அத்தியாயம் 12 சமச்சீர்
12.1 அறிமுகம்
இணைப்புகள் ஒரு முக்கியமான வடிவியல் கருத்தாகும், இது இயற்கையில் பொதுவாக காணப்படுகிறது மற்றும் முனையங்கள் எல்லாத்திலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. கலைஞர்கள், தொழில்முனைவோர், ஆடை அல்லது பொரியங்களை வடிவமைப்பாளர்கள், கார உற்பத்தியாளர்கள், கட்டிடக்கலைஞர்கள் மற்றும் பலர் இணைப்புகளின் ஐயம் பயன்படுத்துகிறார்கள். சுவாசங்கள், மரத்தின் இலைகள், பழங்கள், சமய குறியீடுகள், துணிகள் மற்றும் கைத்தொண்டைகள் எல்லா இடத்திலும் இணைப்புகள் வடிவமைப்புகளை காணலாம்.
நீங்கள் ஏற்கனவே முந்தைய வகுப்பில் ஒரு ‘உணர்வை’ பெற்றிருக்கிறீர்கள்.
ஒரு வடிவம் ஒரு கோடு இணைப்புக்கு உள்ளது, என்பதால் அந்த வடிவம் ஒரு கோடின் மீது சுருட்டப்பட்டால், அந்த வடிவத்தின் இரு பகுதிகள் ஒன்றாக இருக்கும்.
இந்த கருத்துக்களை நீங்கள் மறந்துவிடக்கூடாது. உங்களுக்கு உதவும் சில செயல்பாடுகள் இங்கே.
நீங்கள் சேகரித்த வடிவமைப்புகளில் இணைப்புக்கோடுகளை (அச்சுகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன) அடையாளம் காண மகிழ்ச்சி அடையலாம்.
இணைப்புக்களைப் பற்றிய எங்கள் கருத்துக்களை இன்று மேலும் வலுப்படுத்துவோம். பின்வரும் வடிவங்களை பார்க்கலாம், அவற்றில் இணைப்புக்கோடுகள் கோடு வழியாகக் குறிக்கப்பட்டுள்ளன. [படம் 12.1 (i) முதல் (iv)]
12.2 சதுர பல்கோணங்களுக்கான இணைப்புக்கோடுகள்
ஒரு பல்கோணம் ஒரு மூலையில் இருந்து பல கோடுகளால் அமைந்த ஒரு மூட வடிவமாகும் என்பதை நீங்கள் அறிந்துள்ளீர்கள். கோடுகளின் குறைந்த எண்ணிக்கையுடன் அமைந்த பல்கோணம் முக்கோணமாகும். (மேலும் குறைவான கோடுகளால் ஒரு பல்கோணத்தை வரைய முடியாதா? அதைப் பற்றி சிந்தியுங்கள்).
ஒரு பல்கோணத்தின் அனைத்து மூலைகளும் ஒன்றைப்போலவே நீளமானாலும், அனைத்து மூலைகளின் அளவும் ஒன்றைப்போலவே இருந்தால் அது சதுரமாகும். எனவே, சமமான மூலைகளை வென்ற முக்கோணம் மூன்று மூலைகளை கொண்ட ஒரு சதுரமாகும். நீங்கள் நான்கு மூலைகளை கொண்ட சதுரம் என்ன என்பதை பெயரிட முடியுமா?
சமமான மூலைகளை வென்ற முக்கோணம் ஒவ்வொரு மூலையும் ஒருத்தரைப்போலவே நீளமானதாலும், ஒவ்வொரு மூலைகளின் அளவும் ஒருத்தரைப்போலவே இருப்பதால் சதுரமாகும். $60^{\circ}$ என்பதை அளவிடுகிறீர்கள் (படம் 12.2).
படம் 12.2
சதுரமும் சதுரமாகும், ஏனெனில் அதன் அனைத்து மூலைகளும் ஒன்றைப்போலவே நீளமானதாலும், ஒவ்வொரு மூலைகளின் அளவும் ஒரு நேர்கோடு (i.e., $90^{\circ}$) ஆகும். அதன் நேர்கோடுகள் ஒன்றன் மீது ஒன்றை நேர்கோடு பிரித்தெடுக்கும் என்பதை நீங்கள் காணலாம் (படம் 12.3).
படம் 12.3
ஒரு மையப்பல்கோணம் சதுரமாக இருந்தால், அதன் மூலைகள் ஒன்றைப்போலவே நீளமாக இருக்க வேண்டும். நீங்கள் பின்னர் அறிந்துகொள்வீர்கள், அதன் ஒவ்வொரு மூலைகளின் அளவும் $108^{\circ}$ ஆகும் (படம் 12.4).
படம் 12.4
படம் 12.5
ஒரு சதுரமான பல்கோணம் அனைத்து மூலைகளும் ஒன்றைப்போலவே இருப்பதாலும், ஒவ்வொரு மூலைகளின் அளவும் $120^{\circ}$ ஆகும். இந்த வடிவங்களை பின்னர் மேலும் அறிந்துகொள்வீர்கள் (படம் 12.5).
சதுரங்கள் இணைப்புகள் வடிவங்களாகும் எனவே அவற்றின் இணைப்புக்கோடுகள் மிகவும் சுவாரஸ்யமானதாகும்,
ஒவ்வொரு சதுரமும் அதன் மூலைகள் எண்ணிக்கையைப்போலவே இணைப்புக்கோடுகளைக் கொண்டுள்ளது [படம் 12.6 (i) - (iv)]. நாம் சொல்வோம், அவை பல இணைப்புக்கோடுகளைக் கொண்டுள்ளன.
அம்மாற்றல் வடிவமைப்பில் இருந்து இதை சிந்தியுங்கள். முன்னேறுங்கள்!
இணைப்புக்கோடு கருத்து ஒரு பிரதிபலன் மேற்கொள்ளுதலுடன் நெருக்கமாக இணைந்துள்ளது. ஒரு வடிவம் இணைப்புக்கோடு உள்ளது என்பதால் அதன் ஒரு பகுதி மற்றொரு பகுதியின் பிரதிபலனாக இருக்கும் (படம் 12.7). ஒரு பிரதிபலன் கோடு, எனவே ஒரு இணைப்புக்கோடு என்பதை பார்வைக்கு வழங்குகிறது (படம் 12.8).
வடிவம் ஒருத்தரைப்போலவே இருக்கும், ஆனால் வலம் இடமாக!
இந்த துளி விளையாட்டை விளையாடுங்கள்!
சுருட்டுதல் ஒரு கோடு (அல்லது அச்சு) ஆகும். சுருட்டப்பட்ட காகிதத்தில் உள்ள துளிகளை வெவ்வேறு இடங்களில் அமைத்து அதற்கு ஏற்ப இணைப்புக்கோடுகளை பார்க்கலாம் (படம் 12.10).
பிரயோகம் 12.1
1. துளி மிட்ட இடங்களைக் கொண்ட வடிவங்களை நகலெடுத்து பின்வரும் வடிவங்களுக்கான அச்சுகளை கண்டறியுங்கள்:
2. இணைப்புக்கோடு(கள்) உள்ளது, மற்றொரு துளியைக் கண்டறியுங்கள்:
3. பின்வரும் வடிவங்களில், பிரதிபலன் கோடு (அதாவது இணைப்புக்கோடு) கோடு வழியாகக் குறிக்கப்பட்டுள்ளது. ஒவ்வொரு வடிவத்தையும் கோடு வழியாக பிரதிபலன் மேற்கொள்ளும்படி முடிவுப்படுத்துங்கள். (நீங்கள் ஒரு பிரதிபலனை கோடு வழியாக அமைத்து பிரதிபலனுக்குள் பார்க்க முடியும்). நீங்கள் முடித்த வடிவத்தின் பெயரை மறந்துவிடவில்லையா?
4. பின்வரும் வடிவங்களில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட இணைப்புக்கோடுகள் உள்ளன. அத்தகைய வடிவங்கள் பல இணைப்புக்கோடுகளைக் கொண்டதாகக் கூறப்படுகின்றன.
பின்வரும் வடிவங்களில் உள்ள பல இணைப்புக்கோடுகளை அடையாளம் காணுங்கள்:
5. இங்கே கொடுக்கப்பட்ட வடிவத்தை நகலெடுத்து.
ஒரு நேர்கோடுகளை ஒரு இணைப்புக்கோடாகக் கொண்டு, அந்த நேர்கோடுக்கு சமமானதாக சில மேலும் சதுரங்களை நிரப்புங்கள். அதை ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட வழிகளில் செய்ய முடியுமா? அந்த வடிவம் இரு நேர்கோடுகளுக்கு சமமாக இருக்குமா?
6. படத்தை நகலெடுத்து ஒவ்வொரு வடிவத்தையும் பிரதிபலன் கோடு(கள்) வழியாக முடிவுப்படுத்துங்கள்:
7. பின்வரும் வடிவங்களுக்கு இணைப்புக்கோடுகளின் எண்ணிக்கையை சொல்லுங்கள்:
(a) ஒரு சமமான முக்கோணம்
(b) ஒரு இரட்டை மூலை முக்கோணம்
(c) ஒரு முற்றிலும் வேறுபட்ட முக்கோணம்
(d) ஒரு சதுரம்
(e) ஒரு ஆற்றல்
(f) ஒரு வீரசமமான பல்கோணம்
(g) ஒரு இரட்டைச் செங்குத்து பல்கோணம்
(h) ஒரு நான்கு மூலை வடிவம்
(i) ஒரு சதுரமான அச்சுப்பல்கோணம்
(j) ஒரு வட்டம்
8. ஆங்கில எழுத்துக்களில் எவ்வளவு எழுத்துக்கள் பிரதிபலன் மேற்கொள்ளுதல் (அதாவது பிரதிபலன் மேற்கொள்ளுதல் உடன் தொடர்புடைய இணைப்புக்கோடு) உள்ளன?
(a) ஒரு செங்குத்து பிரதிபலன்
(b) ஒரு கிடைமட்ட பிரதிபலன்
(c) கிடைமட்ட மற்றும் செங்குத்து பிரதிபலன்கள் ஆகிய இரண்டும்
9. இணைப்புக்கோடு இல்லாத மூன்று வடிவங்களின் எடுத்துக்காடுகளை கொடுங்கள்.
10. பின்வரும் வடிவங்களின் இணைப்புக்கோடுகளுக்கு நீங்கள் மற்றொரு பெயரை எவ்வாறு கூறுவீர்கள்?
(a) ஒரு இரட்டை மூலை முக்கோணத்தின்?
(b) ஒரு வட்டத்தின்?
12.3 சுழற்சி இணைப்புகள்
கடிகாரத்தின் கைகள் சுற்றி வரும்போது நீங்கள் என்ன சொல்கிறீர்கள்?
அவை சுழற்றுகின்றன என்று நீங்கள் சொல்வீர்கள். கடிகாரத்தின் கைகள் ஒரு திசையிலேயே சுழலும், ஒரு நிலைநிறுத்தப்பட்ட புள்ளியின் மீது, கடிகாரத்தின் மேற்பரப்பின் மையத்தின் மீது.
சுழற்சி, கடிகாரத்தின் கைகளின் இயக்கத்தைப்போலவே, மேலே சென்ற திசையில் சுழற்றுதல் என்று அழைக்கப்படுகிறது; இல்லையெனில் அது எதிர்திசையில் சுழற்றுதல் என்று கூறப்படுகிறது.
மேசை விரல்துளைகளின் சுழற்சியை நீங்கள் என்ன சொல்வீர்கள்? அவை மேலே சென்ற திசையில் அல்லது எதிர்திசையில் சுழலுமா? அல்லது இரு திசைகளிலும் சுழலுமா?
ஒரு விடியற் சக்கரத்தை நீங்கள் சுழற்றினால், அது சுழலும். அது இரு திசைகளிலும் சுழலும்: மேலே சென்ற திசையிலும் எதிர்திசையிலும். மேலே சென்ற திசையில் சுழற்றுதலின் மூன்று எடுத்துக்காடுகளையும், எதிர்திசையில் சுழற்றுதலின் மூன்று எடுத்துக்காடுகளையும் கொடுங்கள்.
ஒரு பொருள் சுழலும்போது, அதன் வடிவமும் அளவும் மாறாது. சுழற்சி ஒரு பொருளை ஒரு நிலைநிறுத்தப்பட்ட புள்ளியின் மீது சுற்றி நிலைமாற்றுகிறது. இந்த நிலைநிறுத்தப்பட்ட புள்ளி சுழற்சியின் மையமாகும். கடிகாரத்தின் கைகளின் சுழற்சியின் மையம் என்ன? அதைப் பற்றி சிந்தியுங்கள்.
படம் 12.11
சுழற்றுதலின் போக்கை சுழற்சியின் அங்குவிசை என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு முழு சுழற்சி, நீங்கள் அறிந்துள்ளபடி, $360^{\circ}$ சுழற்சியைக் குறிக்கிறது. (i) அரை சுழற்சிக்கான (ii) நாற்காலி சுழற்சிக்கான சுழற்சியின் அங்குவிசையின் பதில் அளவு என்ன?
அரை சுழற்சி $180^{\circ}$ சுழற்சியைக் குறிக்கும்; நாற்காலி சுழற்சி $90^{\circ}$ சுழற்சியைக் குறிக்கும்.
பதினைந்து மணி நேரத்தில், கடிகாரத்தின் கைகள் ஒன்றுக்கோடு இருக்கின்றன. மூன்று மணி நேரத்தில், நிமிட கை மூன்று முழு சுழற்சிகளை மேற்கொள்ளும்; ஆனால் மணி நேர கை ஒரு நாற்காலி சுழற்சியை மேற்கொள்ளும். ஆறு மணி நேரத்தில் அவற்றின் நிலைகளை நீங்கள் என்ன சொல்வீர்கள்?
நீங்கள் ஒரு காற்றுச்சக்கரத்தை வெட்டியிருக்கிறீர்களா? இப்படியான காற்றுச்சக்கரம் படத்தில் இணைப்புகள் காணப்படுகிறது (படம் 12.11); ஆனால் நீங்கள் எந்த இணைப்புக்கோடும் காணவில்லை. சுருட்டுதல் என்பது நீங்கள் ஒன்றுக்கோடு செய்ய உதவாதது. ஆனால் நீங்கள் அதை $90^{\circ}$ சுழற்றினால், காற்றுச்சக்கரம் முற்றிலும் ஒருத்தரைப்போலவே பார்க்கும். நாம் காற்றுச்சக்கரத்தின் சுழற்சி இணைப்புக்கு சொல்வோம்.
படம் 12.12
ஒரு முழு சுழற்சியில், காற்றுச்சக்கரம் முற்றிலும் ஒருத்தரைப்போலவே பார்க்கும் நான்கு துலக்கும் நிலைகள் ($90^{\circ}$, $180^{\circ}, 270^{\circ}$ மற்றும் $360^{\circ}$ அங்குவிசைகளின் சுழற்சியில்) உள்ளன. இதனால், நாம் அது ஆர் 4 சுழற்சி இணைப்புக்கு சொல்வோம்.
சுழற்சி இணைப்புக்கான இன்னொரு எடுத்துக்காடு இங்கே.
ஒரு சதுரத்தை நீங்கள் கொண்டு வருகிறீர்கள், $P$ அதன் ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு ஒரு மூலைக்கு
BETA
