2.1 அறிமுகம்

முந்தைய வகுப்புகளில், நீங்கள் பல நிரலாக்க அடிப்படைகள் மற்றும் சமன்பாடுகளைப் பற்றிச் செய்திகளைப் பெற்றிருக்கிறீர்கள்.

நாம் இதுவரை பழகிப் பார்த்த அடிப்படைகளின் சில எடுத்துக்காட்டுகள்:

$ 5 x, 2 x-3,3 x+y, 2 x y+5, x y z+x+y+z, x^{2}+1, y+y^{2} $

சமன்பாடுகளின் சில எடுத்துக்காட்டுகள்: $5 x=25,2 x-3=9,2 y+\frac{5}{2}=\frac{37}{2}, 6 z+10=-2$

சமன்பாடுகள் சமன்பாட்டுக் குறியீட்டை (=) பயன்படுத்துகின்றன என்பதை நீங்கள் நினைவில் வைத்திருப்பீர்கள்; அடிப்படைகளில் அது காணாமல் இருக்கிறது.

இந்த அளவுக்கு வழங்கப்பட்ட அடிப்படைகளில், பலவற்றில் ஒரு மாறிலுக்கு மேல் ஒரு மாறில் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, $2 x y+5$ இரண்டு மாறில்களைக் கொண்டுள்ளது. எனினும், நாம் சமன்பாடுகளை உருவாக்கும்போது ஒரு மாறிலை மட்டுமே கொண்ட அடிப்படைகளை கட்டுப்படுத்துகிறோம். மேலும், நாம் சமன்பாடுகளை உருவாக்க பயன்படுத்தும் அடிப்படைகள் நேரியல் ஆகும். இதனால் அடிப்படையில் மாறில் உள்ள அதிகபட்ச அளவு 1 ஆகும்.

இந்த நேரியல் அடிப்படைகள்:

$ 2 x, 2 x+1,3 y-7,12-5 z, \frac{5}{4}(x-4)+10 $

இந்த நேரியல் அடிப்படைகள் அல்ல:

$ x^{2}+1, y+y^{2}, 1+z+z^{2}+z^{3} \quad(\text{ since highest power of variable }>1) $

இங்கே நாம் ஒரு மாறிலை மட்டும் கொண்ட நேரியல் அடிப்படைகளைக் கொண்ட சமன்பாடுகளைப் பற்றி பேசுகிறோம். முந்தைய வகுப்புகளில் நீங்கள் அறிந்துகொண்டிருந்த எளிய சமன்பாடுகள் அனைத்தும் இந்த வகையில் இருந்தன.

நாம் அறிந்துள்ளவற்றை சிறிது நேரம் மீண்டும் மதிப்பாய்வு செய்வோம்:

(அ) நிரலாக்க சமன்பாடு மாறில்களை உள்ளடக்கிய சமன்பாடாகும். அது ஒரு சமன்பாட்டுக் குறியீட்டைக் கொண்டுள்ளது. சமன்பாட்டுக் குறியீட்டுக்கு இடம் உள்ள அடிப்படை என்பது இடது கைப்பிரிவு (LHS). சமன்பாட்டுக் குறியீட்டுக்கு வலம் உள்ள அடிப்படை என்பது வலது கைப்பிரிவு (RHS).

(ஆ) ஒரு சமன்பாட்டில் இடது கைப்பிரிவுக்கும் வலது கைப்பிரிவுக்கும் உள்ள அடிப்படைகளின் மதிப்புகள் சமனாக இருக்கின்றன. இது மாறிலின் சில மதிப்புகளுக்கு மட்டுமே உண்மையாக இருக்கிறது. இந்த மதிப்புகள் சமன்பாட்டின் தீர்வாகும்.

(இ) ஒரு சமன்பாட்டின் தீர்வை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?

நாம் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் சமனாக கருதுவோம். நாம் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் ஒரே மாதிரியான கணித செயல்பாடுகளை செய்வோம், இதனால் சமன்பாட்டின் சமன்பாடு மாறாமல் இருக்கும். சில இந்த படிகள் தீர்வை வழங்குகின்றன. $x=5$ என்பது சமன்பாட்டின் தீர்வாகும்

$2 x-3=7$. இந்த சமன்பாட்டிற்கு $x=5$,

LHS $=2 \times 5-3=7=$ RHS

மறுபடியும் $x=10$ என்பது சமன்பாட்டின் தீர்வாக இல்லை. $x=10$, LHS $=2 \times 10-3=17$. இது வலது கைப்பிரிவை விட சமனாக இல்லை

2.2 மாறிலை இரு பக்கங்களிலும் கொண்டுள்ள சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும்

ஒரு சமன்பாடு இரு அடிப்படைகளின் மதிப்புகளின் சமன்பாடாகும். சமன்பாட்டில் $2 x-3=7$, இரு அடிப்படைகள் $2 x-3$ மற்றும் 7. இதுவரை நாம் எடுத்துக்காட்டுகளில் பெரும்பாலும் RHS என்பது ஒரு எண்ணாக இருந்தது. ஆனால் இது எப்போதும் அல்ல; இரு பக்கங்களிலும் மாறிலை கொண்ட அடிப்படைகள் இருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, சமன்பாட்டில் $2 x-3=x+2$ இரு பக்கங்களிலும் மாறிலை கொண்ட அடிப்படைகள் உள்ளன; இடது கைப்பிரிவில் உள்ள அடிப்படை $(2 x-3)$ மற்றும் வலது கைப்பிரிவில் உள்ள அடிப்படை $(x+2)$.

• இப்போது நாம் இத்தகைய சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை விவாதிப்போம் இதில் மாறிலை கொண்ட அடிப்படைகள் இரு பக்கங்களிலும் உள்ளன.

எடுத்துக்காட்டு 1 : $2 x-3=x+2$ ஐத் தீர்க்கும்

தீர்வு: நாம்

$$ \begin{align*}2 x & =x+2+3 \\ \text{or } \hspace{10 mm} 2 x & =x+5 \\ \text{or } \hspace{10 mm} 2 x-x & =x+5-x \quad \text{ subtracting } x \text{ from both sides } \\ \text{or } \hspace{10 mm} x & =5 \tag{solution} \end{align*} $$

இங்கே நாம் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் எண் (சொத்து) அல்ல, மாறிலை உள்ளடக்கிய உரையை கழித்தோன்றினோம். நாம் இதை மாறில்கள் எண்களாகவும் இருப்பதால் செய்யலாம். மேலும், இரு பக்கங்களிலும் $x$ ஐ கழித்தோன்றுவது $x$ ஐ LHS க்கு மாற்றுவதுபோல் இருக்கிறது என்பதைக் கவனியுங்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 2 : $5 x+\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x-14$ ஐத் தீர்க்கும்

தீர்வு: சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 2 ஆல் பெருக்கினோம். நாம் பெற்றோம்

$ 2 \times(5 x+\frac{7}{2})=2 \times(\frac{3}{2} x-14) $

$ (2 \times 5 x)+(2 \times \frac{7}{2})=(2 \times \frac{3}{2} x)-(2 \times 14) $

அல்லது: $ \hspace{10 mm}10 x+7=3 x-28 $

அல்லது: $ \hspace{10 mm}10 x-3 x+7=-28 \quad(\text{ transposing } 3 x \text{ to LHS) } $

அல்லது: $ \hspace{10 mm}7 x+7=-28 $

$ \begin{aligned} \text{or }\hspace{10 mm}& 7 x=-28-7 \\ \text{or }\hspace{10 mm}& 7 x=-35 \end{aligned} $

அல்லது $\quad x=\frac{-35}{7}$

அல்லது $\quad x=-5 $

பயிற்சி 2.1

பின்வரும் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும் உங்கள் முடிவுகளை சரிபார்க்கவும்.

1. $3 x=2 x+18$

2. $5 t-3=3 t-5$

3. $5 x+9=5+3 x$

4. $4 z+3=6+2 z$

5. $2 x-1=14-x$

6. $8 x+4=3(x-1)+7$

7. $x=\frac{4}{5}(x+10)$

8. $\frac{2 x}{3}+1=\frac{7 x}{15}+3$

9. $2 y+\frac{5}{3}=\frac{26}{3}-y$

10. $3 m=5 m-\frac{8}{5}$

2.3 சமன்பாடுகளை எளிய வடிவத்திற்கு குறைப்பது

எடுத்துக்காட்டு 16 : $\frac{6 x+1}{3}+1=\frac{x-3}{6}$ ஐத் தீர்க்கும்

தீர்வு: சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 6 ஆல் பெருக்கினோம்,

$\boxed{\text{Why 6 ? Because it is the smallest multiple (or LCM) of the given denominators.}} $ அல்லது

$ \begin{gathered} & \frac{6(6 x+1)}{3}+6 \times 1 = \frac{6(x-3)}{6} \\ \text{or } & 2(6 x+1)+6 = x-3 \\ \end{gathered} $

$ \begin{gathered} \text{or } & 12 x+2+6 = x-3 \quad \text{ (opening the brackets) } \\ \text{or } & 12 x+8 = x-3 \\ \text{or } & 12 x-x+8 = -3 \\ \text{or } & 11 x+8 = -3 \\ \text{or } & 11 x = -3-8 \\ \text{or } & 11 x = -11 \\ & x = -1 \quad \text{ (required solution) } \end{gathered} $

சரிபார்ப்பு: $LHS=\frac{6(-1)+1}{3}+1=\frac{-6+1}{3}+1=\frac{-5}{3}+\frac{3}{3}=\frac{-5+3}{3}=\frac{-2}{3}$

$ \begin{aligned} & \text{ RHS }=\frac{(-1)-3}{6}=\frac{-4}{6}=\frac{-2}{3} \\ & \text{ LHS }=\text{ RHS. } \quad \text{ (as required) } \end{aligned} $

எடுத்துக்காட்டு 17 : $5 x-2(2 x-7)=2(3 x-1)+\frac{7}{2}$ ஐத் தீர்க்கும்

தீர்வு: நாம் அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்தோம்,

$ \begin{array}{ll} \text{ LHS }=5 x-4 x+14=x+14 \\ RHS=6 x-2+\frac{7}{2}=6 x-\frac{4}{2}+\frac{7}{2}=6 x+\frac{3}{2} \\ \text{ The equation is } & x+14=6 x+\frac{3}{2} \\ \text{ or } & 14=6 x-x+\frac{3}{2} \\ \text{ or } & 14=5 x+\frac{3}{2} \\ & 14-\frac{3}{2}=5 x & (\text{transposing } \frac{3}{2})\\ & \frac{28-3}{2}=5 x \\ & \frac{25}{2}=5 x \\ & x=\frac{25}{2} \times \frac{1}{5}=\frac{5 \times 5}{2 \times 5}=\frac{5}{2} \end{array} $

எனவே, தேவையான தீர்வானது $x=\frac{5}{2}$.

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{Did you observe how we} \\ \text{simplified the form of the given} \\ \text{equation? Here, we had to multiply} \\ \text{ both sides of the equation by } \\ \text{the LCM of the denominators of } \\ \text{the terms in the expressions }\\ \text{of the equation}\\ \hline \end{array}$

சரிபார்ப்பு $:$ LHS $=5 \times \frac{5}{2}-2(\frac{5}{2} \times 2-7)$

$ \begin{aligned} & \quad=\frac{25}{2}-2(5-7)=\frac{25}{2}-2(-2)=\frac{25}{2}+4=\frac{25+8}{2}=\frac{33}{2} \\ & \text{ RHS }=2(\frac{5}{2} \times 3-1)+\frac{7}{2}=2(\frac{15}{2}-\frac{2}{2})+\frac{7}{2}=\frac{2 \times 13}{2}+\frac{7}{2} \\ &=\frac{26+7}{2}=\frac{33}{2}=\text{ LHS. (as required) } \end{aligned} $

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{Note, in this example we} \\ \text{brought the equation to a} \\ \text{simpler form by opening} \\ \text{ brackets and combining like } \\ \text{terms on both sides of the } \\ \text{equation.}\\ \hline \end{array}$

பயிற்சி 2.2

பின்வரும் நேரியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும்.

1. $\frac{x}{2}-\frac{1}{5}=\frac{x}{3}+\frac{1}{4}$

2. $\frac{n}{2}-\frac{3 n}{4}+\frac{5 n}{6}=21$

3. $x+7-\frac{8 x}{3}=\frac{17}{6}-\frac{5 x}{2}$

4. $\frac{x-5}{3}=\frac{x-3}{5}$

5. $\frac{3 t-2}{4}-\frac{2 t+3}{3}=\frac{2}{3}-t$

6. $m-\frac{m-1}{2}=1-\frac{m-2}{3}$

எளிதாக்கி பின்வரும் நேரியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும்.

7. $3(t-3)=5(2 t+1)$

8. $15(y-4)-2(y-9)+5(y+6)=0$

9. $3(5 z-7)-2(9 z-11)=4(8 z-13)-17$

10. $0.25(4 f-3)=0.05(10 f-9)$

நாம் என்ன பேசினோம்?

1. நிரலாக்க சமன்பாடு மாறில்களை உள்ளடக்கிய சமன்பாடாகும். அது சமன்பாட்டுக் குறியீட்டுக்கு ஒரு பக்கத்தில் உள்ள அடிப்படையின் மதிப்பை மற்றொரு பக்கத்தில் உள்ள அடிப்படையின் மதிப்புக்கு சமனாக கூறுகிறது.

2. நாம் VI, VII மற்றும் VIII வகுப்புகளில் பயின்ற சமன்பாடுகள் ஒரு மாறிலில் நேரியல் சமன்பாடுகளாகும். இத்தகைய சமன்பாடுகளில், சமன்பாட்டை உருவாக்கும் அடிப்படைகள் ஒரு மாறிலை மட்டுமே கொண்டுள்ளன. மேலும், சமன்பாடுகள் நேரியல், அதாவது சமன்பாட்டில் உள்ள மாறிலின் அதிகபட்ச அளவு 1.

3. ஒரு சமன்பாட்டில் இரு பக்கங்களிலும் நேரியல் அடிப்படைகள் இருக்கலாம். VI மற்றும் VII வகுப்புகளில் நாம் அறிந்துகொண்டிருந்த சமன்பாடுகளில் ஒரு பக்கத்தில் மட்டுமே எண் இருந்தது.

4. எண்களாகவே மாறில்களும் ஒரு சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலிருந்து மற்றொரு பக்கத்திற்கு மாற்றப்படலாம்.

5. சில சமன்பாடுகளை வழக்கமான முறைகளால் தீர்க்கும் முன் அடிப்படைகளை எளிதாக்க வேண்டியிருக்கலாம். சில சமன்பாடுகள் தொடக்கத்தில் நேரியல் அல்ல, ஆனால் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பொருத்தமான அடிப்படையின் ஆல் பெருக்கியல்பாக நேரியலாக்கப்படலாம்.

6. நேரியல் சமன்பாடுகளின் பயன்பாடு பல்வேறு பயன்பாடுகளில் உள்ளது; எண்கள், வயது, சுவர், நாணய குறிப்புகளின் கலவை போன்ற பல சிக்கல்களை நேரியல் சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கலாம்.