபவர் ஒரு மலையை ஏறுவது போல - அது அங்கே இருப்பதால், ஒரு நல்ல கணித மாணவர் புதிய பொருளைப் படிப்பது அது அங்கே இருப்பதால் தான். - ஜேம்ஸ் பி. பிரிஸ்டல்

7.1 அறிமுகம்

வகை நுண்கணிதம் என்பது வகைக்கெழு என்ற கருத்தை மையமாகக் கொண்டது. வகைக்கெழுவுக்கான அசல் உந்துதல், சார்புகளின் வரைபடங்களுக்கு தொடுகோடுகளை வரையறுப்பதற்கான பிரச்சனை மற்றும் அத்தகைய கோடுகளின் சாய்வைக் கணக்கிடுவதாகும். தொகை நுண்கணிதம், சார்புகளின் வரைபடத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட பகுதியின் பரப்பளவை வரையறுத்து கணக்கிடுவதற்கான பிரச்சனையால் உந்தப்படுகிறது.

ஒரு சார்பு $f$ ஒரு இடைவெளியில் $I$ வகையிடத்தக்கதாக இருந்தால், அதாவது, அதன் வகைக்கெழு $f$ ’ என்பது $I$ இன் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் இருக்கும், பின்னர் ஒரு இயற்கையான கேள்வி எழுகிறது, I இன் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் $f^{\prime}$ கொடுக்கப்பட்டால், நாம் சார்பைத் தீர்மானிக்க முடியுமா? கொடுக்கப்பட்ட சார்பை வகைக்கெழுவாக கொண்டிருக்கக்கூடிய சார்புகள், சார்பின் எதிர் வகைக்கெழுக்கள் (அல்லது முதன்மை) என்று அழைக்கப்படுகின்றன. மேலும், கொடுக்கும் சூத்திரம்

ஜி.டபிள்யூ. லீப்னிட்ஸ் (1646 - 1716)

இந்த எல்லா எதிர் வகைக்கெழுக்களும் சார்பின் காலவரையற்ற தொகையீடு என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் எதிர் வகைக்கெழுக்களைக் கண்டறிவதற்கான இத்தகைய செயல்முறை தொகையீடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. இத்தகைய பிரச்சனைகள் பல நடைமுறை சூழ்நிலைகளில் எழுகின்றன. உதாரணமாக, எந்த நேரத்திலும் ஒரு பொருளின் உடனடி திசைவேகம் நமக்குத் தெரிந்தால், ஒரு இயற்கையான கேள்வி எழுகிறது, அதாவது, எந்த நேரத்திலும் பொருளின் நிலையை நாம் தீர்மானிக்க முடியுமா? தொகையீட்டு செயல்முறை ஈடுபட்டுள்ள பல நடைமுறை மற்றும் கோட்பாட்டு சூழ்நிலைகள் உள்ளன. தொகை நுண்கணிதத்தின் வளர்ச்சி பின்வரும் வகைகளின் பிரச்சனைகளைத் தீர்ப்பதற்கான முயற்சிகளிலிருந்து எழுகிறது:

(அ) அதன் வகைக்கெழு கொடுக்கப்படும் போது ஒரு சார்பைக் கண்டறிவதில் உள்ள பிரச்சனை,

(ஆ) சில நிபந்தனைகளின் கீழ் ஒரு சார்பின் வரைபடத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட பகுதியைக் கண்டறிவதில் உள்ள பிரச்சனை.

இந்த இரண்டு பிரச்சனைகளும் இரண்டு வகையான தொகையீடுகளுக்கு வழிவகுக்கின்றன, எ.கா., காலவரையற்ற மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட தொகையீடுகள், அவை சேர்ந்து தொகை நுண்கணிதத்தை உருவாக்குகின்றன.

காலவரையற்ற தொகையீடு மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட தொகையீடு ஆகியவற்றுக்கு இடையே அடிப்படைத் தேற்றம் என்று அழைக்கப்படும் ஒரு தொடர்பு உள்ளது, இது வரையறுக்கப்பட்ட தொகையீட்டை அறிவியல் மற்றும் பொறியியலுக்கான நடைமுறைக் கருவியாக மாற்றுகிறது. வரையறுக்கப்பட்ட தொகையீடு பொருளாதாரம், நிதி மற்றும் நிகழ்தகவு போன்ற பல்வேறு துறைகளிலிருந்து பல சுவாரஸ்யமான பிரச்சனைகளைத் தீர்க்கவும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

இந்த அத்தியாயத்தில், நாம் காலவரையற்ற மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட தொகையீடுகள் மற்றும் தொகையீட்டின் சில நுட்பங்கள் உட்பட அவற்றின் அடிப்படை பண்புகளைப் படிப்பதில் மட்டுமே கவனம் செலுத்துவோம்.

7.2 வகையிடலின் தலைகீழ் செயல்முறையாக தொகையீடு

தொகையீடு என்பது வகையிடலின் தலைகீழ் செயல்முறையாகும். ஒரு சார்பை வகையிடுவதற்குப் பதிலாக, ஒரு சார்பின் வகைக்கெழு நமக்குக் கொடுக்கப்பட்டு, அதன் முதன்மையானது, அதாவது அசல் சார்பைக் கண்டுபிடிக்கும்படி கேட்கப்படுகிறோம். இத்தகைய செயல்முறை தொகையீடு அல்லது எதிர் வகையிடல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. பின்வரும் உதாரணங்களைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

$\text{ நமக்குத் தெரியும் }\quad \begin{equation*} \frac{d}{d x}(\sin x)=\cos x \tag{1} \end{equation*} $

$$ \begin{equation*} \frac{d}{d x}\left(\frac{x^{3}}{3}\right)=x^{2} \tag{2} \end{equation*} $$

$\text{ மற்றும் }\quad \begin{equation*} \frac{d}{d x}\left(e^{x}\right)=e^{x} \tag{3} \end{equation*} $

(1) இல், சார்பு $\cos x$ என்பது $\sin x$ இன் வகைக்கெழுச் சார்பு என்பதை நாம் கவனிக்கிறோம். $\sin x$ என்பது $\cos x$ இன் ஒரு எதிர் வகைக்கெழு (அல்லது தொகையீடு) என்று நாம் கூறுகிறோம். இதேபோல், (2) மற்றும் (3) இல், $\frac{x^{3}}{3}$ மற்றும் $e^{x}$ ஆகியவை முறையே $x^{2}$ மற்றும் $e^{x}$ ஆகியவற்றின் எதிர் வகைக்கெழுக்கள் (அல்லது தொகையீடுகள்) ஆகும். மீண்டும், எந்த உண்மையான எண்ணுக்கும் $C$, மாறிலிச் சார்பாகக் கருதினால், அதன் வகைக்கெழு பூஜ்ஜியமாகும், எனவே, நாம் (1), (2) மற்றும் (3) ஆகியவற்றை பின்வருமாறு எழுதலாம்:

$$ \frac{d}{d x}(\sin x+C)=\cos x, \frac{d}{d x}(\frac{x^{3}}{3}+C)=x^{2} \text{ and } \frac{d}{d x}(e^{x}+C)=e^{x} $$

எனவே, மேலே குறிப்பிடப்பட்ட சார்புகளின் எதிர் வகைக்கெழுக்கள் (அல்லது தொகையீடுகள்) தனித்துவமானவை அல்ல. உண்மையில், இந்த ஒவ்வொரு சார்புகளுக்கும் எண்ணற்ற எதிர் வகைக்கெழுக்கள் உள்ளன, அவை உண்மையான எண்களின் தொகுப்பிலிருந்து $C$ ஐ தன்னிச்சையாக தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் பெறப்படலாம். இந்த காரணத்திற்காக $C$ பொதுவாக தன்னிச்சையான மாறிலி என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. உண்மையில், $C$ என்பது ஒரு அளவுருவாகும், அதை மாற்றுவதன் மூலம் கொடுக்கப்பட்ட சார்பின் வெவ்வேறு எதிர் வகைக்கெழுக்கள் (அல்லது தொகையீடுகள்) கிடைக்கும்.

பொதுவாக, ஒரு சார்பு $F$ இருந்தால், அது $\frac{d}{d x} F(x)=f(x), \forall x \in I$ (இடைவெளி) எனில், எந்த தன்னிச்சையான உண்மையான எண்ணுக்கும் $C$, (தொகையீட்டு மாறிலி என்றும் அழைக்கப்படுகிறது)

$ \frac{d}{d x}[F(x)+C]=f(x), x \in I $

எனவே, $\qquad\{F+C, C \in \mathbf{R}\} \text{ denotes a family of anti derivatives of } f \text{. }$

குறிப்பு ஒரே வகைக்கெழுக்களைக் கொண்ட சார்புகள் ஒரு மாறிலியால் வேறுபடுகின்றன. இதைக் காட்ட, $g$ மற்றும் $h$ ஆகியவை ஒரு இடைவெளி I இல் ஒரே வகைக்கெழுக்களைக் கொண்ட இரண்டு சார்புகளாக இருக்கட்டும்.

சார்பு $f=g-h$ ஐ $f(x)=g(x)-h(x), \forall x \in I$ ஆல் வரையறுக்கப்பட்டதாகக் கருதுங்கள்

பின்னர் $\qquad \frac{d f}{d x}=f^{\prime}=g^{\prime}-h^{\prime} \text{ giving } f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)-h^{\prime}(x) \forall x \in I$

அல்லது $\qquad f^{\prime}(x)=0, \forall x \in I \text{ by hypothesis, }$

அதாவது, $f$ இன் மாற்ற விகிதம் $x$ ஐப் பொறுத்து $I$ இல் பூஜ்ஜியமாகும், எனவே $f$ மாறிலியாகும்.

மேலே உள்ள குறிப்பின் பார்வையில், $\{F+C, C \in \mathbf{R}\}$ குடும்பம் $f$ இன் சாத்தியமான அனைத்து எதிர் வகைக்கெழுக்களையும் வழங்குகிறது என்று அனுமானிப்பது நியாயமானது.

நாம் ஒரு புதிய குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துகிறோம், அதாவது $\int f(x) d x$, இது எதிர் வகைக்கெழுக்களின் முழு வகுப்பையும் $f$ இன் காலவரையற்ற தொகையீடாக $x$ ஐப் பொறுத்து குறிக்கும்.

குறியீட்டில், நாம் $\int f(x) d x=F(x)+C$ என்று எழுதுகிறோம்.

குறியீடு $\frac{d y}{d x}=f(x)$ கொடுக்கப்பட்டால், நாம் $y=\int f(x) d x$ என்று எழுதுகிறோம்.

வசதிக்காக, பின்வரும் குறியீடுகள்/சொற்கள்/சொற்றொடர்களை கீழே குறிப்பிடுகிறோம்

அட்டவணை 7.1

பல முக்கியமான சார்புகளின் வகைக்கெழுக்களுக்கான சூத்திரங்கள் ஏற்கனவே நமக்குத் தெரியும். இந்த சூத்திரங்களிலிருந்து, இந்த சார்புகளின் தொகையீடுகளுக்கான தொடர்புடைய சூத்திரங்களை (தரமான சூத்திரங்கள் என்று குறிப்பிடப்படுகின்றன) உடனடியாக எழுதலாம், அவை கீழே பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன, அவை மற்ற சார்புகளின் தொகையீடுகளைக் கண்டறியப் பயன்படுத்தப்படும்.

$ \begin{array}{ll} \text{வகைக்கெழுக்கள்} & \text{தொகையீடுகள் (எதிர் வகைக்கெழுக்கள்)} \\ \\ \text{(i)} \frac{d}{d x}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=x^{n} & \int x^{n} d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+\mathrm{C}, n \neq-1 \\ \\ \text{குறிப்பாக, நாம் கவனிக்கிறோம்} & \\ \\ \frac{d}{d x}(x)=1 & \int d x=x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(ii)} \frac{d}{d x}(\sin x)=\cos x & \int \cos x d x=\sin x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(iii)} \frac{d}{d x}(-\cos x)=\sin x & \int \sin x d x=-\cos x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(iv)} \frac{d}{d x}(\tan x)=\sec ^{2} x & \int \sec ^{2} x d x=\tan x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(v)} \frac{d}{d x}(-\cot x)=\operatorname{cosec}^{2} x & \int \operatorname{cosec}^{2} x d x=-\cot x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(vi)} \frac{d}{d x}(\sec x)=\sec x \tan x & \int \operatorname{cosec} x \cot x d x=-\operatorname{cosec} x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(vii)} \frac{d}{d x}(-\operatorname{cosec} x)=\operatorname{cosec} x \cot x & \int \sec x \tan x d x=\sec x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (viii) } \frac{d}{d x}\left(\sin ^{-1} x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} & \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}=\sin ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (ix) } \frac{d}{d x}\left(-\cos ^{-1} x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} & \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}=-\cos ^{-1} x+\mathrm{C} \end{array} $

$ \begin{array}{ll} \text { (x) } \frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} x\right)=\frac{1}{1+x^{2}} & \int \frac{d x}{1+x^{2}}=\tan ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xi) } \frac{d}{d x}\left(-\cot ^{-1} x\right)=\frac{1}{1+x^{2}} & \int \frac{d x}{1+x^{2}}=-\cot ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xii) } \frac{d}{d x}\left(\sec ^{-1} x\right)=\frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} & \int \frac{d x}{x \sqrt{x^{2}-1}}=\sec ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xiii) } \frac{d}{d x}\left(-\operatorname{cosec}^{-1} x\right)=\frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} & \int \frac{d x}{x \sqrt{x^{2}-1}}=-\operatorname{cosec}^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xiv) } \frac{d}{d x}\left(e^{x}\right)=e^{x} & \int e^{x} d x=e^{x}+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xv) } \frac{d}{d x}(\log |x|)=\frac{1}{x} & \int \frac{1}{x} d x=\log |x|+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xvi) } \frac{d}{d x}\left(\frac{a^{x}}{\log a}\right)=a^{x} & \int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\log a}+\mathrm{C} \end{array} $

குறிப்பு நடைமுறையில், பல்வேறு சார்புகள் வரையறுக்கப்பட்ட இடைவெளியை நாம் பொதுவாகக் குறிப்பிடுவதில்லை. இருப்பினும், எந்த குறிப்பிட்ட பிரச்சனையிலும் அதை மனதில் கொள்ள வேண்டும்.

7.2.1 காலவரையற்ற தொகையீட்டின் சில பண்புகள்

இந்த துணைப் பிரிவில், காலவரையற்ற தொகையீடுகளின் சில பண்புகளைப் பெறுவோம்.

(I) வகையிடல் மற்றும் தொகையிடல் செயல்முறைகள் பின்வரும் முடிவுகளின் அர்த்தத்தில் ஒன்றுக்கொன்று தலைகீழாகும்:

$$ \frac{d}{d x} \int f(x) d x=f(x) $$

மற்றும் $\qquad \int f^{\prime}(x) d x=f(x)+C \text{, where } C \text{ is any arbitrary constant. }$

நிரூபணம் $F$ என்பது $f$ இன் எந்த எதிர் வகைக்கெழுவாக இருக்கட்டும், அதாவது,

$$ \frac{d}{d x} F(x)=f(x) $$

$$ \text{ }\qquad \int f(x) d x=F(x)+C $$

$ \text{ எனவே }\qquad \begin{aligned} \frac{d}{d x} \int f(x) d x & =\frac{d}{d x}(F(x)+C) \\ & =\frac{d}{d x} F(x)=f(x) \end{aligned} $

இதேபோல், நாம் கவனிக்கிறோம்

$$ f^{\prime}(x)=\frac{d}{d x} f(x) $$

மற்றும் எனவே $\qquad \int f^{\prime}(x) d x=f(x)+C$

இங்கு $C$ என்பது தொகையீட்டு மாறிலி என்று அழைக்கப்படும் தன்னிச்சையான மாறிலி.

(II) ஒரே வகைக்கெழுவைக் கொண்ட இரண்டு காலவரையற்ற தொகையீடுகள் ஒரே குடும்ப வளைவுகளுக்கு வழிவகுக்கின்றன, எனவே அவை சமமானவை.

நிரூபணம் $f$ மற்றும் $g$ ஆகியவை இரண்டு சார்புகளாக இருக்கட்டும்

$$\frac{d}{d x} \int f(x) d x=\frac{d}{d x} \int g(x) d x$$

அல்லது $\qquad \frac{d}{d x}[\int f(x) d x-\int g(x) d x]=0$

எனவே $\quad \int f(x) d x-\int g(x) d x=C$, இங்கு $C$ என்பது எந்த உண்மையான எண்ணாகும்

அல்லது $\qquad \int f(x) d x=\int g(x) d x+C$

எனவே வளைவுகளின் குடும்பங்கள் $\{\int f(x) d x+C_1, C_1 \in R\}$

மற்றும் $\qquad\{\int g(x) d x+C_2, C_2 \in R\} \text{ are identical. }$

எனவே, இந்த அர்த்தத்தில், $\int f(x) d x$ மற்றும் $\int g(x) d x$ சமமானவை.

குறிப்பு $\{\int f(x) d x+C_1, C_1 \in \mathbf{R}\}$ மற்றும் $\{\int g(x) d x+\mathbf{C} _2, \mathbf{C} _2 \in \mathbf{R}\}$ குடும்பங்களின் சமன்பாடு பொதுவாக $\int f(x) d x=\int g(x) d x$ என்று எழுதுவதன் மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது, அளவுருவைக் குறிப்பிடாமல்.

(III) $\int[f(x)+g(x)] d x=\int f(x) d x+\int g(x) d x$

நிரூபணம் பண்பு (I) மூலம், நம்மிடம் உள்ளது

$ \frac{d}{d x}[\int[f(x)+g(x)] d x]=f(x)+g(x) $

மறுபுறம், நாம் காண்கிறோம்

$ \begin{aligned} \frac{d}{d x}[\int f(x) d x+\int g(x) d x] & =\frac{d}{d x} \int f(x) d x+\frac{d}{d x} \int g(x) d x \\ & =f(x)+g(x) \end{aligned} $

எனவே, பண்பு (II) இன் பார்வையில், (1) மற்றும் (2) மூலம் அது பின்பற்றப்படுகிறது

$$ \int(f(x)+g(x)) d x=\int f(x) d x+\int g(x) d x . $$

(IV) எந்த உண்மையான எண்ணுக்கும் $k, \int k f(x) d x=k \int f(x) d x$

நிரூபணம் பண்பு (I) மூலம், $\frac{d}{d x} \int k f(x) d x=k f(x)$.

மேலும் $\quad \frac{d}{d x}[k \int f(x) d x]=k \frac{d}{d x} \int f(x) d x=k f(x)$

எனவே, பண்பு (II) ஐப் பயன்படுத்தி, நம்மிடம் $\int k f(x) d x=k \int f(x) d x$ உள்ளது.

(V) பண்புகள் (III) மற்றும் (IV) ஆகியவை $f_1, f_2, \ldots, f_n$ போன்ற வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான சார்புகளுக்கும், உண்மையான எண்களுக்கும் $k_1, k_2, \ldots, k_n$ பொதுமைப்படுத்தப்படலாம்

$$ \begin{aligned} & \int[k_1 f_1(x)+k_2 f_2(x)+\ldots+k_n f_n(x)] d x \\ & =k_1 \int f_1(x) d x+k_2 \int f_2(x) d x+\ldots+k_n \int f_n(x) d x . \end{aligned} $$

கொடுக்கப்பட்ட சார்பின் எதிர் வகைக்கெழுவைக் கண்டறிய, கொடுக்கப்பட்ட சார்பின் வகைக்கெழு எது என்பதை நாம் உள்ளுணர்வாகத் தேடுகிறோம். எதிர் வகைக்கெழுவைக் கண்டறிவதற்குத் தேவையான சார்பைத் தேடுவது ஆய்வு முறையின் மூலம் தொகையீடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. சில எடுத்துக்காட்டுகள் மூலம் அதை விளக்குகிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1 பின்வரும் ஒவ்வொரு சார்புக்கும் ஆய்வு முறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு எதிர் வகைக்கெழுவை எழுதவும்:

(i) $\cos 2 x$

(ii) $3 x^{2}+4 x^{3}$

(iii) $\frac{1}{x}, x \neq 0$

தீர்வு

(i) வகைக்கெழு $\cos 2 x$ ஆக இருக்கும் ஒரு சார்பை நாம் தேடுகிறோம். நினைவில் கொள்ளுங்கள்

$ \begin{gathered} \frac{d}{d x} \sin 2 x=2 \cos 2 x \\ \end{gathered} $

அல்லது $\cos 2 x=\frac{1}{2} \frac{d}{d x}(\sin 2 x)=\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{2} \sin 2 x\right)$

எனவே, $\cos 2 x$ இன் ஒரு எதிர் வகைக்கெழு $\frac{1}{2} \sin 2 x$ ஆகும்.

(ii) வகைக்கெழு $3 x^{2}+4 x^{3}$ ஆக இருக்கும் ஒரு சார்பை நாம் தேடுகிறோம். கவனிக்கவும்

$ \frac{d}{d x}(x^{3}+x^{4})=3 x^{2}+4 x^{3} $

எனவே, $3 x^{2}+4 x^{3}$ இன் ஒரு எதிர் வகைக்கெழு $x^{3}+x^{4}$ ஆகும்.

(iii) நமக்குத் தெரியும்

$\frac{d}{d x}(\log x)=\frac{1}{x}, x>0$ மற்றும் $\frac{d}{d x}[\log (-x)]=\frac{1}{-x}(-1)=\frac{1}{x}, x<0$

மேலே உள்ளவற்றை இணைத்தால், நமக்கு $\frac{d}{d x}(\log |x|)=\frac{1}{x}, x \neq 0$ கிடைக்கும்

எனவே, $\int \frac{1}{x} d x=\log |x|$ என்பது $\frac{1}{x}$ இன் எதிர் வகைக்கெழுக்களில் ஒன்றாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 2 பின்வரும் தொகையீடுகளைக் கண்டறியவும்:

(i) $\int \frac{x^{3}-1}{x^{2}} d x$

(ii) $\int(x^{\frac{2}{3}}+1) d x$

(iii) $\int(x^{\frac{3}{2}}+2 e^{x}-\frac{1}{x}) d x$

தீர்வு

(i) நம்மிடம் உள்ளது

$$ \begin{aligned} \int \frac{x^{3}-1}{x^{2}} & d x=\int x d x-\int x^{-2} d x \quad(\text{ by Property } V) \\ = & (\frac{x^{1+1}}{1+1}+C_1)-(\frac{x^{-2+1}}{-2+1}+C_2) ; C_1, C_2 \text{ are constants of integration } \\ & =\frac{x^{2}}{2}+C_1-\frac{x^{-1}}{-1}-C_2=\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x}+C_1-C_2 \\ & =\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x}+C \text{, where } C=C_1-C_2 \text{ is another constant of integration. } \end{aligned} $$

குறிப்பு இப்போதிருந்து, இறுதி விடையில் ஒரே ஒரு தொகையீட்டு மாறிலியை மட்டுமே எழுதுவோம்.

(ii) நம்மிடம் உள்ளது $$ \begin{aligned} \int(x^{\frac{2}{3}}+1) d x & =\int x^{\frac{2}{3}} d x+\int d x \\ & =\frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1}+x+C=\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}+x+C \end{aligned} $$

(iii) நம்மிடம் உள்ளது $\int(x^{\frac{3}{2}}+2 e^{x}-\frac{1}{x}) d x=\int x^{\frac{3}{2}} d x+\int 2 e^{x} d x-\int \frac{1}{x} d x$

$$ \begin{aligned} & =\frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}+2 e^{x}-\log |x|+C \\ & =\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}+2 e^{x}-\log |x|+C \end{aligned} $$

எடுத்துக்காட்டு 3 பின்வரும் தொகையீடுகளைக் கண்டறியவும்:

(i) $\int(\sin x+\cos x) d x$

(ii) $\int cosec x(cosec x+\cot x) d x$

(iii) $\int \frac{1-\sin x}{\cos ^{2} x} d x$

தீர்வு

(i) நம்மிடம் உள்ளது $$ \begin{aligned} \int(\sin x+\cos x) d x & =\int \sin x d x+\int \cos x d x \\ & =-\cos x+\sin x+C \end{aligned} $$

(ii) நம்மிடம் உள்ளது $$ \begin{aligned} \int(cosec x(cosec x+\cot x) d x & =\int cosec^{2} x d x+\int cosec x \cot x d x \\ & =-\cot x-cosec x+C \end{aligned} $$

(iii) நம்மிடம் உள்ளது $$ \begin{aligned} \int \frac{1-\sin x}{\cos ^{2} x} d x & =\int \frac{1}{\cos ^{2} x} d x-\int \frac{\sin x}{\cos ^{2} x} d x \\ & =\int \sec ^{2} x d x-\int \tan x \sec x d x \\ & =\tan x-\sec x+C \end{aligned} $$

எடுத்துக்காட்டு 4 $F$ இன் எதிர் வகைக்கெழு $f$ ஐக் கண்டறியவும், இது $f(x)=4 x^{3}-6$ ஆல் வரையறுக்கப்படுகிறது, இங்கு $F(0)=3$

தீர்வு $f(x)$ இன் ஒரு எதிர் வகைக்கெழு $x^{4}-6 x$ ஆகும், ஏனெனில்

$$ \frac{d}{d x}(x^{4}-6 x)=4 x^{3}-6 $$

$$ F(x)=x^{4}-6 x+C \text{, where } C \text{ is constant. } $$

எனவே, எதிர் வகைக்கெழு $F$ வழங்கப்படுகிறது

கொடுக்கப்பட்டது $$ \begin{aligned} F(0) & =3, \text{ which gives } \\ 3 & =0-6 \times 0+C \text{ or } C=3 \end{aligned} $$

எனவே, தேவையான எதிர் வகைக்கெழு என்பது தனித்துவமான சார்பு $F$ ஆகும், இது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது $\mathrm{F}(x)=x^{4}-6 x+3$

குறிப்புகள்

(i) $F$ என்பது $f$ இன் ஒரு எதிர் வகைக்கெழு என்றால், $F+C$ என்பதும் அதுவே, இங்கு $C$ என்பது எந்த மாறிலியாகும். எனவே, ஒரு சார்பின் $f$ ஒரு எதிர் வகைக்கெழு $F$ ஐ நாம் அறிந்திருந்தால், $F$ க்கு எந்த மாறிலியையும் சேர்ப்பதன் மூலம் $f$ இன் எண்ணற்ற எதிர் வகைக்கெழுக்களை $F(x)+C, C \in \mathbf{R}$ ஆல் வெளிப்படுத்தப்பட்டு எழுதலாம். பயன்பாடுகளில், ஒரு கூடுதல் நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்வது பெரும்பாலும் அவசியமாகும், இது பின்னர் $C$ இன் ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பைத் தீர்மானிக்கிறது, இது கொடுக்கப்பட்ட சார்பின் தனித்துவமான எதிர் வகைக்கெழுவை வழங்குகிறது.

(ii) சில நேரங்களில், $F$ ஆனது அடிப்படைச் சார்புகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்த முடியாது, அதாவது பல்லுறுப்புக்கோவை, மடக்கை, அதிவேக, முக்கோணவியல் சார்புகள் மற்றும் அவற்றின் நேர்மாறுகள் போன்றவை. எனவே $\int f(x) d x$ ஐக் கண்டறிவதற்கு நாங்கள் தடுக்கப்பட்டுள்ளோம். எடுத்துக்காட்டாக, $\int e^{-x^{2}} d x$ ஐ ஆய்வு மூலம் கண்டுபிடிக்க முடியாது, ஏனெனில் வகைக்கெழு $e^{-x^{2}}$ ஆக இருக்கும் ஒரு சார்பை நாம் கண்டுபிடிக்க முடியாது

(iii) தொகையீட்டு மாறி $x$ ஐத் தவிர வேறு மாறியால் குறிக்கப்படும் போது, தொகையீட்டு சூத்திரங்கள் அதற்கேற்ப மாற்றப்படுகின்றன. உதாரணமாக

$$ \int y^{4} d y=\frac{y^{4+1}}{4+1}+C=\frac{1}{5} y^{5}+C $$

7.3 தொகையீட்டு முறைகள்

முந்தைய பிரிவில், சில சார்புகளின் வகைக்கெழுக்களிலிருந்து எளிதாகப் பெறக்கூடிய சார்புகளின் தொகையீடுகளைப் பற்றி விவாதித்தோம். இது ஆய்வின் அடிப்படையில் இருந்தது, அதாவது, ஒரு சார்பை $F$ தேடுவதில், அதன் வகைக்கெழு $f$ ஆகும், இது $f$ இன் தொகையீட்டிற்கு நம்மை இட்டுச் சென்றது. இருப்பினும், ஆய்வைச் சார்ந்திருக்கும் இந்த முறை பல சார்புகளுக்கு மிகவும் பொருத்தமானதல்ல. எனவே, அவற்றைத் தரமான வடிவங்களாகக் குறைப்பதன் மூலம் தொகையீடுகளைக் கண்டறிய கூடுதல் நுட்பங்கள் அல்லது முறைகளை உருவாக்க வேண்டும். அவற்றில் முக்கியமானவை:

1. பதிலீட்டு மூலம் தொகையீடு

2. பகுதிப் பின்னங்களைப் பயன்படுத்தி தொகையீடு

3. பகுதிகள் மூலம் தொகையீடு

7.3.1 பதிலீட்டு மூலம் தொகையீடு

இந்தப் பிரிவில், பதிலீட்டு மூலம் தொகையீட்டு முறையைக் கருத்தில் கொள்கிறோம்.

கொடுக்கப்பட்ட தொகையீடு $\int f(x) d x$ ஐ சுயாதீன மாறி $x$ ஐ $t$ ஆக மாற்றுவதன் மூலம் மற்றொரு வடிவத்திற்கு மாற்றலாம், $x=g(t)$ ஐ பதிலீடு செய்வதன் மூலம்.

கருதுங்கள் $$ I=\int f(x) d x $$

$x=g(t)$ என வைத்தால் $\frac{d x}{d t}=g^{\prime}(t)$.

நாம் எழுதுகிறோம் $$ d x=g^{\prime}(t) d t $$

இவ்வாறு $$ I=\int f(x) d x=\int f(g(t)) g^{\prime}(t) d t $$

மாறியை மாற்றுவதற்கான இந்த சூத்திரம் பதிலீட்டு மூலம் தொகையீடு என்ற பெயரில் நமக்குக் கிடைக்கும் முக்கிய கருவிகளில் ஒன்றாகும். பயனுள்ள பதிலீடு என்னவாக இருக்கும் என்பதை யூகிப்பது பெரும்பாலும் முக்கியமானது. பொதுவாக, ஒரு சார்புக்கு நாம் ஒரு பதிலீட்டைச் செய்கிறோம், அதன் வகைக்கெழுவும் தொகையீட்டுச் சார்பில் நிகழ்கிறது, இது பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகளில் விளக்கப்பட்டுள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 5 பின்வரும் சார்புகளை $x$ ஐப் பொறுத்து தொகையிடவும்:

(i) $\sin m x$

(ii) $2 x \sin (x^{2}+1)$

(iii) $\frac{\tan ^{4} \sqrt{x} \sec ^{2} \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

(iv) $\frac{\sin (\tan ^{-1} x)}{1+x^{2}}$

தீர்வு

(i) $m x$ இன் வகைக்கெழு $m$ என்பது நமக்குத் தெரியும். எனவே, நாம் பதிலீடு $m x=t$ ஐச் செய்கிறோம், அதனால் $m d x=d t$.

எனவே, $\quad \int \sin m x d x=\frac{1}{m} \int \sin t d t=-\frac{1}{m} \cos t+C=-\frac{1}{m} \cos m x+C$

(ii) $x^{2}+1$ இன் வகைக்கெழு $2 x$ ஆகும். எனவே, நாம் பதிலீடு $x^{2}+1=t$ ஐப் பயன்படுத்துகிறோம், அதனால் $2 x d x=d t$.

எனவே, $$\int 2 x \sin (x^{2}+1) d x=\int \sin t d t=-\cos t+C=-\cos (x^{2}+1)+C$$

(iii) $\sqrt{x}$ இன் வகைக்கெழு $\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ ஆகும். எனவே, நாம் பதிலீடு செய்கிறோம்

$\sqrt{x}=t$ அதனால் $\frac{1}{2 \sqrt{x}} d x=d t$ $d x=2 t d t$ ஐக் கொடுக்கும்.

இவ்வாறு, $\quad \int \frac{\tan ^{4} \sqrt{x} \sec ^{2} \sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x=\int \frac{2 t \tan ^{4} t \sec ^{2} t d t}{t}=2 \int \tan ^{4} t \sec ^{2} t d t$

மீண்டும், நாம் மற்றொரு பதிலீடு $\tan t=u$ ஐச் செய்கிறோம், அதனால் $\quad \sec ^{2} t d t=d u$

எனவே,$2 \int \tan ^{4} t \sec ^{2} t d t=2 \int u^{4} d u=2 \frac{u^{5}}{5}+\mathrm{C}$ $$ \begin{aligned} & =\frac{2}{5} \tan ^{5} t+\mathrm{C}(\text { क्योंकि } u=\tan t) \\ & =\frac{2}{5} \tan ^{5} \sqrt{x}+\mathrm{C}(\text { क्योंकि } t=\sqrt{x}) \end{aligned} $$

எனவே, $\quad \int \frac{\tan ^{4} \sqrt{x} \sec ^{2} \sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x=\frac{2}{5} \tan ^{5} \sqrt{x}+C$

மாற்றாக, பதிலீடு $\tan \sqrt{x}=t$ ஐச் செய்யவும்

(iv) $\tan ^{-1} x=\frac{1}{1+x^{2}}$ இன் வகைக்கெழு. எனவே, நாம் பதிலீடு செய்கிறோ