9.1 உயரங்களும் தொலைவுகளும்

முந்தைய பகுதியில், நீங்கள் முக்கோணவியல் விகிதங்களைப் பற்றி படித்தீர்கள். இந்தப் பகுதியில், முக்கோணவியல் நம் அன்றாட வாழ்வில் எவ்வாறு பயன்படுத்தப்படுகிறது என்பதைப் பற்றி சில வழிகளைப் படிப்பீர்கள்.

முந்தைய பகுதியின் படம் 8.1-ஐக் கருத்தில் கொள்வோம், அது படம் 9.1-ல் மீண்டும் வரையப்பட்டுள்ளது.

படம் 9.1

இந்தப் படத்தில், மாணவரின் கண்ணிலிருந்து மினாரின் உச்சியை நோக்கி வரையப்பட்ட $\mathrm{AC}$ கோடு, காட்சிக் கோடு (line of sight) எனப்படும். மாணவர் மினாரின் உச்சியைப் பார்க்கிறார். காட்சிக் கோட்டினால் கிடைமட்டத்துடன் உருவாகும் $\mathrm{BAC}$ கோணம், மாணவரின் கண்ணிலிருந்து மினாரின் உச்சியின் ஏற்றக் கோணம் (angle of elevation) எனப்படும்.

ஆக, காட்சிக் கோடு என்பது ஒரு பார்வையாளரின் கண்ணிலிருந்து, அவர் பார்க்கும் பொருளின் புள்ளியை நோக்கி வரையப்படும் கோடு ஆகும். பார்க்கப்படும் புள்ளியின் ஏற்றக் கோணம் என்பது, பார்க்கப்படும் புள்ளி கிடைமட்ட மட்டத்திற்கு மேலே இருக்கும்போது, காட்சிக் கோடு கிடைமட்டத்துடன் உருவாக்கும் கோணமாகும். அதாவது, பொருளைப் பார்க்க நாம் தலையை உயர்த்தும்போது ஏற்படும் நிலை (படம் 9.2 ஐப் பார்க்கவும்).

படம் 9.2

இப்போது, படம் 8.2-ல் கொடுக்கப்பட்டுள்ள நிலைமையைக் கருத்தில் கொள்வோம். பால்கனியில் அமர்ந்திருக்கும் பெண், கோவிலின் படிக்கட்டில் வைக்கப்பட்டுள்ள ஒரு பூந்தொட்டியைக் கீழே பார்க்கிறாள். இந்த நிலையில், காட்சிக் கோடு கிடைமட்ட மட்டத்திற்குக் கீழே உள்ளது. காட்சிக் கோடு கிடைமட்டத்துடன் உருவாக்கும் இந்தக் கோணம், இறக்கக் கோணம் (angle of depression) எனப்படும்.

ஆக, பார்க்கப்படும் பொருளின் ஒரு புள்ளியின் இறக்கக் கோணம் என்பது, அப்புள்ளி கிடைமட்ட மட்டத்திற்குக் கீழே இருக்கும்போது, காட்சிக் கோடு கிடைமட்டத்துடன் உருவாக்கும் கோணமாகும். அதாவது, பார்க்கப்படும் புள்ளியைக் காண நாம் தலையைக் கீழே தாழ்த்தும்போது ஏற்படும் நிலை (படம் 9.3 ஐப் பார்க்கவும்).

படம் 9.3

இப்போது, படம் 8.3-ல் உள்ள காட்சிக் கோடுகளையும், அவற்றால் உருவாகும் கோணங்களையும் நீங்கள் அடையாளம் காணலாம். அவை ஏற்றக் கோணங்களா அல்லது இறக்கக் கோணங்களா?

மீண்டும் படம் 9.1-ஐக் கருத்தில் கொள்வோம். மினாரின் உயரம் $\mathrm{CD}$-ஐ உண்மையில் அளவிடாமல் கண்டுபிடிக்க நீங்கள் விரும்பினால், உங்களுக்கு என்ன தகவல்கள் தேவைப்படும்? பின்வருவனவற்றை நீங்கள் அறிந்திருக்க வேண்டும்:

(i) மாணவர் நிற்கும் இடத்திற்கும் மினாரின் அடிக்கும் இடையே உள்ள தொலைவு $\mathrm{DE}$

(ii) மினாரின் உச்சியின் ஏற்றக் கோணம் $\angle \mathrm{BAC}$

(iii) மாணவரின் உயரம் $\mathrm{AE}$.

மேலே உள்ள மூன்று நிபந்தனைகளும் தெரிந்துள்ளன என்று கருதினால், மினாரின் உயரத்தை நாம் எவ்வாறு தீர்மானிக்க முடியும்?

படத்தில், $\mathrm{CD}=\mathrm{CB}+\mathrm{BD}$. இங்கு, $\mathrm{BD}=\mathrm{AE}$, இது மாணவரின் உயரம்.

$\mathrm{BC}$-ஐக் கண்டறிய, $\angle \mathrm{BAC}$ அல்லது $\angle \mathrm{A}$-ன் முக்கோணவியல் விகிதங்களைப் பயன்படுத்துவோம்.

$\triangle \mathrm{ABC}$-ல், பக்கம் $\mathrm{BC}$ என்பது தெரிந்த $\angle \mathrm{A}$-உடன் தொடர்புடைய எதிர்ப்பக்கம் ஆகும். இப்போது, எந்த முக்கோணவியல் விகிதத்தை நாம் பயன்படுத்தலாம்? எந்த விகிதத்தில் நம்மிடம் உள்ள இரண்டு மதிப்புகளும், நாம் தீர்மானிக்க வேண்டிய ஒரு மதிப்பும் உள்ளன? $\tan \mathrm{A}$ அல்லது $\cot \mathrm{A}$ ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்துவதற்கு நமது தேடல் குறுகுகிறது, ஏனெனில் இந்த விகிதங்கள் $\mathrm{AB}$ மற்றும் $\mathrm{BC}$ ஆகியவற்றை உள்ளடக்கியது.

எனவே, $\tan \mathrm{A}=\dfrac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}$ அல்லது $\cot \mathrm{A}=\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}$, இதைத் தீர்ப்பதன் மூலம் நமக்கு $\mathrm{BC}$ கிடைக்கும்.

$\mathrm{AE}$-ஐ $\mathrm{BC}$-உடன் கூட்டுவதன் மூலம், மினாரின் உயரத்தைப் பெறுவீர்கள்.

இப்போது, சில சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதன் மூலம், நாம் இப்போது விவாதித்த செயல்முறையை விளக்குவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1 : ஒரு கோபுரம் தரையில் செங்குத்தாக நிற்கிறது. கோபுரத்தின் அடியிலிருந்து $15 \mathrm{~m}$ தொலைவில் உள்ள தரையில் ஒரு புள்ளியிலிருந்து, கோபுரத்தின் உச்சியின் ஏற்றக் கோணம் $60^{\circ}$ எனக் காணப்படுகிறது. கோபுரத்தின் உயரத்தைக் காண்க.

படம் 9.4

தீர்வு : முதலில் சிக்கலைக் குறிக்க ஒரு எளிய படத்தை வரைவோம் (படம் 9.4 ஐப் பார்க்கவும்). இங்கு AB கோபுரத்தைக் குறிக்கிறது, $\mathrm{CB}$ என்பது புள்ளியிலிருந்து கோபுரத்திற்கான தொலைவு மற்றும் $\angle \mathrm{ACB}$ என்பது ஏற்றக் கோணம் ஆகும். கோபுரத்தின் உயரம், அதாவது AB-ஐ நாம் தீர்மானிக்க வேண்டும். மேலும், ACB என்பது B-யில் செங்கோணமாக உள்ள ஒரு முக்கோணம் ஆகும்.

சிக்கலைத் தீர்க்க, முக்கோணவியல் விகிதமான $\tan 60^{\circ}$ (அல்லது $\cot 60^{\circ}$) ஐ நாம் தேர்ந்தெடுக்கிறோம், ஏனெனில் இந்த விகிதம் $\mathrm{AB}$ மற்றும் $\mathrm{BC}$ ஆகியவற்றை உள்ளடக்கியது.

$\begin{array}{rlrl} & \text { Now, } & \tan 60^{\circ} & =\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}} \\ & \text { i.e., } & \sqrt{3} & =\dfrac{\mathrm{AB}}{15} \\ \text { i.e., }& & \mathrm{AB} & =15 \sqrt{3}\end{array}$

எனவே, கோபுரத்தின் உயரம் $15 \sqrt{3} \mathrm{~m}$ ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 2 : ஒரு மின்சாரத் தொழிலாளி $5 \mathrm{~m}$ உயரமுள்ள ஒரு கம்பத்தில் உள்ள மின்சாரக் கோளாற்றை சரிசெய்ய வேண்டும். பழுதுபார்க்கும் பணியை மேற்கொள்ள, கம்பத்தின் உச்சியிலிருந்து ⟦55⟨ கீழே உள்ள ஒரு புள்ளியை அடைய அவர் தேவைப்படுகிறார் (படம் 9.5 ஐப் பார்க்கவும்). அவர் பயன்படுத்த வேண்டிய ஏணியின் நீளம் என்னவாக இருக்க வேண்டும்? இந்த ஏணி கிடைமட்டத்துடன் $60^{\circ}$ கோணத்தில் சாய்ந்திருக்கும்போது, தேவையான இடத்தை அடைய அவரை இயலச் செய்யும். மேலும், கம்பத்தின் அடியிலிருந்து எவ்வளவு தொலைவில் ஏணியின் அடியை வைக்க வேண்டும்? (நீங்கள் $\sqrt{3}=1.73$ என எடுத்துக் கொள்ளலாம்)

படம் 9.5

தீர்வு : படம் 9.5-ல், மின்சாரத் தொழிலாளி கம்பம் $\mathrm{AD}$-ல் உள்ள புள்ளி $\mathrm{B}$-ஐ அடைய வேண்டும்.

$$ \text { So, } \quad \mathrm{BD}=\mathrm{AD}-\mathrm{AB}=(5-1.3) \mathrm{m}=3.7 \mathrm{~m} \text {. } $$

இங்கு, $\mathrm{BC}$ ஏணியைக் குறிக்கிறது. அதன் நீளம், அதாவது செங்கோண முக்கோணம் BDC-யின் கர்ணத்தை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

இப்போது, எந்த முக்கோணவியல் விகிதத்தை நாம் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும் என்று நீங்கள் யோசிக்க முடியுமா?

அது $\sin 60^{\circ}$ ஆக இருக்க வேண்டும்.

எனவே, $\dfrac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BC}}=\sin 60^{\circ} \text { or } \dfrac{3.7}{\mathrm{BC}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

ஆகையால், $$ \mathrm{BC}=\dfrac{3.7 \times 2}{\sqrt{3}}=4.28 \mathrm{~m} \text { (approx.) } $$

அதாவது, ஏணியின் நீளம் ⟦63⟨ ஆக இருக்க வேண்டும்.

இப்போது, $$ \dfrac{\mathrm{DC}}{\mathrm{BD}}=\cot 60^{\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} $$

அதாவது, $$ \mathrm{DC}=\dfrac{3.7}{\sqrt{3}}=2.14 \mathrm{~m} \text { (approx.) } $$

எனவே, அவர் ஏணியின் அடியை கம்பத்திலிருந்து ⟦64⟨ தொலைவில் வைக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 3 : ⟦65⟨ உயரமுள்ள ஒரு பார்வையாளர், ஒரு புகைபோக்கியிலிருந்து ⟦66⟨ தொலைவில் உள்ளார். அவரது கண்களிலிருந்து புகைபோக்கியின் உச்சியின் ஏற்றக் கோணம் ⟦67⟨ ஆகும். புகைபோக்கியின் உயரம் என்ன?

தீர்வு : இங்கு, ⟦68⟨ புகைபோக்கியைக் குறிக்கிறது, ⟦69⟨ பார்வையாளரைக் குறிக்கிறது மற்றும் ⟦70⟨ ஏற்றக் கோணத்தைக் குறிக்கிறது (படம் 9.6 ஐப் பார்க்கவும்). இந்த நிலையில், ⟦71⟨ என்பது ⟦72⟨-ல் செங்கோணமாக உள்ள ஒரு முக்கோணம் மற்றும் புகைபோக்கியின் உயரத்தைக் கண்டறிய நாம் விரும்புகிறோம்.

படம் 9.6

நம்மிடம் $$\mathrm{AB}=\mathrm{AE}+\mathrm{BE}=\mathrm{AE}+1.5$$ உள்ளது

மற்றும்: $$ \mathrm{DE}=\mathrm{CB}=28.5 \mathrm{~m} $$

AE-ஐத் தீர்மானிக்க, ⟦73⟨ மற்றும் DE ஆகிய இரண்டையும் உள்ளடக்கிய ஒரு முக்கோணவியல் விகிதத்தை நாம் தேர்ந்தெடுக்கிறோம். ஏற்றக் கோணத்தின் தொடுகோடு (tangent) விகிதத்தைத் தேர்ந்தெடுப்போம்.

இப்போது, $$ \begin{aligned} \tan 45^{\circ} & =\dfrac{\mathrm{AE}}{\mathrm{DE}} \\ \end{aligned} $$

அதாவது, $$1 =\dfrac{\mathrm{AE}}{28.5}$$

எனவே, $$ \mathrm{AE}=28.5 $$

ஆகவே, புகைபோக்கியின் உயரம் ⟦74⟨ ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 4 : தரையில் உள்ள ஒரு புள்ளி ⟦75⟨-லிருந்து, ⟦76⟨ உயரமுள்ள ஒரு கட்டிடத்தின் உச்சியின் ஏற்றக் கோணம் ⟦77⟨ ஆகும். கட்டிடத்தின் உச்சியில் ஒரு கொடி ஏற்றப்பட்டுள்ளது மற்றும் ⟦78⟨-லிருந்து கொடிக்கம்பத்தின் உச்சியின் ஏற்றக் கோணம் ⟦79⟨ ஆகும். கொடிக்கம்பத்தின் நீளத்தையும், புள்ளி P-லிருந்து கட்டிடத்தின் தொலைவையும் காண்க. (நீங்கள் ⟦80⟨ என எடுத்துக் கொள்ளலாம்)

தீர்வு : படம் 9.7-ல், AB கட்டிடத்தின் உயரத்தைக் குறிக்கிறது, BD கொடிக்கம்பத்தைக் குறிக்கிறது மற்றும் ⟦81⟨ கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியைக் குறிக்கிறது. இங்கு ⟦82⟨ மற்றும் ⟦83⟨ என்ற இரண்டு செங்கோண முக்கோணங்கள் உள்ளன என்பதைக் கவனிக்கவும். கொடிக்கம்பத்தின் நீளம், அதாவது DB-யையும், புள்ளி P-லிருந்து கட்டிடத்தின் தொலைவு, அதாவது PA-யையும் நாம் கண்டறிய வேண்டும்.

படம் 9.7

கட்டிடத்தின் உயரம் ⟦84⟨ நமக்குத் தெரியும் என்பதால், முதலில் செங்கோண முக்கோணம் ⟦85⟨-ஐக் கருத்தில் கொள்வோம்.

நம்மிடம் உள்ளது $$ \begin{aligned} \tan 30^{\circ} & =\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AP}} \ \end{aligned} $$

அதாவது, $$\dfrac{1}{\sqrt{3}} =\dfrac{10}{\mathrm{AP}}$$

எனவே, $$ \mathrm{AP}=10 \sqrt{3} $$

அதாவது, ⟦86⟨-லிருந்து கட்டிடத்தின் தொலைவு ⟦87⟨ ஆகும்.

அடுத்து, ⟦88⟨ எனக் கொள்வோம். பிறகு ⟦89⟨.

இப்போது, செங்கோண முக்கோணம் ⟦90⟨-ல்,

$$ \tan 45^{\circ}=\dfrac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AP}}=\dfrac{10+x}{10 \sqrt{3}} $$

எனவே, $$ 1=\dfrac{10+x}{10 \sqrt{3}} $$

அதாவது, $$ x=10(\sqrt{3}-1)=7.32 $$

ஆகவே, கொடிக்கம்பத்தின் நீளம் ⟦91⟨ ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 5 : சமதளத் தரையில் நிற்கும் ஒரு கோபுரத்தின் நிழல், சூரியனின் உயரக் கோணம் ⟦93⟨ ஆக இருக்கும்போது, ⟦94⟨ ஆக இருக்கும்போதை விட ⟦92⟨ அதிகமாக உள்ளது. கோபுரத்தின் உயரத்தைக் காண்க.

தீர்வு : படம் 9.8-ல், AB கோபுரம் மற்றும் ⟦95⟨ என்பது சூரியனின் உயரக் கோணம் ⟦96⟨ ஆக இருக்கும்போது உள்ள நிழலின் நீளம் ஆகும். அதாவது, நிழலின் நுனியிலிருந்து கோபுரத்தின் உச்சியின் ஏற்றக் கோணம் ⟦97⟨ ஆகும். மேலும் ⟦98⟨ என்பது ஏற்றக் கோணம் ⟦99⟨ ஆக இருக்கும்போது உள்ள நிழலின் நீளம் ஆகும்.

படம் 9.8

இப்போது, ⟦100⟨-ஐ ⟦101⟨ என்றும், ⟦102⟨-ஐ ⟦103⟨ என்றும் கொள்வோம். கேள்வியின் படி, ⟦104⟨ என்பது ⟦106⟨-ஐ விட ⟦105⟨ அதிகமாக உள்ளது.

எனவே, $$ \mathrm{DB}=(40+x) \mathrm{m} $$

இப்போது, நம்மிடம் ⟦107⟨ மற்றும் ⟦108⟨ என்ற இரண்டு செங்கோண முக்கோணங்கள் உள்ளன.

$\begin{array}{rlrl} \text {In } \Delta \mathrm{ABC} & \tan 60^{\circ} & =\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}} \\ \text { or } & & \sqrt{3} & =\dfrac{h}{x} \\ \text {In } \Delta \mathrm{ABD} & \tan 30^{\circ} & =\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BD}} \\ & \text { i.e., } & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & =\dfrac{h}{x+40}\end{array}$

(1) இலிருந்து, நம்மிடம் உள்ளது

$$ h=x \sqrt{3} $$

இந்த மதிப்பை (2) இல் பிரதியிட, நமக்கு ⟦109⟨ கிடைக்கிறது, அதாவது ⟦110⟨

$$ \begin{align*} \text{ अर्थात् } \qquad\qquad & x=20 \\ \text{ इसलिए }\qquad\qquad & h=20 \sqrt{3} \tag{[From (1)]} \end{align*} $$

எனவே, கோபுரத்தின் உயரம் ⟦111⟨ ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 6 : ஒரு பல மாடி கட்டிடத்தின் உச்சியிலிருந்து, ⟦112⟨ உயரமுள்ள ஒரு கட்டிடத்தின் உச்சி மற்றும் அடியின் இறக்கக் கோணங்கள் முறையே ⟦113⟨ மற்றும் ⟦114⟨ ஆகும். பல மாடி கட்டிடத்தின் உயரத்தையும், இரண்டு கட்டிடங்களுக்கு இடையேயான தொலைவையும் காண்க.

தீர்வு : படம் 9.9-ல், PC பல மாடி கட்டிடத்தைக் குறிக்கிறது மற்றும் ⟦115⟨ ⟦116⟨ உயரமுள்ள கட்டிடத்தைக் குறிக்கிறது. பல மாடி கட்டிடத்தின் உயரம், அதாவது PC மற்றும் இரண்டு கட்டிடங்களுக்கு இடையேயான தொலைவு, அதாவது AC ஆகியவற்றைத் தீர்மானிக்க நாம் விரும்புகிறோம். படத்தை கவனமாகப் பாருங்கள். ⟦117⟨ என்பது இணைகோடுகள் ⟦118⟨ மற்றும் ⟦119⟨-க்கு ஒரு குறுக்குவெட்டு என்பதைக் கவனிக்கவும். எனவே, ⟦120⟨ மற்றும் ⟦121⟨ என்பவை ஒன்றுவிட்ட கோணங்கள் (alternate angles) ஆகும், எனவே அவை சமமாக இருக்கும். ஆகவே ⟦122⟨. இதேபோல், ⟦123⟨. செங்கோண முக்கோணம் ⟦124⟨-ல், நம்மிடம் உள்ளது

படம் 9.9

$$ \dfrac{\mathrm{PD}}{\mathrm{BD}}=\tan 30^{\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \text { or } \mathrm{BD}=\mathrm{PD} \sqrt{3} $$

செங்கோண முக்கோணம் ⟦125⟨-ல், நம்மிடம் உள்ளது

$\dfrac{\mathrm{PC}}{\mathrm{AC}}=\tan 45^{\circ}=1$

அதாவது, $\quad P C=A C$

மேலும், ⟦128⟨, எனவே ⟦129⟨.

⟦130⟨ மற்றும் ⟦131⟨ என்பதால், நமக்கு ⟦132⟨ கிடைக்கிறது (ஏன்?)

இது தருவது

$ \mathrm{PD}=\dfrac{8}{\sqrt{3}-1}=\dfrac{8(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=4(\sqrt{3}+1) \mathrm{m} $

எனவே, பல மாடி கட்டிடத்தின் உயரம் ⟦133⟨ மற்றும் இரண்டு கட்டிடங்களுக்கு இடையேயான தொலைவும் ⟦134⟨ ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 7 : ஒரு ஆற்றின் குறுக்கே அமைந்துள்ள ஒரு பாலத்தின் மீது ஒரு புள்ளியிலிருந்து, ஆற்றின் எதிரெதிர் கரைகளின் இறக்கக் கோணங்கள் முறையே ⟦135⟨ மற்றும் ⟦136⟨ ஆகும். பாலம் கரைகளிலிருந்து ⟦137⟨ உயரத்தில் அமைந்துள்ளது எனில், ஆற்றின் அகலத்தைக் காண்க.

தீர்வு : படம் 9.10-ல், A மற்றும் B ஆகியவை ஆற்றின் எதிரெதிர் கரைகளில் உள்ள புள்ளிகளைக் குறிக்கின்றன, எனவே ⟦138⟨ ஆற்றின் அகலம் ஆகும். ⟦139⟨ என்பது பாலத்தின் மீது 3 ⟦140⟨ உயரத்தில் உள்ள ஒரு புள்ளி, அதாவது ⟦141⟨. ஆற்றின் அகலம், அதாவது ⟦143⟨-ன் பக்கம் ⟦142⟨-ன் நீளத்தைத் தீர்மானிக்க நாம் விரும்புகிறோம்.

படம் 9.10

இப்போது, $$ A B=A D+D B $$

செங்கோண முக்கோணம் ⟦144⟨-ல்.

எனவே, $\quad \tan 30^{\circ}=\dfrac{\mathrm{PD}}{\mathrm{AD}}$

அதாவது, $\quad\quad\quad \dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{3}{\mathrm{AD}}$ அல்லது $\mathrm{AD}=3 \sqrt{3} \mathrm{~m}$

மேலும், செங்கோண முக்கோணம் ⟦148⟨-ல். எனவே, $\mathrm{BD}=\mathrm{PD}=3 \mathrm{~m}$.

இப்போது, $ \mathrm{AB}=\mathrm{BD}+\mathrm{AD}=3+3 \sqrt{3}=3(1+\sqrt{3}) \mathrm{m} . $

எனவே, ஆற்றின் அகலம் ⟦150⟨ ஆகும்.

9.2 சுருக்கம்

இந்தப் பகுதியில், நீங்கள் பின்வரும் புள்ளிகளைப் படித்துள்ளீர்கள்:

1. (i) காட்சிக் கோடு என்பது ஒரு பார்வையாளரின் கண்ணிலிருந்து, அவர் பார்க்கும் பொருளின் புள்ளியை நோக்கி வரையப்படும் கோடு ஆகும்.

(ii) பார்க்கப்படும் ஒரு பொருளின் ஏற்றக் கோணம் என்பது, அப்பொருள் கிடைமட்ட மட்டத்திற்கு மேலே இருக்கும்போது, காட்சிக் கோடு கிடைமட்டத்துடன் உருவாக்கும் கோணமாகும். அதாவது, பொருளைப் பார்க்க நாம் தலையை உயர்த்தும்போது ஏற்படும் நிலை.

(iii) பார்க்கப்படும் ஒரு பொருளின் இறக்கக் கோணம் என்பது, அப்பொருள் கிடைமட்ட மட்டத்திற்குக் கீழே இருக்கும்போது, காட்சிக் கோடு கிடைமட்டத்துடன் உருவாக்கும் கோணமாகும். அதாவது, பொருளைப் பார்க்க நாம் தலையைக் கீழே தாழ்த்தும்போது ஏற்படும் நிலை.

2. ஒரு பொருளின் உயரம் அல்லது நீளம் அல்லது இரண்டு தொலைவில் உள்ள பொருட்களுக்கிடையேயான தொலைவு ஆகியவை முக்கோணவியல் விகிதங்களின் உதவியுடன் தீர்மானிக்கப்படலாம்.