லாப்லாஸ் திருத்தம்

லாப்லாஸ் திருத்தம்#

லாப்லாஸ் திருத்தம் என்பது நிகழ்தகவுக் கோட்பாடு மற்றும் புள்ளியியலில் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு நுட்பமாகும், இது சில நிகழ்வுகள் மற்றவற்றை விட அதிகமாக நிகழக்கூடும் என்பதைக் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளை சரிசெய்ய பயன்படுகிறது. இது 18 ஆம் நூற்றாண்டில் இந்த கருத்தை முதலில் முன்மொழிந்த பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் பியர்-சைமன் லாப்லாஸின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது.

லாப்லாஸ் திருத்த சூத்திரம்#

லாப்லாஸ் திருத்த சூத்திரம் என்பது மாதிரி அளவு சிறியதாக இருக்கும்போது ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவை மதிப்பிடுவதற்கான ஒரு முறையாகும். இது 18 ஆம் நூற்றாண்டில் இதை முதலில் முன்மொழிந்த பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் பியர்-சைமன் லாப்லாஸின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது.

லாப்லாஸ் திருத்த சூத்திரம் பின்வருமாறு வழங்கப்படுகிறது:

$$P(X = x) = \frac{x + 1}{n + 1}$$

இங்கு:

$P(X = x)$ என்பது சீரற்ற மாறி $X$ ஆனது $x$ மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்தகவு

• $x$ என்பது மாதிரியில் நிகழ்வு $X$ நிகழ்ந்த முறைகளின் எண்ணிக்கை
• $n$ என்பது மாதிரி அளவு

லாப்லாஸ் திருத்த சூத்திரத்தை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது#

லாப்லாஸ் திருத்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த, $x$ மற்றும் $n$ ஆகியவற்றின் மதிப்புகளை சூத்திரத்தில் பொருத்தி நிகழ்தகவைக் கணக்கிடவும்.

எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் ஒரு நாணயத்தை சுண்டும்போது தலை வரும் நிகழ்தகவை மதிப்பிடுவதில் ஆர்வமாக உள்ளீர்கள் என்று வைத்துக்கொள்வோம். நாணயத்தை 10 முறை சுண்டி 5 முறை தலைகள் கிடைக்கின்றன. லாப்லாஸ் மென்மையாக்கல் சூத்திரம் பின்வரும் நிகழ்தகவைத் தரும்:

$$P(X = 5) = \frac{\binom{5}{5} \cdot (0.5)^5 \cdot (0.5)^{10-5}}{\binom{10}{5}} = \frac{1 \cdot 0.5^{10}}{252} \approx 0.0009766$$

இதன் பொருள், ஒரு நாணயத்தை சுண்டும்போது தலை கிடைக்கும் நிகழ்தகவு 0.5 அல்லது 50% என மதிப்பிடப்படுகிறது.

லாப்லாஸ் திருத்தத்தின் நன்மைகள் மற்றும் தீமைகள்#

லாப்லாஸ் திருத்த சூத்திரம் என்பது மாதிரி அளவு சிறியதாக இருக்கும்போது நிகழ்தகவுகளை மதிப்பிடுவதற்கான ஒரு எளிமையான மற்றும் பயன்படுத்த எளிதான முறையாகும். இருப்பினும், இதற்கு சில வரம்புகள் உள்ளன.

லாப்லாஸ் திருத்த சூத்திரத்தின் ஒரு வரம்பு என்னவென்றால், வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான முறைகள் நிகழக்கூடிய நிகழ்வுகளுக்கு மட்டுமே நிகழ்தகவுகளை மதிப்பிட இதைப் பயன்படுத்த முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு நபர் 100 வயது வரை வாழும் நிகழ்தகவை மதிப்பிட லாப்லாஸ் திருத்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த முடியாது, ஏனெனில் ஒரு நபர் எவ்வளவு காலம் வாழ முடியும் என்பதற்கு வரம்பு இல்லை.

லாப்லாஸ் திருத்த சூத்திரத்தின் மற்றொரு வரம்பு என்னவென்றால், மாதிரி அளவு மிகவும் சிறியதாக இருக்கும்போது இது துல்லியமற்றதாக இருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் ஒரு நாணயத்தை இரண்டு முறை மட்டுமே சுண்டி இரண்டு தலைகள் கிடைத்தால், லாப்லாஸ் திருத்த சூத்திரம் 1 அல்லது 100% நிகழ்தகவைத் தரும், இது தெளிவாக துல்லியமானது அல்ல.

லாப்லாஸ் திருத்த சூத்திரம் என்பது மாதிரி அளவு சிறியதாக இருக்கும்போது நிகழ்தகவுகளை மதிப்பிடுவதற்கான ஒரு பயனுள்ள கருவியாகும். இருப்பினும், அதைப் பயன்படுத்துவதற்கு முன்பு அதன் வரம்புகளை அறிந்திருப்பது முக்கியம்.

நியூட்டனின் சூத்திரத்திற்கான லாப்லாஸ் திருத்தத்தின் வழித்தோன்றல்#

அறிமுகம்

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டின் மூலங்களை தோராயமாக மதிப்பிடுவதற்கான நியூட்டனின் முறை என்பது எண்முறை பகுப்பாய்வில் ஒரு சக்திவாய்ந்த கருவியாகும். இருப்பினும், மூலங்கள் ஒன்றுக்கொன்று அருகில் இருக்கும்போது இது துல்லியமற்றதாக இருக்கலாம். நியூட்டன்-ராப்சன் முறை என்பது நியூட்டனின் முறையின் ஒரு மாற்றமாகும், இது இந்த சந்தர்ப்பங்களில் அதன் துல்லியத்தை மேம்படுத்துகிறது.

நியூட்டனின் சூத்திரம்

பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டின் மூலங்களை தோராயமாக மதிப்பிடுவதற்கான நியூட்டனின் சூத்திரம் $$p(x) = 0$$ பின்வருமாறு வழங்கப்படுகிறது:

$$x_{n+1} = x_n - \frac{p(x_n)}{p’(x_n)}$$

இங்கு $x_n$ என்பது மூலத்தின் n-ஆவது தோராயமாகும் மற்றும் $p’(x)$ என்பது $p(x)$ இன் வகைக்கெழு ஆகும்.

லாப்லாஸ் திருத்தம்

நியூட்டனின் சூத்திரத்திற்கான லாப்லாஸ் திருத்தம் பின்வருமாறு வழங்கப்படுகிறது:

$$x_{n+1} = x_n - \frac{p(x_n)}{p’(x_n)} \left( 1 - \frac{p(x_n)p’’(x_n)}{2p’(x_n)^2} \right)$$

இங்கு $p’’(x)$ என்பது $p(x)$ இன் இரண்டாம் வகைக்கெழு ஆகும்.

லாப்லாஸ் திருத்தத்தின் வழித்தோன்றல்

லாப்லாஸ் திருத்தத்தை மூலத்தைச் சுற்றி $p(x)$ இன் டெய்லர் தொடர் விரிவாக்கத்தைப் பயன்படுத்தி பெறலாம் $x=r$. நம்மிடம் உள்ளது:

$$p(x) = p(r) + p’(r)(x - r) + \frac{p’’(r)}{2!}(x - r)^2 + \cdots$$

இதை நியூட்டனின் சூத்திரத்தில் பதிலிட, நாம் பெறுவது:

$$x_{n+1} = r - \frac{p(r) + p’(r)(x_n - r) + \frac{p’’(r)}{2!}(x_n - r)^2 + \cdots}{p’(r)}$$

எளிமைப்படுத்தினால், நாம் பெறுவது:

$$x_{n+1} = r - \left( x_n - r \right) - \frac{p’’(r)}{2p’(r)}(x_n - r)^2 + \cdots$$

மறுசீரமைத்தால், நாம் பெறுவது:

$$x_{n+1} = x_n - \frac{p(x_n)}{p’(x_n)} \left( 1 - \frac{p’’(x_n)}{2p’(x_n)} (x_n - r) + \cdots \right)$$

$x_n$ என்பது மூலத்தின் ஒரு தோராயமாக இருப்பதால் $r$, $(x_n - r)$ சிறியது என்று நாம் கருதலாம். எனவே, டெய்லர் தொடர் விரிவாக்கத்தில் உயர்-வரிசை சொற்களை புறக்கணித்து பெறலாம்:

$$x_{n+1} = x_n - \frac{p(x_n)}{p’(x_n)} \left( 1 - \frac{p’’(x_n)}{2p’(x_n)^2} \right)$$

இதுவே நியூட்டனின் சூத்திரத்திற்கான லாப்லாஸ் திருத்தமாகும்.

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டின் மூலங்கள் ஒன்றுக்கொன்று அருகில் இருக்கும்போது லாப்லாஸ் திருத்தம் நியூட்டனின் சூத்திரத்தின் துல்லியத்தை மேம்படுத்துகிறது. இது எண்முறை பகுப்பாய்வு மென்பொருளில் எளிதாக செயல்படுத்தக்கூடிய ஒரு எளிய மாற்றமாகும்.

ஒலியின் வேகத்திற்கான லாப்லாஸ் திருத்தம்#

லாப்லாஸ் திருத்தம் என்பது வெப்ப விரிவாக்கத்தின் விளைவுகளுக்காக ஒரு வாயுவில் ஒலியின் வேகத்தை சரிசெய்ய பயன்படும் ஒரு முறையாகும். இது 1816 ஆம் ஆண்டில் இதை முதலில் வழித்தோன்றிய பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் பியர்-சைமன் லாப்லாஸின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது.

பின்னணி#

ஒரு பாய்மத்தில் ஒலியின் வேகம் பின்வரும் சமன்பாட்டால் வழங்கப்படுகிறது:

$$c = \sqrt{\frac{K}{\rho}}$$

இங்கு:

• $c$ என்பது ஒலியின் வேகம் மீட்டர்/வினாடியில் (மீ/வி)
• $K$ என்பது பாய்மத்தின் பருமன் குணகம் பாஸ்கல்களில் (Pa)
• $\rho$ என்பது பாய்மத்தின் அடர்த்தி கிலோகிராம்/கன மீட்டரில் (கிகி/மீ³)

பருமன் குணகம் என்பது பாய்மத்தின் அமுக்கத்திற்கான எதிர்ப்பின் அளவீடு ஆகும். அடர்த்தி என்பது அலகு கனஅளவிற்கு பாய்மத்தின் நிறையின் அளவீடு ஆகும்.

லாப்லாஸ் திருத்தம்#

லாப்லாஸ் திருத்தம் அமுக்குத்திறன் மற்றும் வெப்ப விரிவாக்கத்தின் விளைவுகளைக் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள மேலே உள்ள சமன்பாட்டை மாற்றியமைக்கிறது. திருத்தப்பட்ட சமன்பாடு:

$$c = \sqrt{\frac{K}{\rho}\left(1 + \frac{4}{3}\frac{\mu}{\rho c}\right)}$$

இங்கு:

$\mu$ என்பது பாய்மத்தின் இயக்க பாகுத்தன்மை பாஸ்கல்-வினாடிகளில் (Pa·s)

$\frac{4}{3}\frac{\mu}{\rho c}$ என்ற சொல் பாகுத்தன்மை மற்றும் வெப்ப கடத்துத்திறன் விளைவுகளுக்கான திருத்தத்தைக் குறிக்கிறது. இந்த சொல் பொதுவாக சிறியதாக இருக்கும், ஆனால் அதிவேக ஓட்டங்களுக்கு அல்லது வெப்ப மற்றும் பாகுத்தன்மை விளைவுகள் புறக்கணிக்க முடியாத சந்தர்ப்பங்களில் இது குறிப்பிடத்தக்கதாக இருக்கலாம்.

லாப்லாஸ் திருத்தம் என்பது பாய்மங்களில் ஒலியின் வேகத்தைப் புரிந்துகொள்வதற்கும் கணிக்கவும் ஒரு மதிப்புமிக்க கருவியாகும். இது ஒலியின் வேகத்திற்கான அடிப்படை சமன்பாட்டில் எளிதாகப் பயன்படுத்தக்கூடிய ஒரு எளிய திருத்தமாகும்.

லாப்லாஸ் திருத்தத்தின் பயன்பாடு#

லாப்லாஸ் திருத்தம் என்பது நிகழ்தகவுக் கோட்பாடு மற்றும் புள்ளியியலில் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு நுட்பமாகும், இது சில நிகழ்வுகள் மற்றவற்றை விட அதிகமாக நிகழக்கூடும் என்பதைக் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளை சரிசெய்ய பயன்படுகிறது. இது 18 ஆம் நூற்றாண்டில் இந்த கருத்தை முதலில் முன்மொழிந்த பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் பியர்-சைமன் லாப்லாஸின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது.

லாப்லாஸின் தொடர்ச்சி விதி#

லாப்லாஸ் திருத்தத்தின் மிகவும் பொதுவான பயன்பாடுகளில் ஒன்று லாப்லாஸின் தொடர்ச்சி விதியின் சூழலில் உள்ளது. இந்த விதி, எதிர்காலத்தில் ஒரு நிகழ்வு நிகழும் நிகழ்தகவு, கடந்த காலத்தில் நிகழ்வு நிகழ்ந்த முறைகளின் எண்ணிக்கை, மொத்த சோதனைகளின் எண்ணிக்கையை விட ஒன்று அதிகமாக வகுக்கப்படுவதற்கு சமம் என்று கூறுகிறது.

எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு நாணயம் 10 முறை சுண்டப்பட்டு 5 முறை தலைகள் வந்திருந்தால், அடுத்த முறை சுண்டும்போது நாணயம் தலை வரும் நிகழ்தகவு இன்னும் 0.5 ஆகும்.

சிறிய நிகழ்தகவு மதிப்பீடுகளுக்கான லாப்லாஸ் திருத்தம்#

மாதிரி அளவு சிறியதாக இருக்கும்போது லாப்லாஸ் திருத்தம் குறிப்பாக பயனுள்ளதாக இருக்கும். ஏனெனில், மாதிரி அளவு சிறியதாக இருக்கும்போது தொடர்ச்சி விதி தவறான தகவலைத் தரக்கூடும், ஏனெனில் சில நிகழ்வுகள் மற்றவற்றை விட அதிகமாக நிகழக்கூடும் என்பதை இது கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளாது.

எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு நாணயம் இரண்டு முறை மட்டுமே சுண்டப்பட்டு இரண்டு முறையும் தலைகள் வந்திருந்தால், அடுத்த முறை சுண்டும்போது நாணயம் தலை வரும் நிகழ்தகவு 2/2 = 1 அல்ல. இருப்பினும், இந்த நிகழ்தகவு துல்லியமானது அல்ல, ஏனெனில் நாணயம் சமமாக வால்கள் வரக்கூடும் என்பதை இது கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளாது.

லாப்லாஸ் திருத்தம், கடந்த காலத்தில் நிகழ்வு நிகழ்ந்த முறைகளின் எண்ணிக்கையில் 1 ஐக் கூட்டுவதன் மூலமும், மொத்த சோதனைகளின் எண்ணிக்கையில் 1 ஐக் கூட்டுவதன் மூலமும் எதிர்காலத்தில் ஒரு நிகழ்வு நிகழும் நிகழ்தகவை சரிசெய்கிறது. இந்த சரிசெய்தல் நிகழ்தகவை மிகவும் துல்லியமாக்குகிறது, ஏனெனில் சில நிகழ்வுகள் மற்றவற்றை விட அதிகமாக நிகழக்கூடும் என்பதை இது கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறது.

எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு நாணயம் இரண்டு முறை சுண்டப்பட்டு இரண்டு முறையும் தலைகள் வந்திருந்தால், லாப்லாஸ் திருத்தம் அடுத்த முறை சுண்டும்போது நாணயம் தலை வரும் நிகழ்தகவை (2 + 1)/(2 + 2) = 3/4 ஆக சரிசெய்யும். இந்த நிகழ்தகவு 1 என்ற நிகழ்தகவை விட மிகவும் துல்லியமானது, ஏனெனில் நாணயம் நியாயமானது என்ற அவசியமில்லை என்பதை இது கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறது.

லாப்லாஸ் திருத்தத்தின் பிற பயன்பாடுகள்#

லாப்லாஸ் திருத்தம் பின்வரும் பிற பயன்பாடுகளிலும் பயன்படுத்தப்படலாம்:

• பேய்சியன் புள்ளியியல்: பேய்சியன் புள்ளியியலில் நிகழ்வுகளின் முன்னுரிமை நிகழ்தகவுகளை சரிசெய்ய லாப்லாஸ் திருத்தம் பயன்படுத்தப்படலாம். முன்னுரிமை நிகழ்தகவுகள் உறுதியாகத் தெரியாதபோது இது பயனுள்ளதாக இருக்கும்.
• இயந்திர கற்றல்: இயந்திர கற்றல் மாதிரிகளை ஒழுங்குபடுத்த லாப்லாஸ் திருத்தம் பயன்படுத்தப்படலாம். இது மாதிரிகள் தரவை அதிகமாக பொருத்துவதைத் தடுக்க உதவும்.
• முடிவெடுக்கும் கோட்பாடு: நிச்சயமற்ற நிலையில் முடிவுகளை எடுக்க லாப்லாஸ் திருத்தம் பயன்படுத்தப்படலாம். நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகள் உறுதியாகத் தெரியாதபோது இது பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

லாப்லாஸ் திருத்தம் என்பது சில நிகழ்வுகள் மற்றவற்றை விட குறைவாக நிகழக்கூடும் என்பதைக் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளை சரிசெய்யப் பயன்படும் ஒரு சக்திவாய்ந்த நுட்பமாகும். இது நிகழ்தகவுக் கோட்பாடு, புள்ளியியல் மற்றும் பிற துறைகளுக்கான ஒரு மதிப்புமிக்க கருவியாகும்.

லாப்லாஸ் திருத்தத்தில் தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்#

லாப்லாஸ் திருத்தம் என்பது மாதிரி அளவு சிறியதாக இருக்கும்போது இருபக்கப் பரவலுக்கான இயல்பான தோராயத்தின் துல்லியத்தை மேம்படுத்தப் பயன்படும் ஒரு நுட்பமாகும். இது தொடர்ச்சித் திருத்தக் காரணியை இயல்பான தோராயத்தில் சேர்ப்பது என்ற கருத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

எடுத்துக்காட்டு 1#

$n = 10$ மற்றும் $p = 0.5$ ஆகிய அளவுருக்களைக் கொண்ட ஒரு இருபக்கப் பரவல் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். சரியாக 5 வெற்றிகளைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறிய விரும்புகிறோம்.

இருபக்கப் பரவலுக்கான இயல்பான தோராயம் பின்வரும் சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது:

$$P(X = x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}$$

இங்கு $X$ என்பது வெற்றிகளின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடும் சீரற்ற மாறி, $\mu = np$ என்பது பரவலின் சராசரி மற்றும் $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$ என்பது நியம விலகல் ஆகும்.

இந்த வழக்கில், நம்மிடம் $\mu = 10(0.5) = 5$ மற்றும் $\sigma = \sqrt{10(0.5)(0.5)} = 1.5811$ உள்ளது. எனவே, சரியாக 5 வெற்றிகளைப் பெறுவதற்கான இயல்பான தோராயம்:

$$P(X = 5) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}(1.5811)} e^{-(5-5)^2/(2(1.5811)^2)} = 0.3829$$

இருப்பினும், சரியாக 5 வெற்றிகளைப் பெறுவதற்கான சரியான நிகழ்தகவு:

$$P(X = 5) = \binom{10}{5}(0.5)^5(0.5)^5 = 0.2461$$

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இந்த வழக்கில் இயல்பான தோராயம் மிகவும் துல்லியமாக இல்லை. இதற்குக் காரணம், மாதிரி அளவு சிறியது மற்றும் இருபக்கப் பரவல் இயல்பான பரவலுக்கு மிக அருகில் இல்லை.

எடுத்துக்காட்டு 2#

இப்போது, $n = 100$ மற்றும் $p = 0.5$ ஆகிய அளவுருக்களைக் கொண்ட ஒரு இருபக்கப் பரவலைக் கருத்தில் கொள்வோம். 45 முதல் 55 வெற்றிகள் வரை பெறுவதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறிய விரும்புகிறோம்.

இருபக்கப் பரவலுக்கான இயல்பான தோராயம் பின்வரும் சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது:

$$P(a < X < b) = \int_a^b \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2} dx$$

இங்கு $X$ என்பது வெற்றிகளின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடும் சீரற்ற மாறி, $\mu = np$ என்பது பரவலின் சராசரி மற்றும் $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$ என்பது நியம விலகல் ஆகும்.

இந்த வழக்கில், நம்மிடம் $\mu = 100(0.5) = 50$ மற்றும் $\sigma = \sqrt{100(0.5)(0.5)} = 5$ உள்ளது. எனவே, 45 முதல் 55 வெற்றிகள் வரை பெறுவதற்கான இயல்பான தோராயம்:

$$P(45 < X < 55) = \int_{45}^{55} \frac{1}{5\sqrt{2\pi}} e^{-(x-50)^2/2(5)^2} dx = 0.6826$$

45 முதல் 55 வெற்றிகள் வரை பெறுவதற்கான சரியான நிகழ்தகவு:

$$P(45 < X < 55) = \sum_{x=46}^{54} \binom{100}{x}(0.5)^x(0.5)^{100-x} = 0.6915$$

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இயல்பான தோராயம் முந்தைய எடுத்துக்காட்டில் இருந்ததை விட இந்த வழக்கில் மிகவும் துல்லியமானது. இதற்குக் காரணம், மாதிரி அளவு பெரியது மற்றும் இருபக்கப் பரவல் இயல்பான பரவலுக்கு நெருக்கமாக உள்ளது.

லாப்லாஸ் திருத்தம் என்பது மாதிரி அளவு சிறியதாக இருக்கும்போது இருபக்கப் பரவலுக்கான இயல்பான தோராயத்தின் துல்லியத்தை மேம்படுத்துவதற்கான ஒரு பயனுள்ள நுட்பமாகும். இருப்பினும், இயல்பான தோராயம் ஒரு தோராயம் மட்டுமே என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும், மேலும் இது சில நோக்கங்களுக்கு போதுமான துல்லியமாக இருக்காது.

லாப்லாஸ் திருத்தம் அடிக்கடி கேட்கப்படும் கேள்விகள்#

லாப்லாஸ் திருத்தம் என்றால் என்ன?#

லாப்லாஸ் திருத்தம் என்பது மாதிரி சராசரி பக்கச்சார்புடையதாக இருக்கும்போது ஒரு மக்கள்தொகையின் உண்மையான சராசரியை மதிப்பிடப் பயன்படும் ஒரு முறையாகும். இது 18 ஆம் நூற்றாண்டில் இந்த முறையை முதலில் முன்மொழிந்த பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் பியர்-சைமன் லாப்லாஸின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது.

லாப்லாஸ் திருத்தம் எப்போது பயன்படுத்தப்படுகிறது?#

லாப்லாஸ் திருத்தம் என்பது தரவுப் புள்ளிகளால் ஏற்படும் மாதிரி சராசரி பக்கச்சார்பை சரிசெய்ய பயன்படுத்தப்படுவதில்லை. தரவுப் புள்ளிகள் என்பது மீதமுள்ள தரவிலிருந்து கணிசமாக வேறுபட்ட தரவுப் புள்ளிகள் ஆகும், மேலும் அவை மாதிரி சராசரியை சிதைக்கக்கூடும். இந்த சூழலில் லாப்லாஸ் திருத்தம் பொருந்தாது.

லாப்லாஸின் திருத்தம் எவ்வாறு செயல்படுகிறது?#

லாப்லாஸ் திருத்தம் தரவில் ஒரு சிறிய அளவு இரைச்சலைச் சேர்ப்பதன் மூலம் செயல்படுகிறது. இந்த இரைச்சல் தரவை மென்மையாக்கவும், தரவுப் புள்ளிகளின் தாக்கத்தைக் குறைக்கவும் உதவுகிறது. சேர்க்கப்படும் இரைச்சலின் அளவு முன்னுரிமைப் பரவல் மற்றும் விரும்பிய துல்லியத்தின் அளவைப் பொறுத்து தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

லாப்லாஸ் திருத்தத்தின் நன்மைகள் என்ன?#

லாப்லாஸ் திருத்தம் பக்கச்சார்புத் திருத்தத்தின் பிற முறைகளை விட பல நன்மைகளைக் கொண்டுள்ளது. இந்த நன்மைகளில் பின்வருவன அடங்கும்:

• இது செயல்படுத்த எளிதானது.
• இது கணக்கீட்டு ரீதியாக திறமையானது.
• இது தரவுப் புள்ளிகளுக்கு எதிராக உறுதியானது.
• இது எந்த வகையான தரவையும் பயன்படுத்தலாம்.

லாப்லாஸின் திருத்தத்தின் தீமைகள் என்ன?#

லாப்லாஸ் திருத்தத்திற்கும் சில தீமைகள் உள்ளன, அவை பின்வருமாறு:

• இது தரவில் சில பக்கச்சார்புகளை அறிமுகப்படுத்தலாம்.
• இது இரைச்சல் அளவின் தேர்வுக்கு உணர்திறன் கொண்டதாக இருக்கலாம்.
• முடிவுகளை விளக்குவது கடினமாக இருக்கலாம்.

முடிவுரை#

தரவுப் புள்ளிகளின் இருப்பு காரணமாக மாதிரி சராசரி பக்கச்சார்புடையதாக இருக்கும்போது பக்கச்சார்புத் திருத்தத்திற்கான ஒரு பயனுள்ள முறையாக லாப்லாஸ் திருத்தம் உள்ளது. இது செயல்படுத்த எளிதானது, கணக்கீட்டு ரீதியாக திறமையானது மற்றும் தரவுப் புள்ளிகளுக்கு எதிராக உறுதியானது. இருப்பினும், இது மதிப்பீடுகளில் சில பக்கச்சார்புகளை அறிமுகப்படுத்தலாம், மேலும் இது இரைச்சல் அளவின் தேர்வுக்கு உணர்திறன் கொண்டதாக இருக்கலாம்.