12.1 அறிமுகம்

12.1.1 இயற்கை எண்களின் காரணிகள்

நீங்கள் 6 ஆம் வகுப்பில் காரணிகள் பற்றி கற்றதை நினைவில் கொள்ளலாம். ஒரு இயற்கை எண்ணை எடுத்துக் கொள்வோம், உதாரணமாக 30, மற்றும் அதை மற்ற இயற்கை எண்களின் பெருக்கியில் எழுதுவோம், உதாரணமாக

$ \begin{aligned} 30 & =2 \times 15 \\ & =3 \times 10=5 \times 6 \end{aligned} $

எனவே, 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 மற்றும் 30 30 இன் காரணிகள். இவற்றில், 2, 3 மற்றும் 5 30 இன் அடையாள காரணிகள் (ஏன்?)

அடையாள காரணிகளின் பெருக்கியில் எழுதப்பட்ட எண் அடையாள காரணி வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளதாவிட்டாலும் சொல்லப்படும்; உதாரணமாக, 30 ஐ $2 \times 3 \times 5$ ஆக எழுதினால் அது அடையாள காரணி வடிவத்தில் உள்ளது.

நாம் அறிந்துள்ளனம் 30 ஐ இருவிதமாகவும் எழுத முடியும்

$ 30=1 \times 30 $

எனவே, 1 மற்றும் 30 30 இன் காரணிகளும். எந்த எண்ணிற்கும் 1 ஒரு காரணியாக இருப்பதை நீங்கள் கவனிப்பீர்கள். உதாரணமாக, $101=1 \times 101$. ஆனால், ஒரு எண்ணை காரணிகளின் பெருக்கியில் எழுதும்போது, 1 ஐ காரணியாக எழுத வேண்டியிருந்தாலோ மட்டுமே எழுதுவோம்.

70 இன் அடையாள காரணி வடிவம் $2 \times 5 \times 7$.

90 இன் அடையாள காரணி வடிவம் $2 \times 3 \times 3 \times 5$, மற்றும் போன்றவை.

இவ்வாறு, நாம் எழுத்துக்கள் வினாக்களை அவற்றின் காரணிகளின் பெருக்கியில் எழுதலாம். இதை இந்த அதிகாரத்தில் கற்றுக்கொள்வோம்.

12.1.2 எழுத்துக்கள் வினாக்களின் காரணிகள்

நாம் 7 ஆம் வகுப்பில் எழுத்துக்கள் வினாக்களில், விதிகள் காரணிகளின் பெருக்கியில் உருவாக்கப்படுகின்றன என்பதை நாம் பார்த்தோம். உதாரணமாக, எழுத்துக்கள் வினாக்களில் $5 x y+3 x$ இன் விதிகள் $5 x y$ ஆக உருவாக்கப்பட்டுள்ளது காரணிகள் $5, x$ மற்றும் $y$, அதாவது,

$ 5 x y=5 \times x \times y $

பார்க்கவும், $5 x y$ இன் காரணிகள் 5, $x$ மற்றும் $y$ ஆக இருப்பதால் அவை மேலும் காரணிகளின் பெருக்கியில் எழுத முடியாது. நாம் சொல்வோம் 5, $x$ மற்றும் $y$ ஆக $5 x y$ இன் ‘அடையாள’ காரணிகள். எழுத்துக்கள் வினாக்களில், நாம் ‘அடையாள’ என்பதற்கு ‘மறைந்திருக்கிறது’ என்ற சொல்லை பயன்படுத்துகிறோம். நாம் $5 \times x \times y$ ஐ $5 x y$ இன் மறைந்திருக்கிற வடிவமாக சொல்வோம். குறிப்பு $5 \times(x y)$ ஐ $5 x y$ இன் மறைந்திருக்கிற வடிவமாக சொல்ல முடியாது, ஏனெனில் காரணி $x y$ ஐ மேலும்

குறிப்பு 1 ஐ $5 x y$ இன் காரணியாக சொல்லலாம், ஏனெனில்

$ 5 x y=1 \times 5 \times x \times y $

உண்மையில், 1 ஐ ஒவ்வொரு விதிக்கும் காரணியாக சொல்லலாம். இயற்கை எண்களின் அதே விதத்தில், 1 ஐ ஒரு தனி காரணியாக காட்ட வேண்டியிருந்தாலோ மட்டுமே காட்டுவோம்.

5xy இன் மறைந்திருக்கிற வடிவம் $x$.

Next consider the expression $3 x(x+2)$. It can be written as a product of factors. $3, x$ and $(x+2)$

$ 3 x(x+2)=3 \times x \times(x+2) $

The factors $3, x$ and $(x+2)$ are irreducible factors of $3 x(x+2)$.

Similarly, the expression $10 x(x+2)(y+3)$ is expressed in its irreducible factor form as $10 x(x+2)(y+3)=2 \times 5 \times x \times(x+2) \times(y+3)$.

12.2 என்ன பின்னடைவு?

நாம் ஒரு எழுத்துக்கள் வினாவை பின்னடைவில் எழுதும்போது, அதை காரணிகளின் பெருக்கியில் எழுதுகிறோம். இந்த காரணிகள் எண்கள், எழுத்துக்கள் மாறிகள் அல்லது எழுத்துக்கள் வினாக்களாக இருக்கலாம்.

$3 x y, 5 x^{2} y, 2 x(y+2), 5(y+1)(x+2)$ போன்ற வினாக்கள் ஏற்கனவே காரணி வடிவத்தில் உள்ளன. அவற்றின் காரணிகளை நாம் ஏற்கனவே அவற்றிலிருந்து படிக்கலாம்.

மறுபடியும் வினாக்களை பார்க்கவும் $2 x+4,3 x+3 y, x^{2}+5 x, x^{2}+5 x+6$. அவற்றின் காரணிகள் என்ன என்பது தெரியாது. இந்த வினாக்களை பின்னடைவில் எழுத வேண்டியிருந்தால், அவற்றின் காரணிகளை கண்டுபிடிக்க வேண்டியிருக்கும். இதை நாம் இப்போது செய்ய வேண்டும்.

12.2.1 பொதுவான காரணிகள் முறை

• ஒரு எளிய உதாரணத்தில் இருந்து தொடங்குவோம்: $2 x+4$ ஐ பின்னடைவில் எழுதுவோம்.

நாம் ஒவ்வொரு விதியையும் மறைந்திருக்கிற காரணிகளின் பெருக்கியில் எழுதுவோம்;

$ \begin{aligned} 2 x & =2 \times x \\ 4 & =2 \times 2 \\ 2 x+4 & =(2 \times x)+(2 \times 2) \end{aligned} $

எனவே: விதிகளில் 2 என்பது பொதுவான காரணியாக இருப்பதை கவனிப்போம்.

பரவலான விதி மூலம் பார்க்கவும்

$ 2 \times(x+2)=(2 \times x)+(2 \times 2) $

எனவே, நாம் எழுதலாம்

$ 2 x+4=2 \times(x+2)=2(x+2) $

எனவே, வினாவின் $2 x+4$ ஆகும் $2(x+2)$. இப்போது அதன் காரணிகளை நாம் படிக்கலாம்: அவை 2 மற்றும் $(x+2)$. இந்த காரணிகள் மறைந்திருக்கிறது.

அடுத்து, $5 x y+10 x$ ஐ பின்னடைவில் எழுதுவோம்.

$5 x y$ மற்றும் $10 x$ இன் மறைந்திருக்கிற காரணி வடிவங்கள் முறையே,

$ \begin{aligned} & 5 x y=5 \times x \times y \\ & 10 x=2 \times 5 \times x \end{aligned} $

இரண்டு விதிகளிலும் 5 மற்றும் $x$ ஆக பொதுவான காரணிகள் உள்ளன. இப்போது,

$ \begin{aligned} 5 x y+10 x & =(5 \times x \times y)+(5 \times x \times 2) \\ & =(5 x \times y)+(5 x \times 2) \end{aligned} $

நாம் பரவலான விதியைப் பயன்படுத்தி இரண்டு விதிகளை ஒன்றாக சேர்ப்போம்,

$ (5 x \times y)+(5 x \times 2)=5 x \times(y+2) $

எனவே, $5 x y+10 x=5 x(y+2)$. (இது வேண்டிய காரணி வடிவம்.)

உதாரணம் 1 : $12 a^{2} b+15 a b^{2}$ ஐ பின்னடைவில் எழுதுங்கள்

தீர்வு: நாம் $12 a^{2} b=2 \times 2 \times 3 \times a \times a \times b$

$ 15 a b^{2}=3 \times 5 \times a \times b \times b $

இரண்டு விதிகளிலும் $3, a$ மற்றும் $b$ ஆக பொதுவான காரணிகள் உள்ளன.

எனவே,

$ \begin{aligned} 12 a^{2} b+15 a b^{2} & =(3 \times a \times b \times 2 \times 2 \times a)+(3 \times a \times b \times 5 \times b) \\ & =3 \times a \times b \times[(2 \times 2 \times a)+(5 \times b)] \quad \text{ (விதிகளை ஒன்றாக சேர்க்கிறோம்) } \\ & =3 a b \times(4 a+5 b) \\ & =3 a b(4 a+5 b) \quad \text{ (வேண்டிய காரணி வடிவம்) } \end{aligned} $

உதாரணம் 2 : $10 x^{2}-18 x^{3}+14 x^{4}$ ஐ பின்னடைவில் எழுதுங்கள்

தீர்வு:

$ \begin{aligned} 10 x^{2} & =2 \times 5 \times x \times x \\ 18 x^{3} & =2 \times 3 \times 3 \times x \times x \times x \\ 14 x^{4} & =2 \times 7 \times x \times x \times x \times x \end{aligned} $

மூன்று விதிகளின் பொதுவான காரணிகள் $2, x$ மற்றும் $x$.

எனவே, $10 x^{2}-18 x^{3}+14 x^{4}=(2 \times x \times x \times 5)-(2 \times x \times x \times 3 \times 3 \times x)$

$ \begin{aligned} & +(2 \times x \times x \times 7 \times x \times x) \\ = & 2 \times x \times x \times[(5-(3 \times 3 \times x)+(7 \times x \times x)] \\ = & 2 x^{2} \times(5-9 x+7 x^{2})=2 x^{2}(7 x^{2}-9 x+5) \end{aligned} $

$ =2 \times x \times x \times[(5-(3 \times 3 \times x)+(7 \times x \times x)] \text{ (மூன்று விதிகளை ஒன்றாக சேர்க்கிறோம்) } $

ஒரு வினாவின் காரணி வடிவத்தில் ஒரே ஒரு விதி இருப்பதை நீங்கள் கவனித்திருக்கிறீர்களா?

இந்தப் படிகளை முயற்சிக்கவும்

பின்னடைவில் எழுதுங்கள்:

(i) $12 x+36$

(ii) $22 y-33 z$

(iii) $14 p q+35 p q r$

12.2.2 விதிகளை மறுசீரமைப்பில் பின்னடைவில் எழுதுதல்

வினாவை பார்க்கவும் $2 x y+2 y+3 x+3$. முதல் இரண்டு விதிகளில் 2 மற்றும் $y$ ஆக பொதுவான காரணிகள் உள்ளதை நீங்கள் கவனிப்பீர்கள் இறுதியில் இரண்டு விதிகளில் 3 என்பது ஒரு பொதுவான காரணியாக உள்ளது. ஆனால், அனைத்து விதிகளுக்கும் ஒரே ஒரு காரணி இல்லை. நாம் எப்படி தொடர வேண்டும்?

நாம் $(2 x y+2 y)$ ஐ காரணி வடிவத்தில் எழுதுவோம்:

இதேபோல்,

$ \begin{aligned} 2 x y+2 y & =(2 \times x \times y)+(2 \times y) \\ & =(2 \times y \times x)+(2 \times y \times 1) \\ & =(2 y \times x)+(2 y \times 1)=2 y(x+1) \\ 3 x+3 & =(3 \times x)+(3 \times 1) \\ & =3 \times(x+1)=3(x+1) \end{aligned} $

எனவே,

$ 2 x y+2 y+3 x+3=2 y(x+1)+3(x+1) $

இப்போது நாம் வலது பக்கத்தில் இரண்டு விதிகளிலும் ஒரு பொதுவான காரணி $(x+1)$ உள்ளதை கவனிப்போம். இரண்டு விதிகளை ஒன்றாக சேர்ப்போம்,

$ 2 x y+2 y+3 x+3=2 y(x+1)+3(x+1)=(x+1)(2 y+3) $

வினாவின் $2 x y+2 y+3 x+3$ இப்போது காரணிகளின் பெருக்கியில் உள்ளது. அதன் காரணிகள் $(x+1)$ மற்றும் $(2 y+3)$. குறிப்பு, இந்த காரணிகள் மறைந்திருக்கிறது.

மறுசீரமைப்பு என்ன?

என்னாவிட்டாலும், மேற்கண்ட வினாவை $2 x y+3+2 y+3 x$; ஆக ஒதுக்கினால், பின்னடைவை கண்டுபிடிக்க எளிதாகாது. வினாவை $2 x y+2 y+3 x+3$, ஆக மறுசீரமைத்தால், குழுக்கள் $(2 x y+2 y)$ மற்றும் $(3 x+3)$ உருவாக்கப்படும் மூலம் பின்னடைவு செய்யப்படும். இது மறுசீரமைப்பு.

மறுசீரமைப்பு ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட வழிகளில் செய்யப்படலாம். என்னாவிட்டாலும், வினாவை இப்படி மறுசீரமைத்தால்: $2 x y+3 x+2 y+3$. இது காரணிகளை வெளிப்படுத்தும். நாம் முயற்சிப்போம்:

$ \begin{aligned} 2 x y+3 x+2 y+3 & =2 \times x \times y+3 \times x+2 \times y+3 \\ & =x \times(2 y+3)+1 \times(2 y+3) \\ & =(2 y+3)(x+1) \end{aligned} $

காரணிகள் அதே (அவை அதே என்பதால்), அவை வெவ்வேறு வரிசையில் தோன்றினாலும்.

உதாரணம் 3 : $6 x y-4 y+6-9 x$ ஐ பின்னடைவில் எழுதுங்கள்.

தீர்வு:

படி 1 அனைத்து விதிகளுக்கும் ஒரு பொதுவான காரணி இருக்கிறதா என்பதை சரிபார்க்கவும். அஃது இல்லை.

படி 2 குழுக்களை எப்படி சேர்க்க வேண்டும் என்பதை சிந்திக்கவும். முதல் இரண்டு விதிகளில் ஒரு பொதுவான காரணி $2 y$ உள்ளதை கவனிப்போம்;

$$ \begin{equation*} 6 x y-4 y=2 y(3 x-2) \tag{a} \end{equation*} $$

இறுதியில் இரண்டு விதிகள் என்ன? அவற்றை பார்க்கவும். அவற்றின் வரிசையை $-9 x+6$, ஆக மாற்றினால், காரணி $(3 x-2)$ வெளியாகும்;

$$ \begin{align*} -9 x+6 & =-3(3 x)+3(2) \\ & =-3(3 x-2) \tag{b} \end{align*} $$

படி (a) மற்றும் (b) ஐ ஒன்றாக வைத்தால்,

$ \begin{aligned} 6 x y-4 y+6-9 x & =6 x y-4 y-9 x+6 \\ & =2 y(3 x-2)-3(3 x-2) \\ & =(3 x-2)(2 y-3) \end{aligned} $

$(6 x y-4 y+6-9 x)$ இன் காரணிகள் $(3 x-2)$ மற்றும் $(2 y-3)$.

EXERCISE 12.1

1. கொடுக்கப்பட்ட விதிகளின் பொதுவான காரணிகளை கண்டுபிடிக்கவும்.

(i) $12 x, 36$ $\quad$ (ii) $2 y, 22 x y$ $\quad$ (iii) $14 p q, 28 p^{2} q^{2}$

(iv) $2 x, 3 x^{2}, 4$ $\quad$ (v) $6 a b c, 24 a b^{2}, 12 a^{2} b$ $\quad$ (vi) $16 x^{3},-4 x^{2}, 32 x$

(vii) $10 p q, 20 q r, 30 r p$ $\quad$ (viii) $3 x^{2} y^{3}, 10 x^{3} y^{2}, 6 x^{2} y^{2} z$

2. பின்வரும் வினாக்களை பின்னடைவில் எழுதுங்கள். (i) $7 x-42$ $\quad$ (ii) $6 p-12 q$ $\quad$ (iii) $7 a^{2}+14 a$

(iv) $-16 z+20 z^{3}$ $\quad$ (v) $20 l^{2} m+30 a l m$ $\quad$ (vi) $5 x^{2} y-15 x y^{2}$

(vii) $10 a^{2}-15 b^{2}+20 c^{2}$ $\quad$ (viii) $-4 a^{2}+4 a b-4 c a$ $\quad$ (ix) $x^{2} y z+x y^{2} z+x y z^{2}$

(x) $a x^{2} y+b x y^{2}+c x y z$

3. பின்னடைவில் எழுதுங்கள். (i) $x^{2}+x y+8 x+8 y$ $\quad$ (ii) $15 x y-6 x+5 y-2$ $\quad$ (iii) $a x+b x-a y-b y$

(iv) $15 p q+15+9 q+25 p$ $\quad$ (v) $z-7+7 x y-x y z$

12.2.3 அடையாளங்களைப் பயன்படுத்தி பின்னடைவு

நாம் அறிந்துள்ளனம்

$$ \begin{align*} (a+b)^{2} & =a^{2}+2 a b+b^{2} \tag{I}\\ (a-b)^{2} & =a^{2}-2 a b+b^{2} \tag{II}\\ (a+b)(a-b) & =a^{2}-b^{2} \tag{III} \end{align*} $$

பின்வரும் தீர்க்கப்பட்ட உதாரணங்கள் இந்த அடையாளங்களை எவ்வாறு பின்னடைவில் எழுத பயன்படுத்துவதை விளக்கும். நாம் செய்யும் செயல்முறை இந்த வினாவின் போது ஒரு அடையாளத்தின் வலது பக்கத்திற்கு பொருந்தும் வடிவம் உள்ளதா என்பதை பார்ப்பதாகும், அடையாளத்தின் இடது பக்கத்தின் வினாவை வேண்டிய காரணி வடிவத்தில் எழுதுவதாகும்.

உதாரணம் 4 : $x^{2}+8 x+16$ ஐ பின்னடைவில் எழுதுங்கள்

தீர்வு: வினாவை பார்க்கவும்; அது மூன்று விதிகளைக் கொண்டுள்ளது. எனவே, அது அடையாளம் III க்கு பொருந்தாது. மேலும், அதன் முதல் மற்றும் இறுதி விதிகள் மேய் மூத்த எண்களாக உள்ளன மேய் மூத்த எண்களுக்கு மத்தியில் உள்ள விதிக்கு கீழ்க்குறியை உள்ளது. எனவே, அது $a^{2}+2 a b+b^{2}$ வடிவத்தில் உள்ளது $a=x$ மற்றும் $b=4$

அப்படி இருப்பின்

$ \begin{aligned} a^{2}+2 a b+b^{2} & =x^{2}+2(x)(4)+4^{2} \\ & =x^{2}+8 x+16 \end{aligned} $

ஏனெனில்: $ a^{2}+2 a b+b^{2}=(a+b)^{2}, $

ஒப்பீட்டளவில் $x^{2}+8 x+16=(x+4)^{2}$

(வேண்டிய காரணி வடிவம்)

உதாரணம் 5 : $4 y^{2}-12 y+9$ ஐ பின்னடைவில் எழுதுங்கள்

தீர்வு: பார்க்கவும் $4 y^{2}=(2 y)^{2}, 9=3^{2}$ மற்றும் $12 y=2 \times 3 \times(2 y)$

எனவே,

$ \begin{aligned} 4 y^{2}-12 y+9 & =(2 y)^{2}-2 \times 3 \times(2 y)+(3)^{2} \\ & =(2 y-3)^{2} \quad \text{ (வேண்டிய காரணி வடிவம்) } \end{aligned} $

உதாரணம் 6 : $49 p^{2}-36$ ஐ பின்னடைவில் எழுதுங்கள்

தீர்வு: இரண்டு விதிகள் உள்ளன; இரண்டும் மூத்த எண்கள் மற்றும் இரண்டாவது விதி கீழ்க்குறியைக் கொண்டுள்ளது. வினா $(a^{2}-b^{2})$ வடிவத்தில் உள்ளது. அடையாளம் III இங்கு பொருந்தும்;

$ \begin{aligned} 49 p^{2}-36 & =(7 p)^{2}-(6)^{2} \\ & =(7 p-6)(7 p+6)(\text{ வேண்டிய காரணி வடிவம்) } \end{aligned} $

உதாரணம் 7 : $a^{2}-2 a b+b^{2}-c^{2}$ ஐ பின்னடைவில் எழுதுங்கள்

தீர்வு: வினாவின் முதல் மூன்று விதிகள் $(a-b)^{2}$ ஆக உருவாக்கப்படும். இறுதியில் ஒரு மூத்த எண் உள்ளது. எனவே, வினாவை இரு மூத்த எண்களுக்கு இடையேயான விதியாக சுருக்கலாம்.

எனவே, $\quad a^{2}-2 a b+b^{2}-c^{2}=(a-b)^{2}-c^{2}$

(அடையாளம் II ஐப் பயன்படுத்தி)

$ =[(a-b)-c)((a-b)+c)] $

$ =(a-b-c)(a-b+c) \quad \text{ (வேண்டிய காரணி வடிவம்) } $

ஒரு அடையாளத்தை இன்னொரு அடையாளத்துக்கு முன்னடைவில் எழுதி வேண்டிய காரணி வடிவத்தை பெறுவதை எவ்வாறு செய்தோம் என்பதை கவனிக்கவும்.

உதாரணம் 8 : $m^{4}-256$ ஐ பின்னடைவில் எழுதுங்கள்

தீர்வு: நாம் கவனிப்போம்

$ m^{4}=(m^{2})^{2} \text{ and } 256=(16)^{2} $

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட வினா அடையாளம் III க்கு பொருந்தும்.

எனவே,

$ \begin{aligned} m^{4}-256 & =(m^{2})^{2}-(16)^{2} \\ & =(m^{2}-16)(m^{2}+16) \quad[(\text{ using Identity (III) }] \end{aligned} $

இப்போது, $(m^{2}+16)$ ஐ மேலும் பின்னடைவில் எழுத முடியாது, ஆனால் $(m^{2}-16)$ ஐ மீண்டும் அடையாளம் III ஐப் பயன்படுத்தி பின்னடைவில் எழுத முடியும்.

எனவே,

$ \begin{aligned} m^{2}-16 & =m^{2}-4^{2} \\ & =(m-4)(m+4) \\ m^{4}-256 & =(m-4)(m+4)(m^{2}+16) \end{aligned} $

12.2.4 $(x+a)(x+b)$ வடிவத்தின் காரணிகள்

இப்போது நாம் ஒரு மாறியைக் கொண்ட வினாக்களை எவ்வாறு பின்னடைவில் எழுதுவது என்பதைப் பற்றி பேசுவோம், உதாரணமாக $x^{2}+5 x+6$, $y^{2}-7 y+12, z^{2}-4 z-12,3 m^{2}+9 m+6$, முதலியவை. இந்த வினாக்கள் $(a+b)^{2}$ அல்லது $(a-b)^{2}$ வடிவத்தில் இல்லை, அதாவது, அவை மூத்த எண்களாக இல்லை. உதாரணமாக, $x^{2}+5 x+6$ இல், 6 என்பது ஒரு மூத்த எண் அல்ல. இந்த வினாக்கள் அந்த வடிவத்திற்கு பொருந்தாததால் விலகிச் சென்றுள்ளன.

ஆனால், அவை $x^{2}+(a+b) x+a b$ வடிவத்திற்கு போலத் தெரிகிறது. நாம் இதை பின்னடைவில் எழுத அடையாளம் IV ஐப் பயன்படுத்த முயற்சிப்போம் இந்த வினாக்களை பின்னடைவில் எழுத வேண்டியிருந்தால் இதனால் கற்றுக்கொண்டிருக்கும் அடையாளம் IV:

$$ \begin{equation*} (x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b) x+a b \tag{IV} \end{equation*} $$

அதற்கு நாம் மாறிக்கு எண்களின் அடிப்படையில் மதிப்பீடு செய்ய வேண்டியிருக்கும் மாறிகளின் அடிப்படையில் மதிப்பீடு செய்ய வேண்டியிருக்கும். இதை நாம் பின்வரும் உதாரணத்தில் எவ்வாறு செய்வது என்பதைப் பார்ப்போம்.

உதாரணம் 9 : $x^{2}+5 x+6$ ஐ பின்னடைவில் எழுதுங்கள்

தீர்வு: அடையாளத்தின் (IV) வலது பக்கத்தை $x^{2}+5 x+6$ உடன் ஒப்பிட்டால், நாம் $a b=6$, மற்றும் $a+b=5$ ஐ காணலாம். இந்த மதிப்புகளையே நாம் $a$ மற்றும் $b$ ஐ பெற வேண்டும். அப்போது, காரணிகள் $(x+a)$ மற்றும் $(x+b)$ ஆகும்.

$a b=6$, என்றால் அப்போது $a$ மற்றும் $b$ 6 இன் காரணிகளாக இருக்கும். நாம் $a=6, b=1$ ஐ முயற்சிப்போம். இந்த மதிப்புகளுக்கு $a+b=7$, மற்றும் 5 அல்ல, எனவே இந்த தேர்வு சரியானதல்ல.

நாம் $a=2, b=3$ ஐ முயற்சிப்போம். இந்த மதிப்புகளுக்கு $a+b=5$ சரியானதாகும்.

இந்த கொடுக்கப்பட்ட வினாவின் பின்னடைவில் எழுதப்பட்ட வடிவம் அப்போது $(x+2)(x+3)$.

ஒன்று மாறியைக் கொண்ட வடிவத்தின் வினாவை பின்னடைவில் எழுத எப்படி செய்வது என்பதை பார்க்கவும் $x^{2}+p x+q$, நாம் 6 இன் இரு காரணிகளை கண்டுபிடிக்க வேண்டும் $a$ மற்றும் $b$ $q$ (அதாவது, ஒரு சிலாப்பு மதிப்பு) அப்படி இருப்பின்

$ a b=q \quad \text{ and } \quad a+b=p $

அப்போது, வினா $\quad x^{2}+(a+b) x+a b$

அல்லது: $x^{2}+a x+b x+a b$

அல்லது: $x(x+a)+b(x+a)$

அல்லது: $(x+a)(x+b) \quad$ ஆக இருக்கும் வேண்டிய காரணிகள்.

உதாரணம் 10 : $y^{2}-7 y+12$ இன் காரணிகளை கண்டுபிடிக்கவும்.

தீர்வு: நாம் கவனிப்போம் $12=3 \times 4$ மற்றும் $3+4=7$. எனவே,

$ \begin{aligned} y^{2}-7 y+12 & =y^{2}-3 y-4 y+12 \\ & =y(y-3)-4(y-3)=(y-3)(y-4) \end{aligned} $

குறிப்பு, இந்த முறையில் நாம் அடையாளம் (IV) இல் உள்ள வினாவுடன் ஒப்பிட்டு $a$ மற்றும் $b$ ஐ அடையாளம் செய்யவில்லை. போதுமான பயிற்சியுடன் நீங்கள் கொடுக்கப்பட்ட வினாக்களை அடையாளங்களில் உள்ள வினாக்களுடன் ஒப்பிட்டு பின்னடைவில் எழுத வேண்டியிருந்தால் இது தேவையில்லை; நாம் மேற்கண்டவாறு நேரடியாக தொடங்கலாம்.

உதாரணம் 11 : $z^{2}-4 z-12$ இன் காரணிகளை பெறுங்கள்.

தீர்வு: இங்கு $a b=-12$; எனவே இரண்டில் ஒன்று $a$ மற்றும் $b$ ஒரு கீழ்க்குறியைக் கொண்டிருக்கும். மேலும், $a+b=-4$, எனவே அதிக எண்ணிக்கையைக் கொண்ட ஒன்று கீழ்க்குறியைக் கொண்டிருக்கும். நாம் $a=-4, b=3$ ஐ முயற்சிக்கிறோம்; ஆனால் இது வேலை செய்யாது, ஏனெனில் $a+b=-1$. அடுத்த சாத்தியமான மதிப்புகள் $a=-6, b=2$, எனவே $a+b=-4$ வேண்டியதாகும்.

எனவே,

$ \begin{aligned} z^{2}-4 z-12 & =z^{2}-6 z+2 z-12 \\ & =z(z-6)+2(z-6) \\ & =(z-6)(z+2) \end{aligned} $

உதாரணம் 12 : $3 m^{2}+9 m+6$ இன் காரணிகளை கண்டுபிடிக்கவும்.

தீர்வு: நாம் கவனிப்போம் 3 ஐ அனைத்து விதிகளிலும் ஒரு பொதுவான காரணியாக காணலாம்.

எனவே,

$$ \begin{align*} 3 m^{2}+9 m+6 & =3(m^{2}+3 m+2) \\ m^{2}+3 m+2 & =m^{2}+m+2 m+2 \\ & =m(m+1)+2(m+1) \\ & =(m+1)(m+2) \end{align*} $$

இப்போது,

எனவே,

$ 3 m^{2}+9 m+6=3(m+1)(m+2) $

EXERCISE 12.2

1. பின்வரும் வினாக்களை பின்னடைவில் எழுதுங்கள்.

(i) $a^{2}+8 a+16$ $\quad$ (ii) $p^{2}-10 p+25$ $\quad$ (iii) $25 m^{2}+30 m+9$

(iv) $49 y^{2}+84 y z+36 z^{2}$ $\quad$ (v) $4 x^{2}-8 x+4$ $\quad$ (vi) $121 b^{2}-88 b c+16 c^{2}$

(vii) $(l+m)^{2}-4 l m$ $\quad$ (உத்தரவு: $(l+m)^{2}$ ஐ முதலில் விரிவாக்கவும்) $\quad$ (viii) $a^{4}+2 a^{2} b^{2}+b^{4}$

2. பின்னடைவில் எழுதுங்கள்.

(i) $4 p^{2}-9 q^{2}$ $\quad$ (ii) $63 a^{2}-112 b^{2}$ $\quad$ (iii) $49 x^{2}-36$

(iv) $16 x^{5}-144 x^{3}$ $\quad$ (v) $(l+m)^{2}-(l-m)^{2}$ $\quad$ (vi) $9 x^{2} y^{2}-16$

(vii) $(x^{2}-2 x y+y^{2})-z^{2}$ $\quad$ (viii) $25 a^{2}-4 b^{2}+28 b c-49 c^{2}$

3. வினாக்களை பின்னடைவில் எழுதுங்கள்.

(i) $a x^{2}+b x$ $\quad$ (ii) $7 p^{2}+21 q^{2}$ $\quad$ (iii) $2 x^{3}+2 x y^{2}+2 x z^{2}$

(iv) $a m^{2}+b m^{2}+b n^{2}+a n^{2}$ $\quad$ (v) $(l m+l)+m+1$ $\quad$ (vi) $y(y+z)+9(y+z)$

(vii) $5 y^{2}-20 y-8 z+2 y z$ $\quad$ (viii) $10 a b+4 a+5 b+2$ $\quad$ (ix) $6 x y-4 y+6-9 x$

4. பின்னடைவில் எழுதுங்கள்.

(i) $a^{4}-b^{4}$ $\quad$ (iv) $x^{4}-(x-z)^{4}$ $\quad$ (ii) $p^{4}-81$

(v) $a^{4}-2 a^{2} b^{2}+b^{4}$ $\quad$ (iii) $x^{4}-(y+z)^{4}$

5. பின்வரும் வினாக்களை பின்னடைவில் எழுதுங்கள்.

(i) $p^{2}+6 p+8$ $\quad$ (ii) $q^{2}-10 q+21$ $\quad$ (iii) $p^{2}+6 p-16$

12.3 எழுத்துக்கள் வினாக்களின் வகுத்தல்

நாம் எழுத்துக்கள் வினாக்களை சேர்க்கவும் கழிக்கவும் எவ்வாறு செய்வது என்பதை கற்றுக்கொண்டோம். நாம் இன்னும் இரண்டு வினாக்களை எவ்வாறு பெருக்குவது என்பதையும் அறிந்துள்ளோம். ஆனால், ஒரு எழுத்துக்கள் வினாவை இன்னொரு எழுத்துக்கள் வினாவால் வகுக்க எவ்வாறு செய்வது என்பதை நாம் பார்த்திருக்கவில்லை. இதை நாம் இந்த பிரிவில் செய்ய வேண்டும்.

நாம் நினைவில் கொள்ளலாம் வகுத்தல் பெருக்கலின் எதிர்மறை செயலாக இருப்பதாக. எனவே, $7 \times 8=56$ ஐ $56 \div 8=7$ அல்லது $56 \div 7=8$ என்பதாக சொல்லலாம்.

நாம் இதேபோல் எழுத்துக்கள் வினாக்களின் வகுத்தலையும் செய்யலாம். உதாரணமாக,

(i)

$ \begin{aligned} 2 x \times 3 x^{2} & =6 x^{3} \\ 6 x^{3} \div 2 x & =3 x^{2} \\ 6 x^{3} \div 3 x^{2} & =2 x \end{aligned} $

எனவே,

மேலும்,

(ii)

$ 5 x(x+4)=5 x^{2}+20 x $

எனவே, $(5 x^{2}+20 x) \div 5 x=x+4$

மேலும்

$ (5 x^{2}+20 x) \div(x+4)=5 x $

நாம் இப்போது ஒரு வினாவை இன்னொரு வினாவால் எவ்வாறு வகுப்பது என்பதை விரிவாக பார்ப்போம். முதலில் நாம் ஒரு ஒற்றை விதியை இன்னொரு ஒற்றை விதியால் வகுப்பதை