కాలిక్యులస్ ని ఒక కీగా ఉపయోగించి, గణితాన్ని ప్రకృతి యొక్క గమనానికి విజయవంతంగా అన్వయించవచ్చు - వైట్హెడ్

12.1 పరిచయం

ఈ అధ్యాయం కాలిక్యులస్ కు ఒక పరిచయం. కాలిక్యులస్ అనేది గణిత శాస్త్రంలోని ఒక శాఖ, ఇది ప్రధానంగా డొమైన్ లోని బిందువులు మారుతున్నప్పుడు ఒక ఫంక్షన్ విలువలో మార్పును అధ్యయనం చేస్తుంది. మొదట, మనం అవకలనం యొక్క సహజమైన ఆలోచనను ఇస్తాము (నిజంగా నిర్వచించకుండా). తర్వాత మనం సీమ యొక్క ఒక సరళ నిర్వచనాన్ని ఇస్తాము మరియు సీమల యొక్క కొన్ని బీజగణితాన్ని అధ్యయనం చేస్తాము. తర్వాత మనం అవకలనం యొక్క నిర్వచనానికి తిరిగి వచ్చి, అవకలనాల యొక్క కొన్ని బీజగణితాన్ని అధ్యయనం చేస్తాము. మనం కొన్ని ప్రామాణిక ఫంక్షన్ల అవకలనాలను కూడా పొందుతాము.

సర్ ఐసాక్ న్యూటన్ (1642-1727 A.D.)

12.2 అవకలనాల యొక్క సహజమైన ఆలోచన

భౌతిక ప్రయోగాలు ధృవీకరించాయి, ఒక ఎత్తైన కొండపై నుండి వదిలిన వస్తువు సర్ ఐసాక్ న్యూటన్ $(1642-1727)$ $t$ సెకన్లలో $4.9 t^{2}$ మీటర్ల దూరాన్ని కవర్ చేస్తుంది, అంటే, వస్తువు కవర్ చేసిన మీటర్లలో దూరం $s$ సమయం $t$ యొక్క ఫంక్షన్ గా $s=4.9 t^{2}$ ద్వారా ఇవ్వబడింది.

పక్కన ఉన్న పట్టిక 13.1 ఒక ఎత్తైన కొండపై నుండి వదిలిన వస్తువు యొక్క వివిధ సమయ విరామాలలో మీటర్లలో ప్రయాణించిన దూరాన్ని ఇస్తుంది.

లక్ష్యం ఈ డేటా నుండి సమయం $t=2$ సెకన్ల వద్ద వస్తువు యొక్క వేగాన్ని కనుగొనడం. ఈ సమస్యను సమీపించడానికి ఒక మార్గం $t=2$ సెకన్ల వద్ద ముగిసే వివిధ సమయ విరామాలకు సగటు వేగాన్ని కనుగొని, ఇవి $t=2$ సెకన్ల వద్ద వేగంపై కొంత వెలుగు పాతుతాయని ఆశించడం.

$t=t_1$ మరియు $t=t_2$ మధ్య సగటు వేగం $t=t_l$ మరియు $t=t_2$, సెకన్ల మధ్య ప్రయాణించిన దూరానికి సమానం, $(t_2-t_1)$ చే భాగించబడింది. అందువల్ల మొదటి రెండు సెకన్లలో సగటు వేగం

$$ \begin{aligned} & =\frac{\text{ Distance travelled between } t_2=2 \text{ and } t_1=0}{\text{ Time interval }(t_2-t_1)} \\ & =\frac{(19.6-0) m}{(2-0) s}=9.8 m / s . \end{aligned} $$

అదేవిధంగా, $t=1$ మరియు $t=2$ మధ్య సగటు వేగం

$$ \frac{(19.6-4.9) m}{(2-1) s}=14.7 m / s $$

అలాగే మనం వివిధ $t_1$ కోసం $t=t_1$ మరియు $t=2$ మధ్య సగటు వేగాన్ని లెక్కిస్తాము. కింది పట్టిక 13.2 $(v), t=t_1$ సెకన్లు మరియు $t=2$ సెకన్ల సగటు వేగాన్ని ఇస్తుంది.

పట్టిక 12.1

పట్టిక 12.2

పట్టిక 12.2 నుండి, మనం గమనించాము, సగటు వేగం క్రమంగా పెరుగుతోంది. మనం $t=2$ వద్ద ముగిసే సమయ విరామాలను చిన్నదిగా చేస్తే, మనకు $t=2$ వద్ద వేగం గురించి మంచి అవగాహన లభిస్తుంది. 1.99 సెకన్లు మరియు 2 సెకన్ల మధ్య నిజంగా ఏమీ నాటకీయంగా జరగదని ఆశిస్తూ, మనం $t=2$ సెకన్ల వద్ద సగటు వేగం $19.551 m / s$ కంటే కొంచెం ఎక్కువ అని ముగించాము.

ఈ ముగింపు కింది గణనల సమితి ద్వారా కొంత బలపడుతుంది. $t=2$ సెకన్ల వద్ద ప్రారంభమయ్యే వివిధ సమయ విరామాలకు సగటు వేగాలను లెక్కించండి. మునుపటి వలె సగటు వేగం $v$ $t=2$ సెకన్లు మరియు $t=t_2$ సెకన్ల మధ్య

$ \begin{aligned} & =\frac{\text{ 2 సెకన్లు మరియు } t_2 \text{ సెకన్ల మధ్య ప్రయాణించిన దూరం }}{t_2-2} \\ & =\frac{\text{ } t_2 \text{ సెకన్లలో ప్రయాణించిన దూరం }- \text{ 2 సెకన్లలో ప్రయాణించిన దూరం }}{t_2-2} \end{aligned} $

$ =\frac{\text{ } t_2 \text{ సెకన్లలో ప్రయాణించిన దూరం }-19.6}{t_2-2} $

కింది పట్టిక 12.3 $v$ సెకన్ల మధ్య $t=2$ సెకన్లు మరియు $t_2$ సెకన్ల మధ్య మీటర్లు ప్రతి సెకనుకు సగటు వేగం $v$ ని ఇస్తుంది.

పట్టిక 12.3

ఇక్కడ మళ్ళీ మనం గమనించాము, మనం $t=2$ వద్ద ప్రారంభమయ్యే చిన్న సమయ విరామాలను తీసుకుంటే, మనకు $t=2$ వద్ద వేగం గురించి మంచి అవగాహన లభిస్తుంది.

మొదటి గణనల సమితిలో, మనం చేసింది ఏమిటంటే $t=2$ వద్ద ముగిసే పెరుగుతున్న సమయ విరామాలలో సగటు వేగాలను కనుగొని, తర్వాత $t=2$ కు ముందు నిజంగా ఏమీ నాటకీయంగా జరగదని ఆశించడం. రెండవ గణనల సమితిలో, మనం $t=2$ వద్ద ముగిసే సమయ విరామాలలో తగ్గుతున్న సగటు వేగాలను కనుగొన్నాము మరియు తర్వాత $t=2$ తర్వాత నిజంగా ఏమీ నాటకీయంగా జరగదని ఆశించాము. పూర్తిగా భౌతిక ఆధారాలపై, ఈ రెండు సగటు వేగాల క్రమాలు ఒక సాధారణ సీమను సమీపించాలి. మనం సురక్షితంగా ముగించవచ్చు, $t=2$ వద్ద వస్తువు యొక్క వేగం $19.551 m / s$ మరియు $19.649 m / s$ మధ్య ఉంటుంది. సాంకేతికంగా, మనం చెప్పేది, $t=2$ వద్ద తక్షణ వేగం $19.551 m / s$ మరియు $19.649 m / s$ మధ్య ఉంటుంది. బాగా తెలిసినట్లుగా, వేగం అనేది స్థానభ్రంశం యొక్క మార్పు రేటు. అందువల్ల మనం సాధించినది ఈ క్రింది విధంగా ఉంది. వివిధ కాల క్షణాలలో కవర్ చేయబడిన దూరం యొక్క ఇచ్చిన డేటా నుండి, మనం ఇచ్చిన క్షణంలో దూరం యొక్క మార్పు రేటును అంచనా వేసాము. మనం చెప్పేది, దూరం ఫంక్షన్ $s=4.9 t^{2}$ యొక్క అవకలనం $t=2$ వద్ద 19.551 మరియు 19.649 మధ్య ఉంటుంది.

ఈ సీమా ప్రక్రియను వీక్షించడానికి ఒక ప్రత్యామ్నాయ మార్గం చిత్రం 12.1 లో చూపబడింది. ఇది కొండ పైభాగం నుండి వస్తువు యొక్క దూరం $s$ మరియు గడిచిన సమయం $t$ ప్లాట్. సీమలో క్రమం సమయ విరామాలు $h_1, h_2, \ldots$, సున్నాకి సమీపిస్తుంది, సగటు వేగాల క్రమం అదే సీమను సమీపిస్తుంది, నిష్పత్తుల క్రమం వలె

చిత్రం 12.1

$ \frac{C_1 B_1}{AC_1}, \frac{C_2 B_2}{AC_2}, \frac{C_3 B_3}{AC_3}, \ldots $

ఇక్కడ $C_1 B_1=s_1-s_0$ సమయ విరామం $h_1=AC_1$ లో వస్తువు ప్రయాణించిన దూరం, మొదలైనవి. చిత్రం 12.1 నుండి ఈ తర్వాతి క్రమం బిందువు $A$ వద్ద వక్రరేఖకు టాంజెంట్ యొక్క వాలు వైపు సమీపిస్తుందని సురక్షితంగా ముగించవచ్చు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, తక్షణ వేగం $v(t)$ సమయం $t=2$ వద్ద ఒక వస్తువు యొక్కది వక్రరేఖ $s=4.9 t^{2}$ యొక్క టాంజెంట్ యొక్క వాలు $t=2$ కు సమానం.

12.3 సీమలు

పై చర్చ స్పష్టంగా ఈ వైపు సూచిస్తుంది, మనం సీమా ప్రక్రియను ఎక్కువ స్పష్టతతో అర్థం చేసుకోవాలి. మనం సీమల భావనతో కొంత పరిచయాన్ని పొందడానికి కొన్ని వివరణాత్మక ఉదాహరణలను అధ్యయనం చేస్తాము.

ఫంక్షన్ $f(x)=x^{2}$ ని పరిగణించండి. గమనించండి, $x$ 0 కి చాలా దగ్గర విలువలను తీసుకున్నప్పుడు, $f(x)$ విలువ కూడా 0 వైపు కదులుతుంది (చిత్రం 2.10 అధ్యాయం 2 చూడండి). మనం చెప్పేది

$ \begin{aligned} \lim\limits_{x \to 0} f(x)=0 \end{aligned} $

($f(x)$ యొక్క సీమ $x$ సున్నాకి ఉంటే సున్నాకి సమానం అని చదవాలి). $f(x)$ యొక్క సీమ $x$ సున్నాకి ఉంటే $f(x)$ $x=0$ వద్ద ఊహించాల్సిన విలువగా భావించాలి.

సాధారణంగా $x \to a, f(x) \to l$, అప్పుడు $l$ ఫంక్షన్ $f(x)$ యొక్క సీమ అంటారు, ఇది చిహ్నాత్మకంగా $\lim\limits_{x \to a} f(x)=l$ గా వ్రాయబడుతుంది.

కింది ఫంక్షన్ $g(x)=|x|, x \neq 0$ ని పరిగణించండి. గమనించండి, $g(0)$ నిర్వచించబడలేదు. $g(x)$ విలువను $x$ 0 కి చాలా దగ్గర విలువలకు లెక్కిస్తే, మనం చూస్తాము, $g(x)$ విలువ 0 వైపు కదులుతుంది. కాబట్టి, $\lim\limits_{x \to 0} g(x)=0$. ఇది $y=|x|$ యొక్క గ్రాఫ్ నుండి $x \neq 0$ కోసం సహజంగా స్పష్టంగా ఉంటుంది. (చిత్రం 2.13, అధ్యాయం 2 చూడండి).

కింది ఫంక్షన్ ను పరిగణించండి.

$ h(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2}, x \neq 2 $

$h(x)$ విలువను $x$ 2 కి చాలా దగ్గర విలువలకు లెక్కించండి (కానీ 2 వద్ద కాదు). ఈ విలువలన్నీ 4 కి దగ్గరగా ఉన్నాయని మీరే మీరు ఒప్పించుకోండి. ఇది ఇక్కడ ఇవ్వబడిన ఫంక్షన్ $y=h(x)$ యొక్క గ్రాఫ్ ను పరిగణించడం ద్వారా కొంత బలపడుతుంది (చిత్రం 12.2).

చిత్రం 12.2

ఈ అన్ని వివరణలలో ఫంక్షన్ ఇచ్చిన బిందువు $x=a$ వద్ద ఊహించాల్సిన విలువ నిజంగా $x$ ఎలా $a$ కి ఉంటుందో దానిపై ఆధారపడి ఉండలేదు. గమనించండి, ప్రాథమికంగా రెండు మార్గాలు ఉన్నాయి $x$ ఒక సంఖ్య $a$ ని ఎడమ నుండి లేదా కుడి నుండి సమీపించవచ్చు, అంటే, $x$ యొక్క అన్ని విలువలు $a$ దగ్గర $a$ కంటే తక్కువగా ఉండవచ్చు లేదా $a$ కంటే ఎక్కువగా ఉండవచ్చు. ఇది సహజంగా రెండు సీమలకు దారి తీస్తుంది - కుడి చేతి సీమ మరియు ఎడమ చేతి సీమ. ఒక ఫంక్షన్ $f(x)$ యొక్క కుడి చేతి సీమ అనేది $f(x)$ యొక్క విలువ, ఇది $f(x)$ విలువల ద్వారా నిర్దేశించబడుతుంది, ఎప్పుడు $x$ కుడి నుండి $a$ కి ఉంటుంది. అదేవిధంగా, ఎడమ చేతి సీమ. దీనిని వివరించడానికి, ఫంక్షన్ ను పరిగణించండి

$ f(x)= \begin{cases}1, & x \leq 0 \\ 2, & x>0\end{cases} $

ఈ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ చిత్రం 12.3 లో చూపబడింది. $f$ వద్ద 0 విలువ $f(x)$ తో $x \leq 0$ విలువల ద్వారా నిర్దేశించబడింది అనేది స్పష్టంగా ఉంటుంది, అంటే, $f(x)$ యొక్క ఎడమ చేతి సీమ 0 వద్ద $ \lim\limits_{x \to 0} f(x)=1 . $

అదేవిధంగా, $f$ వద్ద 0 విలువ $f(x)$ తో $x>0$ విలువల ద్వారా నిర్దేశించబడుతుంది, అంటే, $f(x)$ యొక్క కుడి చేతి సీమ 0 వద్ద

$ \lim\limits_{x \to 0^{+}} f(x)=2 . $

ఈ సందర్భంలో కుడి మరియు ఎడమ చేతి సీమలు భిన్నంగా ఉంటాయి, అందువల్ల మనం చెప్పేది, $f(x)$ యొక్క సీమ $x$ సున్నాకి ఉంటే ఉండదు (ఫంక్షన్ 0 వద్ద నిర్వచించబడినప్పటికీ).

సారాంశం

మనం చెప్పేది $\lim\limits_{x \to a^{-}} f(x)$ $f$ యొక్క ఆశించిన విలువ $x=a$ వద్ద, $f$ విలువలను బట్టి $x$ దగ్గర $a$ యొక్క ఎడమ వైపు. ఈ విలువను $f$ యొక్క ఎడమ చేతి సీమ $a$ వద్ద అంటారు.

మనం చెప్పేది $\lim\limits_{x \to a^{+}} f(x)$ $f$ యొక్క ఆశించిన విలువ $x=a$ వద్ద, $f$ విలువలను బట్టి $x$ దగ్గర $a$ యొక్క కుడి వైపు. ఈ విలువను $f(x)$ యొక్క కుడి చేతి సీమ $a$ వద్ద అంటారు.

కుడి మరియు ఎడమ చేతి సీమలు ఏకీభవిస్తే, మనం ఆ సాధారణ విలువను $f(x)$ యొక్క సీమ $x=a$ వద్ద అని పిలుస్తాము మరియు దానిని $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ ద్వారా సూచిస్తాము.

వివరణ 1 ఫంక్షన్ $f(x)=x+10$ ని పరిగణించండి. మనం ఈ ఫంక్షన్ యొక్క సీమను $x=5$ వద్ద కనుగొనాలనుకుంటున్నాము. ఫంక్షన్ $f(x)$ విలువను $x$ 5 కి చాలా దగ్గరగా లెక్కించండి. 5 కి దగ్గరగా మరియు ఎడమ వైపున ఉన్న కొన్ని బిందువులు $4.9,4.95,4.99,4.995 \ldots$, మొదలైనవి. ఈ బిందువుల వద్ద ఫంక్షన్ విలువలు క్రింద పట్టిక చేయబడ్డాయి. అదేవిధంగా, వాస్తవ సంఖ్య 5.001,

5.01, 5.1 కూడా 5 కి దగ్గరగా మరియు కుడి వైపున ఉన్న బిందువులు. ఈ బిందువుల వద్ద ఫంక్షన్ విలువలు కూడా పట్టిక 12.4 లో ఇవ్వబడ్డాయి.

పట్టిక 12.4

పట్టిక 12.4 నుండి, మనం తీసుకుంటాము, $f(x)$ విలువ $x=5$ వద్ద 14.995 కంటే ఎక్కువ మరియు 15.001 కంటే తక్కువగా ఉండాలి, $x=4.995$ మరియు 5.001 మధ్య నిజంగా ఏమీ నాటకీయంగా జరగదని ఊహిస్తూ. $f(x)$ విలువ $x=5$ వద్ద 5 యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న సంఖ్యల ద్వారా నిర్దేశించబడినట్లుగా 15 అని భావించడం సహేతుకం, అంటే,

$$ \lim\limits_{x \to 5^{-}} f(x)=15 . $$

అదేవిధంగా, ఎప్పుడు $x$ కుడి నుండి 5 కి సమీపిస్తుంది, $f(x)$ విలువ 15 ని తీసుకోవాలి, అంటే,

$$ \lim\limits_{x \to 5^{+}} f(x)=15 \text{. } $$

అందువల్ల, $f(x)$ యొక్క ఎడమ చేతి సీమ మరియు $f(x)$ యొక్క కుడి చేతి సీమ రెండూ 15 కి సమానం అవ్వడానికి అవకాశం ఉంది. అందువలన,

$$ \lim\limits_{x \to 5^{-}} f(x)=\lim\limits_{x \to 5^{+}} f(x)=\lim\limits_{x \to 5} f(x)=15 . $$

15 కి సమానమైన సీమ గురించి ఈ ముగింపు ఈ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ను చూడటం ద్వారా కొంత బలపడుతుంది, ఇది చిత్రం 2.16, అధ్యాయం 2 లో ఇవ్వబడింది. ఈ చిత్రంలో, మనం గమనించాము, $x$ కుడి లేదా ఎడమ నుండి 5 కి సమీపిస్తున్నప్పుడు, ఫంక్షన్ $f(x)=x+10$ యొక్క గ్రాఫ్ బిందువు $(5,15)$ వైపు సమీపిస్తుంది.

మనం గమనించాము, ఫంక్షన్ విలువ $x=5$ వద్ద కూడా 15 కి సమానం అవ్వడం జరుగుతుంది.

వివరణ 2 ఫంక్షన్ $f(x)=x^{3}$ ని పరిగణించండి. ఈ ఫంక్షన్ యొక్క సీమను $x=1$ వద్ద కనుగొనడానికి ప్రయత్నిద్దాం. మునుపటి సందర్భంలో వలె, మనం $f(x)$ విలువను $x$ 1 దగ్గర పట్టిక చేస్తాము. ఇది పట్టిక 12.5 లో ఇవ్వబడింది.

పట్టిక 12.5

ఈ పట్టిక నుండి, మనం తీసుకుంటాము, $f(x)$ విలువ $x=1$ వద్ద 0.997002999 కంటే ఎక్కువ మరియు 1.003003001 కంటే తక్కువగా ఉండాలి, $x=0.999$ మరియు 1.001 మధ్య నిజంగా ఏమీ నాటకీయంగా జరగదని ఊహిస్తూ. $f(x)$ విలువ $x=1$ వద్ద 1 యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న సంఖ్యల ద్వారా నిర్దేశించబడినట్లుగా 1 అని భావించడం సహేతుకం, అంటే,

$$ \lim\limits_{x \to 1^{-}} f(x)=1 \text{. } $$

అదేవిధంగా, ఎప్పుడు $x$ కుడి నుండి 1 కి సమీపిస్తుంది, $f(x)$ విలువ 1 ని తీసుకోవాలి, అంటే,

$$ \lim\limits_{x \to 1^{+}} f(x)=1 \text{. } $$

అందువల్ల, $f(x)$ యొక్క ఎడమ చేతి సీమ మరియు $f(x)$ యొక్క కుడి చేతి సీమ రెండూ 1 కి సమానం అవ్వడానికి అవకాశం ఉంది. అందువలన,

$$ \lim\limits_{x \to 1^{-}} f(x)=\lim\limits_{x \to 1^{+}} f(x)=\lim\limits_{x \to 1} f(x)=1 . $$

1 కి సమానమైన సీమ గురించి ఈ ముగింపు ఈ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ను చూడటం ద్వారా కొంత బలపడుతుంది, ఇది చిత్రం 2.11, అధ్యాయం 2 లో ఇవ్వబడింది. ఈ చిత్రంలో, మనం గమనించాము, $x$ కుడి లేదా ఎడమ నుండి 1 కి సమీపిస్తున్నప్పుడు, ఫంక్షన్ $f(x)=x^{3}$ యొక్క గ్రాఫ్ బిందువు $(1,1)$ వైపు సమీపిస్తుంది.

మనం మళ్ళీ గమనించాము, ఫంక్షన్ విలువ $x=1$ వద్ద కూడా 1 కి సమానం అవ్వడం జరుగుతుంది.

వివరణ 3 ఫంక్షన్ $f(x)=3 x$ ని పరిగణించండి. ఈ ఫంక్షన్ యొక్క సీమను $x=2$ వద్ద కనుగొనడానికి ప్రయత్నిద్దాం. కింది పట్టిక 12.6 ఇప్పుడు స్వయంవివరణాత్మకంగా ఉంది.

పట్టిక 12.6