அத்தியாயம் 8 திடப்பொருட்களின் இயந்திரப் பண்புகள் பயிற்சிகள்

விடை

எஃகுக் கம்பியின் நீளம், $L_1=4.7 m$

எஃகுக் கம்பியின் குறுக்குவெட்டுப் பரப்பு, $A_1=3.0 \times 10^{-5} m^{2}$

செம்புக் கம்பியின் நீளம், $L_2=3.5 m$

செம்புக் கம்பியின் குறுக்குவெட்டுப் பரப்பு, $A_2=4.0 \times 10^{-5} m^{2}$

நீளத்தில் ஏற்படும் மாற்றம் $=\Delta L_1=\Delta L_2=\Delta L$

இரு நிகழ்வுகளிலும் பயன்படுத்தப்படும் விசை $=F$

எஃகுக் கம்பியின் யங்கின் குணகம்:

$$ \begin{align*} & Y_1=\frac{F_1}{A_1} \times \frac{L_1}{\Delta L} \\ & =\frac{F \times 4.7}{3.0 \times 10^{-5} \times \Delta L} \tag{i} \end{align*} $$

செம்புக் கம்பியின் யங்கின் குணகம்:

$$ \begin{align*} Y_2 & =\frac{F_2}{A_2} \times \frac{L_2}{\Delta L_2} \\ & =\frac{F \times 3.5}{4.0 \times 10^{-5} \times \Delta L} \tag{ii} \end{align*} $$

(i) ஐ (ii) ஆல் வகுக்க, நாம் பெறுவது:

$ \frac{Y_1}{Y_2}=\frac{4.7 \times 4.0 \times 10^{-5}}{3.0 \times 10^{-5} \times 3.5}=1.79: 1 $

எஃகின் யங்கின் குணகத்திற்கும் செம்பின் யங்கின் குணகத்திற்கும் உள்ள விகிதம் $1.79: 1$.

விடை

கொடுக்கப்பட்ட வரைபடத்தில் இருந்து தெளிவாகிறது, தகைவு $150 \times 10^{6} N / m^{2}$ ஆக இருக்கும் போது, திரிபு 0.002 ஆகும்.

$\therefore$ யங்கின் குணகம், $Y=\frac{\text{ Stress }}{\text{ Strain }}$

$ =\frac{150 \times 10^{6}}{0.002}=7.5 \times 10^{10} N / m^{2} $

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட பொருளின் யங்கின் குணகம் $7.5 \times 10^{10} N / m^{2}$.

ஒரு பொருளின் மகசூல் வலிமை என்பது, மீள் எல்லையைக் கடக்காமல் அந்தப் பொருள் தாங்கக்கூடிய அதிகபட்ச தகைவு ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்ட வரைபடத்தில் இருந்து தெளிவாகிறது, இந்தப் பொருளின் தோராயமான மகசூல் வலிமை 300 $\times 10^{6} Nm /{ }^{2}$ அல்லது $3 \times 10^{8} N / m^{2}$ ஆகும்.

விடை

(அ) A

(ஆ) A

கொடுக்கப்பட்ட திரிபுக்கு, பொருள் $\mathbf{A}$ இன் தகைவு, பொருள் $\mathbf{B}$ இன் தகைவை விட அதிகமாக உள்ளது, இரண்டு வரைபடங்களிலும் காட்டப்பட்டுள்ளபடி.

யங்கின் குணகம் $=\frac{\text{ Stress }}{\text{ Strain }}$

கொடுக்கப்பட்ட திரிபுக்கு, ஒரு பொருளின் தகைவு அதிகமாக இருந்தால், அந்தப் பொருளின் யங்கின் குணகமும் அதிகமாக இருக்கும். எனவே, பொருள் A இன் யங்கின் குணகம், பொருள் $\mathbf{B}$ இன் யங்கின் குணகத்தை விட அதிகமாக உள்ளது.

ஒரு பொருளை உடைக்கத் தேவையான தகைவின் அளவு, அதன் முறிவுப் புள்ளியுடன் தொடர்புடையது, அந்தப் பொருளின் வலிமையைத் தருகிறது. முறிவுப் புள்ளி என்பது தகைவு-திரிபு வளைகோட்டின் இறுதிப் புள்ளியாகும். பொருள் $\mathbf{A}$, பொருள் $\mathbf{B}$ ஐ விட அதிக திரிபைத் தாங்கக்கூடியது என்பதைக் காணலாம். எனவே, பொருள் $\mathbf{A}$, பொருள் $\mathbf{B}$ ஐ விட வலிமையானது.

விடை

(அ) பொய்

(ஆ) உண்மை

கொடுக்கப்பட்ட தகைவுக்கு, ரப்பரில் உள்ள திரிபு எஃகில் உள்ளதை விட அதிகம்.

யங்கின் குணகம், $Y=\frac{\text{ Stress }}{\text{ Strain }}$

நிலையான தகைவுக்கு: $Y \propto \frac{1}{\text{ Strain }}$

எனவே, ரப்பரின் யங்கின் குணகம் எஃகை விடக் குறைவாக உள்ளது.

நறுக்கக் குணகம் என்பது பயன்படுத்தப்படும் தகைவுக்கும், ஒரு பொருளின் வடிவத்தில் ஏற்படும் மாற்றத்திற்கும் உள்ள விகிதமாகும். ஒரு சுருளின் நீட்சி அதன் வடிவத்தை மாற்றுகிறது. எனவே, இந்தச் செயல்பாட்டில் நறுக்கக் குணகம் ஈடுபட்டுள்ளது.

விடை

எஃகுக் கம்பியின் நீட்சி $=1.49 \times 10^{-4} m$

பித்தளைக் கம்பியின் நீட்சி $=1.3 \times 10^{-4} m$

கம்பிகளின் விட்டம், $d=0.25 m$

எனவே, கம்பிகளின் ஆரம், $\quad r=\frac{d}{2}=0.125 cm$

எஃகுக் கம்பியின் நீளம், $L_1=1.5 m$

பித்தளைக் கம்பியின் நீளம், $L_2=1.0 m$

எஃகுக் கம்பியின் மீது செலுத்தப்படும் மொத்த விசை:

$F_1=(4+6) g=10 \times 9.8=98 N$

எஃகுக்கான யங்கின் குணகம்:

$Y_1=\frac{(\frac{F_1}{A_1})}{(\frac{\Delta L_1}{L_1})}$

இங்கு,

$\Delta L_1=$ எஃகுக் கம்பியின் நீளத்தில் ஏற்படும் மாற்றம்

$A_1=$ எஃகுக் கம்பியின் குறுக்குவெட்டுப் பரப்பு $=\pi r_1^{2}$

எஃகின் யங்கின் குணகம், $Y_1=2.0 \times 10^{11} Pa$

$ \begin{aligned} \therefore \Delta L_1 & =\frac{F_1 \times L_1}{A_1 \times Y_1}=\frac{F_1 \times L_1}{\pi r_1^{2} \times Y_1} \\ & =\frac{98 \times 1.5}{\pi(0.125 \times 10^{-2})^{2} \times 2 \times 10^{11}}=1.49 \times 10^{-4} m \end{aligned} $

பித்தளைக் கம்பியின் மீது மொத்த விசை:

$F_2=6 \times 9.8=58.8 N$

பித்தளையின் யங்கின் குணகம்:

$Y_2=\frac{(\frac{F_2}{A_2})}{(\frac{\Delta L_2}{L_2})}$

இங்கு,

$\Delta L_2=$ நீளத்தில் ஏற்படும் மாற்றம் $A_2=$ பித்தளைக் கம்பியின் குறுக்குவெட்டுப் பரப்பு

$\therefore \Delta L_2=\frac{F_2 \times L_2}{A_2 \times Y_2}=\frac{F_2 \times L_2}{\pi r_2^{2} \times Y_2}$

$=\frac{58.8 \times 1.0}{\pi \times(0.125 \times 10^{-2})^{2} \times(0.91 \times 10^{11})}=1.3 \times 10^{-4} m$

எஃகுக் கம்பியின் நீட்சி $=1.49 \times 10^{-4} m$

பித்தளைக் கம்பியின் நீட்சி $=1.3 \times 10^{-4} m$

விடை

அலுமினிய கனசதுரத்தின் விளிம்பு, $L=10 cm=0.1 m$

கனசதுரத்துடன் இணைக்கப்பட்ட நிறை, $m=100 kg$

அலுமினியத்தின் நறுக்கக் குணகம் $(\eta)$ $=25 GPa=25 \times 10^{9} Pa$

$ =\frac{\text{ நறுக்கத் தகைவு }}{\text{ நறுக்கத் திரிபு }}=\frac{\frac{F}{A}}{L} $

நறுக்கக் குணகம், $\eta$

இங்கு,

$F=$ பயன்படுத்தப்பட்ட விசை $=m g=100 \times 9.8=980 N$

$A=$ கனசதுரத்தின் ஒரு முகத்தின் பரப்பு $=0.1 \times 0.1=0.01 m^{2}$

$\Delta L=$ கனசதுரத்தின் செங்குத்தான விலகல்

$\therefore \Delta L=\frac{F L}{A \eta}$

$ =\frac{980 \times 0.1}{10^{-2} \times(25 \times 10^{9})} $

$=3.92 \times 10^{-7} m$

கனசதுரத்தின் இந்த முகத்தின் செங்குத்தான விலகல் $3.92 \times 10^{-7} m$ ஆகும்.

விடை

பெரிய கட்டமைப்பின் நிறை, $M=50,000 kg$

தூணின் உள் ஆரம், $r=30 cm=0.3 m$

தூணின் வெளி ஆரம், $R=60 cm=0.6 m$

எஃகின் யங்கின் குணகம், $Y=2 \times 10^{11} Pa$

செலுத்தப்பட்ட மொத்த விசை, $F=M g=50000 \times 9.8 N$

தகைவு $=$ ஒரு தூணின் மீது செலுத்தப்படும் விசை $=\frac{50000 \times 9.8}{4}=122500 N$

யங்கின் குணகம், $Y=\frac{\text{ Strcss }}{\text{ Strain }}$

திரிபு $=\frac{\frac{F}{A}}{Y}$

இங்கு,

பரப்பு, $A=\pi(R^{2}-r^{2})=\pi((0.6)^{2}-(0.3)^{2})$

திரிபு $=\frac{122500}{\pi[(0.6)^{2}-(0.3)^{2}] \times 2 \times 10^{11}}=7.22 \times 10^{-7}$

எனவே, ஒவ்வொரு தூணின் அமுக்கத் திரிபு $7.22 \times 10^{-7}$ ஆகும்.

விடை

செம்புத் துண்டின் நீளம், $l=19.1 mm=19.1 \times 10^{-3} m$

செம்புத் துண்டின் அகலம், $b=15.2 mm=15.2 \times 10^{-3} m$

செம்புத் துண்டின் பரப்பு:

$A=l \times b$

$=19.1 \times 10^{-3} \times 15.2 \times 10^{-3}$ $=2.9 \times 10^{-4} m^{2}$

செம்புத் துண்டின் மீது பயன்படுத்தப்படும் இழுவை விசை, $F=44500 N$

செம்பின் மீள் குணகம், $\eta=42 \times 10^{9} N / m^{2}$

மீள் குணகம், $\eta=\frac{\text{ Stress }}{\text{ Strain }}=\frac{\frac{F}{A}}{\text{ Strain }}$

$\therefore$ திரிபு $=\frac{F}{A \eta}$

$ =\frac{44500}{2.9 \times 10^{-4} \times 42 \times 10^{9}} $

$=3.65 \times 10^{-3}$

விடை

எஃகு கேபிளின் ஆரம், $r=1.5 cm=0.015 m$

அனுமதிக்கப்பட்ட அதிகபட்ச தகைவு $=10^{8} N m^{-2}$

அதிகபட்ச தகைவு $=\frac{\text{ Maximum force }}{\text{ Area of cross-section }}$

$\therefore$ அதிகபட்ச விசை $=$ அதிகபட்ச தகைவு $\times$ குறுக்குவெட்டுப் பரப்பு

$=10^{8} \times \pi(0.015)^{2}$

$=7.065 \times 10^{4} N$

எனவே, கேபிள் $7.065 \times 10^{4} N$ அதிகபட்ச சுமையைத் தாங்கக்கூடியது.

விடை

ஒவ்வொரு கம்பியின் மீதும் செயல்படும் இழுவை விசை ஒன்றுதான். எனவே, ஒவ்வொரு நிகழ்விலும் நீட்சியும் ஒன்றுதான். கம்பிகள் ஒரே நீளம் கொண்டவை என்பதால், திரிபும் ஒன்றாகவே இருக்கும்.

யங்கின் குணகத்திற்கான தொடர்பு பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:

$$ \begin{equation*} Y=\frac{\text{ Stress }}{\text{ Strain }}=\frac{\frac{F}{A}}{\text{ Strain }}=\frac{\frac{4 F}{\pi d^{2}}}{\text{ Strain }} \tag{i} \end{equation*} $$

இங்கு,

$F=$ இழுவை விசை

$A=$ குறுக்குவெட்டுப் பரப்பு

$d=$ கம்பியின் விட்டம்

சமன்பாடு $(i)$ இலிருந்து $Y \propto \frac{1}{d^{2}}$ எனக் கணிக்க முடியும்

இரும்பின் யங்கின் குணகம், $Y_1=190 \times 10^{9} Pa$

இரும்புக் கம்பியின் விட்டம் $=d_1$

செம்பின் யங்கின் குணகம், $Y_2=110 \times 10^{9} Pa$

செம்புக் கம்பியின் விட்டம் $=d_2$

எனவே, அவற்றின் விட்டங்களின் விகிதம் பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:

$\frac{d_2}{d_1}=\sqrt{\frac{Y_1}{Y_2}}=\sqrt{\frac{190 \times 10^{9}}{110 \times 10^{9}}}=\sqrt{\frac{19}{11}}=1.31: 1$

விடை

நிறை, $m=14.5 kg$

எஃகுக் கம்பியின் நீளம், $l=1.0 m$

கோணத் திசைவேகம், $\omega=2 rev / s$

கம்பியின் குறுக்குவெட்டுப் பரப்பு, $a=0.065 cm^{2}$

நிறை அதன் பாதையின் மிகக் கீழ்ப்புள்ளியில் இருக்கும்போது கம்பியின் நீட்சி $\delta l$ ஆக இருக்கட்டும்.

நிறை செங்குத்து வட்டத்தின் நிலையில் வைக்கப்படும் போது, நிறையின் மீது மொத்த விசை:

$ \begin{aligned} & F=m g+m l \omega^{2} \\ & =14.5 \times 9.8+14.5 \times 1 \times(2)^{2} \\ & =200.1 N \\ & \text{ யங்கின் குணகம் }=\frac{\text{ தகைவு }}{\text{ திரிபு }} \\ & Y=\frac{\frac{F}{A}}{\frac{\Delta l}{l}}=\frac{F}{A} \frac{l}{\Delta l} \\ & \therefore \Delta l=\frac{F l}{A Y} \end{aligned} $

எஃகுக்கான யங்கின் குணகம் $=2 \times 10^{11} Pa$

$ \begin{aligned} \therefore \Delta l & =\frac{200.1 \times 1}{0.065 \times 10^{-4} \times 2 \times 10^{11}}=1539.23 \times 10^{-7} \\ & =1.539 \times 10^{-4} m \end{aligned} $

எனவே, கம்பியின் நீட்சி $1.539 \times 10^{-4} m$ ஆகும்.

விடை

ஆரம்ப பருமன், $V_1=100.01=100.0 \times 10^{-3} m^{3}$

இறுதிப் பருமன், $V_2=100.51=100.5 \times 10^{-3} m^{3}$

பருமனில் அதிகரிப்பு, $\Delta V=V_2-V_1=0.5 \times 10^{-3} m^{3}$

அழுத்தத்தில் அதிகரிப்பு, $\Delta p=100.0 atm=100 \times 1.013 \times 10^{5} Pa$

பருமக் குணகம் $=\frac{\Delta p}{\frac{\Delta V}{V_1}}=\frac{\Delta p \times V_1}{\Delta V}$

$ \begin{aligned} & =\frac{100 \times 1.013 \times 10^{5} \times 100 \times 10^{-3}}{0.5 \times 10^{-3}} \\ & =2.026 \times 10^{9} Pa \end{aligned} $

காற்றின் பருமக் குணகம் $=1.0 \times 10^{5} Pa$

$\therefore \frac{\text{ Bulk modulus of water }}{\text{ Bulk modulus of air }}=\frac{2.026 \times 10^{9}}{1.0 \times 10^{5}}=2.026 \times 10^{4}$

காற்று நீரை விட அதிகமாக அமுக்கக்கூடியது என்பதால் இந்த விகிதம் மிக அதிகமாக உள்ளது.

விடை

கொடுக்கப்பட்ட ஆழம் $h$ ஆக இருக்கட்டும்.

கொடுக்கப்பட்ட ஆழத்தில் அழுத்தம், $p=80.0 atm=80 \times 1.01 \times 10^{5} Pa$

மேற்பரப்பில் நீரின் அடர்த்தி, $\rho_1=1.03 \times 10^{3} kg m^{-3}$

$\rho_2$ ஆழத்தில் $h$ உள்ள நீரின் அடர்த்தியாக இருக்கட்டும்.

$V_1$ மேற்பரப்பில் $m$ நிறை கொண்ட நீரின் பருமனாக இருக்கட்டும்.

$V_2$ ஆழத்தில் $m$ நிறை கொண்ட நீரின் பருமனாக இருக்கட்டும்.

$h$

$\Delta V$ பருமனில் ஏற்படும் மாற்றமாக இருக்கட்டும்.

$ \begin{aligned} \Delta V & =V_1-V_2 \\ & =m(\frac{1}{\rho_1}-\frac{1}{\rho_2}) \end{aligned} $

$\therefore$ பருமத் திரிபு $=\frac{\Delta V}{V_1}$

$ =m(\frac{1}{\rho_1}-\frac{1}{\rho_2}) \times \frac{\rho_1}{m} $

$\therefore \frac{\Delta V}{V_1}=1-\frac{\rho_1}{\rho_2}$

பருமக் குணகம், $B=\frac{p V_1}{\Delta V}$

$ \frac{\Delta V}{V_1}=\frac{p}{B} $

நீரின் அமுக்குமை $=\frac{1}{B}=45.8 \times 10^{-11} Pa^{-1}$

$$ \begin{equation*} \therefore \frac{\Delta V}{V_1}=80 \times 1.013 \times 10^{5} \times 45.8 \times 10^{-11}=3.71 \times 10^{-3} \tag{ii} \end{equation*} $$

சமன்பாடுகள் ( $i$ ) மற்றும் (ii) க்கு, நாம் பெறுவது:

$ \begin{aligned} & 1-\frac{\rho_1}{\rho_2}=3.71 \times 10^{-3} \\ & \rho_2=\frac{1.03 \times 10^{3}}{1-(3.71 \times 10^{-3})} \\ & \quad=1.034 \times 10^{3} kg m^{-3} \end{aligned} $

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட ஆழத்தில் $(h)$ உள்ள நீரின் அடர்த்தி $1.034 \times 10^{3} kg m^{-3}$ ஆகும்.

விடை

கண்ணாடித் தகட்டின் மீது செலுத்தப்படும் நீரியல் அழுத்தம், $p=10 atm=10 \times 1.013 \times 10^{5} Pa$

கண்ணாடியின் பருமக் குணகம், $B=37 \times 10^{9} Nm^{-2}$

பருமக் குணகம், $B=\frac{p}{\Delta V}$

இங்கு,

$ \begin{aligned} & \frac{\Delta V}{V}=\text{ பருமனில் பின்ன மாற்றம் } \\ & \begin{aligned} \therefore \frac{\Delta V}{V} & =\frac{p}{B} \\ & =\frac{10 \times 1.013 \times 10^{5}}{37 \times 10^{9}} \\ & =2.73 \times 10^{-5} \end{aligned} \end{aligned} $

எனவே, கண்ணாடித் தகட்டின் பருமனில் ஏற்படும் பின்ன மாற்றம் $2.73 \times 10^{-5}$ ஆகும்.

விடை

திட செம்புக் கனசதுரத்தின் ஒரு விளிம்பின் நீளம், $l=10 cm=0.1 m$

நீரியல் அழுத்தம், $p=7.0 \times 10^{6} Pa$

செம்பின் பருமக் குணகம், $B=140 \times 10^{9} Pa$

பருமக் குணகம், $B=\frac{p}{\frac{\Delta V}{V}}$

இங்கு,

$\frac{\Delta V}{V}=$ பருமத் திரிபு

$\Delta V=$ பருமனில் ஏற்படும் மாற்றம்

$V=$ அசல் பருமன்.

$\Delta V=\frac{p V}{B}$

கனசதுரத்தின் அசல் பருமன், $V=l^{3}$

$\therefore \Delta V=\frac{p l^{3}}{B}$

$ \begin{aligned} & =\frac{7 \times 10^{6} \times(0.1)^{3}}{140 \times 10^{9}} \\ & =5 \times 10^{-8} m^{3} \\ & =5 \times 10^{-2} cm^{-3} \end{aligned} $

எனவே, திட செம்புக் கனசதுரத்தின் பருமச் சுருக்கம் $5 \times 10^{-2} cm^{-3}$ ஆகும்.

விடை

நீரின் பருமன், $V=1 L$

நீர் $0.10 \%$ அமுக்கப்பட வேண்டும் என்று கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. $\therefore$ பின்ன மாற்றம், $\frac{\Delta V}{V}=\frac{0.1}{100 \times 1}=10^{-3}$

பருமக் குணகம், $B=\frac{\rho}{\Delta V}$

$p=B \times \frac{\Delta V}{V}$

நீரின் பருமக் குணகம், $B=2.2 \times 10^{9} Nm^{-2}$

$ \begin{aligned} p & =2.2 \times 10^{9} \times 10^{-3} \\ & =2.2 \times 10^{6} Nm^{-2} \end{aligned} $

எனவே, நீரின் மீதான அழுத்தம் $2.2 \times 10^{6} Nm^{-2}$ ஆக இருக்க வேண்டும்.