11.1 அறிமுகம்

இதுவரை எங்கள் பயிற்சியில் எண்கள் மற்றும் வடிவங்கள் மட்டுமே இருந்தன. எண்கள், எண்களில் செய்யப்படும் செயல்பாடுகள் மற்றும் எண்களின் பண்புகளை நாங்கள் கற்றுக்கொண்டோம். எண்களின் அறிவை நாங்கள் உள்ளூர் வாழ்க்கையில் உள்ள பல சிக்கல்களுக்கு பயன்படுத்தினோம். எண்களை பயிற்சித்த அறிவியல் மன்றத்தின் பகுதி கணிதம் ஆகும். இரு மட்ட மற்றும் மூன்று மட்ட அளவிலான வடிவங்கள் மற்றும் அவற்றின் பண்புகளையும் நாங்கள் கற்றுக்கொண்டோம். வடிவங்களை பயிற்சித்த அறிவியல் மன்றத்தின் பகுதி வித்தியாசகட்டுரை ஆகும். இப்போது அறிவியல் மன்றத்தின் இன்னொரு பகுதியை நாங்கள் ஆரம்பிக்கிறோம். அது அல்ஜிபிரா எனப்படுகிறது.

பயிற்சியில் நாங்கள் இன்னும் பயிற்சித்த புதிய அறிவியல் மன்றத்தின் முக்கிய அம்சம் எழுத்துக்களைப் பயன்படுத்துவதாகும். எழுத்துக்களைப் பயன்படுத்துவது ஒரு பொதுவான விதிகள் மற்றும் சூத்திரங்களை எழுதுவதற்கு உதவும். எழுத்துக்களைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணை விட எந்த எண்ணையும் பேச முடியும். இரண்டாமது, எழுத்துக்கள் தெரியாத அளவுகளுக்கு இடம் உருவாக்கலாம். தெரியாத அளவுகளை அறிவதற்கான முறைகளை கற்றுக்கொள்வது பல சிக்கல்கள் மற்றும் உள்ளூர் வாழ்க்கையில் உள்ள பல சிக்கல்களைத் தீர்க்க உங்களை வலுப்படுத்தும். மூன்றாமது, எழுத்துக்கள் எண்களுக்கு இடம் உருவாக்கினால், அவை எண்களாக செயல்படுத்தப்படலாம். இது அல்ஜிபிராவின் வெளிப்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் பண்புகளை பயிற்சிக்க வழிவகுக்கும்.

அல்ஜிபிராவை உங்களுக்கு ஆர்வமாக இருக்கும் மற்றும் பயனுள்ளதாக இருக்கும் என்பதை நீங்கள் கண்டுபிடிக்கும். சிக்கல்களைத் தீர்க்க அது மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். எளிய உதாரணங்களுடன் எங்கள் பயிற்சியை ஆரம்பிக்கலாம்.

11.2 மேச்சிக் பேட்டர்ன்ஸ்

அமீனா மற்றும் சரிதா மேச்சிக்குடைகளுடன் பேட்டர்ன்ஸை உருவாக்கினாள். அவள்கள் ஆங்கில எழுத்துக்களின் எளிய பேட்டர்ன்ஸை உருவாக்க முடிவு செய்தன. அமீனா இரண்டு மேச்சிக்குடைகளை எடுத்து பிரிகையை உருவாக்கினாள் என்பதை பிரிகை 11.1 (a) இல் காணலாம்.

பிறகு சரிதா இரண்டு மேச்சிக்குடைகளை எடுத்து இன்னொரு எழுத்தை உருவாக்கினாள் $L$ மற்றும் அமீனாவால் உருவாக்கப்பட்ட பேட்டர்னுக்கு அடுத்து வைத்தாள் [பிரிகை 11.1 (b)].

பிறகு அமீனா ஒரு மேச்சிக்குடை சேர்த்தாள் $L$ மற்றும் இது பிரிகை 11.1 (c) இல் குறிப்பிடப்பட்ட கோடுகளால் முடிவுக்கு வந்தது.

அவள்களின் நண்பர் அப்பு வந்தார். அவர் பேட்டர்னைப் பார்த்தார். அப்பு எப்போதும் கேள்விகளைக் கேட்கிறார். அவர் பெண்களிடம் கேட்டார், “ஏழு எழுத்துக்களை உருவாக்க எத்தனை மேச்சிக்குடைகள் தேவைப்படும்?” அமீனா மற்றும் சரிதா வித்தியாசமானவள்கள். அவள்கள் 1 எழுத்து, 2 எழுத்துகள், 3 எழுத்துகள் முதலான பேட்டர்ன்ஸை உருவாக்கினாள் மற்றும் ஒரு அட்டவணையை தயாரித்தன.

அட்டவணை 1

அப்பு தனது கேள்விக்கான விடையை அட்டவணை 1 இலிருந்து பெற்றார்; 7 எழுத்துகளுக்கு 14 மேச்சிக்குடைகள் தேவைப்படும்.

அட்டவணையை எழுதும்போது, அமீனா மேச்சிக்குடைகளின் தேவைப்படும் எண்ணிக்கை உருவாக்கப்பட்ட எழுத்துகளின் எண்ணிக்கையின் இரட்டையாக இருக்கும் என்பதை உணர்ந்தாள்.

மேச்சிக்குடைகளின் தேவைப்படும் எண்ணிக்கை $=2 \times$ எழுத்துகளின் எண்ணிக்கை.

விருப்பமான விதத்தில், எழுத்துகளின் எண்ணிக்கைக்கு எழுத்தை பயன்படுத்துவோம் $n$. ஒரு $\mathrm{L}$ உருவாக்கினால், $n=1$; இரண்டு எழுத்துகளை உருவாக்கினால், $n=2$ மற்றும் இப்படிக்கெட்டு; எனவே, $n$ எந்த இயற்கை எண்ணாகவும் இருக்கும் $1,2,3,4,5, \ldots$. நாங்கள் எழுதுவோம், மேச்சிக்குடைகளின் தேவைப்படும் எண்ணிக்கை $=2 \times n$.

$2 \times n$ எழுதுவதற்கு பதிலாக, $2 n$ எழுதுவோம். குறிப்பு $2 n$ $2 \times n$ அதேபடி.

அமீனா தனது நண்பர்களிடம் அதன் விதியை எழுத்துகளின் எந்த எண்ணிக்கையையும் உருவாக்க தேவைப்படும் மேச்சிக்குடைகளின் எண்ணிக்கையைக் கொடுக்கும் என்று கூறினாள்.

எனவே, $n=1$ எழுத்துகளுக்கு, தேவைப்படும் மேச்சிக்குடைகளின் எண்ணிக்கை $=2 \times 1=2$

$n=2$ எழுத்துகளுக்கு, தேவைப்படும் மேச்சிக்குடைகளின் எண்ணிக்கை $=2 \times 2=4$

$n=3$ எழுத்துகளுக்கு, தேவைப்படும் மேச்சிக்குடைகளின் எண்ணிக்கை $=2 \times 3=6$ முதலானவை.

இந்த எண்கள் அட்டவணை 1 இல் இருந்து ஒத்ததாகும்.

சரிதா கூறினாள், “இந்த விதி மிகவும் வலுவானது! விதியைப் பயன்படுத்தி, எந்த $100 Ls$ எழுத்துகளை உருவாக்க தேவைப்படும் மேச்சிக்குடைகளின் எண்ணிக்கையையும் நான் கூறலாம். பேட்டர்னை வரையலாம் அல்லது அட்டவணையை தயாரிப்பதற்கு அவசியமில்லை, விதி அறிந்தால்”.

நீங்கள் சரிதாவுக்கு ஒத்துக் கொள்கிறீர்களா?

11.3 மாறி மதிப்பின் சிந்தனை

மேலே உள்ள உதாரணத்தில், எழுத்துகளின் பேட்டர்னை உருவாக்க தேவைப்படும் மேச்சிக்குடைகளின் எண்ணிக்கைக்கு ஒரு விதியை நாங்கள் கண்டுபிடித்தோம். விதி இதுவாக இருந்தது:

மேச்சிக்குடைகளின் தேவைப்படும் எண்ணிக்கை $=\mathbf{2} \boldsymbol{{}n}$

இங்கு, $n$ பேட்டர்னில் உள்ள எழுத்துகளின் எண்ணிக்கை, $n$ மதிப்புகளை எடுக்கிறது $1,2,3,4, \ldots$. அட்டவணை 1 ஐ மீண்டும் பார்ப்போம். அட்டவணையில், $n$ இன்னும் மாறுகிறது (அதிகரிக்கிறது). இதன் விளைவாக, தேவைப்படும் மேச்சிக்குடைகளின் எண்ணிக்கையும் இன்னும் மாறுகிறது (அதிகரிக்கிறது).

$\boldsymbol{n}$ மாறி மதிப்பின் ஒரு எடுத்துக்காட்டாகும். அதன் மதிப்பு நிலைநிறுத்தப்பட்டிருக்காது; அது எந்த மதிப்பையும் எடுக்கலாம் $\mathbf{1,2,3,4,} \ldots$. மாறி மதிப்பைப் பயன்படுத்தி நாங்கள் தேவைப்படும் மேச்சிக்குடைகளின் எண்ணிக்கைக்கு விதியை எழுதினோம் $\boldsymbol{n}$.

‘மாறி மதிப்பு’ என்பது மாறும் எதையும் குறிக்கும். அதன் மதிப்பு நிலைநிறுத்தப்பட்டிருக்காது. அது வேறு மதிப்புகளை எடுக்கலாம்.

மாறி மதிப்புகளை மேலும் அறிய மேச்சிக்குடை பேட்டர்ன்ஸின் இன்னொரு எடுத்துக்காட்டை நாங்கள் பார்ப்போம்.

11.4 மேலும் மேச்சிக் பேட்டர்ன்ஸ்

அமீனா மற்றும் சரிதா மேச்சிக்குடை பேட்டர்ன்ஸில் மிகவும் ஆர்வமாக இருந்தன. அவள்கள் இப்போது ஒரு எழுத்தின் பேட்டர்னை முயற்சிக்க விரும்புகிறாள்கள் $C$. ஒரு $C$ உருவாக்க அவள்கள் மூன்று மேச்சிக்குடைகளைப் பயன்படுத்துகிறாள்கள் என்பதை பிரிகை. 11.2(a) இல் காணலாம்.

பிரிகைகளை உருவாக்க தேவைப்படும் மேச்சிக்குடைகளின் எண்ணிக்கைக்கு அட்டவணை 2 வழங்குகிறது.

அட்டவணை 2

அட்டவணையில் காலி இருந்த உள்ளீடுகளை நீங்கள் நிரப்ப முடியுமா?

சரிதா ஒரு விதியை வழங்கினாள்:

மேச்சிக்குடைகளின் தேவைப்படும் எண்ணிக்கை $=\mathbf{3} \boldsymbol{{}n}$

அவள் எழுத்தைப் பயன்படுத்தினாள் $n$ எழுத்துகளின் எண்ணிக்கைக்கு; $n$ மாறி மதிப்பு, மதிப்புகளை எடுக்கிறது $1,2,3,4, \ldots$

நீங்கள் சரிதாவுக்கு ஒத்துக் கொள்கிறீர்களா?

நினைவில் வைக்கவும் $3 n$ $3 \times n$ அதேபடி.

அடுத்து, அமீனா மற்றும் சரிதா எழுத்துகளின் பேட்டர்னை உருவாக்க விரும்புகிறாள்கள் $F$. ஒரு எழுத்தை உருவாக்க அவள்கள் 4 மேச்சிக்குடைகளைப் பயன்படுத்துகிறாள்கள் என்பதை பிரிகை 11.3(a) இல் காணலாம்.

இப்போது நீங்கள் எழுத்துகளின் பேட்டர்னை உருவாக்கும் விதியை எழுத முடியுமா $F$ ?

ஆங்கில எழுத்துக்களில் இன்னும் பல எழுத்துக்களையும் மேச்சிக்குடைகளால் உருவாக்க முடியும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். எடுத்துக்காட்டாக, U $(\bigsqcup)$, V (\/), முக்கோணம் ($\triangle$), சதுரம் ($\square$) முதலானவை. எந்த ஐந்து எழுத்துக்களையும் தேர்ந்தெடுத்து அவற்றுடன் மேச்சிக்குடை பேட்டர்ன்ஸை உருவாக்கும் விதிகளை எழுதுங்கள்.

11.5 மாறி மதிப்பின் மேலும் எடுத்துக்காட்டுகள்

நாங்கள் மாறி மதிப்பைக் காட்ட எழுத்தைப் பயன்படுத்தினோம் $n$. ராஜு கேட்டார், “ஏன் $m$ இல்லை?” $n$ இல்லை, எந்த எழுத்தையும் பயன்படுத்தலாம்.

ஒரு மாறி மதிப்பைக் காட்ட ஒருவருக்கு எந்த எழுத்தையும் பயன்படுத்தலாம் $m, l, p, x, y, z$ முதலானவை. ஒரு மாறி மதிப்பு நிலைநிறுத்தப்பட்ட மதிப்பைக் கொண்ட எண்ணல்ல. எடுத்துக்காட்டாக, எண் 5 அல்லது எண் 100 அல்லது எந்த குறிப்பிட்ட எண்ணும் ஒரு மாறி மதிப்பு அல்ல. அவை நிலைநிறுத்தப்பட்ட மதிப்புகளைக் கொண்டவை. இசைவாக, முக்கோணத்தின் மூலைகளின் எண்ணிக்கை நிலைநிறுத்தப்பட்ட மதிப்பு மாற்றம் 3 ஆகும். அது ஒரு மாறி மதிப்பு அல்ல. நான்கு மூலைகளைக் கொண்ட சதுரத்தின் எண்ணிக்கை (4) நிலைநிறுத்தப்பட்டது; அதுமுற்றிலும் ஒரு மாறி மதிப்பு அல்ல. ஆனால் $\boldsymbol{{}n}$ நாங்கள் பார்த்த எடுத்துக்காட்டுகளில் இது ஒரு மாறி மதிப்பு. அது பல மதிப்புகளை எடுக்கிறது $1,2,3,4, \ldots$.

இப்போது நாங்கள் இன்னும் பிரபலமான சூழ்நிலைகளில் மாறி மதிப்புகளை ஆராய்வோம்.

மாணவர்கள் பயிற்சி பதிவிட்டை வாங்க பள்ளி பதிவிட்டை வணிகம் சென்றனர். ஒரு பதிவிட்டையின் விலை ₹ 5 ஆகும். முன்னு 5 பதிவிட்டைகளை வாங்க விரும்புகிறார், அப்பு 7 பதிவிட்டைகளை வாங்க விரும்புகிறார், சரா 4 பதிவிட்டைகளை வாங்க விரும்புகிறாள் மற்றும் இப்படிக்கெட்டு. மாணவர் எத்தனை பதிவிட்டைகளை வாங்க விரும்புகிறார்கள் என்பதை அடிப்படையாகக் கொண்டு பதிவிட்டைகளை வாங்க போகும்போது எவ்வளவு நாணயம் அவர்களுக்கு வேண்டும்?

இது மாணவர் எத்தனை பதிவிட்டைகளை வாங்க விரும்புகிறார்கள் என்பதை அடிப்படையாகக் கொண்டதாகும். மாணவர்கள் ஒன்றாக ஒரு அட்டவணையைத் தயாரிக்கிறார்கள்.

அட்டவணை 3

எழுத்து $m$ ஒரு மாணவர் வாங்க விரும்பும் பதிவிட்டைகளின் எண்ணிக்கைக்கு இடம் உருவாக்குகிறது; $m$ ஒரு மாறி மதிப்பு, எந்த மதிப்பையும் எடுக்கலாம் $1,2,3,4, \ldots$. பதிவிட்டைகளின் மொத்த விலைக்கு விதி இதுவாக இருந்தது:

மொத்த விலை ரூபாய்களில் $m$ பதிவிட்டைகளுக்கு தேவைப்படும் எண்ணிக்கை

$ =5 m $

முன்னு 5 பதிவிட்டைகளை வாங்க விரும்பினால், $m=5$ எடுத்துக் கொள்வோம், நாங்கள் முன்னுவிடம் பள்ளி பதிவிட்டை வணிகத்திற்கு சென்றபோது அவருக்கு $₹ 5 \times 5$ அல்லது $₹ 25$ வைத்திருக்க வேண்டும் என்று கூறுவோம்.

இன்னொரு எடுத்துக்காட்டை நாங்கள் எடுப்போம். பள்ளியில் குடியரசு தின விழாவில், பிரதமர் அலுவலரின் உரிமையில் மாணவர்கள் ஒரு மேடையில் மாஸ் டிரிலை நடத்த முடியும். அவர்கள் ஒரு வரியில் 10 பேராக நின்றுகொண்டிருக்கிறார்கள் (பிரிகை 11.4). டிரிலில் எத்தனை மாணவர்கள் இருக்கலாம்?

மாணவர்களின் எண்ணிக்கை வரிகளின் எண்ணிக்கையை அடிப்படையாகக் கொண்டதாகும். பிரிகை 11.4 இல் ஒரு வரி இருந்தால், 10 மாணவர்கள் இருக்கும். இரண்டு வரிகள் இருந்தால், $2 \times 10$ அல்லது 20 மாணவர்கள் இருக்கும் மற்றும் இப்படிக்கெட்டு. அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அடுத்து, அட