• ప్రాచీన మరియు ఆధునిక అధ్యయనాల మధ్య సంఘర్షణ ఉన్న ఈ రోజుల్లో; పైథాగరస్తో ప్రారంభం కాకుండా ఐన్స్టీన్తో ముగియని, కానీ అత్యంత పురాతనమైన మరియు క్రొత్తదైన అధ్యయనం కోసం ఖచ్చితంగా ఏదో చెప్పాలి. - జి.హెచ్. హార్డీ

1.1 పరిచయం

సమితి భావన నేటి గణితశాస్త్రానికి ఒక ప్రాథమిక భాగంగా ఉపయోగపడుతుంది. ఈ రోజు ఈ భావన గణితశాస్త్రం యొక్క ప్రతి శాఖలోనూ ఉపయోగించబడుతోంది. సంబంధాలు మరియు ఫలనాల భావనలను నిర్వచించడానికి సమితులు ఉపయోగించబడతాయి. జ్యామితి, అనుక్రమాలు, సంభావ్యత మొదలైన వాటి అధ్యయనానికి సమితుల జ్ఞానం అవసరం.

జార్జ్ కాంటర్ (1845-1918 A.D.)

సమితి సిద్ధాంతం జర్మన్ గణిత శాస్త్రవేత్త జార్జ్ కాంటర్ (1845-1918) చేత అభివృద్ధి చేయబడింది. “త్రికోణమితీయ శ్రేణులపై సమస్యలు” పై పని చేస్తున్నప్పుడు అతను మొదటిసారిగా సమితులను ఎదుర్కొన్నాడు. ఈ అధ్యాయంలో, మనం సమితులతో సంబంధించిన కొన్ని ప్రాథమిక నిర్వచనాలు మరియు క్రియలను చర్చిస్తాము.

1.2 సమితులు మరియు వాటి నిరూపణలు

నిత్యజీవితంలో, మనం తరచుగా ఒక నిర్దిష్ట రకమైన వస్తువుల సమాహారాల గురించి మాట్లాడతాము, ఉదాహరణకు, పేకముక్కల ప్యాక్, ప్రజల గుంపు, క్రికెట్ జట్టు మొదలైనవి. గణితంలో కూడా, మనం సమాహారాలను ఎదుర్కొంటాము, ఉదాహరణకు, సహజ సంఖ్యలు, బిందువులు, ప్రధాన సంఖ్యలు మొదలైనవి. మరింత ప్రత్యేకంగా, మనం ఈ క్రింది సమాహారాలను పరిశీలిస్తాము:

(i) 10 కన్నా తక్కువ ఉన్న బేసి సహజ సంఖ్యలు, అనగా, 1, 3, 5, 7, 9

(ii) భారతదేశంలోని నదులు

(iii) ఆంగ్ల వర్ణమాలలోని స్వరాలు, అనగా, $a, e, i, o, u$

(iv) వివిధ రకాల త్రిభుజాలు

(v) 210 యొక్క ప్రధాన కారణాంకాలు, అనగా, 2,3,5 మరియు 7

(vi) సమీకరణం యొక్క సాధన: $x^{2}-5 x+6=0$, అనగా, 2 మరియు 3 .

పైన ఇచ్చిన ప్రతి ఉదాహరణ ఒక స్పష్టంగా నిర్వచించబడిన వస్తువుల సమాహారం అని మనం గమనించాము ఎందుకంటే ఇచ్చిన సమాహారానికి ఒక నిర్దిష్ట వస్తువు చెందుతుందో లేదో మనం ఖచ్చితంగా నిర్ణయించగలం. ఉదాహరణకు, నైల్ నది భారతదేశంలోని నదుల సమాహారానికి చెందదు అని మనం చెప్పగలం. మరోవైపు, గంగా నది ఈ సమాహారానికి చెందుతుంది.

మనం గణితంలో ప్రత్యేకంగా ఉపయోగించే సమితుల యొక్క మరికొన్ని ఉదాహరణలను క్రింద ఇస్తున్నాము, అనగా.

$\mathbf{N}$ : అన్ని సహజ సంఖ్యల సమితి

$\mathbf{Z}$ : అన్ని పూర్ణాంకాల సమితి

$\mathbf{Q}$ : అన్ని అకరణీయ సంఖ్యల సమితి

$\mathbf{R}$ : వాస్తవ సంఖ్యల సమితి

$\mathbf{Z^{+}} $: ధన పూర్ణాంకాల సమితి

$\mathbf{Q^{+}} $: ధన అకరణీయ సంఖ్యల సమితి, మరియు

$\mathbf{R^{+}} $: ధన వాస్తవ సంఖ్యల సమితి.

పైన ఇచ్చిన ప్రత్యేక సమితుల చిహ్నాలు ఈ పాఠ్యపుస్తకం అంతటా సూచించబడతాయి.

మళ్ళీ, ప్రపంచంలోని అత్యంత ప్రసిద్ధి చెందిన ఐదుగురు గణిత శాస్త్రవేత్తల సమాహారం స్పష్టంగా నిర్వచించబడలేదు, ఎందుకంటే ఒక గణిత శాస్త్రవేత్తను అత్యంత ప్రసిద్ధిగా నిర్ణయించే ప్రమాణం వ్యక్తి నుండి వ్యక్తికి మారవచ్చు. అందువలన, ఇది స్పష్టంగా నిర్వచించబడిన సమాహారం కాదు.

సమితి అనేది వస్తువుల యొక్క స్పష్టంగా నిర్వచించబడిన సమాహారం అని మనం చెప్తాము.

క్రింది విషయాలు గమనించవచ్చు:

(i) వస్తువులు, మూలకాలు మరియు సమితి సభ్యులు సమానార్థక పదాలు.

(ii) సమితులు సాధారణంగా పెద్ద అక్షరాలు A, B, C, X, Y, Z మొదలైనవాటితో సూచించబడతాయి.

(iii) సమితి యొక్క మూలకాలు చిన్న అక్షరాలు $a, b, c, x, y, z$ మొదలైనవాటితో సూచించబడతాయి.

$a$ సమితి A యొక్క ఒక మూలకం అయితే, " $a$ Aకి చెందుతుంది" అని మనం చెప్తాము. ‘చెందుతుంది’ అనే పదబంధాన్ని సూచించడానికి గ్రీక్ చిహ్నం $\in$ (ఎప్సిలాన్) ఉపయోగించబడుతుంది. అందువలన, మనం $a \in A$ అని వ్రాస్తాము. ’ $b$ ’ సమితి $A$ యొక్క మూలకం కాకపోతే, మనం $b \notin A$ అని వ్రాసి " $b$ Aకి చెందదు" అని చదువుతాము.

అందువలన, ఆంగ్ల వర్ణమాలలోని స్వరాల సమితి $V$లో, $a \in V$ కానీ $b \notin V$. $P$ యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల సమితి $30,3 \in P$లో, కానీ $15 \notin P$.

సమితిని నిరూపించడానికి రెండు పద్ధతులు ఉన్నాయి:

(i) రోస్టర్ లేదా పట్టిక రూపం

(ii) సమితి-నిర్మాత రూపం.

(i) రోస్టర్ రూపంలో, ఒక సమితి యొక్క అన్ని మూలకాలు జాబితా చేయబడతాయి, మూలకాలు కామాలతో వేరు చేయబడి మరియు కర్లీ బ్రేస్లు { } లోపల మూసివేయబడతాయి. ఉదాహరణకు, 7 కన్నా తక్కువ ఉన్న అన్ని సరి ధన పూర్ణాంకాల సమితి రోస్టర్ రూపంలో $\{2,4,6\}$గా వివరించబడింది. రోస్టర్ రూపంలో సమితిని నిరూపించడానికి మరికొన్ని ఉదాహరణలు క్రింద ఇవ్వబడ్డాయి:

(a) 42 ని భాగించే అన్ని సహజ సంఖ్యల సమితి $\{1,2,3,6,7,14,21,42\}$.

గమనిక - రోస్టర్ రూపంలో, మూలకాలు జాబితా చేయబడిన క్రమం అప్రధానమైనది. అందువలన, పై సమితిని $\{1,3,7,21,2,6,14,42\}$గా కూడా సూచించవచ్చు.

(b) ఆంగ్ల వర్ణమాలలోని అన్ని స్వరాల సమితి $\{a, e, i, o, u\}$.

(c) బేసి సహజ సంఖ్యల సమితి $\{1,3,5, \ldots\}$చే సూచించబడుతుంది. చుక్కలు బేసి సంఖ్యల జాబితా అనిశ్చితంగా కొనసాగుతుందని మనకు తెలియజేస్తాయి.

గమనిక - రోస్టర్ రూపంలో సమితిని వ్రాస్తున్నప్పుడు ఒక మూలకం సాధారణంగా పునరావృతం కాదు, అనగా, అన్ని మూలకాలు విభిన్నంగా తీసుకోబడతాయి. ఉదాహరణకు, ‘SCHOOL’ అనే పదాన్ని ఏర్పరుచుకునే అక్షరాల సమితి $\{S, C, H, O, L\}$ లేదా $\{H, O, L, C, S\}$. ఇక్కడ, మూలకాలను జాబితా చేసే క్రమానికి ఎటువంటి ప్రాధాన్యత లేదు.

(ii) సమితి-నిర్మాత రూపంలో, ఒక సమితి యొక్క అన్ని మూలకాలు ఒకే ఒక సాధారణ లక్షణాన్ని కలిగి ఉంటాయి, ఇది సమితి వెలుపల ఉన్న ఏ మూలకం ద్వారా కూడా కలిగి ఉండదు. ఉదాహరణకు, సమితి $\{a, e, i, o, u\}$లో, అన్ని మూలకాలు ఒక సాధారణ లక్షణాన్ని కలిగి ఉంటాయి, అనగా, వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి ఆంగ్ల వర్ణమాలలోని స్వరం, మరియు ఈ లక్షణాన్ని ఏ ఇతర అక్షరం కూడా కలిగి ఉండదు. ఈ సమితిని $V$తో సూచిస్తూ, మనం వ్రాస్తాము

$V=\{x: x$ ఆంగ్ల వర్ణమాలలోని స్వరం $\}$

సమితి యొక్క మూలకాన్ని మనం ఒక చిహ్నం $x$ (అక్షరాలు $y, z$ మొదలైన ఏ ఇతర చిహ్నం కూడా ఉపయోగించబడవచ్చు) ఉపయోగించి వివరిస్తామని గమనించవచ్చు, ఇది కోలన్ " : " తో అనుసరించబడుతుంది. కోలన్ గుర్తు తర్వాత, మనం సమితి యొక్క మూలకాలు కలిగి ఉన్న లక్షణ లక్షణాన్ని వ్రాసి, ఆపై మొత్తం వివరణను కర్లీ బ్రేస్లలో మూసివేస్తాము. సమితి $V$ యొక్క పై వివరణ “అన్ని $x$ల సమితి అంటే $x$ ఆంగ్ల వర్ణమాలలోని స్వరం” అని చదువబడుతుంది. ఈ వివరణలో కర్లీ బ్రేస్లు “అన్నిటి సమితి” కోసం నిలుస్తాయి, కోలన్ “అంటే” కోసం నిలుస్తుంది. ఉదాహరణకు, సమితి

$A=\{x: x$ ఒక సహజ సంఖ్య మరియు $3<x<10\}$ “అన్ని $x$ల సమితి అంటే $x$ ఒక సహజ సంఖ్య మరియు $x$ 3 మరియు 10 మధ్య ఉంటుంది” అని చదువబడుతుంది. అందువలన, సంఖ్యలు 4, 5, 6, 7,8 మరియు 9 సమితి $A$ యొక్క మూలకాలు.

మనం పైన $(a),(b)$ మరియు $(c)$లో వివరించిన సమితులను రోస్టర్ రూపంలో $A, B$, $C$ ద్వారా వరుసగా సూచిస్తే, అప్పుడు $A, B, C$ను సమితి-నిర్మాత రూపంలో క్రింది విధంగా కూడా సూచించవచ్చు:

$A=\{x: x$ 42 ని భాగించే సహజ సంఖ్య $\}$

$B=\{y: y$ ఆంగ్ల వర్ణమాలలోని స్వరం $\}$

$C=\{z: z$ బేసి సహజ సంఖ్య $\}$

ఉదాహరణ 1 సమీకరణం $x^{2}+x-2=0$ యొక్క సాధన సమితిని రోస్టర్ రూపంలో వ్రాయండి.

సాధన ఇచ్చిన సమీకరణాన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు

$$ (x-1)(x+2)=0 \text {, i. e., } x=1,-2 $$

అందువలన, ఇచ్చిన సమీకరణం యొక్క సాధన సమితిని రోస్టర్ రూపంలో $\{1,-2\}$గా వ్రాయవచ్చు.

ఉదాహరణ 2 సమితి $\{x: x$ ఒక ధన పూర్ణాంకం మరియు $x^{2}<40\}$ని రోస్టర్ రూపంలో వ్రాయండి.

సాధన అవసరమైన సంఖ్యలు $1,2,3,4,5,6$. కాబట్టి, ఇచ్చిన సమితి రోస్టర్ రూపంలో $\{1,2,3,4,5,6\}$.

ఉదాహరణ 3 సమితి $A=\{1,4,9,16,25, \ldots\}$ని సమితి-నిర్మాత రూపంలో వ్రాయండి.

సాధన మనం సమితి Aని ఇలా వ్రాయవచ్చు

$$ A=\{x: x \text { is the square of a natural number }\} $$

ప్రత్యామ్నాయంగా, మనం వ్రాయవచ్చు

$$ A=\{x: x=n^{2}, \text { where } n \in \mathbf{N}\} $$

ఉదాహరణ 4 సమితి $\{\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \frac{6}{7}\}$ని సమితి-నిర్మాత రూపంలో వ్రాయండి.

సాధన ఇచ్చిన సమితిలోని ప్రతి సభ్యుడికి లవం హారం కంటే ఒకటి తక్కువగా ఉందని మనం చూస్తాము. అలాగే, లవం 1 నుండి ప్రారంభమవుతుంది మరియు 6ని మించదు. అందువలన, సమితి-నిర్మాత రూపంలో ఇచ్చిన సమితి

$$ \{ x: x=\frac{n}{n+1}, \text { where } n \text { is a natural number and } 1 \leq n \leq 6 \} $$

ఉదాహరణ 5 రోస్టర్ రూపంలో వివరించబడిన ఎడమవైపు ఉన్న ప్రతి సమితిని సమితి-నిర్మాత రూపంలో వివరించబడిన అదే సమితితో జతచేయండి:

$$ \begin{array}{ll} (i) \hspace{2 mm} \{P, R, I, N, C, A, L\} & (a) \hspace{2 mm} \{x: x \text{ is a positive integer and is a divisor of 18 } \} \\ (ii) \hspace{2 mm}\{0\} & (b)\hspace{2 mm} \{x: x \text{ is an integer and } x^{2}-9=0\} \\ (iii)\hspace{2 mm} \{1,2,3,6,9,18\} & (c)\hspace{2 mm} \{x: x \text { is a letter of the word PRINCIPAL }\} \\ (iv)\hspace{2 mm} \{{3,-3\}} & (d) \hspace{2 mm} \{x: x \text{ is an integer and } x+1=1\} \end{array} $$

సాధన (d)లో, PRINCIPAL అనే పదంలో 9 అక్షరాలు ఉన్నాయి మరియు P మరియు I అక్షరాలు రెండుసార్లు పునరావృతం కాబట్టి, (i) (d)తో జతకావడం జరిగింది. అదేవిధంగా, $x+1=1$ అంటే $x=0$ కాబట్టి (ii) (c)తో జతకావడం జరిగింది. అలాగే, 1, 2 ,3, 6, 9, 18 అన్నీ 18 యొక్క భాజకాలు కాబట్టి (iii) (a)తో జతకావడం జరిగింది. చివరగా, $x^{2}-9=0$ అంటే $x=3,-3$ కాబట్టి (iv) (b)తో జతకావడం జరిగింది.

1.3 ఖాళీ సమితి

సమితిని పరిగణించండి

$A=\{x: x$ ప్రస్తుతం ఒక పాఠశాలలో XI తరగతిలో చదువుతున్న విద్యార్థి $\}$

మనం పాఠశాలకు వెళ్లి ప్రస్తుతం ఆ పాఠశాలలో XI తరగతిలో చదువుతున్న విద్యార్థుల సంఖ్యను లెక్కించవచ్చు. అందువలన, సమితి A పరిమిత సంఖ్యలో మూలకాలను కలిగి ఉంటుంది.

మనం ఇప్పుడు మరొక సమితి $B$ను ఈ క్రింది విధంగా వ్రాస్తాము:

$B = \{x: x$ ప్రస్తుతం X మరియు XI తరగతుల రెండింటిలోనూ చదువుతున్న విద్యార్థి $\}$

ఒక విద్యార్థి ఏకకాలంలో X మరియు XI తరగతుల రెండింటిలోనూ చదువలేడని మనం గమనించాము. అందువలన, సమితి Bలో ఎటువంటి మూలకం లేదు.

నిర్వచనం 1 ఏ మూలకాన్ని కలిగి ఉండని సమితిని ఖాళీ సమితి లేదా శూన్య సమితి లేదా రిక్త సమితి అంటారు.

ఈ నిర్వచనం ప్రకారం, B ఒక ఖాళీ సమితి అయితే A ఖాళీ సమితి కాదు. ఖాళీ సమితిని చిహ్నం $\phi$ లేదా { } ద్వారా సూచిస్తారు.

మనం ఖాళీ సమితుల యొక్క కొన్ని ఉదాహరణలను క్రింద ఇస్తున్నాము.

(i) $A=\{x: 1<x<2, x$ ఒక సహజ సంఖ్య $\}$ అనుకుందాం. అప్పుడు A ఖాళీ సమితి, ఎందుకంటే 1 మరియు 2 మధ్య ఎటువంటి సహజ సంఖ్య లేదు.

(ii) $B=\{x: x^{2}-2=0$ మరియు $x$ అకరణీయ సంఖ్య $\}$ అనుకుందాం. అప్పుడు $B$ ఖాళీ సమితి, ఎందుకంటే సమీకరణం $x^{2}-2=0$ $x$ యొక్క ఏ అకరణీయ విలువ ద్వారా సంతృప్తి చెందదు.

(iii) $C =$ $\{x: x$ 2 కంటే ఎక్కువ ఉన్న సరి ప్రధాన సంఖ్య $\}$ అనుకుందాం. అప్పుడు $C$ ఖాళీ సమితి, ఎందుకంటే 2 మాత్రమే సరి ప్రధాన సంఖ్య.

(iv) $D=\{x: x^{2}=4, x.$ బేసి $\}$ అనుకుందాం. అప్పుడు $D$ ఖాళీ సమితి, ఎందుకంటే సమీకరణం $x^{2}=4$ $x$ యొక్క ఏ బేసి విలువ ద్వారా సంతృప్తి చెందదు.

1.4 పరిమిత మరియు అపరిమిత సమితులు

$\quad A=\{1,2,3,4,5\}, \quad B=\{a, b, c, d, e, g\}$ మరియు $\quad C=\{$ ప్రస్తుతం ప్రపంచంలోని వివిధ ప్రాంతాలలో నివసిస్తున్న పురుషులు $\}$

A 5 మూలకాలను మరియు B 6 మూలకాలను కలిగి ఉందని మనం గమనించాము. $C$ ఎన్ని మూలకాలను కలిగి ఉంది? ఇప్పటికే, $C$లో ఎన్ని మూలకాలు ఉన్నాయో మనకు తెలియదు, కానీ అది చాలా పెద్ద సంఖ్య కావచ్చు. సమితి $S$ యొక్క మూలకాల సంఖ్య ద్వారా, మనం సమితి యొక్క విభిన్న మూలకాల సంఖ్యను అర్థం చేసుకుంటాము మరియు దానిని $n$ (S) ద్వారా సూచిస్తాము. $n$ (S) ఒక సహజ సంఖ్య అయితే, అప్పుడు $S$ ఖాళీ కాని పరిమిత సమితి.

సహజ సంఖ్యల సమితిని పరిగణించండి. ఈ సమితి యొక్క మూలకాల సంఖ్య పరిమితం కాదు ఎందుకంటే అపరిమిత సంఖ్యలో సహజ సంఖ్యలు ఉన్నాయి. సహజ సంఖ్యల సమితి ఒక అపరిమిత సమితి అని మనం చెప్తాము. పైన ఇచ్చిన A, B మరియు C సమితులు పరిమిత సమితులు మరియు $n(A)=5, n(B)=6$ మరియు $n(C)=$ కొంత పరిమిత సంఖ్య.

నిర్వచనం 2 ఖాళీగా ఉండే లేదా నిర్దిష్ట సంఖ్యలో మూలకాలను కలిగి ఉండే సమితిని పరిమిత సమితి అంటారు, లేకపోతే, సమితిని అపరిమిత సమితి అంటారు.

కొన్ని ఉదాహరణలను పరిగణించండి:

(i) $W$ వారం రోజుల సమితి అనుకుందాం. అప్పుడు $W$ పరిమితం.

(ii) $S$ సమీకరణం $x^{2}-16=0$ యొక్క సాధనల సమితి అనుకుందాం. అప్పుడు $S$ పరిమితం.

(iii) $G$ ఒక రేఖపై ఉన్న బిందువుల సమితి అనుకుందాం. అప్పుడు $G$ అపరిమితం.

మనం ఒక సమితిని రోస్టర్ రూపంలో సూచించినప్పుడు, సమితి యొక్క అన్ని మూలకాలను కర్లీ బ్రేస్లలో { } వ్రాస్తాము. అపరిమిత సమితి యొక్క అన్ని మూలకాలను కర్లీ బ్రేస్లలో { } వ్రాయడం సాధ్యం కాదు ఎందుకంటే అటువంటి సమితి యొక్క మూలకాల సంఖ్య పరిమితం కాదు. కాబట్టి, మనం సూచిస్తాము కొన్ని అపరిమిత సమితిని రోస్టర్ రూపంలో సమితి యొక్క నిర్మాణాన్ని స్పష్టంగా సూచించే కొన్ని మూలకాలను వ్రాసి, ఆపై (లేదా ముందు) మూడు చుక్కలను ఉంచడం ద్వారా.

ఉదాహరణకు, $\{1,2,3 \ldots\}$ సహజ సంఖ్యల సమితి, $\{1,3,5,7, \ldots\}$ బేసి సహజ సంఖ్యల సమితి, $\{ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots\}$ పూర్ణాంకాల సమితి. ఈ సమితులన్నీ అపరిమితమైనవి.

గమనిక - అన్ని అపరిమిత సమితులను రోస్టర్ రూపంలో వివరించలేము. ఉదాహరణకు, వాస్తవ సంఖ్యల సమితిని ఈ రూపంలో వివరించలేము, ఎందుకంటే ఈ సమితి యొక్క మూలకాలు ఏ నిర్దిష్ట నమూనాను అనుసరించవు.

ఉదాహరణ 6 క్రింది సమితులలో ఏవి పరిమితం లేదా అపరిమితం అని తెలపండి:

(i) $\{x: x \in N$ మరియు $(x-1)(x-2)=0\}$

(ii) $\{x: x \in N.$ మరియు $.x^{2}=4\}$

(iii) $\{x: x \in N$ మరియు $2 x-1=0\}$

(iv) $\quad\{x: x \in N$ మరియు $x$ ప్రధాన సంఖ్య $\}$

(v) $\{x: x \in N$ మరియు $x$ బేసి $\}$

సాధన (i) ఇచ్చిన సమితి $=\{1,2\}$. అందువలన, ఇది పరిమితం.

(ii) ఇచ్చిన సమితి $=\{2\}$. అందువలన, ఇది పరిమితం.

(iii) ఇచ్చిన సమితి $=\phi$. అందువలన, ఇది పరిమితం.

(iv) ఇచ్చిన సమితి అన్ని ప్రధాన సంఖ్యల సమితి మరియు ప్రధాన సంఖ్యల సమితి అపరిమితం కాబట్టి. అందువలన ఇచ్చిన సమితి అపరిమితం

(v) అపరిమిత సంఖ్యలో బేసి సంఖ్యలు ఉన్నందున, ఇచ్చిన సమితి అపరిమితం.

1.5 సమాన సమితులు

రెండు సమితులు A మరియు B ఇచ్చినట్లయితే, A యొక్క ప్రతి మూలకం B యొక్క కూడా మూలకం అయితే మరియు B యొక్క ప్రతి మూలకం A యొక్క కూడా మూలకం అయితే, A మరియు B సమితులు సమానం అని చెప్పబడతాయి. స్పష్టంగా, రెండు సమితులు సరిగ్గా ఒకే మూలకాలను కలిగి ఉంటాయి.

నిర్వచనం 3 రెండు సమితులు A మరియు B సరిగ్గా ఒకే మూలకాలను కలిగి ఉంటే వాటిని సమానం అంటారు మరియు మనం $A=B$ అని వ్రాస్తాము. లేకపోతే, సమితులు అసమానం అని చెప్పబడతాయి మరియు మనం $A \neq B$ అని వ్ర