12.1 அறிமுகம்

ஒன்பதாம் வகுப்பிலிருந்து, நீங்கள் கனசதுரம், கூம்பு, உருளை மற்றும் கோளம் போன்ற சில திண்மங்களை அறிந்திருக்கிறீர்கள் (படம் 12.1 ஐப் பார்க்கவும்). அவற்றின் பரப்பளவுகள் மற்றும் கன அளவுகளை எவ்வாறு காண்பது என்பதையும் நீங்கள் கற்றுக்கொண்டுள்ளீர்கள்.

படம் 12.1

நமது அன்றாட வாழ்க்கையில், மேலே காட்டப்பட்டுள்ள அடிப்படை திண்மங்களில் இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்டவற்றின் சேர்க்கைகளால் ஆன பல திண்மங்களை நாம் காண்கிறோம்.

ஒரு டிரக்கின் பின்னால் பொருத்தப்பட்ட கொள்கலனுடன் (படம் 12.2 ஐப் பார்க்கவும்), ஒரு இடத்திலிருந்து மற்றொரு இடத்திற்கு எண்ணெய் அல்லது தண்ணீரை எடுத்துச் செல்வதை நீங்கள் நிச்சயமாகப் பார்த்திருப்பீர்கள். அது மேலே குறிப்பிடப்பட்டுள்ள நான்கு அடிப்படை திண்மங்களில் எதன் வடிவத்தில் உள்ளது? அது இரண்டு அரைக்கோளங்களை இறுதிகளாகக் கொண்ட ஒரு உருளையால் ஆனது என்று நீங்கள் யூகிக்கலாம்.

படம் 12.2

மீண்டும், படம் 12.3 இல் உள்ளதைப் போன்ற ஒரு பொருளை நீங்கள் பார்த்திருக்கலாம். அதை நீங்கள் பெயரிட முடியுமா? ஒரு சோதனைக் குழாய், அப்படித்தானே! உங்கள் அறிவியல் ஆய்வகத்தில் நீங்கள் ஒன்றைப் பயன்படுத்தியிருப்பீர்கள். இந்தக் குழாயும் ஒரு உருளை மற்றும் ஒரு அரைக்கோளத்தின் சேர்க்கையாகும். அதேபோல், பயணம் செய்யும்போது, மேலே குறிப்பிடப்பட்ட திண்மங்களின் சேர்க்கையால் ஆன சில பெரிய மற்றும் அழகான கட்டிடங்கள் அல்லது நினைவுச் சின்னங்களை நீங்கள் பார்த்திருக்கலாம்.

ஏதேனும் காரணத்திற்காக அத்தகைய பொருட்களின் பரப்பளவுகள், அல்லது கன அளவுகள், அல்லது கொள்ளளவுகளை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க விரும்பினால், அதை நீங்கள் எவ்வாறு செய்வீர்கள்? இவற்றை நீங்கள் ஏற்கனவே படித்த திண்மங்களின் கீழ் வகைப்படுத்த முடியாது.

படம் 12.3

இந்த அத்தியாயத்தில், அத்தகைய பொருட்களின் பரப்பளவுகள் மற்றும் கன அளவுகளை எவ்வாறு காண்பது என்பதைப் பார்ப்பீர்கள்.

12.2 திண்மங்களின் சேர்க்கையின் பரப்பளவு

படம் 12.2 இல் காட்டப்பட்டுள்ள கொள்கலனைக் கருத்தில் கொள்வோம். அத்தகைய ஒரு திண்மத்தின் பரப்பளவை நாம் எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது? இப்போது, எப்போதெல்லாம் நாம் ஒரு புதிய சிக்கலைச் சந்திக்கிறோமோ, அதை நாம் முன்பு தீர்த்த சிறிய சிக்கல்களாகப் பிரிக்க முடியுமா என்று முதலில் முயற்சிக்கிறோம். இந்த திண்மம் இரண்டு அரைக்கோளங்கள் இரு முனைகளிலும் ஒட்டப்பட்ட ஒரு உருளையால் ஆனது என்பதை நாம் காணலாம். எல்லா துண்டுகளையும் ஒன்றாகச் சேர்த்த பிறகு அது படம் 12.4 இல் உள்ளதைப் போல் தோற்றமளிக்கும்.

படம் 12.4

புதிதாக உருவாக்கப்பட்ட பொருளின் பரப்பைக் கருத்தில் கொண்டால், இரண்டு அரைக்கோளங்களின் வளைந்த பரப்புகள் மற்றும் உருளையின் வளைந்த பரப்பு மட்டுமே நமக்குத் தெரியும்.

எனவே, புதிய திண்மத்தின் மொத்த பரப்பளவு என்பது ஒவ்வொரு தனிப்பட்ட பகுதிகளின் வளைந்த பரப்பளவுகளின் கூட்டுத்தொகையாகும். இது பின்வருவனவற்றைத் தருகிறது,

புதிய திண்மத்தின் TSA $=$ ஒரு அரைக்கோளத்தின் CSA + உருளையின் CSA + மற்றொரு அரைக்கோளத்தின் CSA

இங்கே TSA, CSA ஆகியவை முறையே ‘மொத்த பரப்பளவு’ மற்றும் ‘வளைந்த பரப்பளவு’ என்பதற்கான சுருக்கங்கள்.

இப்போது மற்றொரு சூழ்நிலையைக் கருத்தில் கொள்வோம். ஒரு அரைக்கோளம் மற்றும் ஒரு கூம்பை ஒன்றாகச் சேர்த்து ஒரு பொம்மை செய்கிறோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். நாம் செல்லும் படிகளைப் பார்ப்போம்.

முதலில், நாம் ஒரு கூம்பு மற்றும் ஒரு அரைக்கோளத்தை எடுத்து அவற்றின் தட்டையான முகங்களை ஒன்றாகக் கொண்டுவருவோம். இங்கே, நிச்சயமாக, பொம்மை சுமூகமான பரப்பைக் கொண்டிருக்க வேண்டும் என்பதற்காக, கூம்பின் அடித்தள ஆரத்தை அரைக்கோளத்தின் ஆரத்திற்கு சமமாக எடுத்துக்கொள்வோம். எனவே, படிகள் படம் 12.5 இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி இருக்கும்.

படம் 12.5

நமது முயற்சியின் முடிவில், நமக்கு ஒரு நன்றான வட்டமான அடிப்பகுதியுடன் கூடிய பொம்மை கிடைத்துள்ளது. இப்போது இந்தப் பொம்மையின் பரப்பை வண்ணம் தீட்ட எவ்வளவு வண்ணப்பூச்சு தேவை என்பதைக் கண்டுபிடிக்க விரும்பினால், நமக்கு என்ன தேவைப்படும்? பொம்மையின் பரப்பளவு தேவைப்படும், அது அரைக்கோளத்தின் CSA மற்றும் கூம்பின் CSA ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளது.

எனவே, நாம் சொல்லலாம்:

பொம்மையின் மொத்த பரப்பளவு $=$ அரைக்கோளத்தின் CSA + கூம்பின் CSA

இப்போது, சில உதாரணங்களைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

உதாரணம் 1 : ரஷீத் தனது பிறந்தநாள் பரிசாக ஒரு விளையாட்டுச் சுழலியை (லட்டு)ப் பெற்றார், வியப்பாக அதில் வண்ணம் இல்லை. அவர் தனது மெழுகுச் சாயங்களால் அதை வண்ணம் தீட்ட விரும்பினார். சுழலி ஒரு அரைக்கோளத்தால் மேலே அமைக்கப்பட்ட கூம்பு போன்ற வடிவத்தில் உள்ளது (படம் 12.6 ஐப் பார்க்கவும்). முழு சுழலியின் உயரம் $5 \mathrm{~cm}$ மற்றும் சுழலியின் விட்டம் $3.5 \mathrm{~cm}$. அவர் வண்ணம் தீட்ட வேண்டிய பரப்பளவைக் கண்டுபிடியுங்கள். ($\pi=\dfrac{22}{7}$ எனக் கொள்ளவும்)

படம் 12.6

தீர்வு : இந்த சுழலி படம் 12.5 இல் நாம் விவாதித்த பொருளைப் போன்றது. எனவே, அங்கு நாம் பெற்ற முடிவை நாம் வசதியாகப் பயன்படுத்தலாம். அதாவது:

$ \text {பொம்மையின் TSA}=\text {அரைக்கோளத்தின் CSA}+ \text {கூம்பின் CSA} $

இப்போது, அரைக்கோளத்தின் வளைந்த பரப்பளவு $=\dfrac{1}{2}\left(4 \pi r^{2}\right)=2 \pi r^{2}$

$$ =\left(2 \times \dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times \dfrac{3.5}{2}\right) \mathrm{cm}^{2} $$

மேலும், கூம்பின் உயரம் = சுழலியின் உயரம் - அரைக்கோளப் பகுதியின் உயரம் (ஆரம்)

$$ =\left(5-\dfrac{3.5}{2}\right) \mathrm{cm}=3.25 \mathrm{~cm} $$

எனவே, கூம்பின் சாய் உயரம் $(l)=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{\left(\dfrac{3.5}{2}\right)^{2}+(3.25)^{2}} \mathrm{~cm}=3.7 \mathrm{~cm}$$ (தோராயமாக)

எனவே, கூம்பின் CSA $=\pi r l=\left(\dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times 3.7\right) \mathrm{cm}^{2}$

இது சுழலியின் பரப்பளவைப் பின்வருமாறு தருகிறது

$$ \begin{aligned} & =\left(2 \times \dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times \dfrac{3.5}{2}\right) \mathrm{cm}^{2}+\left(\dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times 3.7\right) \mathrm{cm}^{2} \\ & =\dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2}(3.5+3.7) \mathrm{cm}^{2}=\dfrac{11}{2} \times(3.5+3.7) \mathrm{cm}^{2}=39.6 \mathrm{~cm}^{2} \text { (தோராயமாக) } \end{aligned} $$

‘சுழலியின் மொத்த பரப்பளவு’ என்பது கூம்பு மற்றும் அரைக்கோளத்தின் மொத்த பரப்பளவுகளின் கூட்டுத்தொகை அல்ல என்பதை நீங்கள் கவனிக்கலாம்.

உதாரணம் 2 : படம் 12.7 இல் காட்டப்பட்டுள்ள அலங்காரத் தொகுதி இரண்டு திண்மங்களால் ஆனது - ஒரு கனசதுரம் மற்றும் ஒரு அரைக்கோளம். தொகுதியின் அடிப்பகுதி ஓர விளிம்பு $5 \mathrm{~cm}$ கொண்ட ஒரு கனசதுரம், மேலே பொருத்தப்பட்ட அரைக்கோளம் $4.2 \mathrm{~cm}$ விட்டம் கொண்டது. தொகுதியின் மொத்த பரப்பளவைக் கண்டுபிடியுங்கள். ($\pi=\dfrac{22}{7}$ எனக் கொள்ளவும்)

படம் 12.7

தீர்வு : கனசதுரத்தின் மொத்த பரப்பளவு $=6 \times(\text{விளிம்பு})^{2}=6 \times 5 \times 5 \mathrm{~cm}^{2}=150 \mathrm{~cm}^{2}$.

அரைக்கோளம் இணைக்கப்பட்டுள்ள கனசதுரத்தின் பகுதி பரப்பளவில் சேர்க்கப்படவில்லை என்பதைக் கவனியுங்கள்.

எனவே, தொகுதியின் பரப்பளவு $=$ கனசதுரத்தின் TSA - அரைக்கோளத்தின் அடிப்பகுதி பரப்பளவு + அரைக்கோளத்தின் CSA

$$ \begin{aligned} & =150-\pi r^{2}+2 \pi r^{2}=\left(150+\pi r^{2}\right) \mathrm{cm}^{2} \\ & =150 \mathrm{~cm}^{2}+\left(\dfrac{22}{7} \times \dfrac{4.2}{2} \times \dfrac{4.2}{2}\right) \mathrm{cm}^{2} \\ & =(150+13.86) \mathrm{cm}^{2}=163.86 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

உதாரணம் 3 : ஒரு மரப் பொம்மை ஏவூர்தி படம் 12.8 இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, ஒரு உருளையின் மீது அமைக்கப்பட்ட கூம்பின் வடிவத்தில் உள்ளது. முழு ஏவூர்தியின் உயரம் $26 \mathrm{~cm}$, கூம்பு பகுதியின் உயரம் $6 \mathrm{~cm}$. கூம்பு பகுதியின் அடிப்பகுதி $5 \mathrm{~cm}$ விட்டம் கொண்டது, உருளைப் பகுதியின் அடி விட்டம் $3 \mathrm{~cm}$. கூம்பு பகுதி செம்மை நிறத்திலும் உருளைப் பகுதி மஞ்சள் நிறத்திலும் வண்ணம் தீட்டப்பட வேண்டும் எனில், இந்த நிறங்களில் ஒவ்வொன்றிலும் வண்ணம் தீட்டப்படும் ஏவூர்தியின் பரப்பளவைக் கண்டுபிடியுங்கள். ($\pi=3.14$ எனக் கொள்ளவும்)

படம் 12.8

தீர்வு : கூம்பின் ஆரத்தை $r$, கூம்பின் சாய் உயரத்தை $l$, கூம்பின் உயரத்தை $h$, உருளையின் ஆரத்தை $r^{\prime}$ மற்றும் உருளையின் உயரத்தை $h^{\prime}$ எனக் குறிப்பிடுவோம். அப்போது $r=2.5 \mathrm{~cm}, h=6 \mathrm{~cm}, r^{\prime}=1.5 \mathrm{~cm}$, $h^{\prime}=26-6=20 \mathrm{~cm}$ மற்றும்

$$ l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{2.5^{2}+6^{2}} \mathrm{~cm}=6.5 \mathrm{~cm} $$

இங்கே, கூம்பு பகுதி அதன் வட்ட அடிப்பகுதியை உருளையின் அடிப்பகுதியின் மீது வைத்துள்ளது, ஆனால் கூம்பின் அடிப்பகுதி உருளையின் அடிப்பகுதியை விடப் பெரியது. எனவே, கூம்பின் அடிப்பகுதியின் ஒரு பகுதி (ஒரு வளையம்) வண்ணம் தீட்டப்பட வேண்டும்.

எனவே, செம்மை நிறத்தில் வண்ணம் தீட்டப்பட வேண்டிய பரப்பளவு $=$ கூம்பின் CSA + கூம்பின் அடிப்பகுதி பரப்பளவு - உருளையின் அடிப்பகுதி பரப்பளவு

$$ \begin{aligned} & =\pi r l+\pi r^{2}-\pi\left(r^{\prime}\right)^{2} \\ & =\pi\left[(2.5 \times 6.5)+(2.5)^{2}-(1.5)^{2}\right] \mathrm{cm}^{2} \\ & =\pi[20.25] \mathrm{cm}^{2}=3.14 \times 20.25 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =63.585 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

இப்போது, மஞ்சள் நிறத்தில் வண்ணம் தீட்டப்பட வேண்டிய பரப்பளவு $=$ உருளையின் CSA + உருளையின் ஒரு அடிப்பகுதியின் பரப்பளவு

$$ \begin{aligned} & =2 \pi r^{\prime} h^{\prime}+\pi\left(r^{\prime}\right)^{2} \\ & =\pi r^{\prime}\left(2 h^{\prime}+r^{\prime}\right) \\ & =(3.14 \times 1.5)(2 \times 20+1.5) \mathrm{cm}^{2} \\ & =4.71 \times 41.5 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =195.465 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

உதாரணம் 4 : மயாங்க் தனது தோட்டத்திற்கு ஒரு பறவை குளியல் தொட்டியை ஒரு உருளையின் வடிவத்தில், ஒரு முனையில் அரைக்கோள குழிவுடன் செய்தார் (படம் 12.9 ஐப் பார்க்கவும்). உருளையின் உயரம் $1.45 \mathrm{~m}$ மற்றும் அதன் ஆரம் $30 \mathrm{~cm}$. பறவை குளியல் தொட்டியின் மொத்த பரப்பளவைக் கண்டுபிடியுங்கள். ($\pi=\dfrac{22}{7}$ எனக் கொள்ளவும்)

படம் 12.9

தீர்வு : $h$ என்பது உருளையின் உயரம், $r$ என்பது உருளை மற்றும் அரைக்கோளத்தின் பொதுவான ஆரம் எனக் கொள்வோம். அப்போது, பறவை குளியல் தொட்டியின் மொத்த பரப்பளவு $=$ உருளையின் CSA + அரைக்கோளத்தின் CSA

$$ \begin{aligned} & =2 \pi r h+2 \pi r^{2}=2 \pi r(h+r) \\ & =2 \times \dfrac{22}{7} \times 30(145+30) \mathrm{cm}^{2} \\ & =33000 \mathrm{~cm}^{2}=3.3 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

12.3 திண்மங்களின் சேர்க்கையின் கன அளவு

முந்தைய பகுதியில், இரண்டு அடிப்படை திண்மங்களின் சேர்க்கையால் ஆன திண்மங்களின் பரப்பளவை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்று விவாதித்தோம். இங்கே, அவற்றின் கன அளவுகளை எவ்வாறு கணக்கிடுவது என்பதைப் பார்ப்போம். பரப்பளவைக் கணக்கிடும்போது, இரண்டு உட்பொருட்களின் பரப்பளவுகளை நாம் கூட்டவில்லை என்பதைக் கவனிக்கலாம், ஏனெனில் அவற்றை இணைக்கும் செயல்பாட்டில் பரப்பளவின் சில பகுதிகள் மறைந்துவிட்டன. இருப்பினும், கன அளவைக் கணக்கிடும்போது இது உண்மையாக இருக்காது. இரண்டு அடிப்படை திண்மங்களை இணைப்பதன் மூலம் உருவாகும் திண்மத்தின் கன அளவு உண்மையில் உட்பொருட்களின் கன அளவுகளின் கூட்டுத்தொகையாக இருக்கும், கீழே உள்ள உதாரணங்களில் நாம் காண்பது போல.

உதாரணம் 5 : சாந்தா ஒரு குடிசையில் ஒரு தொழிற்சாலை நடத்துகிறார், அது ஒரு கனசதுரத்தின் மீது அரை உருளை அமைக்கப்பட்ட வடிவத்தில் உள்ளது (படம் 12.12 ஐப் பார்க்கவும்). குடிசையின் அடிப்பகுதி $7 \mathrm{~m} \times 15 \mathrm{~m}$ பரிமாணங்களைக் கொண்டது, கனசதுரப் பகுதியின் உயரம் $8 \mathrm{~m}$, குடிசையால் இருக்கக்கூடிய காற்றின் கன அளவைக் கண்டுபிடியுங்கள். மேலும், குடிசையில் உள்ள இயந்திரங்கள் மொத்தமாக $300 \mathrm{~m}^{3}$ இடத்தை ஆக்கிரமிக்கின்றன, மேலும் 20 தொழிலாளர்கள் உள்ளனர், ஒவ்வொருவரும் சராசரியாக சுமார் $0.08 \mathrm{~m}^{3}$ இடத்தை ஆக்கிரமிக்கின்றனர். அப்போது, குடிசையில் எவ்வளவு காற்று உள்ளது? ($\pi=\dfrac{22}{7}$ எனக் கொள்ளவும்)

படம் 12.12

தீர்வு : குடிசைக்குள் உள்ள காற்றின் கன அளவு (மக்கள் அல்லது இயந்திரங்கள் இல்லாதபோது) கனசதுரத்திற்குள் மற்றும் அரை உருளைக்குள் உள்ள காற்றின் கன அளவு, ஒன்றாக எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது.

இப்போது, கனசதுரத்தின் நீளம், அகலம் மற்றும் உயரம் முறையே $15 \mathrm{~m}, 7 \mathrm{~m}$ மற்றும் $8 \mathrm{~m}$ ஆகும். மேலும், அரை உருளையின் விட்டம் $7 \mathrm{~m}$ மற்றும் அதன் உயரம் $15 \mathrm{~m}$.

எனவே, தேவையான கன அளவு $=$ கனசதுரத்தின் கன அளவு $+\dfrac{1}{2}$ உருளையின் கன அளவு

$$ =\left[15 \times 7 \times 8+\dfrac{1}{2} \times \dfrac{22}{7} \times \dfrac{7}{2} \times \dfrac{7}{2} \times 15\right] \mathrm{m}^{3}=1128.75 \mathrm{~m}^{3} $$

அடுத்து, இயந்திரங்களால் ஆக்கிரமிக்கப்படும் மொத்த இடம் $=300 \mathrm{~m}^{3}$

மற்றும் தொழிலாளர்களால் ஆக்கிரமிக்கப்படும் மொத்த இடம் $=20 \times 0.08 \mathrm{~m}^{3}=1.6 \mathrm{~m}^{3}$

எனவே, இயந்திரங்கள் மற்றும் தொழிலாளர்கள் இருக்கும்போது காற்றின் கன அளவு

$$ =1128.75-(300.00+1.60)=827.15 \mathrm{~m}^{3} $$

உதாரணம் 6 : ஒரு சாறு விற்பனையாளர் படம் 12.13 இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி கண்ணாடிகளைப் பயன்படுத்தி தனது வாடிக்கையாளர்களுக்கு சேவை செய்தார். உருளை வடிவ கண்ணாடியின் உள் விட்டம் $5 \mathrm{~cm}$, ஆனால் கண்ணாடியின் அடிப்பகுதியில் ஒரு அரைக்கோள உயர்ந்த பகுதி இருந்தது, இது கண்ணாடியின் கொள்ளளவைக் குறைத்தது. ஒரு கண்ணாடியின் உயரம் $10 \mathrm{~cm}$ என்றால், கண்ணாடியின் தோற்றக் கொள்ளளவு மற்றும் அதன் உண்மையான கொள்ளளவைக் கண்டுபிடியுங்கள். ($\pi=3.14$ எனப் பயன்படுத்தவும்.)

படம் 12.13

தீர்வு : கண்ணாடியின் உள் விட்டம் $=5 \mathrm{~cm}$ மற்றும் உயரம் $=10 \mathrm{~cm}$ என்பதால், கண்ணாடியின் தோற்றக் கொள்ளளவு $=\pi r^{2} h$

$$ =3.14 \times 2.5 \times 2.5 \times 10 \mathrm{~cm}^{3}=196.25 \mathrm{~cm}^{3} $$

ஆனால் கண்ணாடியின் உண்மையான கொள்ளளவு கண்ணாடியின் அடிப்பகுதியில் உள்ள அரைக்கோளத்தின் கன அளவால் குறைவாக உள்ளது.

அதாவது, $\quad$ அது $\dfrac{2}{3} \pi r^{3}=\dfrac{2}{3} \times 3.14 \times 2.5 \times 2.5 \times 2.5 \mathrm{~cm}^{3}=32.71 \mathrm{~cm}^{3}$ குறைவாக உள்ளது

எனவே, கண்ணாடியின் உண்மையான கொள்ளளவு $=$ கண்ணாடியின் தோற்றக் கொள்ளளவு - அரைக்கோளத்தின் கன அளவு

$$ \begin{aligned} & =(196.25-32.71) \mathrm{cm}^{3} \\ & =163.54 \mathrm{~cm}^{3} \end{aligned} $$

உதாரணம் 7 : ஒரு திண்ம பொம்மை ஒரு அரைக்கோளத்தால் மேலே அமைக்கப்பட்ட ஒரு நேர் வட்ட கூம்பின் வடிவத்தில் உள்ளது. கூம்பின் உயரம் $2 \mathrm{~cm}$ மற்றும் அடிப்பகுதியின் விட்டம் $4 \mathrm{~cm}$. பொம்மையின் கன அளவைக் கண்டுபிடியுங்கள். ஒரு நேர் வட்ட உருளை பொம்மையைச் சுற்றி வரைந்தால், உருளை மற்றும் பொம்மையின் கன அளவுகளின் வித்தியாசத்தைக் கண்டுபிடியுங்கள். ($\pi=3.14$ எனக் கொள்ளவும்)

படம் 12.14

தீர்வு : BPC என்பது அரைக்கோளம் மற்றும் ABC என்பது அரைக்கோளத்தின் அடிப்பகுதியில் நிற்கும் கூம்பு எனக் கொள்வோம் (படம் 12.14 ஐப் பார்க்கவும்). அரைக்கோளத்தின் (மற்றும் கூம்பின்) ஆரம் BO $=\dfrac{1}{2} \times 4 \mathrm{~cm}=2 \mathrm{~cm}$.

எனவே, பொம்மையின் கன அளவு $=\dfrac{2}{3} \pi r^{3}+\dfrac{1}{3} \pi r^{2} h$

$$ =\left[\dfrac{2}{3} \times 3.14 \times(2)^{3}+\dfrac{1}{3} \times 3.14 \times(2)^{2} \times 2\right] \mathrm{cm}^{3}=25.12 \mathrm{~cm}^{3} $$

இப்போது, நேர் வட்ட உருளை EFGH கொடுக்கப்பட்ட திண்மத்தைச் சுற்றி வரையட்டும். நேர் வட்ட உருளையின் அடிப்பகுதியின் ஆரம் $=\mathrm{HP}=\mathrm{BO}=2 \mathrm{~cm}$, மற்றும் அதன் உயரம்

$$ \mathrm{EH}=\mathrm{AO}+\mathrm{OP}=(2+2) \mathrm{cm}=4 \mathrm{~cm} $$

எனவே, தேவையான கன அளவு $=$ நேர் வட்ட உருளையின் கன அளவு - பொம்மையின் கன அளவு

$$ \begin{aligned} & =\left(3.14 \times 2^{2} \times 4-25.12\right) \mathrm{cm}^{3} \\ & =25.12 \mathrm{~cm}^{3} \end{aligned} $$

எனவே, இரண்டு கன அளவுகளின் தேவையான வித்தியாசம் $=25.12 \mathrm{~cm}^{3}$.

12.4 சுருக்கம்

இந்த அத்தியாயத்தில், நீங்கள் பின்வரும் அம்சங்களைப் படித்துள்ளீர்கள்:

1. கனசதுரம், கூம்பு, உருளை, கோளம் மற்றும் அரைக்கோளம் ஆகிய அடிப்படை திண்மங்களில் ஏதேனும் இரண்டை இணைப்பதன் மூலம் உருவாகும் பொருளின் பரப்பளவைக் கண்டுபிடிக்க.

2. கனசதுரம், கூம்பு, உருளை, கோளம் மற்றும் அரைக்கோளம் ஆகியவற்றில் ஏதேனும் இரண்டை இணைப்பதன் மூலம் உருவாகும் பொருட்களின் கன அளவைக் கண்டுபிடிக்க.