గణితశాస్త్రం అన్ని శాస్త్రాలకు రాణి మరియు సేవకురాలు - ఇ.టి. బెల్

11.1 పరిచయం

సమతలంలో ఒక బిందువు యొక్క స్థానాన్ని గుర్తించడానికి, ఆ సమతలంలో రెండు ఖండించుకునే పరస్పర లంబ రేఖలు అవసరమని మీరు గుర్తుకు తెచ్చుకోవచ్చు. ఈ రేఖలను నిరూపక అక్షాలు అని మరియు ఆ రెండు సంఖ్యలను ఆ అక్షాలకు సంబంధించి బిందువు యొక్క నిరూపకాలు అని అంటారు. వాస్తవ జీవితంలో, మనం సమతలంలో మాత్రమే ఉన్న బిందువులతో మాత్రమే వ్యవహరించాల్సిన అవసరం లేదు. ఉదాహరణకు, అంతరాళంలో వివిధ కాల బిందువుల వద్ద విసిరిన బంతి యొక్క స్థానం లేదా విమానం దాని ప్రయాణ సమయంలో వివిధ సమయాల్లో ఒక ప్రదేశం నుండి మరొక ప్రదేశానికి ఎగిరినప్పుడు దాని స్థానాన్ని పరిగణించండి.

అదేవిధంగా, గది పైకప్పు నుండి వేలాడుతున్న విద్యుత్ బల్బ్ యొక్క అత్యంత దిగువ కొన స్థానాన్ని లేదా గదిలోని పైకప్పు ఫ్యాన్ యొక్క మధ్య కొన స్థానాన్ని గుర్తించాల్సి వస్తే, మనం గుర్తించాల్సిన బిందువు యొక్క గది యొక్క రెండు లంబ గోడల నుండి లంబ దూరాలు మాత్రమే కాకుండా, గది నేల నుండి బిందువు యొక్క ఎత్తు కూడా అవసరం అవుతుంది. అందువల్ల, మనకు రెండు మాత్రమే కాకుండా, మూడు సంఖ్యలు అవసరం, అవి బిందువు యొక్క మూడు పరస్పర లంబ తలాల నుండి లంబ దూరాలను సూచిస్తాయి, అవి గది నేల మరియు గది యొక్క రెండు ప్రక్క గోడలు. ఈ మూడు దూరాలను సూచించే మూడు సంఖ్యలను మూడు నిరూపక తలాలకు సంబంధించి బిందువు యొక్క నిరూపకాలు అంటారు. కాబట్టి, అంతరాళంలోని ఒక బిందువుకు మూడు నిరూపకాలు ఉంటాయి. ఈ అధ్యాయంలో, మనం త్రిమితీయ అంతరాళంలో జ్యామితి యొక్క ప్రాథమిక భావనలను అధ్యయనం చేస్తాము.*

11.2 త్రిమితీయ అంతరాళంలో నిరూపక అక్షాలు మరియు నిరూపక తలాలు

మూడు తలాలు ఒక బిందువు $O$ వద్ద ఖండించుకునే విధంగా పరిగణించండి, ఈ మూడు తలాలు ఒకదానికొకటి పరస్పర లంబంగా ఉంటాయి (Fig 11.1). ఈ మూడు తలాలు $X^{\prime} OX, Y^{\prime} OY$ మరియు $Z^{\prime} OZ$ అనే రేఖల వెంబడి ఖండించుకుంటాయి, వాటిని వరుసగా $x, y$ మరియు $z$-అక్షాలు అంటారు. ఈ రేఖలు ఒకదానికొకటి పరస్పర లంబంగా ఉన్నాయని మనం గమనించవచ్చు. ఈ రేఖలు దీర్ఘఘన నిరూపక వ్యవస్థను ఏర్పరుస్తాయి. XOY, YOZ మరియు ZOX తలాలు, వరుసగా XY-తలం, YZ-తలం మరియు ZX-తలం అని పిలువబడతాయి, ఇవి మూడు నిరూపక తలాలుగా పిలువబడతాయి. మనం XOY తలాన్ని కాగితం తలంగా మరియు

Fig 11.1 రేఖ $Z^{\prime} OZ$ ని తలం $XOY$ కు లంబంగా తీసుకుంటాము. కాగితం తలాన్ని క్షితిజ సమాంతరంగా పరిగణిస్తే, అప్పుడు రేఖ $Z^{\prime} OZ$ నిలువుగా ఉంటుంది. XY-తలం నుండి $OZ$ దిశలో పైకి కొలవబడిన దూరాలు ధనాత్మకంగా మరియు $OZ^{\prime}$ దిశలో క్రిందికి కొలవబడిన దూరాలు ఋణాత్మకంగా తీసుకోబడతాయి. అదేవిధంగా, $ZX$-తలం కుడివైపు $OY$ వెంబడి కొలవబడిన దూరం ధనాత్మకంగా, ZX-తలం ఎడమవైపు మరియు $O Y^{\prime}$ వెంబడి ఋణాత్మకంగా, YZ-తలం ముందు $O X$ వెంబడి ధనాత్మకంగా మరియు దాని వెనుక $OX^{\prime}$ వెంబడి ఋణాత్మకంగా తీసుకోబడతాయి. బిందువు $O$ ని నిరూపక వ్యవస్థ యొక్క మూలబిందువు అంటారు. మూడు నిరూపక తలాలు అంతరాళాన్ని అష్టాంశాలు అని పిలువబడే ఎనిమిది భాగాలుగా విభజిస్తాయి. ఈ అష్టాంశాలను $XOYZ, X^{\prime} OYZ, X^{\prime} OY Y, XOY ’ Z, XOYZ$, $X^{\prime} OYZ, X^{\prime} OY^{\prime} Z^{\prime}$ మరియు $XOY^{\prime} Z^{\prime}$ గా పేరు పెట్టవచ్చు. మరియు వరుసగా I, II, III, …, VIII ద్వారా సూచించబడతాయి.

11.3 అంతరాళంలో ఒక బిందువు యొక్క నిరూపకాలు

అంతరాళంలో నిరూపక అక్షాలు, నిరూపక తలాలు మరియు మూలబిందువు కలిగిన స్థిర నిరూపక వ్యవస్థను ఎంచుకున్న తర్వాత, ఇప్పుడు మనం వివరిస్తాము, అంతరాళంలో ఒక బిందువు ఇచ్చినప్పుడు, దానికి మూడు నిరూపకాలు $(x, y, z)$ ఎలా అనుబంధించబడతాయో మరియు విరుద్ధంగా, మూడు సంఖ్యల యొక్క త్రయం $(x, y, z)$ ఇచ్చినప్పుడు, అంతరాళంలో ఒక బిందువును ఎలా గుర్తించాలో.

Fig 11.2

అంతరాళంలో ఒక బిందువు $P$ ఇవ్వబడింది, మనం XY-తలంపై ఒక లంబ లంబం PM ని M దాని లంబపాదంగా ఉండే విధంగా పడవేస్తాము (Fig 11.2). అప్పుడు, M బిందువు నుండి, మనం $x$-అక్షానికి లంబంగా ML ని గీస్తాము, దానిని L వద్ద కలుస్తుంది. OL ని $x, LM$ గా ఉండనివ్వండి, MP ని $y$ గా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు $z$ మరియు $x, y$ లను వరుసగా బిందువు $z$ యొక్క $x, y$ మరియు $z$ నిరూపకాలు అంటారు. Fig 11.2 లో, బిందువు $P$ అష్టాంశం XOYZ లో ఉందని మరియు అందువలన అన్ని $P(x, y, z)$, $x, y$ ధనాత్మకంగా ఉన్నాయని మనం గమనించవచ్చు. $z$ ఏదైనా ఇతర అష్టాంశంలో ఉంటే, $P$ మరియు $x, y$ యొక్క గుర్తులు తదనుగుణంగా మారుతాయి. అందువలన, అంతరాళంలోని ప్రతి బిందువు $z$ కు వాస్తవ సంఖ్యల యొక్క క్రమపు త్రయం $P$ అనుబంధించబడుతుంది.

విరుద్ధంగా, ఏదైనా త్రయం $(x, y, z)$ ఇవ్వబడితే, మనం మొదట $(x, y, z)$ కు అనుగుణంగా $L$-అక్షంపై బిందువు $x$ ని స్థిరపరుస్తాము, తర్వాత XY-తలంలో బిందువు $x$ ని గుర్తించండి, అంటే $M$ XY-తలంలో బిందువు M యొక్క నిరూపకాలు. LM $(x, y)$-అక్షానికి లంబంగా ఉంటుంది లేదా $x$-అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుందని గమనించండి. M బిందువుకు చేరుకున్న తర్వాత, మనం XY-తలానికి లంబంగా MP ని గీస్తాము మరియు దానిపై $y$ కు అనుగుణంగా బిందువు $P$ ని గుర్తించండి. ఈ విధంగా పొందిన బిందువు $z$ కు అప్పుడు నిరూపకాలు $P$ ఉంటాయి. అందువలన, అంతరాళంలోని బిందువుల మరియు వాస్తవ సంఖ్యల క్రమపు త్రయం $(x, y, z)$ మధ్య ఒకటి నుండి ఒకటికి అనుబంధం ఉంటుంది.

వేరే విధంగా, అంతరాళంలోని బిందువు $(x, y, z)$ ద్వారా, మనం నిరూపక తలాలకు సమాంతరంగా మూడు తలాలను గీస్తాము, అవి $P$-అక్షం, $x$-అక్షం మరియు $y$-అక్షంలను వరుసగా బిందువులు $z$ మరియు $A, B$ ల వద్ద కలుస్తాయి (Fig 11.3). $C$ మరియు $OA=x, OB=y$ గా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు, బిందువు $OC=z$ కు నిరూపకాలు $P$ మరియు $x, y$ ఉంటాయి మరియు మనం $z$ అని రాస్తాము. విరుద్ధంగా, $P(x, y, z)$ మరియు $x, y$ ఇవ్వబడితే, మనం మూడు నిరూపక అక్షాలపై మూడు బిందువులు $z$ మరియు $A, B$ లను గుర్తించండి. బిందువులు $C$ మరియు $A, B$ ద్వారా మనం YZ-తలం, ZX-తలం మరియు XY-తలం,

Fig 11.3

కు సమాంతరంగా వరుసగా తలాలను గీస్తాము. ఈ మూడు తలాల ఖండన బిందువు, అవి ADPF, BDPE మరియు CEPF, స్పష్టంగా బిందువు $C$, ఇది క్రమపు త్రయం $P$ కు అనుగుణంగా ఉంటుంది. $(x, y, z)$ అంతరాళంలో ఏదైనా బిందువు అయితే, అప్పుడు $P(x, y, z)$ మరియు $x, y$ వరుసగా YZ, ZX మరియు XY తలాల నుండి లంబ దూరాలు అని మనం గమనించవచ్చు.

గమనిక - మూలబిందువు $z$ యొక్క నిరూపకాలు $O$. $(0,0,0)$-అక్షంపై ఏదైనా బిందువు యొక్క నిరూపకాలు $x$ గా ఉంటాయి మరియు YZ-తలంలో ఏదైనా బిందువు యొక్క నిరూపకాలు $(x, 0,0)$ గా ఉంటాయి.

వ్యాఖ్య ఒక బిందువు యొక్క నిరూపకాల గుర్తు ఆ బిందువు ఉన్న అష్టాంశాన్ని నిర్ణయిస్తుంది. ఎనిమిది అష్టాంశాలలో నిరూపకాల గుర్తులను క్రింది పట్టిక చూపిస్తుంది.

Table 11.1

ఉదాహరణ 1 Fig 11.3 లో, $y$ అయితే, $P$ యొక్క నిరూపకాలను కనుగొనండి.

సాధన బిందువు $(2,4,5)$ కోసం, OY వెంబడి కొలవబడిన దూరం సున్నా. అందువలన, $F$ యొక్క నిరూపకాలు $F$.

ఉదాహరణ 2 బిందువులు $F$ మరియు $(2,0,5)$ ఏ అష్టాంశంలో ఉన్నాయో కనుగొనండి.

సాధన Table 11.1 నుండి, బిందువు $(-3,1,2)$ రెండవ అష్టాంశంలో ఉంటుంది మరియు బిందువు $(-3,1,-2)$ అష్టాంశం VI లో ఉంటుంది.

11.4 రెండు బిందువుల మధ్య దూరం

మనం ద్విమితీయ నిరూపక వ్యవస్థలో రెండు బిందువుల మధ్య దూరం గురించి అధ్యయనం చేసాము. ఇప్పుడు ఈ అధ్యయనాన్ని త్రిమితీయ వ్యవస్థకు విస్తరించుదాం.

$(-3,1,2)$ మరియు $(-3,1,-2)$ లు దీర్ఘఘన అక్షాల వ్యవస్థ $P(x_1, y_1, z_1)$ మరియు $Q(x_2, y_2, z_2)$ కు సంబంధించిన రెండు బిందువులుగా ఉండనివ్వండి. బిందువులు $OX, OY$ మరియు $OZ$ ద్వారా నిరూపక తలాలకు సమాంతరంగా తలాలను గీయండి, తద్వారా ఒక కర్ణం PQ (Fig 11.4) కలిగిన దీర్ఘఘన సమాంతర ఫలకం ఏర్పడుతుంది.

Fig 11.4

ఇప్పుడు, $P$ ఒక లంబ కోణం కాబట్టి, త్రిభుజం PAQ లో,

$ PQ^{2}=PA^{2}+AQ^{2} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ldots(1) $

అలాగే, త్రిభుజం ANQ లంబ కోణ త్రిభుజం, ఇందులో $Q$ లంబ కోణం.

అందువలన $\angle PAQ$

(1) మరియు (2) నుండి, మనకు ఉంది

$$ \mathrm{PQ}^{2}=\mathrm{PA}^{2}+\mathrm{AN}^{2}+\mathrm{NQ}^{2} $$

ఇప్పుడు $\quad \mathbf{X}$ మరియు $\angle ANQ$

అందువలన $\quad\quad\quad AQ^{2}=AN^{2}+NQ^{2} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ldots(2)$

అందువలన $\quad\quad\quad\mathrm{PA}=y _{2}-y _{1}, \mathrm{AN}=x _{2}-x _{1}$

ఇది మనకు రెండు బిందువులు $\mathrm{NQ}=z _{2}-z _{1}$ మరియు $\quad\quad\quad\mathrm{PQ}^{2}=\left(x _{2}-x _{1}\right)^{2}+\left(y _{2}-y _{1}\right)^{2}+\left(z _{2}-z _{1}\right)^{2}$ ల మధ్య దూరాన్ని ఇస్తుంది.

ప్రత్యేకంగా, $\quad\quad\quad PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}}$ అయితే, అంటే బిందువు $(x_1, y_1, z_1)$ మూలబిందువు $(x_2, y_2, z_2)$ అయితే, అప్పుడు $x_1=y_1=z_1=0$, ఇది మూలబిందువు $P$ మరియు ఏదైనా బిందువు $O$ మధ్య దూరాన్ని ఇస్తుంది.

ఉదాహరణ 3 బిందువులు $OQ=\sqrt{x_2{ }^{2}+y_2{ }^{2}+z_2{ }^{2}}$ మరియు $O$ ల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనండి.

సాధన బిందువులు $Q(x_2, y_2, z_2)$ మరియు $P(1,-3,4)$ ల మధ్య దూరం PQ

$ \begin{aligned} PQ & =\sqrt{(-4-1)^{2}+(1+3)^{2}+(2-4)^{2}} \\ & =\sqrt{25+16+4} \\ & =\sqrt{45}=3 \sqrt{5} \text{ units } \end{aligned} $

ఉదాహరణ 4 బిందువులు $Q(-4,1,2)$, $P(1,-3,4)$ మరియు $Q(-4,1,2)$ లు సరేఖీయాలు అని చూపండి.

సాధన బిందువులు ఒకే రేఖపై ఉంటే అవి సరేఖీయాలు అని మనకు తెలుసు.

ఇప్పుడు,

$ \begin{aligned} & P Q=\sqrt{(1+2)^{2}+(2-3)^{2}+(3-5)^{2}}=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14} \\ & Q R=\sqrt{(7-1)^{2}+(0-2)^{2}+(-1-3)^{2}}=\sqrt{36+4+16}=\sqrt{56}=2 \sqrt{14} \end{aligned} $

మరియు

$ P R=\sqrt{(7+2)^{2}+(0-3)^{2}+(-1-5)^{2}}=\sqrt{81+9+36}=\sqrt{126}=3 \sqrt{14} $

అందువలన, $P(-2,3,5)$. కాబట్టి, $Q(1,2,3)$ మరియు $R(7,0,-1)$ లు సరేఖీయాలు.

ఉదాహరణ 5 బిందువులు A $PQ+QR=PR$ మరియు C $P, Q$ లు లంబకోణ త్రిభుజం యొక్క శీర్షాలా?

సాధన దూర సూత్రం ద్వారా, మనకు ఉంది

$ \begin{aligned} AB^{2} & =(10-3)^{2}+(20-6)^{2}+(30-9)^{2} \\ & =49+196+441=686 \\ BC^{2} & =(25-10)^{2}+(-41-20)^{2}+(5-30)^{2} \\ & =225+3721+625=4571 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} CA^{2} & =(3-25)^{2}+(6+41)^{2}+(9-5)^{2} \\ & =484+2209+16=2709 \end{aligned} $

మనం $R$ అని కనుగొంటాము.

అందువలన, త్రిభుజం $(3,6,9), B(10,20,30)$ లంబకోణ త్రిభుజం కాదు.

ఉదాహరణ 6 బిందువుల సమితి $(25,-41,5)$ యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొనండి, అంటే $\quad \quad\quad CA^{2}+AB^{2} \neq BC^{2}$, ఇక్కడ $ABC$ మరియు $P$ లు వరుసగా బిందువులు $PA^{2}+PB^{2}=2 k^{2}$ మరియు $A$.

సాధన బిందువు $B$ యొక్క నిరూపకాలు $(3,4,5)$ గా ఉండనివ్వండి.

ఇక్కడ

$ \begin{aligned} & PA^{2}=(x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z-5)^{2} \\ & PB^{2}=(x+1)^{2}+(y-3)^{2}+(z+7)^{2} \end{aligned} $

ఇవ్వబడిన షరతు $(-1,3,-7)$ ద్వారా, మనకు ఉంది

$ (x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z-5)^{2}+(x+1)^{2}+(y-3)^{2}+(z+7)^{2}=2 k^{2} \\ \text{ i.e., } \quad 2 x^{2}+2 y^{2}+2 z^{2}-4 x-14 y+4 z=2 k^{2}-109 . $

వివిధ ఉదాహరణలు

ఉదాహరణ 7 బిందువులు A $P$, B (-1, -2, -1), C (2, 3, 2) మరియు $(x, y, z)$ లు సమాంతర చతుర్భుజం $PA^{2}+PB^{2}=2 k^{2}$ యొక్క శీర్షాలు అని చూపండి, కానీ అది దీర్ఘచతురస్రం కాదు.

సాధన ABCD సమాంతర చతుర్భుజం అని చూపడానికి, ఎదురెదురు భుజాలు సమానం అని చూపాలి. గమనించండి.

$ \begin{aligned} & AB=\sqrt{(-1-1)^{2}+(-2-2)^{2}+(-1-3)^{2}}=\sqrt{4+16+16}=6 \\ & BC=\sqrt{(2+1)^{2}+(3+2)^{2}+(2+1)^{2}}=\sqrt{9+25+9}=\sqrt{43} \\ & CD=\sqrt{(4-2)^{2}+(7-3)^{2}+(6-2)^{2}}=\sqrt{4+16+16}=6 \\ & DA=\sqrt{(1-4)^{2}+(2-7)^{2}+(3-6)^{2}}=\sqrt{9+25+9}=\sqrt{43} \end{aligned} $

$(1,2,3)$ మరియు $D(4,7,6)$ కాబట్టి, ఇది ఒక సమాంతర చతుర్భుజం.

ఇప్పుడు, $ABCD$ దీర్ఘచతురస్రం కాదని నిరూపించడం అవసరం. దీని కోసం, కర్ణాలు $A B=C D$ మరియు $B C=A D, A B C D$ సమానం కావు అని చూపిస్తాము. మనకు ఉంది

$ \begin{aligned} & AC=\sqrt{(2-1)^{2}+(3-2)^{2}+(2-3)^{2}}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3} \\ & BD \quad=\sqrt{(4+1)^{2}+(7+2)^{2}+(6+1)^{2}}=\sqrt{25+81+49}=\sqrt{155} . \end{aligned} $

$ABCD$ కాబట్టి, ఇది దీర్ఘచతురస్రం కాదు.

గమనిక - కర్ణాలు $AC$ మరియు $BD$ లు ఒకదానికొకటి సమద్విఖండన చేసుకుంటాయి అనే ధర్మాన్ని ఉపయోగించి కూడా $A C \neq B D, A B C D$ సమాంతర చతుర్భుజం అని చూపవచ్చు.

ఉదాహరణ 8 బిందువుల సమితి $ABCD$ యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొనండి, అంటే దాని దూరాలు బిందువులు $AC$ మరియు $BD$ ల నుండి సమానం.

సాధన $P$ ఏదైనా బిందువు అయితే $A(3,4,-5)$.

ఇప్పుడు $B(-2,1,4)$

లేదా $P(x, y, z)$

లేదా $PA=PB$.

ఉదాహరణ 9 ఒక త్రిభుజం $\sqrt{(x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z+5)^{2}} = \sqrt{(x+2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-4)^{2}}$ యొక్క గురుత్వ కేంద్రం బిందువు $\quad\quad (x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z+5)^{2}=(x+2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-4)^{2}$ వద్ద ఉంది. $\quad \quad 10 x+6 y-18 z-29=0$ మరియు $ABC$ ల యొక్క నిరూపకాలు వరుసగా $(1,1,1)$ మరియు $A$ అయితే, బిందువు $B$ యొక్క నిరూపకాలను కనుగొనండి.

సాధన $(3,-5,7)$ యొక్క నిరూపకాలు $(-1,7,-6)$ గా మరియు గురుత్వ కేంద్రం $C$ యొక్క నిరూపకాలు $C$ గా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు

అందువలన $(x, y, z)$, లేదా $G$ $ \begin{array}{ll} \frac{y-5+7}{3}=1, & \text { or } y=1 \\ \frac{z+7-6}{3}=1, & \text { or } z=2 . \end{array} $

అందువలన, $(1,1,1)$ యొక్క నిరూపకాలు $\quad \frac{x+3-1}{3}=1$.

సారాంశం

త్రిమితీయంలో, దీర్ఘచతురస్రాకార కార్టీసియన్ నిరూపక వ్యవస్థ యొక్క నిరూపక అక్షాలు మూడు పరస్పర లంబ రేఖలు. ఈ అక్షాలను $x=1$, $C$ మరియు $(1,1,2)$-అక్షాలు అంటారు.

అక్షాల జతల ద్వారా నిర్ణయించబడిన మూడు తలాలు నిరూపక తలాలు, వాటిని XY, YZ మరియు ZX-తలాలు అంటారు.

మూడు నిరూపక తలాలు అంతరాళాన్ని అష్టాంశాలు అని పిలువబడే ఎనిమిది భాగాలుగా విభజిస్తాయి. త్రిమితీయ జ్యామితిలో ఒక బిందువు $x$ యొక్క నిరూపకాలు ఎల్లప్పుడూ $y$ వంటి త్రయం రూపంలో రాయబడతాయి. ఇక్కడ $z$ మరియు $P$ లు YZ, ZX మరియు XY-తలాల నుండి దూరాలు.

(i) $(x, y, z)$-అక్షంపై ఏదైనా బిందువు $x, y$ రూపంలో ఉంటుంది

(ii) $z$-అక్షంపై ఏదైనా బిందువు $x$ రూపంలో ఉంటుంది

(iii) $(x, 0,0)$-అక్షంపై ఏదైనా బిందువు $y$ రూపంలో ఉంటుంది.

రెండు బిందువులు $(0, y, 0)$ మరియు $z$ ల మధ్య దూరం దీని ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది

$$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}} $$

చారిత్రక నోట్

రెనే డెస్కార్టెస్ (1596