11.1 வட்டத்தின் வட்டக்கோணப்பகுதி மற்றும் வட்டத்துண்டத்தின் பரப்பளவுகள்

நீங்கள் முன்பே உங்கள் முந்தைய வகுப்புகளில் வட்டக்கோணப்பகுதி மற்றும் வட்டத்துண்டம் என்ற சொற்களை சந்தித்துள்ளீர்கள். நினைவுகூருங்கள்: இரண்டு ஆரங்களாலும், அவற்றுக்கு ஏற்ற வில்லினாலும் சூழப்பட்ட வட்டப்பகுதியின் (அல்லது பகுதி) பகுதி வட்டத்தின் வட்டக்கோணப்பகுதி என்றும், ஒரு நாண் மற்றும் அதற்கு ஏற்ற வில்லினால் சூழப்பட்ட வட்டப்பகுதியின் (அல்லது பகுதி) பகுதி வட்டத்தின் வட்டத்துண்டம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. எனவே, படம் 11.1 இல், நிழலிடப்பட்ட பகுதி OAPB என்பது மையம் $\mathrm{O} . \angle \mathrm{AOB}$ உள்ள வட்டத்தின் ஒரு வட்டக்கோணப்பகுதியாகும். இது வட்டக்கோணப்பகுதியின் கோணம் எனப்படுகிறது. இந்த படத்தில், நிழலிடப்படாத பகுதி OAQB ஆனது வட்டத்தின் மற்றொரு வட்டக்கோணப்பகுதி என்பதை கவனிக்கவும். வெளிப்படையான காரணங்களுக்காக, OAPB சிறு வட்டக்கோணப்பகுதி என்றும் $\mathrm{OAQB}$ பிரதான வட்டக்கோணப்பகுதி என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. பிரதான வட்டக்கோணப்பகுதியின் கோணம் $360^{\circ}-\angle \mathrm{AOB}$ என்பதையும் நீங்கள் காணலாம்.

படம். 11.1

இப்போது, படம் 11.2 ஐப் பாருங்கள். இதில் AB என்பது மையம் $\mathrm{O}$ உள்ள வட்டத்தின் ஒரு நாண் ஆகும். எனவே, நிழலிடப்பட்ட பகுதி APB என்பது வட்டத்தின் ஒரு வட்டத்துண்டம் ஆகும். நாண் AB ஆல் உருவாக்கப்பட்ட நிழலிடப்படாத பகுதி $\mathrm{AQB}$ என்பது வட்டத்தின் மற்றொரு வட்டத்துண்டம் என்பதையும் நீங்கள் கவனிக்கலாம். வெளிப்படையான காரணங்களுக்காக, APB சிறு வட்டத்துண்டம் என்றும் AQB பிரதான வட்டத்துண்டம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

படம். 11.2

குறிப்பு : ‘வட்டத்துண்டம்’ மற்றும் ‘வட்டக்கோணப்பகுதி’ என்று எழுதும்போது, வேறுவிதமாகக் குறிப்பிடப்படாவிட்டால், முறையே ‘சிறு வட்டத்துண்டம்’ மற்றும் ‘சிறு வட்டக்கோணப்பகுதி’ என்றே அர்த்தம்.

இப்போது இந்த அறிவுடன், அவற்றின் பரப்பளவுகளைக் கணக்கிட சில தொடர்புகளை (அல்லது சூத்திரங்களை) கண்டுபிடிக்க முயற்சிப்போம்.

OAPB என்பது மையம் $\mathrm{O}$ மற்றும் ஆரம் $r$ உள்ள ஒரு வட்டத்தின் வட்டக்கோணப்பகுதியாக இருக்கட்டும் (படம் 11.3 ஐப் பார்க்கவும்). $\angle \mathrm{AOB}$ இன் அளவுகோல் அளவு $\theta$ ஆக இருக்கட்டும்.

படம். 11.3

ஒரு வட்டத்தின் (உண்மையில் ஒரு வட்டப் பகுதி அல்லது வட்டத் தட்டின்) பரப்பளவு $\pi r^{2}$ என்பது உங்களுக்குத் தெரியும்.

ஒரு வகையில், இந்த வட்டப் பகுதியை மையம் O இல் $360^{\circ}$ (அதாவது, 360 பாகை அளவு) கோணத்தை உருவாக்கும் ஒரு வட்டக்கோணப்பகுதியாகக் கருதலாம். இப்போது யூனிட்டரி முறையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், வட்டக்கோணப்பகுதி OAPB இன் பரப்பளவை பின்வருமாறு பெறலாம்:

மையத்தில் உள்ள கோணத்தின் அளவுகோல் அளவு 360 ஆக இருக்கும்போது, வட்டக்கோணப்பகுதியின் பரப்பளவு $=\pi r^{2}$

எனவே, மையத்தில் உள்ள கோணத்தின் அளவுகோல் அளவு 1 ஆக இருக்கும்போது, வட்டக்கோணப்பகுதியின் பரப்பளவு $=\dfrac{\pi r^{2}}{360}$.

ஆகவே, மையத்தில் உள்ள கோணத்தின் அளவுகோல் அளவு $\theta$ ஆக இருக்கும்போது, வட்டக்கோணப்பகுதியின் பரப்பளவு $=\dfrac{\pi r^{2}}{360} \times \theta=\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$.

இவ்வாறு, ஒரு வட்டத்தின் வட்டக்கோணப்பகுதியின் பரப்பளவுக்கு பின்வரும் தொடர்பை (அல்லது சூத்திரத்தை) நாம் பெறுகிறோம்:

கோணம் $\theta=\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2} \text {, }$ உள்ள வட்டக்கோணப்பகுதியின் பரப்பளவு

இங்கு $r$ என்பது வட்டத்தின் ஆரம் மற்றும் $\theta$ என்பது பாகைகளில் உள்ள வட்டக்கோணப்பகுதியின் கோணம்.

இப்போது, ஒரு இயல்பான கேள்வி எழுகிறது: இந்த வட்டக்கோணப்பகுதிக்கு ஏற்ற APB வில்லின் நீளத்தை நாம் காண முடியுமா? ஆம். மீண்டும், யூனிட்டரி முறையைப் பயன்படுத்தி மற்றும் வட்டத்தின் முழு சுற்றளவை (கோணம் $360^{\circ}$ ) $2 \pi r$ என எடுத்துக்கொண்டு, APB வில்லின் தேவையான நீளத்தை $\dfrac{\theta}{360} \times 2 \pi r$ என பெறலாம்.

எனவே, கோணம் $\theta=\dfrac{\theta}{360} \times 2 \pi r$ உள்ள வட்டக்கோணப்பகுதியின் வில்லின் நீளம்.

படம். 11.4

இப்போது மையம் $\mathrm{O}$ மற்றும் ஆரம் $r$ உள்ள ஒரு வட்டத்தின் APB வட்டத்துண்டத்தின் பரப்பளவை எடுத்துக்கொள்வோம் (படம் 11.4 ஐப் பார்க்கவும்). நீங்கள் பார்க்க முடியும்:

வட்டத்துண்டத்தின் பரப்பளவு $\mathrm{APB}=$ வட்டக்கோணப்பகுதியின் பரப்பளவு $\mathrm{OAPB}-$ $\triangle \mathrm{OAB}$ இன் பரப்பளவு

$$ =\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}-\text { area of } \Delta \mathrm{OAB} $$

குறிப்பு : முறையே படம் 11.3 மற்றும் படம் 11.4 இலிருந்து, நீங்கள் கவனிக்கலாம்:

பிரதான வட்டக்கோணப்பகுதியின் பரப்பளவு $\mathrm{OAQB}=\pi r^{2}-$ சிறு வட்டக்கோணப்பகுதியின் பரப்பளவு $\mathrm{OAPB}$

மற்றும்: பிரதான வட்டத்துண்டத்தின் பரப்பளவு $\mathrm{AQB}=\pi r^{2}$ - சிறு வட்டத்துண்டம் APB இன் பரப்பளவு

இந்த கருத்துகளை (அல்லது முடிவுகளை) புரிந்துகொள்ள இப்போது சில எடுத்துக்காட்டுகளை எடுத்துக்கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1 : ஆரம் $4 \mathrm{~cm}$ மற்றும் கோணம் $30^{\circ}$ உள்ள ஒரு வட்டத்தின் வட்டக்கோணப்பகுதியின் பரப்பளவைக் காண்க. மேலும், அதற்கு ஏற்ற பிரதான வட்டக்கோணப்பகுதியின் பரப்பளவையும் காண்க ($\pi=3.14$ ஐப் பயன்படுத்தவும்).

தீர்வு : கொடுக்கப்பட்ட வட்டக்கோணப்பகுதி OAPB (படம் 11.5 ஐப் பார்க்கவும்).

படம். 11.5

வட்டக்கோணப்பகுதியின் பரப்பளவு $=\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =\dfrac{30}{360} \times 3.14 \times 4 \times 4 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =\dfrac{12.56}{3} \mathrm{~cm}^{2}=4.19 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

அதற்கு ஏற்ற பிரதான வட்டக்கோணப்பகுதியின் பரப்பளவு

$$ \begin{aligned} & =\pi r^{2}-\text { area of sector OAPB } \\ & =(3.14 \times 16-4.19) \mathrm{cm}^{2} \\ & =46.05 \mathrm{~cm}^{2}=46.1 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

அல்லது, பிரதான வட்டக்கோணப்பகுதியின் பரப்பளவு $=\dfrac{(360-\theta)}{360} \times \pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =\left(\dfrac{360-30}{360}\right) \times 3.14 \times 16 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =\dfrac{330}{360} \times 3.14 \times 16 \mathrm{~cm}^{2}=46.05 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =46.1 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

எடுத்துக்காட்டு 2 : படம் 11.6 இல் காட்டப்பட்டுள்ள AYB வட்டத்துண்டத்தின் பரப்பளவைக் காண்க, வட்டத்தின் ஆரம் $21 \mathrm{~cm}$ மற்றும் $\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ}$ எனில். ($\pi=\dfrac{22}{7}$ ஐப் பயன்படுத்தவும்)

படம். 11.6

தீர்வு : AYB வட்டத்துண்டத்தின் பரப்பளவு

$$ =\text { Area of sector OAYB }- \text { Area of } \Delta \mathrm{OAB} \tag{1} $$

$$ \text{ Now, area of the sector OAYB } =\dfrac{120}{360} \times \dfrac{22}{7} \times 21 \times 21 \mathrm{~cm}^{2}=462 \mathrm{~cm}^{2} \tag{2}$$

$\Delta \mathrm{OAB}$ இன் பரப்பளவைக் கண்டறிய, $\mathrm{OM} \perp \mathrm{AB}$ ஐப் படம் 11.7 இல் காட்டியுள்ளபடி வரையவும்.

படம். 11.7

$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$ என்பதை கவனிக்கவும். எனவே, RHS ஒப்புமையின்படி, $\Delta \mathrm{AMO} \cong \Delta \mathrm{BMO}$.

எனவே, $\mathrm{M}$ என்பது $\mathrm{AB}$ மற்றும் $\angle \mathrm{AOM}=\angle \mathrm{BOM}=\dfrac{1}{2} \times 120^{\circ}=60^{\circ}$ இன் நடுப்புள்ளியாகும்.

$\text {Let} \qquad \mathrm{OM}=x \mathrm{~cm}$

எனவே, $\Delta$ OMA இலிருந்து, $$ \dfrac{\mathrm{OM}}{\mathrm{OA}}=\cos 60^{\circ} $$

$\text {or,}\qquad \dfrac{x}{21}=\dfrac{1}{2} \quad\left(\cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}\right)$

$\text {or,}\qquad x=\dfrac{21}{2}$

$\text {So,}\qquad \mathrm{OM}=\dfrac{21}{2} \mathrm{~cm}$

$\text {Also,}\qquad \dfrac{\mathrm{AM}}{\mathrm{OA}}=\sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\text {So,}\qquad \mathrm{AM}=\dfrac{21 \sqrt{3}}{2} \mathrm{~cm}$

$\text {Therefore,}\qquad \mathrm{AB}=2 \mathrm{AM}=\dfrac{2 \times 21 \sqrt{3}}{2} \mathrm{~cm}=21 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$

எனவே, $$ \text { area of } \begin{aligned} \Delta \mathrm{OAB} & =\dfrac{1}{2} \mathrm{AB} \times \mathrm{OM}=\dfrac{1}{2} \times 21 \sqrt{3} \times \dfrac{21}{2} \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

$$ =\dfrac{441}{4} \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}\tag{3}$$

ஆகவே, AYB வட்டத்துண்டத்தின் பரப்பளவு $=\left(462-\dfrac{441}{4} \sqrt{3}\right) \mathrm{cm}^{2}$

[(1), (2) மற்றும் (3) இலிருந்து]

$$ =\dfrac{21}{4}(88-21 \sqrt{3}) \mathrm{cm}^{2} $$

11.2 சுருக்கம்

இந்த அத்தியாயத்தில் நீங்கள் பின்வரும் புள்ளிகளைப் படித்துள்ளீர்கள்:

1. ஆரம் $r$ மற்றும் பாகை அளவு ⟦66⟉ உள்ள கோணம் கொண்ட ஒரு வட்டத்தின் வட்டக்கோணப்பகுதியின் வில்லின் நீளம் $\dfrac{\theta}{360} \times 2 \pi r$ ஆகும்.

2. ஆரம் $r$ மற்றும் பாகை அளவு ⟦69⟉ உள்ள கோணம் கொண்ட ஒரு வட்டத்தின் வட்டக்கோணப்பகுதியின் பரப்பளவு $\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$ ஆகும்.

3. ஒரு வட்டத்தின் வட்டத்துண்டத்தின் பரப்பளவு $=$ அதற்கு ஏற்ற வட்டக்கோணப்பகுதியின் பரப்பளவு - அதற்கு ஏற்ற முக்கோணத்தின் பரப்பளவு.