3.1 அறிமுகம்

ராமேஷ் தனது பொம்மை 6 பொட்டிகளை வைத்திருக்கிறார். ஒவ்வொரு வரிசையிலும் ஒரே எண்ணிக்கையிலான பொம்மைகளை இடுவதற்காக அவர் அவற்றை வரிசையாக அமைக்க விரும்புகிறார். அவர் பின்வருமாறு அமைத்துக் கொண்டார் மற்றும் மொத்த பொம்மைகளின் எண்ணிக்கையை பொருத்திக் கொண்டார்.

(i) ஒவ்வொரு வரிசையிலும் 1 பொம்மை

வரிசைகளின் எண்ணிக்கை $=6$

மொத்த பொம்மைகளின் எண்ணிக்கை $\quad=1 \times 6=6$

(ii) ஒவ்வொரு வரிசையிலும் 2 பொம்மைகள் வரிசைகளின் எண்ணிக்கை $=3$

மொத்த பொம்மைகளின் எண்ணிக்கை $\quad=2 \times 3=6$

(iii) ஒவ்வொரு வரிசையிலும் 3 பொம்மைகள்

வரிசைகளின் எண்ணிக்கை $\quad=2$

மொத்த பொம்மைகளின் எண்ணிக்கை $\quad=3 \times 2=6$

(iv) ஒவ்வொரு வரிசையிலும் 4 அல்லது 5 பொம்மைகள் இருக்கும் வகையில் அமைவதற்கு அவர் யோசிக்க முடியவில்லை. எனவே, மீதமுள்ள ஒரே ஒரு முடிவு ஒவ்வொரு வரிசையிலும் 6 பொம்மைகள் இருக்கும் வகையில் அமைப்பதாகும்.

வரிசைகளின் எண்ணிக்கை $\quad=1$

மொத்த பொம்மைகளின் எண்ணிக்கை $=6 \times 1=6$

இந்த கணக்கீடுகளிலிருந்து ராமேஷ் கருத்தில் வைத்திருக்கிறார் என்பது, 6 என்பதை இரு எண்களின் பெருக்கலாக பல்வேறு வகையில் எழுத முடிகிறது.

$$ 6=1 \times 6 ; \quad 6=2 \times 3 ; \quad 6=3 \times 2 ; \quad 6=6 \times 1 $$

இரண்டு மற்றும் மூன்று இரண்டு எண்கள் 6 ஐ முற்றிலும் வகுக்கின்றன என்பதை $6=2 \times 3$ இல் பெரும்பாலும் கூறலாம். எனவே, 2 மற்றும் 3 ஆகிய எண்கள் 6 இன் முற்றிலும் வகுபடுபவை என்று சொல்லலாம். இரண்டு மற்றும் மூன்று என்பவை 6 இன் முற்றிலும் வகுபடுபவை என்று சொல்லலாம். பிற பெருக்கல் $6=1 \times 6$ இல் இருந்து, 6 இன் முற்றிலும் வகுபடுபவை 1 மற்றும் 6 என்பவை ஆகும்.

எனவே, 1, 2, 3 மற்றும் 6 ஆகிய எண்கள் 6 இன் முற்றிலும் வகுபடுபவை ஆகும். அவை 6 இன் காரணிகளாக அழைக்கப்படுகின்றன. 18 பொம்மைகளை வரிசையாக அமைத்து 18 இன் காரணிகளை கண்டறியுங்கள்.

3.2 காரணிகள் மற்றும் பெருக்கல்கள்

மேரி முற்றிலும் வகுக்கும் எண்களை கண்டுபிடிக்க விரும்புகிறாள். அவள் 4 ஐ 4 க்கும் குறைவான எண்களால் இப்படியாக வகுத்துக் கொண்டாள்.

முகடு 4

மீதியானது 0

$4 = 1 \times 4$

முகடு 2

மீதியானது 0

$4 = 2 \times 2$

முகடு 1

மீதியானது 1

முகடு 1

மீதியானது 0

$ 4=4 \times 1 $

அவள் கண்டுபிடித்துள்ளது என்பது, 4 என்பதை இத்தகைய வகையில் எழுத முடிகிறது: $4=1 \times 4 ; 4=2 \times 2$; $4=4 \times 1$ மற்றும் அவள் அறிந்துள்ளது என்பது, 1, 2 மற்றும் 4 ஆகிய எண்கள் 4 ஐ முற்றிலும் வகுக்கும்.

இந்த எண்கள் 4 இன் காரணிகளாக அழைக்கப்படுகின்றன.

ஒரு எண்ணின் காரணியானது அந்த எண்ணை முற்றிலும் வகுக்கும் எண்.

மேலும், 4 இன் ஒவ்வொரு காரணியும் 4 ஐ விட குறைவானதாகவோ அல்லது அதே அளவையானதாகவோ இருக்கிறது.

விளையாட்டு-1: இது இருவரால் விளையாடப்படும் விளையாட்டாகும், அவர்கள் A மற்றும் B ஆகும். இது காரணிகளை கண்டறிவதற்காக விளையாடுவதாகும்.

50 அட்டைகள் 1 முதல் 50 வரை எண்ணிக்கையுடன் இருக்கும்.

அட்டைகளை இப்படியாக அமைக்கவும்.

படிகள்

(a) முதலில் விளையாடும் வரை யார் விளையாடுகிறார் என்பதை நிர்ணயிக்கவும், A அல்லது B.

(b) A முதலில் விளையாடுகிறார். அவர் அட்டையிலிருந்து ஒரு அட்டையை எடுத்துக் கொண்டார். அந்த அட்டையில் 28 என்ற எண் இருந்தது.

(c) B பின்னர் A இன் அட்டையில் இருக்கும் எண்ணின் காரணிகளாக இருக்கும் அட்டைகளை அவரது அருகில் ஒரு சுவரில் அமைத்துக் கொண்டார்.

(d) B பின்னர் அட்டையிலிருந்து ஒரு அட்டையை எடுத்துக் கொண்டார். இருந்த அட்டைகளிலிருந்து A பின்னர் B இன் அட்டையில் இருக்கும் எண்ணின் காரணிகளாக இருக்கும் அட்டைகளை எடுத்துக் கொண்டார். A அவற்றை அவர் எடுத்த முந்தைய அட்டைக்கு மேலே அமைத்துக் கொண்டார்.

(e) அட்டைகள் அனைத்தும் பயன்படுத்தப்படும்வரை இது இப்படியாக தொடர்கிறது.

(f) A அவர் எடுத்துக் கொண்ட அட்டைகளிலுள்ள எண்களை கூட்டுவார். B அதே வகையில் அவரது அட்டைகளிலுள்ள எண்களை கூட்டுவார். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத்தமானது வேறுபடும் வரை விளையாடுவார்கள். மொத