“సాంఖ్యక శాస్త్రాన్ని సరిగ్గా సగటుల మరియు వాటి అంచనాల శాస్త్రం అని పిలవవచ్చు.” - A.L.BOWLEY & A.L. BODDINGTON

పరిచయం

సాంఖ్యక శాస్త్రం నిర్దిష్ట ప్రయోజనాల కోసం సేకరించిన దత్తాంశాలతో వ్యవహరిస్తుందని మనకు తెలుసు. దానిని విశ్లేషించడం మరియు వివరించడం ద్వారా మనం దత్తాంశాల గురించి నిర్ణయాలు తీసుకోవచ్చు. మునుపటి తరగతులలో, మనం దత్తాంశాలను గ్రాఫికల్గా మరియు పట్టిక రూపంలో సూచించే పద్ధతులను అధ్యయనం చేసాము. ఈ ప్రాతినిధ్యం దత్తాంశాల యొక్క కొన్ని ముఖ్యమైన లక్షణాలను లేదా గుణాలను వెల్లడి చేస్తుంది. ఇచ్చిన దత్తాంశాలకు ప్రాతినిధ్య విలువను కనుగొనే పద్ధతులను కూడా మనం అధ్యయనం చేసాము. ఈ విలువను కేంద్రీయ ధోరణి యొక్క కొలత అంటారు. సగటు (గణిత సగటు), మధ్యగతం మరియు బహుళకం అనేవి కేంద్రీయ ధోరణికి మూడు కొలతలు అని గుర్తుంచుకోండి. కేంద్రీయ ధోరణి యొక్క కొలత దత్తాంశ బిందువులు ఎక్కడ కేంద్రీకరించబడ్డాయో మనకు సుమారుగా ఒక ఆలోచనను ఇస్తుంది. కానీ, దత్తాంశాల నుండి మెరుగైన వివరణ చేయడానికి,

కార్ల్ పియర్సన్ (1857-1936 A.D.)

దత్తాంశాలు ఎంత చెదరగొట్టబడ్డాయి లేదా కేంద్రీయ ధోరణి కొలత చుట్టూ ఎంత బంచ్ చేయబడ్డాయి అనే ఆలోచన కూడా మనకు ఉండాలి.

ఇప్పుడు ఇద్దరు బ్యాట్స్మెన్లు వారి చివరి పది మ్యాచ్లలో చేసిన పరుగులను పరిగణించండి:

బ్యాట్స్మన్ A : $30,91,0,64,42,80,30,5,117,71$

బ్యాట్స్మన్ B : $53,46,48,50,53,53,58,60,57,52$

స్పష్టంగా, దత్తాంశాల సగటు మరియు మధ్యగతం

గుర్తుచేసుకోండి, మనం దత్తాంశం యొక్క సగటును (దీనిని $\bar{x}$ చే సూచిస్తారు) పరిశీలనల మొత్తాన్ని పరిశీలనల సంఖ్యతో భాగించడం ద్వారా లెక్కిస్తాము, అనగా,

$ \bar{x}=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} x_i $

అలాగే, మధ్యగతం మొదట దత్తాంశాలను ఆరోహణ లేదా అవరోహణ క్రమంలో అమర్చడం ద్వారా మరియు క్రింది నియమాన్ని వర్తింపజేయడం ద్వారా పొందబడుతుంది.

పరిశీలనల సంఖ్య బేసి అయితే, మధ్యగతం $(\frac{n+1}{2})^{\text{th }}$ పరిశీలన అవుతుంది.

పరిశీలనల సంఖ్య సరి అయితే, మధ్యగతం $(\frac{n}{2})^{\text{th }}$ మరియు $(\frac{n}{2}+1)^{\text{th }}$ పరిశీలనల సగటు అవుతుంది.

ఇద్దరు బ్యాట్స్మెన్లు $A$ మరియు B చేసిన పరుగుల సగటు మరియు మధ్యగతం ఒకే విధంగా ఉంటాయని మనం కనుగొంటాము, అనగా, 53. ఇద్దరు ఆటగాళ్ల ప్రదర్శన ఒకే విధంగా ఉందని మనం చెప్పగలమా? స్పష్టంగా కాదు, ఎందుకంటే బ్యాట్స్మన్ A యొక్క స్కోర్లలో వైవిధ్యం 0 (కనిష్టం) నుండి 117 (గరిష్టం) వరకు ఉంటుంది. అయితే, బ్యాట్స్మన్ B చేసిన పరుగుల పరిధి 46 నుండి 60 వరకు ఉంటుంది.

ఇప్పుడు పై స్కోర్లను నంబర్ లైన్లో చుక్కలుగా ప్లాట్ చేద్దాం. మనం క్రింది రేఖాచిత్రాలను కనుగొంటాము:

బ్యాట్స్మన్ A కోసం

Fig 13.1

బ్యాట్స్మన్ B కోసం

Fig 13.2

బ్యాట్స్మన్ Bకి సంబంధించిన చుక్కలు ఒకదానికొకటి దగ్గరగా ఉన్నాయని మరియు కేంద్రీయ ధోరణి (సగటు మరియు మధ్యగతం) చుట్టూ గుమిగూడుతున్నాయని, బ్యాట్స్మన్ Aకి సంబంధించినవి చెదరగొట్టబడినట్లుగా లేదా ఎక్కువగా విస్తరించబడినట్లుగా మనం చూడవచ్చు.

అందువల్ల, ఇచ్చిన దత్తాంశాల గురించి పూర్తి సమాచారం ఇవ్వడానికి కేంద్రీయ ధోరణి యొక్క కొలతలు సరిపోవు. వైవిధ్యం అనేది సాంఖ్యక శాస్త్రం కింద అధ్యయనం చేయవలసిన మరొక అంశం. ‘కేంద్రీయ ధోరణి యొక్క కొలతలు’ వలె మనం వైవిధ్యాన్ని వివరించడానికి ఒకే సంఖ్యను కలిగి ఉండాలనుకుంటున్నాము. ఈ ఒకే సంఖ్యను ‘విస్తరణ కొలత’ అంటారు. ఈ అధ్యాయంలో, మనం విస్తరణ యొక్క కొన్ని ముఖ్యమైన కొలతలు మరియు వర్గీకరించని మరియు వర్గీకరించబడిన దత్తాంశాల కోసం వాటి గణన పద్ధతులను నేర్చుకుంటాము.

13.2 విస్తరణ కొలతలు

దత్తాంశంలోని విస్తరణ లేదా చెదరగొట్టడం పరిశీలనల ఆధారంగా మరియు అక్కడ ఉపయోగించిన కేంద్రీయ ధోరణి యొక్క కొలత రకాల ఆధారంగా కొలుస్తారు. విస్తరణ కొలతలు క్రింది విధంగా ఉన్నాయి:

(i) పరిధి, (ii) చతుర్థాంశ విచలనం, (iii) సగటు విచలనం, (iv) ప్రామాణిక విచలనం.

ఈ అధ్యాయంలో, మనం చతుర్థాంశ విచలనం మినహా ఈ విస్తరణ కొలతలన్నింటినీ అధ్యయనం చేస్తాము.

13.3 పరిధి

బ్యాట్స్మెన్లు A మరియు B చేసిన పరుగుల ఉదాహరణలో, ప్రతి శ్రేణిలోని కనిష్ట మరియు గరిష్ట పరుగుల ఆధారంగా స్కోర్లలో వైవిధ్యం గురించి మనకు కొంత ఆలోచన ఉందని గుర్తుచేసుకోండి. దీని కోసం ఒకే సంఖ్యను పొందడానికి, మనం ప్రతి శ్రేణి యొక్క గరిష్ట మరియు కనిష్ట విలువల వ్యత్యాసాన్ని కనుగొంటాము. ఈ వ్యత్యాసాన్ని దత్తాంశం యొక్క ‘పరిధి’ అంటారు.

బ్యాట్స్మన్ A విషయంలో, పరిధి $=117-0=117$ మరియు బ్యాట్స్మన్ B కోసం, పరిధి $=60-46=14$. స్పష్టంగా, A యొక్క పరిధి $>$ $B$ యొక్క పరిధి. అందువల్ల, A విషయంలో స్కోర్లు చెదరగొట్టబడతాయి లేదా విస్తరించబడతాయి, అయితే B కోసం ఇవి ఒకదానికొకటి దగ్గరగా ఉంటాయి.

అందువల్ల, శ్రేణి యొక్క పరిధి $=$ గరిష్ట విలువ - కనిష్ట విలువ.

దత్తాంశం యొక్క పరిధి మనకు వైవిధ్యం లేదా చెదరగొట్టడం గురించి సుమారుగా ఒక ఆలోచనను ఇస్తుంది కానీ కేంద్రీయ ధోరణి నుండి దత్తాంశం యొక్క విస్తరణ గురించి చెప్పదు. ఈ ప్రయోజనం కోసం, మనకు వైవిధ్యం యొక్క కొన్ని ఇతర కొలతలు అవసరం. స్పష్టంగా, అటువంటి కొలత కేంద్రీయ ధోరణి నుండి విలువల వ్యత్యాసం (లేదా విచలనం)పై ఆధారపడి ఉండాలి.

కేంద్రీయ ధోరణి నుండి పరిశీలనల విచలనాలపై ఆధారపడిన విస్తరణ యొక్క ముఖ్యమైన కొలతలు సగటు విచలనం మరియు ప్రామాణిక విచలనం. వాటిని వివరంగా చర్చిద్దాం.

13.4 సగటు విచలనం

ఒక పరిశీలన $x$ యొక్క విచలనం ఒక స్థిర విలువ ’ $a$ ’ నుండి వ్యత్యాసం $x-a$ అని గుర్తుచేసుకోండి. $x$ యొక్క విలువల విస్తరణను కేంద్ర విలువ ’ $a$ ’ నుండి కనుగొనడానికి, మనం $a$ గురించి విచలనాలను కనుగొంటాము. విస్తరణ యొక్క ఒక సంపూర్ణ కొలత ఈ విచలనాల సగటు. సగటును కనుగొనడానికి, మనం విచలనాల మొత్తాన్ని పొందాలి. కానీ, కేంద్రీయ ధోరణి యొక్క కొలత పరిశీలనల సమితి యొక్క గరిష్ట మరియు కనిష్ట విలువల మధ్య ఉంటుందని మనకు తెలుసు. అందువల్ల, కొన్ని విచలనాలు ప్రతికూలంగా మరియు కొన్ని సానుకూలంగా ఉంటాయి. అందువల్ల, విచలనాల మొత్తం అదృశ్యమవుతుంది. అంతేకాకుండా, సగటు నుండి విచలనాల మొత్తం $(\bar{x})$ సున్నా.

అలాగే $\quad \quad \quad $ విచలనాల సగటు $=\frac{\text{ Sum of deviations }}{\text{ Number of observations }}=\frac{0}{n}=0$

అందువల్ల, విస్తరణ కొలతగా మనకు ఎలాంటి ఉపయోగం లేనందున, సగటు గురించి విచలనాల సగటును కనుగొనడం.

ఒక తగిన విస్తరణ కొలతను కనుగొనడంలో, ప్రతి విలువ యొక్క దూరం కేంద్రీయ ధోరణి లేదా ఒక స్థిర సంఖ్య ’ $a$ ’ నుండి అవసరమని గుర్తుంచుకోండి. రెండు సంఖ్యల వ్యత్యాసం యొక్క సంపూర్ణ విలువ సంఖ్య రేఖపై ప్రాతినిధ్యం వహించినప్పుడు సంఖ్యల మధ్య దూరాన్ని ఇస్తుందని గుర్తుచేసుకోండి. అందువల్ల, స్థిర సంఖ్య ’ $a$ ’ నుండి విస్తరణ కొలతను కనుగొనడానికి మనం కేంద్ర విలువ ’ $a$ ’ నుండి విచలనాల సంపూర్ణ విలువల సగటును తీసుకోవచ్చు. ఈ సగటును ‘సగటు విచలనం’ అంటారు. అందువల్ల కేంద్ర విలువ ’ $a$ ’ నుండి సగటు విచలనం అనేది ’ $a$ ’ నుండి పరిశీలనల విచలనాల సంపూర్ణ విలువల సగటు. ’ $a$ ’ నుండి సగటు విచలనాన్ని M.D. (a)గా సూచిస్తారు. అందువల్ల,

$ \text{ M.D. }(a)=\frac{\text{ Sum of absolute values of deviations from ’ } a \text{ ’ }}{\text{ Number of observations }} . $

శ్రద్ధ సగటు విచలనం ఏదైనా కేంద్రీయ ధోరణి నుండి పొందవచ్చు. అయితే, సగటు మరియు మధ్యగతం నుండి సగటు విచలనం సాంఖ్యక అధ్యయనాలలో సాధారణంగా ఉపయోగించబడుతుంది.

13.4.1 వర్గీకరించని దత్తాంశాల కోసం సగటు విచలనం

$n$ పరిశీలనలు $x_1, x_2, x_3, \ldots ., x_n$గా ఉండనివ్వండి. సగటు లేదా మధ్యగతం గురించి సగటు విచలనాన్ని లెక్కించడంలో క్రింది దశలు ఉంటాయి:

దశ 1 మనం సగటు విచలనాన్ని కనుగొనవలసిన కేంద్రీయ ధోరణి కొలతను లెక్కించండి. దానిని ’ $a$ ‘గా ఉండనివ్వండి.

దశ 2 ప్రతి $x_i$ యొక్క విచలనాన్ని $a$ నుండి కనుగొనండి, అనగా, $x_1-a, x_2-a, x_3-a, \ldots, x_n-a$

దశ 3 విచలనాల సంపూర్ణ విలువలను కనుగొనండి, అనగా, మైనస్ గుర్తు (-) ఉంటే దాన్ని వదిలించుకోండి, అనగా, $|x_1-a|,|x_2-a|,|x_3-a|, \ldots .,|x_n-a|$

దశ 4 విచలనాల సంపూర్ణ విలువల సగటును కనుగొనండి. ఈ సగటు $a$ గురించి సగటు విచలనం, అనగా,

$ \text{ M.D. }(a)=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}|x_i-a|}{n} $

అందువల్ల $\quad\quad\quad$ M.D. $(\bar{x})=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n}|x_i-\bar{x}|$, ఇక్కడ $\bar{x}=$ సగటు

మరియు $\quad\quad\quad$ M.D. $(M)=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n}|x_i-M|$, ఇక్కడ $M=$ మధ్యగతం

గమనిక - ఈ అధ్యాయంలో, మనం మధ్యగతాన్ని సూచించడానికి M గుర్తును ఉపయోగిస్తాము, లేకపోతే పేర్కొనబడినది కాకుండా.ఇప్పుడు క్రింది ఉదాహరణలలో పై పద్ధతి యొక్క దశలను వివరిద్దాం.

ఉదాహరణ 1 క్రింది దత్తాంశాల కోసం సగటు గురించి సగటు విచలనాన్ని కనుగొనండి:

$ 6,7,10,12,13,4,8,12 $

పరిష్కారం మనం దశలవారీగా ముందుకు సాగి క్రింది విధంగా పొందుతాము:

దశ 1 ఇచ్చిన దత్తాంశాల సగటు

$ \bar{x}=\frac{6+7+10+12+13+4+8+12}{8}=\frac{72}{8}=9 $

దశ 2 సగటు $\bar{x}$ నుండి సంబంధిత పరిశీలనల విచలనాలు, అనగా, $x_i-\bar{x}$

$\quad\quad\quad\quad 6-9,7-9,10-9,12-9,13-9,4-9,8-9,12-9$,

లేదా $ \quad\quad\quad\quad -3,-2,1,3,4,-5,-1,3 $

దశ 3 విచలనాల సంపూర్ణ విలువలు, అనగా, $|x_i-\bar{x}|$

$ 3,2,1,3,4,5,1,3 $

దశ 4 సగటు గురించి అవసరమైన సగటు విచలనం

$ \text{ M.D. } \begin{aligned} (\bar{x}) & =\frac{\sum\limits_{i=1}^{8}|x_i-\bar{x}|}{8} \\ & =\frac{3+2+1+3+4+5+1+3}{8}=\frac{22}{8}=2.75 \end{aligned} $

గమనిక - ప్రతిసారీ దశలను చేపట్టే బదులు, మనం దశలను సూచించకుండా దశలవారీగా గణనను కొనసాగించవచ్చు.

ఉదాహరణ 2 క్రింది దత్తాంశాల కోసం సగటు గురించి సగటు విచలనాన్ని కనుగొనండి:

$ 12,3,18,17,4,9,17,19,20,15,8,17,2,3,16,11,3,1,0,5 $

పరిష్కారం మనం మొదట ఇచ్చిన దత్తాంశాల సగటు $(\bar{x})$ని కనుగొనాలి

$ \bar{x}=\frac{1}{20} \sum\limits_{i=1}^{20} x_i=\frac{200}{20}=10 $

సగటు నుండి సంబంధిత సంపూర్ణ విచలన విలువలు, అనగా, $|x_i-\bar{x}|$

$ 2,7,8,7,6,1,7,9,10,5,2,7,8,7,6,1,7,9,10,5 $

అందువల్ల $\quad \sum\limits_{i=1}^{20}|x_i-\bar{x}|=124$

మరియు $ \quad\quad\quad\quad\text{ M.D. }(\bar{x})=\frac{124}{20}=6.2 $

ఉదాహరణ 3 క్రింది దత్తాంశాల కోసం మధ్యగతం గురించి సగటు విచలనాన్ని కనుగొనండి:

$ 3,9,5,3,12,10,18,4,7,19,21 \text{. } $

పరిష్కారం ఇక్కడ పరిశీలనల సంఖ్య 11, ఇది బేసి. దత్తాంశాలను ఆరోహణ క్రమంలో అమర్చడం ద్వారా, మనకు $3,3,4,5,7,9,10,12,18,19,21$ ఉంటుంది

ఇప్పుడు

$ \text{ Median }=(\frac{11+1}{2})^{\text{th }} \text{ or } 6^{\text{th }} \text{ observation }=9 $

మధ్యగతం నుండి సంబంధిత విచలనాల సంపూర్ణ విలువలు, అనగా, $|x_i-\mathbf{M}|$ $6,6,5,4,2,0,1,3,9,10,12$

అందువల్ల $ \quad\quad\quad\quad\quad \sum\limits_{i=1}^{11}|x_i-M|=58 $

మరియు $ \quad\quad\quad\text{ M.D. }(M)=\frac{1}{11} \sum\limits_{i=1}^{11}|x_i-M|=\frac{1}{11} \times 58=5.27 $

13.4.2 వర్గీకరించిన దత్తాంశాల కోసం సగటు విచలనం

దత్తాంశాలను రెండు విధాలుగా వర్గీకరించవచ్చని మనకు తెలుసు:

(a) వివిక్త పౌనఃపున్య విభాజనం,

(b) నిరంతర పౌనఃపున్య విభాజనం.

రెండు రకాల దత్తాంశాల కోసం సగటు విచలనాన్ని కనుగొనే పద్ధతిని చర్చిద్దాం.

(a) వివిక్త పౌనఃపున్య విభాజనం ఇచ్చిన దత్తాంశాలు $n$ విభిన్న విలువలు $x_1, x_2, \ldots, x_n$ కలిగి ఉండనివ్వండి, ఇవి వరుసగా $f_1, f_2, \ldots, f_n$ పౌనఃపున్యాలతో సంభవిస్తాయి. ఈ దత్తాంశాన్ని క్రింద ఇవ్వబడిన పట్టిక రూపంలో ప్రాతినిధ్యం వహించవచ్చు మరియు దీనిని వివిక్త పౌనఃపున్య విభాజనం అంటారు:

$ \begin{matrix} x: x_1 & x_2 & x_3 \ldots x_n \\ f: f_1 & f_2 & f_3 \ldots f_n \end{matrix} $

(i) సగటు గురించి సగటు విచలనం

మొదటగా మనం ఇచ్చిన దత్తాంశాల సగటు $\bar{x}$ని సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కనుగొంటాము

$ \bar{x}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n} x_i f_i}{\sum\limits_{i=1}^{n} f_i}=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{n} x_i f_i $

ఇక్కడ $\sum\limits_{i=1}^{n} x_i f_i$ పరిశీలనలు $x_i$ యొక్క వాటి సంబంధిత పౌనఃపున్యాలు $f_i$ మరియు $N=\sum\limits_{i=1}^{n} f_i$ పౌనఃపున్యాల మొత్తం యొక్క ఉత్పత్తుల మొత్తాన్ని సూచిస్తుంది.

అప్పుడు, మనం పరిశీలనల విచలనాలను $x_i$ సగటు $\bar{x}$ నుండి కనుగొంటాము మరియు వాటి సంపూర్ణ విలువలను తీసుకుంటాము, అనగా, అన్ని $i=1,2, \ldots, n$ కోసం $|x_i-\bar{x}|$.

దీని తర్వాత, విచలనాల సంపూర్ణ విలువల సగటును కనుగొనండి, ఇది సగటు గురించి అవసరమైన సగటు విచలనం. అందువల్ల

$ \quad\quad\text{ M.D. }(\bar{x})=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n} f_i|x_i-\bar{x}|}{\sum\limits_{i=1}^{n} f_i}=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{n} f_i|x_i-\bar{x}| $

(ii) మధ్యగతం గురించి సగటు విచలనం మధ్యగతం గురించి సగటు విచలనాన్ని కనుగొనడానికి, మనం ఇచ్చిన వివిక్త పౌనఃపున్య విభాజనం యొక్క మధ్యగతాన్ని కనుగొంటాము. దీని కోసం పరిశీలనలు ఆరోహణ క్రమంలో అమర్చబడతాయి. దీని తర్వాత సంచిత పౌనఃపున్యాలు పొందబడతాయి. అప్పుడు, మనం ఆ పరిశీలనను గుర్తించుకుంటాము, దీని సంచిత పౌనఃపున్యం $\frac{N}{2}$కి సమానంగా లేదా కేవలం ఎక్కువగా ఉంటుంది, ఇక్కడ $N$ పౌనఃపున్యాల మొత్తం. పరిశీలన యొక్క ఈ విలువ దత్తాంశాల మధ్యలో ఉంటుంది, అందువల్ల, ఇది అవసరమైన మధ్యగతం. మధ్యగతాన్ని కనుగొన్న తర్వాత, మధ్యగతం నుండి విచలనాల సంపూర్ణ విలువల సగటును పొందుతాము.అందువల్ల,

$ \text{ M.D.(M) }=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{n} f_i|x_i-M| $

ఉదాహరణ 4 క్రింది దత్తాంశాల కోసం సగటు గురించి సగటు విచలనాన్ని కనుగొనండి:

పరిష్కారం ఇచ్చిన దత్తాంశాల పట్టిక 13.1ని తయారు చేద్దాం మరియు గణనల తర్వాత ఇతర నిలువు వరుసలను జోడిద్దాం.

పట్టిక 13.1

$ N=\sum\limits_{i=1}^{6} f_i=40, \quad \sum\limits_{i=1}^{6} f_i x_i=300, \quad \sum\limits_{i=1}^{6} f_i|x_i-\bar{x}|=92 $

అందువల్ల $ \quad \quad \quad\bar{x}=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{6} f_i x_i=\frac{1}{40} \times 300=7.5 $

మరియు $\quad \quad \quad$ M. D. $(\bar{x})=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{6} f_i|x_i-\bar{x}|=\frac{1}{40} \times 92=2.3$

ఉదాహరణ 5 క్రింది దత్తాంశాల కోసం మధ్యగతం గురించి సగటు విచలనాన్ని కనుగొనండి:

| $x_i$ | 3 | 6 | 9 | 12 | 13 | 15 | 21 | 22 | | :—: | :—: | :