3.1 அறிமுகம்

உங்களுக்கு கீழே கொடுக்கப்பட்ட உதாரணத்தைப் போன்ற சூழ்நிலைகள் ஏதோ ஒன்றை நடுங்கச் செய்திருக்கலாம்:

ஆகிலா தனது கிராமத்தில் ஒரு சமூகத்திற்குச் சென்றாள். அவளுக்கு ஜெயன்ட் விளையாட்டுகளில் சென்று மகிழ விரும்பினாள், மேலும் ஹூப்லா (ஒரு விளையாட்டு, அதில் ஒரு வளைவை ஒரு ஸ்டாலில் வைத்திருக்கும் உருப்படிகளில் எழுப்பி, வளைவு ஏதோ ஒரு பொருளை முழுமையாக உள்ளடக்கியாவதா என்றால், அந்த பொருளைப் பெறுவீர்கள்) விளையாட விரும்பினாள். ஹூப்லாவை அவள் எத்தனை முறை விளையாடினாள் என்பது, ஜெயன்ட் விளையாட்டுகளில் அவள் எத்தனை முறை சென்றிருந்தால், அதன் பாதியாக இருக்கும். ஒவ்வொரு விளையாட்டுக்கும் 3 ரூபாய் செலவாகும், மேலும் ஹூப்லாவின் ஒரு விளையாட்டுக்கு 4 ரூபாய் செலவாகும். அவள் 20 ரூபாய் செலவழிந்தால், அவள் எத்தனை முறை ஜெயன்ட் விளையாட்டுகளில் சென்றிருந்தாள் என்பதையும், எத்தனை முறை ஹூப்லாவை விளையாடினாள் என்பதையும் நீங்கள் எவ்வாறு கண்டுபிடிக்கலாம்.

ஒரு சமயம் நீங்கள் வெவ்வேறு சூழ்நிலைகளைக் கருதி முயற்சிசெய்திருக்கலாம். அவளுக்கு ஒரு விளையாட்டு இருந்தால், அது சாத்தியமா? இரண்டு விளையாட்டுகள் இருந்தால், அது சாத்தியமா? மேலும் அது போன்றவை. அல்லது நீங்கள் பதிவு IX இன் அறிவைப் பயன்படுத்தி, இத்தகைய சூழ்நிலைகளை இரு மாறிகளுக்கான நேரிய சமன்பாடுகளாக விளக்கலாம்.

இந்த அணுகுமுறையை நாங்கள் முயற்சிப்போம்.

ஆகிலாவின் ஜெயன்ட் விளையாட்டுகளின் எண்ணிக்கையை $x$ என்று குறிப்பிடுவோம், மேலும் அவள் எத்தனை முறை ஹூப்லாவை விளையாடினாள் என்பதை $y$ என்று குறிப்பிடுவோம். இப்போது அந்த சூழ்நிலையை இரு சமன்பாடுகளால் விளக்கலாம்:

$$ \begin{align*} y & =\dfrac{1}{2} x \tag{1} \\ \end{align*} $$

$$ \begin{align*} 3 x+4 y & =20 \tag{2} \end{align*} $$

இந்த சமன்பாடுகளின் சேர்க்கையின் தீர்வை நாங்கள் கண்டுபிடிக்க முடியுமா? இதற்கு பல்வேறு வழிகள் உள்ளன, அவை இந்த அத்தியாயத்தில் நாங்கள் ஆய்வு செய்யும்.

\missing

3.2 இரு நேரிய சமன்பாடுகளின் வரைபட முறை

ஒரு தீர்வு இல்லாத இரு நேரிய சமன்பாடுகளின் சேர்க்கை ஒரு ஒத்திசைவற்ற இரு நேரிய சமன்பாடுகளின் சேர்க்கையாகும். இரு மாறிகளுக்கான ஒரு நேரிய சமன்பாடுகளின் சேர்க்கை, ஒரு தீர்வைக் கொண்டிருக்கும் போது ஒரு ஒத்திசைவான இரு நேரிய சமன்பாடுகளின் சேர்க்கையாகும். ஒரு சமன்பாடுகளின் சேர்க்கை இயல்பாக ஒத்திசைவானது, அதில் எல்லா புள்ளிகளும் பொதுவான தீர்வாகும். இத்தகைய சேர்க்கை இரு மாறிகளுக்கான ஒரு சார்புடைய இரு நேரிய சமன்பாடுகளின் சேர்க்கையாகும். ஒரு சார்புடைய இரு நேரிய சமன்பாடுகளின் சேர்க்கை எப்போதும் ஒத்திசைவானதாகும்.

இப்போது இரு மாறிகளுக்கான ஒரு நேரிய சமன்பாடுகளின் சேர்க்கையை விளக்கும் வரைபடங்களின் நடத்தையையும், தீர்வுகளின் இருப்பையும் இப்படிக் கட்டுப்படுத்தலாம்:

(1) வரங்கள் ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கலாம். இந்த சனவில், சமன்பாடுகளின் சேர்க்கைக்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது (ஒத்திசைவான சமன்பாடுகளின் சேர்க்கை).

(2) வரங்கள் ஒத்திசையாக இருக்கலாம். இந்த சனவில், சமன்பாடுகளின் சேர்க்கைக்கு எந்த தீர்வும் இல்லை (ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடுகளின் சேர்க்கை).

(3) வரங்கள் ஒத்திசையாக இருக்கலாம். இந்த சனவில், சமன்பாடுகளின் சேர்க்கைக்கு எல்லா புள்ளிகளும் தீர்வாகும் [சார்புடைய (ஒத்திசைவான) சமன்பாடுகளின் சேர்க்கை].

பின்வரும் மூன்று சமன்பாடுகளின் சேர்க்கைகளைக் கவனிப்போம்.

(1) $x-2 y=0$ மற்றும் $3 x+4 y-20=0 \quad$ (வரங்கள் சந்திக்கின்றன)

(2) $2 x+3 y-9=0$ மற்றும் $4 x+6 y-18=0 \quad$ (வரங்கள் ஒத்திசைக்கின்றன)

(3) $x+2 y-4=0$ மற்றும் $2 x+4 y-12=0 \quad$ (வரங்கள் ஒத்திசையாமல் இருக்கின்றன)

இப்போது இந்த மூன்று உதாரணங்களில் $\dfrac{a_1}{a_2}, \dfrac{b_1}{b_2}$ மற்றும் $\dfrac{c_1}{c_2}$ ஆகிய மதிப்புகளை ஒப்பிட்டு விளக்குவோம். இங்கு, அத்தியாயத்தின் 3.2 பிரிவில் வழங்கப்பட்ட பொதுவான பிரிவில் $a_1, b_1, c_1$ மற்றும் $a_2, b_2, c_2$ ஆகியவை சமன்பாடுகளின் குறியீடுகளைக் குறிக்கின்றன.

அட்டவணம் 3.1

மேற்கண்ட அட்டவணத்திலிருந்து, சமன்பாடுகளால் விளக்கப்படும் வரங்களை

$ a_1 x+b_1 y+c_1=0 $

$ \text{மற்றும்}\qquad a_2 x+b_2 y+c_2=0 $

(1) சந்திக்கும் போது, $\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$.

(2) ஒத்திசையும் போது, $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}$.

(3) ஒத்திசையாமல் இருக்கும் போது, $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2}$.

அசல் வரங்களின் சேர்க்கைக்கு இதன் மாறுபட்ட உண்மையும் உண்டு. உங்களால் சில மேலும் உதாரணங்களைக் கருதி அதை சரிபார்க்கலாம்.

இதை விளக்க சில மேலும் உதாரணங்களைக் கருதுவோம்.

உதாரணம் 1 : வரைபட முறையில் சமன்பாடுகளின் சேர்க்கை

$$ \begin{align*} x+3 y=6 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \text{and}\qquad 2 x-3 y=12 \tag{2} \end{align*} $$

ஒத்திசைவாக இருக்கிறதா என்பதைச் சரிபார்க்கவும். ஒத்திசைவானால், அவை வரைபட முறையில் தீர்க்கவும்.

தீர்வு : சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) ஆகியவற்றின் வரைபடத்தை வரையோம். இதற்காக, ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிற்கும் இரு தீர்வுகளைக் கண்டுபிடிப்போம், அவை அட்டவணம் 3.2 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன

அட்டவணம் 3.2

பக்கப்படத்தில் புள்ளிகளை $A(0,2), B(6,0)$, $P(0,-4)$ மற்றும் $Q(3,-2)$ அமைத்து, பின்வருமாறு வரைபடத்தில் வரங்களை $A B$ மற்றும் $P Q$ ஆகியவற்றை வரையவும். படம் 3.1.

நாங்கள் இரு வரங்களுக்கும் பொதுவான ஒரு புள்ளி B $(6,0)$ உள்ளதைக் கண்டறிந்தோம். எனவே, இரு நேரிய சமன்பாடுகளின் சேர்க்கை $x=6$ மற்றும் $y=0$, அதாவது கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளின் சேர்க்கை ஒத்திசைவானது.

படம் 3.1

உதாரணம் 2 : பின்வரும் சமன்பாடுகளின் சேர்க்கைக்கு தீர்வு இல்லையா, தனித்துவமான தீர்வு உள்ளதா அல்லது எல்லா தீர்வுகளும் உள்ளதா என்பதை வரைபட முறையில் காண்போம்:

$$ \begin{matrix} 5 x-8 y+1=0 \tag{1} \end{matrix} $$

$$ \begin{matrix} 3 x-\dfrac{24}{5} y+\dfrac{3}{5}=0 \tag{2} \end{matrix} $$

தீர்வு : சமன்பாட்டை (2) மூலம் $\dfrac{5}{3}$ மீண்டும் மறைவாக்குகிறோம், இதனால் நாங்கள்

$$ 5 x-8 y+1=0 $$

என்பதைப் பெறுகிறோம். ஆனால், இது சமன்பாட்டை (1) அதேதான். எனவே சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) ஆகியவற்றால் விளக்கப்படும் வரங்கள் ஒத்திசைக்கின்றன. எனவே சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) ஆகியவற்றிற்கு எல்லா தீர்வுகளும் உள்ளன.

வரைபடத்தில் சில புள்ளிகளை அமைத்து உங்களால் சோதிக்கலாம்.

உதாரணம் 3 : சம்பா ஒரு ‘சேலை’க்குச் சென்றார், சில கோட்டைகள் மற்றும் சில ச்கர்ட்களை வாங்க வந்தார். அவரது நண்பர்கள் அவர் ஒவ்வொன்றையையும் எத்தனை பொருட்களை வாங்கினார் என்பதைக் கேட்டார்கள், அவர் பதிலளித்தார், “ச்கர்ட்களின் எண்ணிக்கை கோட்டைகள் வாங்கியதற்கு இருமுறை குறைவாக இருக்கிறது. மேலும், ச்கர்ட்களின் எண்ணிக்கை கோட்டைகள் வாங்கியதற்கு நான்கு முறை நான்கு குறைவாக இருக்கிறது”. சம்பா எத்தனை கோட்டைகள் மற்றும் ச்கர்ட்களை வாங்கினார் என்பதை அவரது நண்பர்களுக்கு உதவுங்கள்.

தீர்வு : எங்களால் கோட்டைகளின் எண்ணிக்கையை $x$ மற்றும் ச்கர்ட்களின் எண்ணிக்கையை $y$ என்று குறிப்பிடலாம். இப்போது உருவாக்கப்பட்ட சமன்பாடுகள்:

$$ \begin{align*} & y=2 x-2 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \text{ and} \quad \quad & y=4 x-4 \tag{2} \end{align*} $$

சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) ஆகியவற்றின் வரைபடத்தை வரைய, ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிற்கும் இரு தீர்வுகளைக் கண்டுபிடிப்போம். அவை அட்டவணம் 3.3 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

அட்டவணம் 3.3

படம் 3.2

புள்ளிகளை அமைத்து, அவற்றைக் கூட்டி சமன்பாடுகளை விளக்கும் வரைபடத்தை படம் 3.2 போல வரையவும்.

இரு வரங்கள் புள்ளி $(1,0)$ இல் சந்திக்கின்றன. எனவே, $x=1, y=0$ ஆகிய இரு நேரிய சமன்பாடுகளின் தேவையான தீர்வாகும், அதாவது அவர் வாங்கிய கோட்டைகளின் எண்ணிக்கை 1 ஆகும் மற்றும் அவர் எந்த ச்கர்டையும் வாங்கவில்லை.

இந்த பதிலை கொடுக்கப்பட்ட சிக