மனதில் ஒரு திட்டவட்டமான பிரச்சனை இல்லாமல் முறைகளைத் தேடுபவர் பெரும்பாலும் வீணாகத் தேடுகிறார். - டி. ஹில்பர்ட்

9.1 முன்னுரை

11 ஆம் வகுப்பிலும், இந்தப் புத்தகத்தின் அத்தியாயம் 5 இலும், கொடுக்கப்பட்ட சார்பு $f$ ஐ ஒரு சார்பற்ற மாறியைப் பொறுத்து எவ்வாறு வகையிடுவது, அதாவது கொடுக்கப்பட்ட சார்பு $f$ க்கு அதன் வரையறைக் களத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு $x$ இல் $f^{\prime}(x)$ ஐ எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதைப் பற்றி விவாதித்தோம். மேலும், தொகையீட்டுக் கணித அத்தியாயத்தில், எந்தச் சார்பின் வகைக்கெழு $g$ சார்பு ஆகும் என்பதைக் கண்டறிவது, அதாவது ஒரு சார்பு $f$ ஐ எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதைப் பற்றி விவாதித்தோம். இதை பின்வருமாறும் வடிவமைக்கலாம்:

கொடுக்கப்பட்ட சார்பு $g$ க்கு, பின்வரும் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் ஒரு சார்பு $f$ ஐக் கண்டறியவும்:

$$ \frac{d y}{d x}=g(x) \text { where } y=f(x) $$

ஹென்றி போயின்கேர் $(1854-1912)$

(1) வடிவத்தின் சமன்பாடு ஒரு வகையீட்டுச் சமன்பாடு என அறியப்படுகிறது. முறையான வரையறை பின்னர் கொடுக்கப்படும்.

இந்தச் சமன்பாடுகள் பல்வேறு பயன்பாடுகளில் எழுகின்றன, அது இயற்பியலில் இருந்தாலும், வேதியியலில் இருந்தாலும், உயிரியலில் இருந்தாலும், மானுடவியலில் இருந்தாலும், புவியியலில் இருந்தாலும், பொருளாதாரத்தில் இருந்தாலும் சரி. எனவே, வகையீட்டுச் சமன்பாடுகளின் ஆழமான ஆய்வு அனைத்து நவீன அறிவியல் ஆய்வுகளிலும் முதன்மை முக்கியத்துவத்தைப் பெற்றுள்ளது.

இந்த அத்தியாயத்தில், வகையீட்டுச் சமன்பாடு தொடர்பான சில அடிப்படைக் கருத்துகள், ஒரு வகையீட்டுச் சமன்பாட்டின் பொதுத் தீர்வு மற்றும் சிறப்புத் தீர்வு, வகையீட்டுச் சமன்பாடுகளை உருவாக்குதல், முதல் வரிசை - முதல் படி வகையீட்டுச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான சில முறைகள் மற்றும் வெவ்வேறு பகுதிகளில் வகையீட்டுச் சமன்பாடுகளின் சில பயன்பாடுகள் ஆகியவற்றைப் படிப்போம்.

9.2 அடிப்படைக் கருத்துகள்

பின்வரும் வகை சமன்பாடுகளுடன் நாம் ஏற்கனவே பழக்கமானவர்கள்:

$$ \begin{align*} x^{2}-3 x+3=0 \tag{1} \\ \sin x+\cos x=0 \tag{2} \\ x+y=7 \tag{3} \end{align*} $$

சமன்பாட்டைக் கருதுவோம்:

$$ \begin{equation*} x \frac{d y}{d x}+y=0 \tag{4} \end{equation*} $$

சமன்பாடுகள் (1), (2) மற்றும் (3) ஆகியவை சார்பற்ற மற்றும்/அல்லது சார்பு மாறி(களை) மட்டுமே உள்ளடக்கியிருப்பதைக் காண்கிறோம். ஆனால் சமன்பாடு (4) மாறிகள் மற்றும் சார்பு மாறி $y$ இன் சார்பற்ற மாறி $x$ ஐப் பொறுத்த வகைக்கெழு ஆகியவற்றை உள்ளடக்கியுள்ளது. இத்தகைய சமன்பாடு வகையீட்டுச் சமன்பாடு என அழைக்கப்படுகிறது.

பொதுவாக, சார்பு மாறியின் வகைக்கெழு(களை) சார்பற்ற மாறி(களை) பொறுத்து உள்ளடக்கிய சமன்பாடு வகையீட்டுச் சமன்பாடு எனப்படும்.

சார்பு மாறியின் வகைக்கெழுக்களை ஒரே ஒரு சார்பற்ற மாறியைப் பொறுத்து மட்டுமே உள்ளடக்கிய வகையீட்டுச் சமன்பாடு சாதாரண வகையீட்டுச் சமன்பாடு எனப்படும். எ.கா.,

$ 2 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+(\frac{d y}{d x})^{3}=0 \text{ என்பது ஒரு சாதாரண வகையீட்டுச் சமன்பாடு } $

நிச்சயமாக, ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட சார்பற்ற மாறிகளைப் பொறுத்து வகைக்கெழுக்களை உள்ளடக்கிய வகையீட்டுச் சமன்பாடுகளும் உள்ளன, அவை பகுதி வகையீட்டுச் சமன்பாடுகள் எனப்படுகின்றன. ஆனால் இந்த நிலையில் நாம் சாதாரண வகையீட்டுச் சமன்பாடுகளின் ஆய்வுக்கு மட்டுமே நம்மைக் கட்டுப்படுத்திக் கொள்வோம். இனிமேல், ‘சாதாரண வகையீட்டுச் சமன்பாடு’ என்பதற்கு ‘வகையீட்டுச் சமன்பாடு’ என்ற சொல்லைப் பயன்படுத்துவோம்.

குறிப்பு

1. வகைக்கெழுக்களுக்கு பின்வரும் குறியீடுகளைப் பயன்படுத்த நாம் விரும்புகிறோம்:

$$ \frac{d y}{d x}=y^{\prime}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=y^{\prime \prime}, \frac{d^{3} y}{d x^{3}}=y^{\prime \prime \prime} $$

2. உயர் வரிசை வகைக்கெழுக்களுக்கு, பல கோடுகளை மேலெழுத்தாகப் பயன்படுத்துவது சிரமமாக இருக்கும். எனவே, $n$ ஆம் வரிசை வகைக்கெழு $\frac{d^{n} y}{d x^{n}}$ க்கு $y_n$ என்ற குறியீட்டைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

9.2.1 ஒரு வகையீட்டுச் சமன்பாட்டின் வரிசை

கொடுக்கப்பட்ட வகையீட்டுச் சமன்பாட்டில் ஈடுபடுத்தப்பட்டுள்ள சார்பற்ற மாறியைப் பொறுத்து சார்பு மாறியின் மிக உயர்ந்த வரிசை வகைக்கெழுவின் வரிசையாக வகையீட்டுச் சமன்பாட்டின் வரிசை வரையறுக்கப்படுகிறது.

பின்வரும் வகையீட்டுச் சமன்பாடுகளைக் கவனியுங்கள்:

$$ \begin{align*} & \frac{d y}{d x}=e^{x} \tag{6}\\ & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0 \tag{7}\\ & \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+x^{2}\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{3}=0 \tag{8} \end{align*} $$

சமன்பாடுகள் (6), (7) மற்றும் (8) ஆகியவை முறையே முதல், இரண்டாம் மற்றும் மூன்றாம் வரிசையின் மிக உயர்ந்த வகைக்கெழுவை உள்ளடக்கியுள்ளன. எனவே, இந்தச் சமன்பாடுகளின் வரிசைகள் முறையே 1,2 மற்றும் 3 ஆகும்.

9.2.2 ஒரு வகையீட்டுச் சமன்பாட்டின் படி

ஒரு வகையீட்டுச் சமன்பாட்டின் படியைப் படிப்பதற்கான முக்கிய புள்ளி என்னவென்றால், வகையீட்டுச் சமன்பாடு வகைக்கெழுக்களில் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடாக இருக்க வேண்டும், அதாவது $y^{\prime}, y^{\prime \prime}, y^{\prime \prime \prime}$ போன்றவை. பின்வரும் வகையீட்டுச் சமன்பாடுகளைக் கவனியுங்கள்:

$ \begin{aligned} \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+2(\frac{d^{2} y}{d x^{2}})^{2}-\frac{d y}{d x}+y & =0 \\ (\frac{d y}{d x})^{2}+(\frac{d y}{d x})-\sin ^{2} y & =0 \\ \frac{d y}{d x}+\sin (\frac{d y}{d x}) & =0 \end{aligned} $

சமன்பாடு (9) என்பது $y^{\prime \prime \prime}, y^{\prime \prime}$ மற்றும் $y^{\prime}$ இல் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடாகவும், சமன்பாடு (10) என்பது $y^{\prime}$ இல் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடாகவும் ($y$ இல் பல்லுறுப்புக்கோவை அல்ல என்றாலும்) இருப்பதைக் காண்கிறோம். இத்தகைய வகையீட்டுச் சமன்பாடுகளின் படி வரையறுக்கப்படலாம். ஆனால் சமன்பாடு (11) என்பது $y^{\prime}$ இல் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடு அல்ல, மேலும் அத்தகைய வகையீட்டுச் சமன்பாட்டின் படியை வரையறுக்க முடியாது.

ஒரு வகையீட்டுச் சமன்பாடு வகைக்கெழுக்களில் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடாக இருக்கும் போது, அதன் படி என்பது கொடுக்கப்பட்ட வகையீட்டுச் சமன்பாட்டில் ஈடுபடுத்தப்பட்டுள்ள மிக உயர்ந்த வரிசை வகைக்கெழுவின் மிக உயர்ந்த அடுக்கு (நேர்மறை முழு எண் அடுக்கு) ஆகும்.

மேலே உள்ள வரையறையின் பார்வையில், வகையீட்டுச் சமன்பாடுகள் (6), (7), (8) மற்றும் (9) ஆகிய ஒவ்வொன்றும் படி ஒன்றைக் கொண்டுள்ளன, சமன்பாடு (10) படி இரண்டைக் கொண்டுள்ளது, அதே நேரத்தில் வகையீட்டுச் சமன்பாடு (11) இன் படி வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதை ஒருவர் கவனிக்கலாம்.

குறிப்பு ஒரு வகையீட்டுச் சமன்பாட்டின் வரிசை மற்றும் படி (வரையறுக்கப்பட்டால்) எப்போதும் நேர்மறை முழு எண்களாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 1 பின்வரும் ஒவ்வொரு வகையீட்டுச் சமன்பாட்டின் வரிசை மற்றும் படியைக் கண்டறியவும் (வரையறுக்கப்பட்டால்):

(i) $\frac{d y}{d x}-\cos x=0$

(ii) $x y \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x(\frac{d y}{d x})^{2}-y \frac{d y}{d x}=0$

(iii) $y^{\prime \prime \prime}+y^{2}+e^{y^{\prime}}=0$

தீர்வு

(i) வகையீட்டுச் சமன்பாட்டில் உள்ள மிக உயர்ந்த வரிசை வகைக்கெழு $\frac{d y}{d x}$ ஆகும், எனவே அதன் வரிசை ஒன்று. இது $y^{\prime}$ இல் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடாகும், மேலும் $\frac{d y}{d x}$ க்கு உயர்த்தப்பட்ட மிக உயர்ந்த அடுக்கு ஒன்று, எனவே அதன் படி ஒன்று.

(ii) கொடுக்கப்பட்ட வகையீட்டுச் சமன்பாட்டில் உள்ள மிக உயர்ந்த வரிசை வகைக்கெழு $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ஆகும், எனவே அதன் வரிசை இரண்டு. இது $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ மற்றும் $\frac{d y}{d x}$ இல் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடாகும், மேலும் $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ க்கு உயர்த்தப்பட்ட மிக உயர்ந்த அடுக்கு ஒன்று, எனவே அதன் படி ஒன்று.

(iii) வகையீட்டுச் சமன்பாட்டில் உள்ள மிக உயர்ந்த வரிசை வகைக்கெழு $y^{\prime \prime \prime}$ ஆகும், எனவே அதன் வரிசை மூன்று. கொடுக்கப்பட்ட வகையீட்டுச் சமன்பாடு அதன் வகைக்கெழுக்களில் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடு அல்ல, எனவே அதன் படி வரையறுக்கப்படவில்லை.

9.3 ஒரு வகையீட்டுச் சமன்பாட்டின் பொதுத் தீர்வு மற்றும் சிறப்புத் தீர்வு

முந்தைய வகுப்புகளில், பின்வரும் வகை சமன்பாடுகளை நாம் தீர்த்துள்ளோம்:

$$ \begin{align*} x^{2}+1=0 \tag{1} \\ \sin ^{2} x-\cos x=0 \tag{2} \end{align*} $$

சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) ஆகியவற்றின் தீர்வு என்பது கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் எண்கள், மெய் அல்லது கலப்பெண்கள் ஆகும். அதாவது, அந்த எண் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் அறியப்படாத $x$ க்கு பதிலாகப் பிரதியிடப்படும் போது, இடது பக்கம் வலது பக்கத்திற்குச் சமமாகிறது.

இப்போது வகையீட்டுச் சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0$

முதல் இரண்டு சமன்பாடுகளுக்கு மாறாக, இந்த வகையீட்டுச் சமன்பாட்டின் தீர்வு ஒரு சார்பு $\phi$ ஆகும், அது இதை நிறைவு செய்யும். அதாவது, சார்பு $\phi$ கொடுக்கப்பட்ட வகையீட்டுச் சமன்பாட்டில் அறியப்படாத $y$ (சார்பு மாறி) க்கு பதிலாகப் பிரதியிடப்படும் போது, இடது பக்கம் வலது பக்கத்திற்குச் சமமாகிறது.

வளைவு $y=\phi(x)$ கொடுக்கப்பட்ட வகையீட்டுச் சமன்பாட்டின் தீர்வு வளைவு (தொகையீட்டு வளைவு) என அழைக்கப்படுகிறது. பின்வரும் சார்பைக் கவனியுங்கள்:

$$ \begin{equation*} y=\phi(x)=a \sin (x+b) \tag{4} \end{equation*} $$

இங்கு $a, b \in \mathbf{R}$. இந்தச் சார்பும் அதன் வகைக்கெழுவும் சமன்பாடு (3) இல் பிரதியிடப்படும் போது, இடது பக்கம் = வலது பக்கம். எனவே இது வகையீட்டுச் சமன்பாடு (3) இன் ஒரு தீர்வாகும்.

$a$ மற்றும் $b$ க்கு சில குறிப்பிட்ட மதிப்புகள், எடுத்துக்காட்டாக $a=2$ மற்றும் $b=\frac{\pi}{4}$, கொடுக்கப்பட்டால், நாம் ஒரு சார்பைப் பெறுகிறோம்

$$ \begin{equation*} y=\phi _{1}(x)=2 \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \tag{5} \end{equation*} $$

இந்தச் சார்பும் அதன் வகைக்கெழுவும் சமன்பாடு (3) இல் மீண்டும் பிரதியிடப்படும் போது, இடது பக்கம் = வலது பக்கம். எனவே $\phi_1$ என்பதும் சமன்பாடு (3) இன் ஒரு தீர்வாகும்.

சார்பு $\phi$ இரண்டு தன்னிச்சையான மாறிலிகளை (அளவுருக்கள்) $a, b$ கொண்டுள்ளது மற்றும் இது கொடுக்கப்பட்ட வகையீட்டுச் சமன்பாட்டின் பொதுத் தீர்வு என அழைக்கப்படுகிறது. சார்பு $\phi_1$ எந்த தன்னிச்சையான மாறிலிகளையும் கொண்டிருக்கவில்லை, ஆனால் அளவுருக்கள் $a$ மற்றும் $b$ இன் குறிப்பிட்ட மதிப்புகளை மட்டுமே கொண்டுள்ளது, எனவே இது கொடுக்கப்பட்ட வகையீட்டுச் சமன்பாட்டின் ஒரு சிறப்புத் தீர்வு என அழைக்கப்படுகிறது. தன்னிச்சையான மாறிலிகளைக் கொண்டிருக்கும் தீர்வு வகையீட்டுச் சமன்பாட்டின் பொதுத் தீர்வு (மூலத் தீர்வு) எனப்படும்.

தன்னிச்சையான மாறிலிகள் இல்லாத தீர்வு, அதாவது பொதுத் தீர்விலிருந்து தன்னிச்சையான மாறிலிகளுக்கு குறிப்பிட்ட மதிப்புகளைக் கொடுப்பதன் மூலம் பெறப்பட்ட தீர்வு, வகையீட்டுச் சமன்பாட்டின் சிறப்புத் தீர்வு எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு 2 $y=e^{-3 x}$ சார்பு $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\frac{d y}{d x}-6 y=0$ வகையீட்டுச் சமன்பாட்டின் ஒரு தீர்வு என்பதைச் சரிபார்க்கவும்.

தீர்வு கொடுக்கப்பட்ட சார்பு $y=e^{-3 x}$. சமன்பாட்டின் இருபுறமும் $x$ ஐப் பொறுத்து வகையிட, நாம் பெறுகிறோம்

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=3 e^{-3 x} \tag{1} \end{equation*} $$

இப்போது, (1) ஐ $x$ ஐப் பொறுத்து வகையிட, நம்மிடம் உள்ளது

$$ \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=9 e^{-3 x} $$

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}, \frac{d y}{d x}$ மற்றும் $y$ இன் மதிப்புகளை கொடுக்கப்பட்ட வகையீட்டுச் சமன்பாட்டில் பிரதியிட, நாம் பெறுகிறோம்

இடது பக்கம் $=9 e^{-3 x}+(-3 e^{-3 x})-6 . e^{-3 x}=9 e^{-3 x}-9 e^{-3 x}=0=$ வலது பக்கம்.

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட சார்பு கொடுக்கப்பட்ட வகையீட்டுச் சமன்பாட்டின் ஒரு தீர்வாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 3 $y=a \cos x+b \sin x$ சார்பு, இங்கு $a, b \in \mathbf{R}$, வகையீட்டுச் சமன்பாட்டின் ஒரு தீர்வு என்பதைச் சரிபார்க்கவும் $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0$

தீர்வு கொடுக்கப்பட்ட சார்பு

$$ \begin{equation*} y=a \cos x+b \sin x \tag{1} \end{equation*} $$

சமன்பாட்டின் (1) இருபுறமும் $x$ ஐப் பொறுத்து தொடர்ச்சியாக வகையிட, நாம் பெறுகிறோம்

$$ \begin{aligned} \frac{d y}{d x} & =-a \sin x+b \cos x \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =-a \cos x-b \sin x \end{aligned} $$

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ மற்றும் $y$ இன் மதிப்புகளை கொடுக்கப்பட்ட வகையீட்டுச் சமன்பாட்டில் பிரதியிட, நாம் பெறுகிறோம்

இடது பக்கம் $=(-a \cos x-b \sin x)+(a \cos x+b \sin x)=0=$ வலது பக்கம்.

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட சார்பு கொடுக்கப்பட்ட வகையீட்டுச் சமன்பாட்டின் ஒரு தீர்வாகும்.

9.4 முதல் வரிசை, முதல் படி வகையீட்டுச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்

இந்தப் பிரிவில் முதல் வரிசை முதல் படி வகையீட்டுச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான மூன்று முறைகளைப் பற்றி விவாதிப்போம்.

9.4.1 மாறிகள் பிரிக்கக்கூடிய வகையீட்டுச் சமன்பாடுகள்

முதல் வரிசை-முதல் படி வகையீட்டுச் சமன்பாடு பின்வரும் வடிவத்தில் உள்ளது

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=\mathrm{F}(x, y) \tag{1} \end{equation*} $$

$F(x, y)$ ஐ ஒரு பெருக்கல் $g(x) h(y)$ ஆக வெளிப்படுத்த முடிந்தால், இங்கு $g(x)$ என்பது $x$ இன் சார்பாகவும், $h(y)$ என்பது $y$ இன் சார்பாகவும் இருந்தால், வகையீட்டுச் சமன்பாடு (1) மாறிகள் பிரிக்கக்கூடிய வகை என்று கூறப்படுகிறது. வகையீட்டுச் சமன்பாடு (1) பின்னர் பின்வரும் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=h(y) \cdot g(x) \tag{2} \end{equation*} $$

$h(y) \neq 0$ எனில், மாறிகளைப் பிரித்து, (2) ஐ பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதலாம்

$$ \begin{equation*} \frac{1}{h(y)} d y=g(x) d x \tag{3} \end{equation*} $$

(3) இன் இருபுறமும் தொகையிட, நாம் பெறுகிறோம்

$$ \begin{equation*} \int \frac{1}{h(y)} d y=\int g(x) d x \tag{4} \end{equation*} $$

எனவே, (4) கொடுக்கப்பட்ட வகையீட்டுச் சமன்பாட்டின் தீர்வுகளை பின்வரும் வடிவத்தில் வழங்குகிறது

$$ \begin{equation*} \mathrm{H}(y)=\mathrm{G}(x)+\mathrm{C} \tag{5} \end{equation*} $$

இங்கு, $H(y)$ மற்றும் $G(x)$ ஆகியவை முறையே $\frac{1}{h(y)}$ மற்றும் $g(x)$ இன் எதிர் வகைக்கெழுக்கள் மற்றும் $C$ என்பது தன்னிச்சையான மாறிலி ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 4 $\frac{d y}{d x}=\frac{x+1}{2-y},(y \neq 2)$ வகையீட்டுச் சமன்பாட்டின் பொதுத் தீர்வைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு நம்மிடம் உள்ளது

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=\frac{x+1}{2-y}(y \neq 2) \tag{1} \end{equation*} $$

சமன்பாட்டில் (1) மாறிகளைப் பிரித்து, நாம் பெறுகிறோம்

$$ \begin{equation*} (2-y) d y=(x+1) d x \tag{2} \end{equation*} $$

சமன்பாட்டின் (2) இருபுறமும் தொகையிட, நாம் பெறுகிறோம்

$$ \int(2-y) d y=\int(x+1) d x $$

$$ \text{ or } \qquad 2 y-\frac{y^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{2}+x+\mathrm{C} _{1} $$

$$ \text{ or } \qquad x^{2}+y^{2}+2 x-4 y+2 \mathrm{C} _{1}=0 $$

$\text{ or } \qquad x^{2}+y^{2}+2 x-4 y+\mathrm{C}=0 \text { where } \mathrm{C}=2 \mathrm{C} _{1}$

இது சமன்பாடு (1) இன் பொதுத் தீர்வாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 5 $\frac{d y}{d x}=\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}}$ வகையீட்டுச் சமன்பாட்டின் பொதுத் தீர்வைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு $1+y^{2} \neq 0$ என்பதால், மாறிகளைப் பிரித்து, கொடுக்கப்பட்ட வகையீட்டுச் சமன்பாட்டை பின்வருமாறு எழுதலாம்

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{1+y^{2}}=\frac{d x}{1+x^{2}} \tag{1} \end{equation*} $$

சமன்பாட்டின் (1) இருபுறமும் தொகையிட, நாம் பெறுகிறோம்

$$ \int \frac{d y}{1+y^{2}}=\int \frac{d x}{1+x^{2}} $$

$$\text{ or }\qquad \tan ^{-1} y=\tan ^{-1} x+\mathrm{C} $$

இது சமன்பாடு (1) இன் பொதுத் தீர்வாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 6 $\frac{d y}{d x}=-4 x y^{2}$ வகையீட்டுச் சமன்பாட்டின் சிறப்புத் தீர்வைக் கண்டறியவும். $y=1$, $x=0$ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

தீர்வு $y \neq 0$ எனில், கொடுக்கப்பட்ட வகையீட்டுச் சமன்பாட்டை பின்வருமாறு எழுதலாம்

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{y^{2}}=-4 x d x \tag{1} \end{equation*} $$

சமன்பாட்டின் (1) இருபுறமும் தொகையிட, நாம் பெறுகிறோம்

$ \begin{aligned} \int \frac{d y}{y^{2}} & =-4 \int x d x \\ \frac{1}{y} & =-2 x^{2}+C \\ \text{ or } \quad y & =\frac{1}{2 x^{2}-C} \end{aligned} $

$y=1$ மற்றும் $x=0$ ஐ சமன்பாடு (2) இல் பிரதியிட, நாம் பெறுகிறோம், $C=-1$.

இப்போது $C$ இன் மதிப்பை சமன்பாடு (2) இல் பிரதியிட, கொடுக்கப்பட்ட வகையீட்டுச் சமன்பாட்டின் சிறப்புத் தீர்வை $y=\frac{1}{2 x^{2}+1}$ எனப் பெறுகிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 7 $(1,1)$ புள்ளி வழியாகச் செல்லும் வளைவின் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும், அதன் வகையீட்டுச் சமன்பாடு $x d y=(2 x^{2}+1) d x(x \neq 0)$ ஆகும்.

தீர்வு கொடுக்கப்பட்ட வகையீட்டுச் சமன்பாட்டை பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தலாம்

$\text{ or } \qquad dy $ $ =(\frac{2x^2+1}{x}) dx \\ dy =(2 x+\frac{1}{x}) d x $

சமன்பாட்டின் (1) இருபுறமும் தொகையிட, நாம் பெறுகிறோம்

$$ \int d y=\int\left(2 x+\frac{1}{x}\right) d x $$

$ \begin{equation*} \text{ or }\qquad y=x^{2}+\log |x|+\mathrm{C} \tag{2} \end{equation*} $

சமன்பாடு (2) கொடுக்கப்பட்ட வகையீட்டுச் சமன்பாட்டின் தீர்வு வளைவுகளின் குடும்பத்தைக் குறிக்கிறது, ஆனால் $(1,1)$ புள்ளி வழியாகச் செல்லும் குடும்பத்தின் ஒரு குறிப்பிட்ட உறுப்பின் சமன்பாட்டைக் கண்டறிய நாங்கள் ஆர்வமாக உள்ளோம். எனவே $x=1, y=1$ ஐ சமன்பாடு (2) இல் பிரதியிட, நாம் பெறுகிறோம் $C=0$.

இப்போது $C$ இன் மதிப்பை சமன்பாடு (2) இல் பிரதியிட, தேவையான வளைவின் சமன்பாட்டை $y=x^{2}+\log |x|$ எனப் பெறுகிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 8 $(-2,3)$ புள்ளி வழியாகச் செல்லும் ஒரு வளைவின் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும், எந்தப் புள்ளியிலும் $(x, y)$ வளைவிற்கான தொடுகோட்டின் சாய்வு $\frac{2 x}{y^{2}}$ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

தீர்வு ஒரு வளைவிற்கான தொடுகோட்டின் சாய்வு $\frac{d y}{d x}$ ஆல் வழங்கப்படுகிறது என்பதை நாம் அறிவோம்.

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=\frac{2 x}{y^{2}} \tag{1} \end{equation*} $$

மாறிகளைப் பிரித்து, சமன்பாடு (1) ஐ பின்வருமாறு எழுதலாம்

$$ \begin{equation*} y^{2} d y=2 x d x \tag{2} \end{equation*} $$

சமன்பாட்டின் (2) இருபுறமும் தொகையிட, நாம் பெறுகிறோம்

$$ \int y^{2} d y=\int 2 x d x $$

$$ \begin{equation*} \text{ or } \qquad \frac{y^{3}}{3}=x^{2}+\mathrm{C} \tag{3} \end{equation*} $$

$x=-2, y=3$ ஐ சமன்பாடு (3) இல் பிரதியிட, நாம் பெறுகிறோம் $C=5$.

$C$ இன் மதிப்பை சமன்பாடு (3) இல் பிரதியிட, தேவையான வளைவின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

$$ \frac{y^{3}}{3}=x^{2}+5 \quad \text{ or } \quad y=(3 x^{2}+15)^{\frac{1}{3}} $$

எடுத்துக்காட்டு 9 ஒரு வங்கியில், அசல் தொகை ஆண்டுக்கு 5% வீதம் தொடர்ச்சியாக அதிகரிக்கிறது. எத்தனை ஆண்டுகளில் ரூ. 1000 இரட்டிப்பாகும்?

தீர்வு $P$ என்பது எந்த நேரத்திலும் $t$ இல் உள்ள அசல் தொகையாக இருக்கட்டும். கொடுக்கப்பட்ட பிரச்சனையின் படி,

$$ \begin{align*} & \frac{d \mathrm{P}}{d t}=\left(\frac{5}{100}\right) \times \mathrm{P} \\ & \frac{d \mathrm{P}}{d t}=\frac{\mathrm{P}}{20} \tag{1} \end{align*} $$

சமன்பாட்டில் (1) மாறிகளைப் பிரித்து, நாம் பெறுகிறோம்

$$ \begin{equation*} \frac{d \mathrm{P}}{\mathrm{P}}=\frac{d t}{20} \tag{2} \end{equation*} $$

சமன்பாட்டின் (2) இருபுறமும் தொகையிட, நாம் பெறுகிறோம்

$$ \begin{aligned} \text{ or } \qquad \log P & =\frac{t}{20}+C_1 \\ P & =e^{\frac{t}{20}} \cdot e^{C_1} \end{aligned} $$

$$ \begin{equation*} \text{ or } \qquad \mathrm{P}=\mathrm{C} e^{\frac{t}{20}} \quad\left(\text { where } e^{\mathrm{C} _{1}}=\mathrm{C}\right) \tag{3} \end{equation*} $$

இப்போது $\qquad \mathrm{P}=1000, \quad \text { when } t=0$

$P$ மற்றும் $t$ இன் மதிப்புகளை (3) இல் பிரதியிட, நாம் பெறுகிறோம் $C=1000$.

எனவே, சமன்பாடு (3), தருகிறது

$$ P=1000 e^{\frac{t}{20}} $$

அசலை இரட்டிப்பாக்க தேவையான நேரம் $t$ ஆண்டுகள் என்று வைத்துக்கொள்வோம். பிறகு

$$ 2000=1000 e^{\frac{t}{20}} \Rightarrow t=20 \log _{e} 2 $$

9.4.2 ஒருபடி வகையீட்டுச் சமன்பாடுகள்

$x$ மற்றும் $y$ இல் பின்வரும் சார்புகளைக் கவனியுங்கள்

$$ \begin{matrix} F_1(x, y)=y^{2}+2 x y, & F_2(x, y)=2 x-3 y, \\ F_3(x, y)=\cos (\frac{y}{x}), & F_4(x, y)=\sin x+\cos y \end{matrix} $$

மேலே உள்ள சார்புகளில் $x$ மற்றும் $y$ ஆகியவற்றை முறையே $\lambda x$ மற்றும் $\lambda y$ ஆல் மாற்றினால், எந்த பூஜ்ஜியமற்ற மாறிலி $\lambda$ க்கும், நாம் பெறுகிறோம்

$ \begin{aligned} & F_1(\lambda x, \lambda y)=\lambda^{2}(y^{2}+2 x y)=\lambda^{2} F_1(x, y) \\ & F_2(\lambda x, \lambda y)=\lambda(2 x-3 y)=\lambda F_2(x, y) \\ & F_3(\lambda x, \lambda y)=\cos (\frac{\lambda y}{\lambda x})=\cos (\frac{y}{x})=\lambda^{0} \quad F_3(x, y) \\ & F_4(\lambda x, \lambda y)=\sin \lambda x+\cos \lambda y \neq \lambda^{n} F_4(x, y), \text{ for any } n \in \mathbf{N} \end{aligned} $

இங்கே, சார்புகள் $F_1, F_2, F_3$ ஆகியவை $F(\lambda x, \lambda y)=\lambda^{n} F(x, y)$ வடிவத்தில் எழுதப்பட முடியும், ஆனால் ⟦253⟜ அந்த வடிவத்தில் எழுத முடியாது என்பதை நாம் கவனிக்கிறோம். இது பின்வரும் வரையறைக்கு வழிவகுக்கிறது:

ஒரு சார்பு $F(x, y)$ படி $n$ இன் ஒருபடிச் சார்பு எனக் கூறப்படுகிறது, எந்த பூஜ்ஜியமற்ற மாறிலி $\lambda$ க்கும் $F(\lambda x, \lambda y)=\lambda^{n} F(x, y)$ எனில்.

மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளில், $F_1, F_2, F_3$ ஆகியவை முறையே படி 2, 1, 0 இன் ஒருபடிச் சார்புகள், ஆனால் ⟦259⟜ ஒரு ஒருபடிச் சார்பு அல்ல என்பதை நாம் கவனிக்கிறோம்.

நாம் மேலும் கவனிக்கிறோம்

$ \begin{aligned} & \qquad F_1(x, y)=x^{2}(\frac{y^{2}}{x^{2}}+\frac{2 y}{x})=x^{2} h_1(\frac{y}{x}) \\ & \qquad F_1(x, y)=y^{2}(1+\frac{2 x}{y})=y^{2} h_2(\frac{x}{y}) \\ & \text{or}\qquad F_2(x, y)=x^{1}(2-\frac{3 y}{x})=x^{1} h_3(\frac{y}{x}) \\ & \qquad F_2(x, y)=y^{1}(2 \frac{x}{y}-3)=y^{1} h_4(\frac{x}{y}) \\ & \qquad F_3(x, y)=x^{0} \cos (\frac{y}{x})=x^{0} h_5(\frac{y}{x}) \\ & \