கணிதத்தை ஒருவர் படிக்க வேண்டியது, ஏனெனில் கணிதத்தின் மூலமே இயற்கையை இசைவான வடிவில் கருத முடியும். - பர்க்ஹாஃப்

8.1 முன்னுரை

வடிவியலில், முக்கோணங்கள், செவ்வகங்கள், சரிவகங்கள் மற்றும் வட்டங்கள் உட்பட பல்வேறு வடிவியல் உருவங்களின் பரப்பளவுகளைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்களை நாம் கற்றுள்ளோம். இத்தகைய சூத்திரங்கள் கணிதத்தை பல நிஜ வாழ்க்கைச் சிக்கல்களுக்குப் பயன்படுத்துவதில் அடிப்படையானவை. அடிப்படை வடிவியலின் சூத்திரங்கள் பல எளிய உருவங்களின் பரப்பளவுகளைக் கணக்கிட அனுமதிக்கின்றன. எனினும், வளைவுகளால் சூழப்பட்ட பகுதிகளைக் கணக்கிடுவதற்கு அவை போதுமானதாக இல்லை. அதற்காக தொகையீட்டு நுண்கணிதத்தின் சில கருத்துகள் நமக்குத் தேவைப்படும்.

முந்தைய அத்தியாயத்தில், $y=f(x)$ என்ற வளைவு, $x=a$, $x=b$ என்ற செங்குத்துக் கோடுகள் மற்றும் $x$-அச்சு ஆகியவற்றால் வரம்புக்குட்பட்ட பரப்பை, ஒரு கூட்டுத்தொகையின் எல்லையாக வரையறுத்த தொகையீட்டைக் கணக்கிடும் போது கண்டறியப் படித்தோம். இங்கே, இந்த அத்தியாயத்தில், எளிய வளைவுகளின் கீழ் உள்ள பரப்பை, கோடுகள் மற்றும் வட்டங்கள், பரவளையங்கள் மற்றும்

ஏ.எல். கௌச்சி (1789-1857) நீள்வட்டங்களின் (நிலையான வடிவங்கள் மட்டும்) வளைவுகளுக்கு இடையே உள்ள பரப்பைக் கண்டறிவதற்கான தொகையீடுகளின் ஒரு குறிப்பிட்ட பயன்பாட்டைப் படிப்போம். மேலும் கூறப்பட்ட வளைவுகளால் வரம்புக்குட்பட்ட பகுதியைக் கண்டறிவதையும் கையாள்வோம்.

8.2 எளிய வளைவுகளின் கீழ் உள்ள பரப்பு

முந்தைய அத்தியாயத்தில், ஒரு கூட்டுத்தொகையின் எல்லையாக வரையறுத்த தொகையீட்டைப் படித்தோம் மற்றும் அடிப்படைத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி வரையறுத்த தொகையீட்டை மதிப்பிடுவது எப்படி என்பதையும் படித்தோம். இப்போது, $y=f(x), x$ என்ற வளைவு, $x=a$ மற்றும் $x=b$ என்ற செங்குத்துக் கோடுகள் மற்றும் $y$-அச்சு ஆகியவற்றால் வரம்புக்குட்பட்ட பரப்பைக் கண்டறிவதற்கான எளிய மற்றும் உள்ளுணர்வு வழியைக் கருதுகிறோம். படம் 8.1 இலிருந்து, வளைவின் கீழ் உள்ள பரப்பை மிகப் பெரிய எண்ணிக்கையிலான மிக மெல்லிய செங்குத்துப் பட்டைகளால் ஆனதாக நாம் நினைக்கலாம். $d x$ உயரம் மற்றும் $d A$ அகலம் கொண்ட ஒரு தன்னிச்சையான பட்டையைக் கருதினால், $=y d x$ (அடிப்படைப் பட்டையின் பரப்பளவு) $y=f(x)$, இங்கு, $x$.

இந்தப் பரப்பு அடிப்படைப் பரப்பு எனப்படுகிறது, இது $a$ மற்றும் $b$ க்கு இடையே உள்ள $x$ இன் சில மதிப்பால் குறிப்பிடப்படும் பகுதிக்குள் ஒரு தன்னிச்சையான நிலையில் அமைந்துள்ளது. $x=a, x=b$-அச்சு, $y=f(x)$ மற்றும் $A$ என்ற செங்குத்துக் கோடுகள் ஆகியவற்றுக்கு இடையே உள்ள பகுதியின் மொத்தப் பரப்பு A ஐ, PQRSP பகுதி முழுவதும் மெல்லிய பட்டைகளின் அடிப்படைப் பரப்புகளைச் சேர்ப்பதன் விளைவாக நாம் நினைக்கலாம். குறியீட்டு முறையில், நாம் வெளிப்படுத்துவது

$$ \mathrm{A}=\int _{a}^{b} d \mathrm{~A}=\int _{a}^{b} y d x=\int _{a}^{b} f(x) d x $$

$x=g(y), y$ என்ற வளைவு, $y=c$-அச்சு மற்றும் $y=d$, $x$ என்ற கோடுகளால் வரம்புக்குட்பட்ட பகுதியின் பரப்பளவு $f(x)<0$ ஆல் வழங்கப்படுகிறது

$$ \mathrm{A}=\int _{c}^{d} x d y=\int _{c}^{d} g(y) d y $$

இங்கே, நாம் கிடைமட்டப் பட்டைகளை படம் 8.2 இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி கருதுகிறோம்

படம் 8.2

குறிப்பு கருதப்படும் வளைவின் நிலை $x=a$-அச்சுக்குக் கீழே இருந்தால், ⟦31⟲ இலிருந்து ⟦32⟲ வரை ⟦33⟲ என்பதால், படம் 8.3 இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, ⟦34⟲ என்ற வளைவு, ⟦35⟲-அச்சு மற்றும் ⟦36⟲, ⟦37⟲ என்ற செங்குத்துக் கோடுகளால் வரம்புக்குட்பட்ட பரப்பு எதிர்மறையாக வரும். ஆனால், பரப்பளவின் எண் மதிப்பு மட்டுமே கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது. எனவே, பரப்பளவு எதிர்மறையாக இருந்தால், அதன் தனிமதிப்பை எடுத்துக்கொள்கிறோம், அதாவது ⟦38⟲.

படம் 8.3

பொதுவாக, வளைவின் சில பகுதி $y=f(x), x$-அச்சுக்கு மேலேயும் சில பகுதி $x=a$-அச்சுக்குக் கீழேயும் இருக்கலாம், இது படம் 8.4 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது. இங்கே, $x=b$ மற்றும் $A=|A_1|+A_2$. எனவே, $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ என்ற வளைவு, $=4$-அச்சு மற்றும் $x$ மற்றும் $x=0$ என்ற செங்குத்துக் கோடுகளால் வரம்புக்குட்பட்ட பரப்பு A ஆனது $x=a$ ஆல் வழங்கப்படுகிறது.

படம் 8.4

எடுத்துக்காட்டு 1 $x$ என்ற வட்டத்தால் சூழப்பட்ட பரப்பைக் கண்டறிக.

தீர்வு படம் 8.5 இலிருந்து, கொடுக்கப்பட்ட வட்டத்தால் சூழப்பட்ட மொத்தப் பரப்பு $y$ (வளைவு, $x^{2}+y^{2}=a^{2}$-அச்சு மற்றும் $\quad y= \pm \sqrt{a^{2}-x^{2}}$ மற்றும் $y$ என்ற செங்குத்துக் கோடுகளால் வரம்புக்குட்பட்ட AOBA பகுதியின் பரப்பளவு) [வட்டம் $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$-அச்சு மற்றும் $ABA^{\prime} B^{\prime} A$-அச்சு ஆகிய இரண்டையும் பொறுத்தும் சமச்சீராக இருப்பதால்]

$$ \begin{aligned} & =4 \int_0^{a} y d x \text{ (taking vertical strips) } \\ & =4 \int_0^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x \end{aligned} $$

$=4(\begin{matrix} \text{ area of the region } A O B A \text{ in the first quadrant bounded } \\ \text{ by the curve, } x-\text{ axis and theordinates } x=0, x=a\end{matrix} )$ என்பது $x$ ஐத் தருவதால்

படம் 8.5

AOBA பகுதி முதல் கால்பகுதியில் அமைந்திருப்பதால், $y$ நேர்மறையாக எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது. தொகையிடுவதன் மூலம், கொடுக்கப்பட்ட வட்டத்தால் சூழப்பட்ட மொத்தப் பரப்பு கிடைக்கிறது

$ \begin{aligned} & =4[\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}]_0^{a} \\ & =4[(\frac{a}{2} \times 0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} 1)-0]=4(\frac{a^{2}}{2})(\frac{\pi}{2})=\pi a^{2} \end{aligned} $

மாற்றாக, படம் 8.6 இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி கிடைமட்டப் பட்டைகளைக் கருதினால், வட்டத்தால் சூழப்பட்ட பகுதியின் மொத்தப் பரப்பு

$ \begin{aligned} & =4 \int_0^{a} x d y=4 \int_0^{a} \sqrt{a^{2}-y^{2}} d y \text{(ஏன்?)} \\ & =4[\frac{y}{2} \sqrt{a^{2}-y^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{y}{a}]_0^{a} \\ & =4[(\frac{a}{2} \times 0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} 1)-0] \\ & =4 \frac{a^{2}}{2} \frac{\pi}{2}=\pi a^{2} \end{aligned} $

படம் 8.6

எடுத்துக்காட்டு 2 $=4 \int_0^{a} y d x \quad$ என்ற நீள்வட்டத்தால் சூழப்பட்ட பரப்பைக் கண்டறிக.

தீர்வு படம் 8.7 இலிருந்து, நீள்வட்டத்தால் வரம்புக்குட்பட்ட $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ பகுதியின் பரப்பளவு

$y= \pm \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}}$

(நீள்வட்டம் $y$-அச்சு மற்றும் $y=3 x+2$-அச்சு ஆகிய இரண்டையும் பொறுத்தும் சமச்சீராக இருப்பதால்)

$x$ (செங்குத்துப் பட்டைகளை எடுத்துக்கொள்வது)

இப்போது $x=-1$ என்பது $x=1$ ஐத் தருகிறது, ஆனால் AOBA பகுதி முதல் கால்பகுதியில் அமைந்திருப்பதால், $y=3 x+2$ நேர்மறையாக எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது. எனவே, தேவையான பரப்பளவு

$ \begin{aligned} & =4 \int _{0}^{a} \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x \\ & =\frac{4 b}{a}\left[\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}\right] _{0}^{a} \text { (ஏன்) } \\ & =\frac{4 b}{a}\left[\left(\frac{a}{2} \times 0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} 1\right)-0\right] \\ & =\frac{4 b}{a} \frac{a^{2}}{2} \frac{\pi}{2}=\pi a b \text { } \end{aligned} $

படம் 8.7

மாற்றாக, படம் 8.8 இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி கிடைமட்டப் பட்டைகளைக் கருதினால், நீள்வட்டத்தின் பரப்பளவு

$$ \begin{aligned} & =4 \int_0^{b} x d y=4 \frac{a}{b} \int_0^{b} \sqrt{b^{2}-y^{2}} d y \text{ (Why?) } \\ & =\frac{4 a}{b}[\frac{y}{2} \sqrt{b^{2}-y^{2}}+\frac{b^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{y}{b}]_0^{b} \\ & =\frac{4 a}{b}[(\frac{b}{2} \times 0+\frac{b^{2}}{2} \sin ^{-1} 1)-0] \\ & =\frac{4 a}{b} \frac{b^{2}}{2} \frac{\pi}{2}=\pi a b \end{aligned} $$

படம் 8.8

பல்வேறு எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 3 $x$ என்ற கோடு, $x=\frac{-2}{3}$-அச்சு மற்றும் $x$ மற்றும் $x \in(-1, \frac{-2}{3})$ என்ற செங்குத்துக் கோடுகளால் வரம்புக்குட்பட்ட பகுதியின் பரப்பைக் கண்டறிக.

தீர்வு படம் 8.9 இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, $x$ என்ற கோடு $x \in(\frac{-2}{3}, 1)$-அச்சை $=$ இல் சந்திக்கிறது மற்றும் அதன் வரைபடம் $ACBA+$ க்கு $y=\cos x$-அச்சுக்குக் கீழேயும் $x=0$ க்கு $x=2 \pi$-அச்சுக்கு மேலேயும் அமைந்துள்ளது.

தேவையான பரப்பளவு $=$ $OABO+$ பகுதியின் பரப்பளவு ADEA பகுதியின் பரப்பளவு

$ \begin{aligned} & =|\int _{-1}^{\frac{-2}{3}}(3 x+2) d x|+\int _{\frac{-2}{3}}^{1}(3 x+2) d x \\ & =|[\frac{3 x^{2}}{2}+2 x] _{-1}^{\frac{-2}{3}}|+[\frac{3 x^{2}}{2}+2 x] _{\frac{-2}{3}}^{1}=\frac{1}{6}+\frac{25}{6}=\frac{13}{3} \end{aligned} $

படம் 8.9

எடுத்துக்காட்டு 4 $BCDB+$ மற்றும் $y=f(x), x$ க்கு இடையே $x=a$ என்ற வளைவால் வரம்புக்குட்பட்ட பரப்பைக் கண்டறிக.

தீர்வு படம் 8.10 இலிருந்து, தேவையான பரப்பளவு $x=b(b>a)$ $=\int_a^{b} y d x=\int_a^{b} f(x) d x$ பகுதியின் பரப்பளவு $x=\phi(y), y$ பகுதியின் பரப்பளவு DEFD பகுதியின் பரப்பளவு.

படம் 8.10

எனவே, நமக்குத் தேவையான பரப்பளவு உள்ளது

$ \begin{aligned} & =\int_ 0^{\frac{\pi}{2}} \cos x d x+|\int_ {\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} \cos x d x|+\int_ {\frac{3 \pi}{2}}^{2 \pi} \cos x d x \\ & =[\sin x]_ 0^{\frac{\pi}{2}}+|[\sin x]_ {\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}}|+[\sin x]_ {\frac{3 \pi}{2}}^{2 \pi} \\ & =1+2+1=4 \end{aligned} $

சுருக்கம்

$y=c, y=d$ என்ற வளைவு, $=\int_c^{d} x d y=\int_c^{d} \phi(y) d y$-அச்சு மற்றும் https://cdn.mathpix.com/snip/images/5bAoqA1sYkpCSWQwVAFQ08wbSqKgOaL3ZMR-4qgGKes.original.fullsize.png" மற்றும் https://cdn.mathpix.com/snip/images/JVO1R7qODxfjaJ7UZQ0ipQmezo0RJnmdrIo1NsUbpQI.original.fullsize.png" என்ற கோடுகளால் வரம்புக்குட்பட்ட பகுதியின் பரப்பளவு சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது: பரப்பளவு https://cdn.mathpix.com/snip/images/xOV3IeSpMPIBZ5GRD4mR16iGo0_HawWOxXPYLpUjXRo.original.fullsize.png". https://cdn.mathpix.com/snip/images/GUgOIDz8kLLdzPfvlSTVU5G3FMYdCPa_XRrgiBRmttk.original.fullsize.png" என்ற வளைவு, https://cdn.mathpix.com/snip/images/XNZKBZ_J60fyVIHVRab9OtQkd3Sb-HB5Go0x9cU1B_Y.original.fullsize.png"-அச்சு மற்றும் https://temp-public-img-folder.s3.amazonaws.com/sathee.prutor.images/sathee_image/cropped_2024_04_17_75728d7fa4d9b1fd7133g-317_jpg_height_587_width_556_top_left_y_247_top_left_x_981.jpg" என்ற கோடுகளால் வரம்புக்குட்பட்ட பகுதியின் பரப்பளவு சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது: பரப்பளவு https://cdn.mathpix.com/snip/images/gu_nzlgOT8OaACJAaBXRMhlJe3fSCDqI0PC3NZvsqJU.original.fullsize.png".

வரலாற்றுக் குறிப்பு

தொகையீட்டு நுண்கணிதத்தின் தோற்றம் கணிதத்தின் வளர்ச்சியின் ஆரம்ப காலத்திற்குத் திரும்பிச் செல்கிறது மற்றும் இது பண்டைய கிரேக்கக் கணிதவியலாளர்களால் உருவாக்கப்பட்ட தீர்வு முறையுடன் தொடர்புடையது. இந்த முறை தீர்வு தள உருவங்களின் பரப்பளவுகள், திடப்பொருட்களின் புறப்பரப்புகள் மற்றும் கனஅளவுகள் போன்ற சிக்கல்களைக் கணக்கிடுவதில் எழுந்தது. இந்த அர்த்தத்தில், தீர்வு முறையை தொகையீட்டின் ஒரு ஆரம்ப முறையாகக் கருதலாம். ஆரம்ப காலத்தில் தீர்வு முறையின் மிகப்பெரிய வளர்ச்சி யூடாக்சஸ் (கி.மு. 440) மற்றும் ஆர்க்கிமிடீஸ் (கி.மு. 300) ஆகியோரின் படைப்புகளில் பெறப்பட்டது.

நுண்கணிதக் கோட்பாட்டிற்கான முறையான அணுகுமுறை 17 ஆம் நூற்றாண்டில் தொடங்கியது. 1665 இல், நியூட்டன் தனது நுண்கணிதத்தில் பணியைத் தொடங்கினார், அதை அவர் பாய்வுகளின் கோட்பாடு என்று விவரித்தார் மற்றும் ஒரு வளைவின் எந்தப் புள்ளியிலும் தொடுகோடு மற்றும் வளைவின் ஆரத்தைக் கண்டறிய தனது கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தினார். நியூட்டன் எதிர்மாறுச் சார்பு என்று அழைக்கப்படும் அடிப்படைக் கருத்தான எதிர் வகைக்கெழு (காலவரையற்ற தொகையீடு) அல்லது தொடுகோடுகளின் எதிர்முறையை அறிமுகப்படுத்தினார்.

1684-86 காலகட்டத்தில், லீப்னிட்ஸ் ஆக்டா எருடிட்டோரம் என்ற இதழில் ஒரு கட்டுரையை வெளியிட்டார், அதை அவர் கால்குலஸ் சம்மேட்டோரியஸ் என்று அழைத்தார், ஏனெனில் இது எண்ணற்ற சிறிய பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையுடன் தொடர்புடையதாக இருந்தது, அதன் கூட்டுத்தொகையை அவர் ‘∫’ என்ற குறியீட்டால் குறிப்பிட்டார். 1696 இல், ஜே. பெர்னௌலி முன்வைத்த பரிந்துரையைப் பின்பற்றி இந்தக் கட்டுரையை கால்குலஸ் இன்டெக்ராலி என மாற்றினார். இது நியூட்டனின் தொடுகோடுகளின் எதிர்முறைக்கு ஒத்திருந்தது.

நியூட்டன் மற்றும் லீப்னிட்ஸ் இருவரும் முற்றிலும் சுயாதீனமான அணுகுமுறைகளைப் பின்பற்றினர், அவை அடிப்படையில் வேறுபட்டவை. எனினும், தொடர்புடைய கோட்பாடுகள் நடைமுறையில் ஒரே மாதிரியான முடிவுகளை அடைந்தன. லீப்னிட்ஸ் வரையறுத்த தொகையீட்டின் கருத்தைப் பயன்படுத்தினார் மற்றும் எதிர் வகைக்கெழு மற்றும் வரையறுத்த தொகையீட்டுக்கு இடையேயான தொடர்பை முதன்முதலில் தெளிவாகப் புரிந்துகொண்டவர் அவர்தான் என்பது மிகவும் உறுதியானது.

முடிவாக, தொகையீட்டு நுண்கணிதத்தின் அடிப்படைக் கருத்துகள் மற்றும் கோட்பாடு மற்றும் முதன்மையாக வகை நுண்கணிதத்துடனான அதன் உறவுகள் 17 ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியில் பி.டி ஃபெர்மாட், ஐ. நியூட்டன் மற்றும் ஜி. லீப்னிட்ஸ் ஆகியோரின் படைப்புகளில் உருவாக்கப்பட்டன. எனினும், எல்லையின் கருத்தால் இந்த நியாயப்படுத்துதல் 19 ஆம் நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில் ஏ.எல். கௌச்சியின் படைப்புகளில் மட்டுமே உருவாக்கப்பட்டது. இறுதியாக, லீ சோஃபியின் பின்வரும் மேற்கோளைக் குறிப்பிடுவது மதிப்புக்குரியது:

“வகைக்கெழு மற்றும் தொகையீட்டுக் கருத்துகள், அவற்றின் தோற்றம் நிச்சயமாக ஆர்க்கிமிடீஸ் வரை செல்கிறது, அவை கெப்லர், டெக்கார்ட், காவலியேரி, ஃபெர்மாட் மற்றும் வாலிஸ் ஆகியோரின் ஆராய்ச்சிகளால் அறிவியலில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன என்று கூறலாம் …. வகையீடு மற்றும் தொகையீடு ஆகியவை நேர்மாறுச் செயல்பாடுகள் என்பதைக் கண்டுபிடிப்பது நியூட்டன் மற்றும் லீப்னிட்ஸ் ஆகியோருக்கு உரியது”.