1. முன்னுரை

முந்தைய அத்தியாயத்தில் தரவுகள் எவ்வாறு சேகரிக்கப்படுகின்றன என்பதை நீங்கள் கற்றுக்கொண்டீர்கள். மக்கள் தொகை கணக்கெடுப்பு மற்றும் மாதிரி எடுத்தல் ஆகியவற்றுக்கிடையேயான வேறுபாட்டையும் நீங்கள் அறிந்துகொண்டீர்கள். இந்த அத்தியாயத்தில், நீங்கள் சேகரித்த தரவுகள் எவ்வாறு வகைப்படுத்தப்பட வேண்டும் என்பதை அறிவீர்கள். மூல தரவுகளை வகைப்படுத்துவதன் நோக்கம், அவற்றில் ஒழுங்கை ஏற்படுத்துவதாகும், இதனால் அவை மேலும் புள்ளியியல் பகுப்பாய்வுக்கு எளிதாக உட்படுத்தப்படலாம்.

உங்கள் உள்ளூர் குப்பை வியாபாரி அல்லது கபடிவாலாவை நீங்கள் எப்போதாவது கவனித்திருக்கிறீர்களா? அவரிடம் நீங்கள் பழைய செய்தித்தாள்கள், உடைந்த வீட்டுப் பொருட்கள், காலியான கண்ணாடி பாட்டில்கள், பிளாஸ்டிக் போன்றவற்றை விற்கிறீர்கள். அவர் இந்தப் பொருட்களை உங்களிடமிருந்து வாங்கி, அவற்றை மீண்டும் பயன்படுத்துபவர்களுக்கு விற்கிறார். ஆனால் அவரது கடையில் இவ்வளவு குப்பைகள் இருப்பதால், அவற்றை சரியாக ஒழுங்கமைக்காவிட்டால் அவரது வியாபாரத்தை நிர்வகிப்பது மிகவும் கடினமாக இருக்கும். அவரது நிலையை எளிதாக்க, அவர் பல்வேறு குப்பைகளை பொருத்தமான குழுக்களாக அல்லது “வகைப்படுத்துகிறார்”. அவர் பழைய செய்தித்தாள்களை ஒன்றாக வைத்து ஒரு கயிற்றால் கட்டுகிறார். பின்னர் அனைத்து காலியான கண்ணாடி பாட்டில்களையும் ஒரு சாக்கில் சேகரிக்கிறார். அவர் உலோகப் பொருட்களை அவரது கடையின் ஒரு மூலையில் குவித்து, “இரும்பு”, “செம்பு”, “அலுமினியம்”, “பித்தளை” போன்ற குழுக்களாக வரிசைப்படுத்துகிறார். இவ்வாறு அவர் தனது குப்பைகளை வெவ்வேறு வகுப்புகளாக - “செய்தித்தாள்கள்”, “பிளாஸ்டிக்”, “கண்ணாடி”, “உலோகங்கள்” போன்றவை - குழுக்களாகப் பிரித்து அவற்றில் ஒழுங்கை ஏற்படுத்துகிறார். அவரது குப்பை ஒழுங்கமைக்கப்பட்டு வகைப்படுத்தப்பட்டவுடன், ஒரு வாங்குபவர் கேட்கக்கூடிய ஒரு குறிப்பிட்ட பொருளைக் கண்டுபிடிப்பது அவருக்கு எளிதாகிறது.

அதேபோல, உங்கள் பள்ளிப் புத்தகங்களை ஒரு குறிப்பிட்ட வரிசையில் அமைக்கும்போது, அவற்றைக் கையாள்வது உங்களுக்கு எளிதாகிறது. நீங்கள் அவற்றை பாடங்களின் அடிப்படையில் வகைப்படுத்தலாம், ஒவ்வொரு பாடமும் ஒரு குழு அல்லது வகுப்பாக அமையும். எனவே, உதாரணமாக, வரலாற்றில் ஒரு குறிப்பிட்ட புத்தகம் தேவைப்படும்போது, நீங்கள் செய்ய வேண்டியது “வரலாறு” குழுவில் அந்தப் புத்தகத்தைத் தேடுவதுதான். இல்லையெனில், நீங்கள் தேடும் குறிப்பிட்ட புத்தகத்தைக் கண்டுபிடிக்க உங்கள் முழு சேகரிப்பையும் தேட வேண்டியிருக்கும்.

பொருள்கள் அல்லது விஷயங்களை வகைப்படுத்துவது நமது மதிப்புமிக்க நேரத்தையும் முயற்சியையும் மிச்சப்படுத்துகிறது என்றாலும், அது தன்னிச்சையான முறையில் செய்யப்படுவதில்லை. கபடிவாலா மீண்டும் பயன்படுத்தப்பட்ட பொருட்களுக்கான சந்தைகளின் அடிப்படையில் தனது குப்பைகளைக் குழுவாக்குகிறார். எடுத்துக்காட்டாக, “கண்ணாடி” என்ற குழுவின் கீழ் அவர் காலி பாட்டில்கள், உடைந்த கண்ணாடிகள் மற்றும் சாளரக் கண்ணாடிகள் போன்றவற்றை வைப்பார். அதேபோல, உங்கள் வரலாற்றுப் புத்தகங்களை “வரலாறு” என்ற குழுவின் கீழ் வகைப்படுத்தும்போது, வேறு பாடத்தின் புத்தகத்தை அந்தக் குழுவில் வைக்க மாட்டீர்கள். இல்லையெனில் குழுவாக்குவதன் முழு நோக்கமும் இழக்கப்படும். எனவே, வகைப்படுத்துதல் என்பது சில அளவுகோல்களின் அடிப்படையில் விஷயங்களைக் குழுக்களாக அல்லது வகுப்புகளாக ஏற்பாடு செய்வது அல்லது ஒழுங்கமைப்பதாகும்.

செயல்பாடு

• கடிதங்கள் எவ்வாறு வரிசைப்படுத்தப்படுகின்றன என்பதைக் கண்டறிய உங்கள் உள்ளூர் அஞ்சலகத்தைப் பார்வையிடவும். ஒரு கடிதத்தில் உள்ள அஞ்சல் குறியீடு என்ன என்பது உங்களுக்குத் தெரியுமா? உங்கள் தபால்காரரிடம் கேளுங்கள்.

2. மூல தரவு

கபடிவாலாவின் குப்பை போல, வகைப்படுத்தப்படாத தரவு அல்லது மூல தரவு மிகவும் ஒழுங்கற்றதாக உள்ளது. அவை பெரும்பாலும் மிகப் பெரியதாகவும், கையாள்வதற்கு சிக்கலானதாகவும் இருக்கும். அவற்றிலிருந்து அர்த்தமுள்ள முடிவுகளை எடுப்பது ஒரு சலிப்பான பணியாகும், ஏனெனில் அவை புள்ளியியல் முறைகளுக்கு எளிதில் இடமளிப்பதில்லை. எனவே, எந்தவொரு முறையான புள்ளியியல் பகுப்பாய்வும் மேற்கொள்ளப்படுவதற்கு முன், அத்தகைய தரவுகளின் சரியான ஒழுங்கமைப்பும் வழங்கலும் தேவைப்படுகிறது. எனவே, தரவுகளை சேகரித்த பிறகு, அடுத்த கட்டம் அவற்றை வகைப்படுத்தப்பட்ட வடிவத்தில் ஒழுங்கமைத்து வழங்குவதாகும்.

மாணவர்களின் கணிதத்தில் உள்ள செயல்திறனை நீங்கள் அறிய விரும்புகிறீர்கள் என்றும், உங்கள் பள்ளியின் 100 மாணவர்களின் கணித மதிப்பெண்கள் குறித்த தரவுகளை நீங்கள் சேகரித்துள்ளீர்கள் என்றும் வைத்துக்கொள்வோம். நீங்கள் அவற்றை ஒரு அட்டவணையாக வழங்கினால், அவை அட்டவணை 3.1 போல் தோன்றலாம்.

அட்டவணை 3.1 ஒரு தேர்வில் 100 மாணவர்கள் பெற்ற கணித மதிப்பெண்கள்

அல்லது உங்கள் அண்டை வீட்டாரின் 50 குடும்பங்களின் உணவுக்கான மாதாந்திர செலவினம் குறித்த தரவுகளை அவர்களின் உணவுக்கான சராசரி செலவினத்தை அறிய சேகரித்திருக்கலாம். அந்த வழக்கில் சேகரிக்கப்பட்ட தரவுகளை, நீங்கள் ஒரு அட்டவணையாக வழங்கியிருந்தால், அட்டவணை 3.2 போல் இருந்திருக்கும். அட்டவணை 3.1 மற்றும் 3.2 இரண்டும் மூல அல்லது வகைப்படுத்தப்படாத தரவுகள் ஆகும். இரண்டு அட்டவணைகளிலும் எண்கள் எந்த வரிசையிலும் அமைக்கப்படவில்லை என்பதை நீங்கள் காணலாம். இப்போது அட்டவணை 3.1 இலிருந்து கணிதத்தில் அதிக மதிப்பெண் எது என்று உங்களிடம் கேட்டால், முதலில் 100 மாணவர்களின் மதிப்பெண்களை ஏறுவரிசையில் அல்லது இறங்கு வரிசையில் அமைக்க வேண்டும். அது ஒரு சலிப்பான பணியாகும். 100 பேருக்குப் பதிலாக 1,000 மாணவர்களின் மதிப்பெண்களைக் கையாள வேண்டியிருந்தால், அது மிகவும் சலிப்பானதாக மாறும். இதேபோல், அட்டவணை 3.2 இல், 50 குடும்பங்களின் சராசரி மாதாந்திர செலவினத்தை நீங்கள் தீர்மானிப்பது கடினம் என்பதை நீங்கள் கவனிப்பீர்கள். இந்த சிரமம் எண்ணிக்கை அதிகமாக இருந்தால் - 5,000 குடும்பங்கள் என்று சொல்லலாம் - பல மடங்கு அதிகரிக்கும். எங்கள் கபடிவாலா போல, அவரது குப்பை பெரிதாகவும் ஒழுங்கற்றதாகவும் மாறும்போது ஒரு குறிப்பிட்ட பொருளைக் கண்டுபிடிப்பதில் அவர் வருத்தப்படுவார், நீங்கள் பெரிய மூல தரவுகளிலிருந்து எந்தத் தகவலையும் பெற முயற்சிக்கும்போது இதேபோன்ற சூழ்நிலையை எதிர்கொள்வீர்கள். எனவே, ஒரு வார்த்தையில், பெரிய வகைப்படுத்தப்படாத தரவுகளிலிருந்து தகவலைப் பிரித்தெடுப்பது ஒரு சலிப்பான பணியாகும்.

அட்டவணை 3.2 50 குடும்பங்களின் உணவுக்கான மாதாந்திர குடும்பச் செலவினம் (ரூபாயில்)

மூல தரவுகள் சுருக்கமாகக் கூறப்பட்டு, வகைப்படுத்துவதன் மூலம் புரிந்துகொள்ளக்கூடியதாக மாற்றப்படுகின்றன. ஒரே மாதிரியான பண்புகளைக் கொண்ட உண்மைகள் ஒரே வகுப்பில் வைக்கப்படும்போது, அவற்றை எளிதாகக் கண்டறியவும், ஒப்பீடு செய்யவும், எந்த சிரமமும் இல்லாமல் தீர்மானங்களை எடுக்கவும் உதவுகிறது. இந்திய அரசு ஒவ்வொரு பத்து ஆண்டுகளுக்கும் மக்கள் தொகை கணக்கெடுப்பை நடத்துகிறது என்பதை நீங்கள் அத்தியாயம் 2 இல் படித்துள்ளீர்கள். 2001 மக்கள் தொகை கணக்கெடுப்பில் சுமார் 20 கோடி பேரைத் தொடர்பு கொள்ளப்பட்டது. மக்கள் தொகை கணக்கெடுப்பின் மூல தரவுகள் மிகவும் பெரியதாகவும் துண்டுகளாகவும் உள்ளன, அவற்றிலிருந்து எந்த அர்த்தமுள்ள முடிவையும் எடுப்பது கிட்டத்தட்ட சாத்தியமற்ற பணியாகத் தோன்றுகிறது. ஆனால் அதே தரவு பாலினம், கல்வி, திருமண நிலை, தொழில் போன்றவற்றின் அடிப்படையில் வகைப்படுத்தப்படும்போது, இந்தியாவின் மக்கள்தொகையின் கட்டமைப்பும் தன்மையும் எளிதில் புரிந்துகொள்ளப்படுகிறது.

மூல தரவுகள் மாறிகளின் கண்காணிப்புகளைக் கொண்டிருக்கின்றன. அட்டவணை 3.1 மற்றும் 3.2 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ள மூல தரவுகள் ஒரு குறிப்பிட்ட அல்லது மாறிகளின் குழுவின் கண்காணிப்புகளைக் கொண்டிருக்கின்றன. எடுத்துக்காட்டாக அட்டவணை 3.1 ஐப் பாருங்கள், இதில் 100 மாணவர்கள் பெற்ற கணித மதிப்பெண்கள் உள்ளன. இந்த மதிப்பெண்களிலிருந்து நாம் எப்படி அர்த்தம் காண முடியும்? இந்த மதிப்பெண்களைப் பார்க்கும் கணித ஆசிரியர் நினைப்பார் - என் மாணவர்கள் எப்படி செய்தார்கள்? எத்தனை பேர் தேர்ச்சி பெறவில்லை? தரவுகளை எவ்வாறு வகைப்படுத்துவது என்பது நமது மனதில் உள்ள நோக்கத்தைப் பொறுத்தது. இந்த வழக்கில், இந்த மாணவர்கள் எவ்வாறு செய்தார்கள் என்பதை ஆசிரியர் சில ஆழத்தில் புரிந்துகொள்ள விரும்புகிறார். அவர் அதிர்வெண் பரவலை உருவாக்க தேர்வு செய்யலாம். இது அடுத்த பகுதியில் விவாதிக்கப்படுகிறது.

செயல்பாடு

• ஒரு வருடத்திற்கு உங்கள் குடும்பத்தின் மொத்த வாராந்திர செலவினங்களின் தரவுகளை சேகரித்து அதை ஒரு அட்டவணையில் வரிசைப்படுத்தவும். உங்களிடம் எத்தனை கண்காணிப்புகள் உள்ளன என்பதைப் பாருங்கள். தரவுகளை மாதாந்திரமாக ஏற்பாடு செய்து, கண்காணிப்புகளின் எண்ணிக்கையைக் கண்டறியவும்.

3. தரவுகளின் வகைப்பாடு

ஒரு வகைப்பாட்டின் குழுக்கள் அல்லது வகுப்புகள் பல்வேறு வழிகளில் செய்யப்படுகின்றன. உங்கள் புத்தகங்களை பாடங்களின் அடிப்படையில் - “வரலாறு”, “புவியியல்”, “கணிதம்”, “அறிவியல்” போன்றவை - வகைப்படுத்துவதற்குப் பதிலாக, நீங்கள் அவற்றை ஆசிரியர் வாரியாக அகர வரிசையில் வகைப்படுத்தியிருக்கலாம். அல்லது, அவற்றை வெளியீட்டு ஆண்டின் அடிப்படையிலும் வகைப்படுத்தியிருக்கலாம். நீங்கள் அவற்றை எவ்வாறு வகைப்படுத்த விரும்புகிறீர்கள் என்பது உங்கள் தேவையைப் பொறுத்தது.

அதேபோல மூல தரவு நோக்கத்தைப் பொறுத்து பல்வேறு வழிகளில் வகைப்படுத்தப்படுகிறது. அவை நேரத்தின் அடிப்படையில் தொகுக்கப்படலாம். இத்தகைய வகைப்பாடு காலவரிசை வகைப்பாடு என அழைக்கப்படுகிறது. இத்தகைய வகைப்பாட்டில், தரவுகள் ஆண்டுகள், காலாண்டுகள், மாதங்கள், வாரங்கள் போன்ற நேரத்தைக் குறிப்பிடும் ஏறுவரிசை அல்லது இறங்கு வரிசையில் வகைப்படுத்தப்படுகின்றன. பின்வரும் எடுத்துக்காட்டு இந்தியாவின் மக்கள் தொகையை ஆண்டுகளின் அடிப்படையில் வகைப்படுத்தப்பட்டதைக் காட்டுகிறது. ‘மக்கள் தொகை’ என்ற மாறி ஒரு காலத் தொடர் ஆகும், ஏனெனில் இது வெவ்வேறு ஆண்டுகளுக்கான மதிப்புகளின் தொடரை சித்தரிக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டு 1

இந்தியாவின் மக்கள் தொகை (கோடிகளில்)

இடவியல் வகைப்பாட்டில், தரவுகள் நாடுகள், மாநிலங்கள், நகரங்கள், மாவட்டங்கள் போன்ற புவியியல் இடங்களைக் குறிப்பிட்டு வகைப்படுத்தப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு 2 வெவ்வேறு நாடுகளில் கோதுமை விளைச்சலைக் காட்டுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 2

வெவ்வேறு நாடுகளுக்கான கோதுமை விளைச்சல் (2013)

மூலம்: இந்திய விவசாய புள்ளிவிவரங்கள் ஒரு பார்வையில், 2015

செயல்பாடுகள்

• எடுத்துக்காட்டு 1 இல், இந்தியாவின் மக்கள் தொகை குறைந்தபட்சமாகவும் அதிகபட்சமாகவும் இருந்த ஆண்டுகளைக் கண்டறியவும்.
• எடுத்துக்காட்டு 2 இல், இந்தியாவை விட சற்று அதிகமான கோதுமை விளைச்சலைக் கொண்ட நாட்டைக் கண்டறியவும். அது சதவீத அடிப்படையில் எவ்வளவு இருக்கும்?
• எடுத்துக்காட்டு 2 இல் உள்ள நாடுகளை விளைச்சலின் ஏறுவரிசையில் வரிசைப்படுத்தவும். விளைச்சலின் இறங்கு வரிசைக்கும் அதே பயிற்சியைச் செய்யவும்.

சில நேரங்களில் அளவிட முடியாத பண்புகளை நீங்கள் சந்திக்கிறீர்கள். இத்தகைய பண்புகள் பண்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, தேசியம், கல்வியறிவு, மதம், பாலினம், திருமண நிலை போன்றவை. அவை அளவிட முடியாதவை. இருப்பினும் இந்த பண்புகள் ஒரு தரமான பண்பின் இருப்பு அல்லது இல்லாமையின் அடிப்படையில் வகைப்படுத்தப்படலாம். பண்புகளின் அடிப்படையில் தரவுகளின் இத்தகைய வகைப்பாடு தரமான வகைப்பாடு என அழைக்கப்படுகிறது. பின்வரும் எடுத்துக்காட்டில், ஒரு நாட்டின் மக்கள் தொகை “பாலினம்” என்ற தரமான மாறியின் அடிப்படையில் தொகுக்கப்பட்டுள்ளதைக் காண்கிறோம். ஒரு கண்காணிப்பு ஆணாகவோ அல்லது பெண்ணாகவோ இருக்கலாம். இந்த இரண்டு பண்புகளையும் திருமண நிலையின் அடிப்படையில் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளபடி மேலும் வகைப்படுத்தலாம்:

எடுத்துக்காட்டு 3

முதல் கட்ட வகைப்பாடு ஒரு பண்பின் இருப்பு மற்றும் இல்லாமையின் அடிப்படையில் உள்ளது, அதாவது ஆண் அல்லது ஆண் அல்லாதவர் (பெண்). இரண்டாம் கட்டத்தில், ஒவ்வொரு வகுப்பும் - ஆண் மற்றும் பெண், மற்றொரு பண்பின் இருப்பு அல்லது இல்லாமையின் அடிப்படையில் மேலும் உட்பிரிவுகளாகப் பிரிக்கப்படுகின்றன, அதாவது திருமணமானவரா அல்லது திருமணமாகாதவரா. உயரம், எடை, வயது, வருமானம், மாணவர்களின் மதிப்பெண்கள் போன்ற பண்புகள் அளவீட்டு தன்மை கொண்டவை. இத்தகைய பண்புகளின் சேகரிக்கப்பட்ட தரவுகள் வகுப்புகளாக தொகுக்கப்படும்போது, அது அளவீட்டு வகைப்பாடு ஆகிறது.

செயல்பாடு

• சுற்றியுள்ள பொருள்களை உயிருடன் அல்லது உயிரற்றவை என வகைப்படுத்தலாம். இது ஒரு அளவீட்டு வகைப்பாடா?

எடுத்துக்காட்டு 4

100 மாணவர்களின் கணித மதிப்பெண்களின் அதிர்வெண் பரவல்

எடுத்துக்காட்டு 4 அட்டவணை 3.1 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ள 100 மாணவர்களின் கணித மதிப்பெண்களின் அளவீட்டு வகைப்பாட்டைக் காட்டுகிறது.

செயல்பாடு

• எடுத்துக்காட்டு 4 இன் அதிர்வெண் மதிப்புகளை மொத்த அதிர்வெண்ணின் விகிதம் அல்லது சதவீதமாக வெளிப்படுத்தவும். இந்த வழியில் வெளிப்படுத்தப்படும் அதிர்வெண் சார்பு அதிர்வெண் என அறியப்படுகிறது என்பதைக் கவனிக்கவும்.
• எடுத்துக்காட்டு 4 இல், எந்த வகுப்பில் தரவுகளின் அதிகபட்ச செறிவு உள்ளது? அதை மொத்த கண்காணிப்புகளின் சதவீதமாக வெளிப்படுத்தவும். எந்த வகுப்பில் குறைந்தபட்ச செறிவு தரவு உள்ளது?

4. மாறிகள்: தொடர்ச்சியான மற்றும் தனித்த

மாறி பற்றிய ஒரு எளிய வரையறை, நீங்கள் கடந்த அத்தியாயத்தில் படித்தது, அது எவ்வாறு மாறுபடுகிறது என்பதை உங்களுக்குச் சொல்லாது. மாறிகள் குறிப்பிட்ட அளவுகோல்களின் அடிப்படையில் வேறுபடுகின்றன. அவை பரந்த அளவில் இரண்டு வகைகளாக வகைப்படுத்தப்பட்டுள்ளன:

(i) தொடர்ச்சியான மற்றும் இடைவிடாத

(ii) தனித்த கணிதம்.

ஒரு தொடர்ச்சியான மாறி எந்த எண் மதிப்பையும் எடுக்கலாம். இது முழு எண் மதிப்புகள் $(1,2,3,4, \ldots)$, பின்ன மதிப்புகள் $(1 / 2,2 / 3,3 / 4, \ldots)$ மற்றும் சரியான பின்னங்கள் அல்லாத மதிப்புகளை ($(\sqrt{2}=1.414$, $\sqrt{3}=1.732, \ldots, \sqrt{7}=2.645$) எடுக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு மாணவரின் உயரம், அவர்/அவள் $90 \mathrm{~cm}$ இலிருந்து $150 \mathrm{~cm}$ வரை வளரும் போது, அவற்றுக்கிடையேயான அனைத்து மதிப்புகளையும் எடுக்கும். $90 \mathrm{~cm}, 100 \mathrm{~cm}, 108 \mathrm{~cm}, 150 \mathrm{~cm}$ போன்ற முழு எண்களாக இருக்கும் மதிப்புகளை எடுக்கலாம். 90.85 $\mathrm{cm}, 102.34 \mathrm{~cm}, 149.99 \mathrm{~cm}$ போன்ற முழு எண்கள் அல்லாத பின்ன மதிப்புகளையும் எடுக்கலாம். இவ்வாறு “உயரம்” என்ற மாறி ஒவ்வொரு கருதக்கூடிய மதிப்பையும் வெளிப்படுத்தும் திறன் கொண்டது மற்றும் அதன் மதிப்புகளும் எண்ணற்ற படிகளாக உடைக்கப்படலாம். தொடர்ச்சியான மாறியின் பிற எடுத்துக்காட்டுகள் எடை, நேரம், தூரம் போன்றவை.

ஒரு தொடர்ச்சியான மாறியைப் போலல்லாமல், ஒரு தனித்த மாறி சில மதிப்புகளை மட்டுமே எடுக்க முடியும். அதன் மதிப்பு வரையறுக்கப்பட்ட “தாவல்களால்” மட்டுமே மாறுகிறது. இது ஒரு மதிப்பிலிருந்து மற்றொரு மதிப்புக்கு “தாவுகிறது” ஆனால் அவற்றுக்கிடையேயான இடைநிலை மதிப்பை எடுக்காது. எடுத்துக்காட்டாக, “ஒரு வகுப்பில் உள்ள மாணவர்களின் எண்ணிக்கை” போன்ற ஒரு மாறி, வெவ்வேறு வகுப்புகளுக்கு, முழு எண்களாக இருக்கும் மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்கும். இது 0.5 போன்ற பின்ன மதிப்பை எடுக்க முடியாது, ஏனெனில் “ஒரு மாணவரின் பாதி” என்பது அபத்தமானது. எனவே இது 25 மற்றும் 26 க்கு இடையே 25.5 போன்ற மதிப்பை எடுக்க முடியாது. அதற்கு பதிலாக அதன் மதிப்பு 25 அல்லது 26 ஆக இருக்கலாம். நாம் கவனிப்பது என்னவென்றால், அதன் மதிப்பு 25 இலிருந்து 26 ஆக மாறும்போது, அவற்றுக்கிடையேயான மதிப்புகள் - பின்னங்கள் அதன் மூலம் எடுக்கப்படவில்லை. ஆனால் ஒரு தனித்த மாறி எந்த பின்ன மதிப்பையும் எடுக்க முடியாது என்ற எண்ணம் நமக்கு இருக்கக்கூடாது. $X$ என்பது $1 / 8,1$ / $16,1 / 32,1 / 64, \ldots$ போன்ற மதிப்புகளை எடுக்கும் ஒரு மாறி என்று வைத்துக்கொள்வோம். இது ஒரு தனித்த மாறியா? ஆம், ஏனெனில் $\mathrm{X}$ பின்ன மதிப்புகளை எடுத்தாலும், அது இரண்டு அடுத்தடுத்த பின்ன மதிப்புகளுக்கு இடையே எந்த மதிப்பையும் எடுக்க முடியாது. இது $1 /$ 8 இலிருந்து $1 / 16$ ஆகவும், $1 / 16$ இலிருந்து $1 / 32$ ஆகவும் மாறுகிறது அல்லது “தாவுகிறது”. ஆனால் இது $1 / 8$ மற்றும் $1 / 16$ க்கு இடையில் அல்லது $1 / 16$ மற்றும் $1 / 32$ க்கு இடையில் உள்ள மதிப்பை எடுக்க முடியாது.

செயல்பாடு

• பின்வரும் மாறிகளை தொடர்ச்சியான மற்றும் தனித்தவை என வேறுபடுத்துக: பரப்பளவு, கன அளவு, வெப்பநிலை, பகடையில் தோன்றும் எண், பயிர் விளைச்சல், மக்கள் தொகை, மழைப்பொழிவு, சாலையில் உள்ள கார்களின் எண்ணிக்கை மற்றும் வயது.

எடுத்துக்காட்டு 4, 100 மாணவர்களின் மதிப்பெண்கள் எவ்வாறு வகுப்புகளாக தொகுக்கப்படுகின்றன என்பதைக் காட்டுகிறது. அட்டவணை 3.1 இன் மூல தரவிலிருந்து அதை எப்பட