గణిత తార్కికతను ఉపయోగించగలిగిన చోట, మరొకదానిని ఉపయోగించడం అంతే పెద్ద మూర్ఖత్వం, చీకటిలో ఏదో వెతకడానికి చేతిలో దీపం ఉన్నప్పుడు. - జాన్ ఆర్బుత్నాట్

14.1 ఘటన

యాదృచ్ఛిక ప్రయోగం మరియు ప్రయోగంతో సంబంధించిన నమూనా స్థలం గురించి మేము అధ్యయనం చేసాము. నమూనా స్థలం ప్రయోగంతో సంబంధించిన అన్ని ప్రశ్నలకు సార్వత్రిక సమితిగా పనిచేస్తుంది.

ఒక నాణేన్ని రెండుసార్లు ఎగరేసే ప్రయోగాన్ని పరిగణించండి. దీనికి సంబంధించిన నమూనా స్థలం $S=\{HH, HT, TH, TT\}$.

ఇప్పుడు మనం ఖచ్చితంగా ఒకే ఒక్క తల సంభవించే అనుకూల ఫలితాలపై ఆసక్తి కలిగి ఉన్నామని అనుకుందాం. ఈ సంభవం (ఘటన) సంభవించడానికి సంబంధించి $S$ యొక్క మూలకాలు $HT$ మరియు $TH$ మాత్రమే అని మనం కనుగొంటాము. ఈ రెండు మూలకాలు $E=\{HT, TH\}$ సమితిని ఏర్పరుస్తాయి.

$E$ సమితి నమూనా స్థలం $S$ యొక్క ఉపసమితి అని మనకు తెలుసు. అదేవిధంగా, ఘటనలు మరియు S యొక్క ఉపసమితుల మధ్య క్రింది అనురూప్యతను మనం కనుగొంటాము.

పై చర్చ నమూనా స్థలం యొక్క ఉపసమితి ఒక ఘటనతో మరియు ఒక ఘటన నమూనా స్థలం యొక్క ఉపసమితితో సంబంధం కలిగి ఉందని సూచిస్తుంది. దీని వెలుగులో మనం ఒక ఘటనను ఈ క్రింది విధంగా నిర్వచిస్తాము.

నిర్వచనం నమూనా స్థలం $S$ యొక్క ఏదైనా ఉపసమితి $E$ని ఘటన అంటారు.

14.1.1 ఒక ఘటన యొక్క సంభవం

పాచికను విసిరే ప్రయోగాన్ని పరిగణించండి. $E$ “4 కంటే తక్కువ సంఖ్య కనిపిస్తుంది” అనే ఘటనను సూచిస్తుంది. పాచికపై వాస్తవానికి ‘1’ కనిపిస్తే, అప్పుడు ఘటన $E$ సంభవించిందని మనం చెప్పతాము. నిజానికి ఫలితాలు 2 లేదా 3 అయితే, ఘటన $E$ సంభవించిందని మనం చెప్పతాము.

అందువల్ల, నమూనా స్థలం $S$ యొక్క ఘటన $E$ సంభవించిందని చెప్పబడుతుంది, ప్రయోగం యొక్క ఫలితం $\omega$ అయితే $\omega \in E$. ఫలితం $\omega$ అయితే $\omega \notin E$, ఘటన $E$ సంభవించలేదని మనం చెప్పతాము.

14.1.2 ఘటనల రకాలు

ఘటనలు వాటిలో ఉన్న మూలకాల ఆధారంగా వివిధ రకాలుగా వర్గీకరించబడతాయి.

1. అసాధ్య మరియు ఖచ్చితమైన ఘటనలు ఖాళీ సమితి $\phi$ మరియు నమూనా స్థలం $S$ ఘటనలను వివరిస్తాయి. వాస్తవానికి $\phi$ని అసాధ్య ఘటన అని మరియు S, అంటే మొత్తం నమూనా స్థలాన్ని ఖచ్చితమైన ఘటన అంటారు.

వీటిని అర్థం చేసుకోవడానికి పాచికను దొర్లించే ప్రయోగాన్ని పరిగణిద్దాం. దీనికి సంబంధించిన నమూనా స్థలం $ S=\{1,2,3,4,5,6\} $

$E$ “పాచికపై కనిపించే సంఖ్య 7 యొక్క గుణకం” అనే ఘటనగా ఉండనివ్వండి. ఘటన $E$కి సంబంధించిన ఉపసమితిని మీరు వ్రాయగలరా?

స్పష్టంగా, ఘటనలో ఇచ్చిన షరతును ఏ ఫలితం కూడా సంతృప్తిపరచదు, అంటే ఘటన $E$ యొక్క సంభవాన్ని నిర్ధారించే నమూనా స్థలం యొక్క ఏ మూలకం లేదు. అందువలన, ఖాళీ సమితి మాత్రమే ఘటన $E$కి అనుగుణంగా ఉంటుందని మనం చెప్పవచ్చు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, పాచిక యొక్క ఎగువ ముఖంపై 7 యొక్క గుణకాన్ని కలిగి ఉండటం అసాధ్యం అని చెప్పవచ్చు. అందువలన, ఘటన $E=\phi$ ఒక అసాధ్య ఘటన.

ఇప్పుడు మరొక ఘటన $F$ “బేసి లేదా సరి సంఖ్య వస్తుంది"ని తీసుకుందాం. స్పష్టంగా $F=\{1,2,3,4,5,6\}=,S$, అంటే ప్రయోగం యొక్క అన్ని ఫలితాలు ఘటన $F$ యొక్క సంభవాన్ని నిర్ధారిస్తాయి. అందువలన, ఘటన $F=S$ ఒక ఖచ్చితమైన ఘటన.

2. సాధారణ ఘటన ఒక ఘటన $E$కి నమూనా స్థలం యొక్క ఒకే ఒక్క నమూనా బిందువు ఉంటే, దానిని సాధారణ (లేదా ప్రాథమిక) ఘటన అంటారు. $n$ విభిన్న మూలకాలను కలిగి ఉన్న నమూనా స్థలంలో, సరిగ్గా $n$ సాధారణ ఘటనలు ఉంటాయి.

ఉదాహరణకు, రెండు నాణేలను ఎగరవేసే ప్రయోగంలో, ఒక నమూనా స్థలం

$$ S=\{HH, HT, TH, TT\} $$

ఈ నమూనా స్థలానికి సంబంధించి నాలుగు సాధారణ ఘటనలు ఉన్నాయి. ఇవి

$$ E_1=\{HH\}, E_2=\{HT\}, E_3=\{TH\} \text{ and } E_4=\{TT\} $$

3. సంయుక్త ఘటన ఒక ఘటనకు ఒకటి కంటే ఎక్కువ నమూనా బిందువులు ఉంటే, దానిని సంయుక్త ఘటన అంటారు.

ఉదాహరణకు, “ఒక నాణేన్ని మూడుసార్లు ఎగరవేయడం” ప్రయోగంలో ఘటనలు

E: ‘సరిగ్గా ఒక తల కనిపించింది’

F: ‘కనీసం ఒక తల కనిపించింది’

G: ‘గరిష్ఠంగా ఒక తల కనిపించింది’ మొదలైనవి.

అన్నీ సంయుక్త ఘటనలు. ఈ ఘటనలతో సంబంధం ఉన్న $S$ యొక్క ఉపసమితులు

$ \begin{aligned} & E=\{HTT, THT, TTH\} \\ & F=\{HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH, HHH\} \\ & G=\{TTT, \text{ THT, HTT, TTH }\} \end{aligned} $

పైన ఉన్న ప్రతి ఉపసమితి ఒకటి కంటే ఎక్కువ నమూనా బిందువులను కలిగి ఉంటాయి, కాబట్టి అవన్నీ సంయుక్త ఘటనలు.

14.1.3 ఘటనల బీజగణితం

సమితుల అధ్యాయంలో, మేము రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సమితులను కలపడానికి వివిధ మార్గాలను అధ్యయనం చేసాము, అవి, యూనియన్, ఇంటర్సెక్షన్, వ్యత్యాసం, సమితి యొక్క పూరకం మొదలైనవి. అదేవిధంగా మనం రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ఘటనలను సారూప్య సమితి సంజ్ఞలను ఉపయోగించి కలపవచ్చు.

A, B, C లు నమూనా స్థలం S గల ప్రయోగంతో సంబంధించిన ఘటనలుగా ఉండనివ్వండి.

1. పూరక ఘటన ప్రతి ఘటన A కోసం, $A^{\prime}$ అనే మరొక ఘటన ఉంటుంది, దీనిని $A$కి పూరక ఘటన అంటారు. దీనిని ‘$A$ కాదు’ అనే ఘటన అని కూడా అంటారు.

ఉదాహరణకు, ‘మూడు నాణేలను ఎగరవేయడం’ ప్రయోగాన్ని తీసుకోండి. దీనికి సంబంధించిన నమూనా స్థలం $ S=\{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\} $

$A=\{HTH, HHT, THH\}$ ‘సరిగ్గా ఒక తోక కనిపిస్తుంది’ అనే ఘటనగా ఉండనివ్వండి. HTT ఫలితం కోసం, ఘటన A సంభవించలేదని స్పష్టంగా ఉంది. కానీ ‘A కాదు’ ఘటన సంభవించిందని మనం చెప్పవచ్చు. అందువలన, Aలో లేని ప్రతి ఫలితంతో, ‘A కాదు’ సంభవిస్తుందని మనం చెప్తాము.

అందువలన ఘటన Aకి పూరక ఘటన ‘A కాదు’

$ A^{\prime}=\{HHH, HTT, THT, TTH, TTT\} $

లేదా $ \quad \quad \quad \quad A^{\prime}=\{\omega: \omega \in S \text{ and } \omega \notin A\}=S-A . $

2. ఘటన ‘A లేదా B’ A మరియు B అనే రెండు సమితుల యూనియన్ A $\cup$ B ద్వారా సూచించబడుతుందని గుర్తుంచుకోండి, ఇది A లో లేదా B లో లేదా రెండింటిలోనూ ఉన్న అన్ని మూలకాలను కలిగి ఉంటుంది.

సమితులు $A$ మరియు $B$ ఒక నమూనా స్థలంతో సంబంధం ఉన్న రెండు ఘటనలు అయినప్పుడు, ‘A $\cup B$’ అనేది ‘గాని $A$ లేదా $B$ లేదా రెండూ’ అనే ఘటన. ఈ ఘటన ‘A $\cup B$‘ని ‘A లేదా B’ అని కూడా అంటారు. అందువలన

$ \begin{aligned} \text{ ఘటన }^{\prime} A \text{ లేదా } B^{\prime} & =A \cup B \\ & =\{\omega: \omega \in A \text{ లేదా } \omega \in B\} \end{aligned} $

3. ఘటన ‘A మరియు B’ రెండు సమితుల ఇంటర్సెక్షన్ $A \cap B$ అనేది A మరియు B రెండింటికీ సాధారణమైన మూలకాల సమితి అని మనకు తెలుసు. అంటే ‘A మరియు B’ రెండింటికీ చెందినవి.

$A$ మరియు $B$ రెండు ఘటనలు అయితే, సమితి $A \cap B$ ‘$A$ మరియు $B$’ అనే ఘటనను సూచిస్తుంది.

అందువలన, $ \quad A \cap B=\{\omega: \omega \in A and \omega \in B\} $

ఉదాహరణకు, ‘పాచికను రెండుసార్లు విసిరే’ ప్రయోగంలో $A$ ‘మొదటి విసిరేతలో స్కోరు ఆరు’ అనే ఘటనగా ఉండనివ్వండి మరియు B అనేది ‘రెండు స్కోర్ల మొత్తం కనీసం 11’ అనే ఘటన అయితే

$ A=\{(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}, \text{ మరియు } B=\{(5,6),(6,5),(6,6)\} $

కాబట్టి $\quad A \cap B=\{(6,5),(6,6)\}$

సమితి $A \cap B=\{(6,5),(6,6)\}$ ‘మొదటి విసిరేతలో స్కోరు ఆరు మరియు స్కోర్ల మొత్తం కనీసం 11’ అనే ఘటనను సూచిస్తుందని గమనించండి.

4. ఘటన ‘A కానీ B కాదు’ A-B అనేది Aలో ఉన్న కానీ Bలో లేని అన్ని మూలకాల సమితి అని మనకు తెలుసు. అందువలన, సమితి A-B ‘A కానీ B కాదు’ అనే ఘటనను సూచిస్తుంది. మనకు తెలుసు $ A-B=A \cap B^{\prime} $

ఉదాహరణ 1 పాచికను దొర్లించే ప్రయోగాన్ని పరిగణించండి. A ‘ప్రధాన సంఖ్య వస్తుంది’ అనే ఘటనగా ఉండనివ్వండి, B ‘బేసి సంఖ్య వస్తుంది’ అనే ఘటనగా ఉండనివ్వండి. ఘటనలను సూచించే సమితులను వ్రాయండి (i) A లేదా B (ii) A మరియు B (iii) A కానీ B కాదు (iv) ‘A కాదు’.

పరిష్కారం ఇక్కడ $\quad S=\{1,2,3,4,5,6\}, A=\{2,3,5\}$ మరియు $B=\{1,3,5\}$

స్పష్టంగా

(i) ‘A లేదా $B ‘=A \cup B=\{1,2,3,5\}$

(ii) ‘$A$ మరియు $B ‘=A \cap B=\{3,5\}$

(iii) ‘A కానీ $B$ కాదు’ $=A-B=\{2\}$

(iv) ‘$A^{\prime}=A^{\prime}=\{1,4,6\}$ కాదు

14.1.4 పరస్పరం ప్రత్యేక ఘటనలు

పాచికను దొర్లించే ప్రయోగంలో, ఒక నమూనా స్థలం $S=\{1,2,3,4,5,6\}$. ఘటనలను పరిగణించండి, $A$ ‘ఒక బేసి సంఖ్య కనిపిస్తుంది’ మరియు $B$ ‘ఒక సరి సంఖ్య కనిపిస్తుంది’

స్పష్టంగా ఘటన A ఘటన Bని మినహాయిస్తుంది మరియు దీనికి విరుద్ధంగా. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఘటనలు A మరియు B ఏకకాలంలో సంభవించడాన్ని నిర్ధారించే ఫలితం లేదు. ఇక్కడ

$A=\{1,3,5\}$ మరియు $B=\{2,4,6\}$

స్పష్టంగా $A \cap B=\phi$, అంటే $A$ మరియు $B$ వియుక్త సమితులు.

సాధారణంగా, రెండు ఘటనలు $A$ మరియు $B$ వాటిలో ఏదైనా ఒకటి సంభవించడం మరొక ఘటన యొక్క సంభవాన్ని మినహాయిస్తే, అంటే అవి ఏకకాలంలో సంభవించకపోతే, పరస్పరం ప్రత్యేక ఘటనలు అంటారు. ఈ సందర్భంలో A మరియు B సమితులు వియుక్తంగా ఉంటాయి.

మళ్ళీ పాచికను దొర్లించే ప్రయోగంలో, ఘటన A ‘బేసి సంఖ్య కనిపిస్తుంది’ మరియు ఘటన $B$ ‘4 కంటే తక్కువ సంఖ్య కనిపిస్తుంది’ని పరిగణించండి.

స్పష్టంగా $A=\{1,3,5\}$ మరియు $B=\{1,2,3\}$

ఇప్పుడు $3 \in A$ అలాగే $3 \in B$

అందువలన, A మరియు B పరస్పరం ప్రత్యేక ఘటనలు కావు.

వ్యాఖ్య నమూనా స్థలం యొక్క సాధారణ ఘటనలు ఎల్లప్పుడూ పరస్పరం ప్రత్యేకంగా ఉంటాయి.

14.1.5 సమగ్ర ఘటనలు

పాచికను విసిరే ప్రయోగాన్ని పరిగణించండి. మనకు $S=\{1,2,3,4,5,6\}$ ఉంది. క్రింది ఘటనలను నిర్వచిద్దాం

A: ‘4 కంటే తక్కువ సంఖ్య కనిపిస్తుంది’,

B: ‘2 కంటే ఎక్కువ కానీ 5 కంటే తక్కువ సంఖ్య కనిపిస్తుంది’

మరియు C: ‘4 కంటే ఎక్కువ సంఖ్య కనిపిస్తుంది’.

అప్పుడు $A=\{1,2,3\}, B=\{3,4\}$ మరియు $C=\{5,6\}$. మేము గమనించాము

$$ A \cup B \cup C=\{1,2,3\} \cup\{3,4\} \cup\{5,6\}=S . $$

అటువంటి ఘటనలు $A, B$ మరియు $C$ సమగ్ర ఘటనలు అంటారు. సాధారణంగా, $E_1, E_2, \ldots, E_n$ ఒక నమూనా స్థలం $S$ యొక్క $n$ ఘటనలు అయితే మరియు

$$ E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup \ldots \cup E_n=\bigcup\limits_{i=1}^{n} E_i=S $$

అప్పుడు $E_1, E_2, \ldots, E_n$ సమగ్ర ఘటనలు అంటారు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ప్రయోగం చేసినప్పుడు వాటిలో కనీసం ఒకటి తప్పనిసరిగా సంభవిస్తే, ఘటనలు $E_1, E_2, \ldots, E_n$ సమగ్రంగా ఉన్నాయని చెప్పబడుతుంది.

ఇంకా, $E_i \cap E_j=\phi$ అయితే $i \neq j$ కోసం, అంటే ఘటనలు $E_i$ మరియు $E_j$ జతగా వియుక్తంగా ఉంటాయి మరియు $\bigcup\limits_{i=1}^{n} E_i=S$, అప్పుడు ఘటనలు $E_1, E_2, \ldots, E_n$ పరస్పరం ప్రత్యేక మరియు సమగ్ర ఘటనలు అంటారు.

మేము ఇప్పుడు కొన్ని ఉదాహరణలను పరిగణిస్తాము.

ఉదాహరణ 2 రెండు పాచికలు విసిరి, పాచికలపై వచ్చే సంఖ్యల మొత్తం గమనించబడుతుంది. ఈ ప్రయోగంతో సంబంధం ఉన్న క్రింది ఘటనలను పరిగణిద్దాం

A: ‘మొత్తం సరి’.

B: ‘మొత్తం 3 యొక్క గుణకం’.

C: ‘మొత్తం 4 కంటే తక్కువ’.

$D$ : ‘మొత్తం 11 కంటే ఎక్కువ’.

ఈ ఘటనలలో ఏ జతలు పరస్పరం ప్రత్యేకమైనవి?

పరిష్కారం నమూనా స్థలం $S=\{(x, y): x, y=1,2,3,4,5,6\}$లో 36 మూలకాలు ఉన్నాయి.

అప్పుడు $ A= \{(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4), (4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)\} $

$ B= \{(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(3,3),(2,4),(4,2),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4), (6,6)\} $

$ C= \{(1,1),(2,1),(1,2)\} \text{ and } D=\{(6,6)\} $

మేము కనుగొంటాము

$ A \cap B=\{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,6)\} \neq \phi $

అందువలన, $A$ మరియు $B$ పరస్పరం ప్రత్యేక ఘటనలు కావు.

అదేవిధంగా $A \cap C \neq \phi, A \cap D \neq \phi, B \cap C \neq \phi$ మరియు $B \cap D \neq \phi$.

అందువలన, ఘటనల జతలు, $(A, C),(A, D),(B, C),(B, D)$ పరస్పరం ప్రత్యేక ఘటనలు కావు.

అలాగే $C \cap D=\phi$ మరియు కాబట్టి $C$ మరియు $D$ పరస్పరం ప్రత్యేక ఘటనలు.

ఉదాహరణ 3 $A$ నాణేన్ని మూడుసార్లు ఎగరవేస్తారు, క్రింది ఘటనలను పరిగణించండి. కనిపిస్తాయి’.

$\mathrm{A}$ : ‘తల కనిపించదు’, $\mathrm{B}$ : ‘సరిగ్గా ఒక తల కనిపిస్తుంది’ మరియు $\mathrm{C}$ : ‘కనీసం రెండు తలలు

అవి పరస్పరం ప్రత్యేక మరియు సమగ్ర ఘటనల సమితిని ఏర్పరుస్తాయా?

పరిష్కారం ప్రయోగం యొక్క నమూనా స్థలం

$S=\{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT \}$

మరియు $A=\{TTT\}, B=\{HTT, THT, TTH\}, C=\{HHT, HTH, THH, HHH\}$

ఇప్పుడు $\mathrm{A} \cup \mathrm{B} \cup \mathrm{C}=\{\mathrm{TTT}, \mathrm{HTT}, \mathrm{THT}, \mathrm{TTH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}, \mathrm{HHH}\}=\mathrm{S}$

అందువలన, $A, B$ మరియు $C$ సమగ్ర ఘటనలు.

అలాగే, $\quad A \cap B=\phi, A \cap C=\phi$ మరియు $B \cap C=\phi$

అందువలన, ఘటనలు జతగా వియుక్తంగా ఉంటాయి, అంటే అవి పరస్పరం ప్రత్యేకంగా ఉంటాయి.

అందువలన, A, B మరియు C పరస్పరం ప్రత్యేక మరియు సమగ్ర ఘటనల సమితిని ఏర్పరుస్తాయి.

14.2 సంభావ్యతకు స్వయంసిద్ధ విధానం

మునుపటి విభాగాలలో, మేము యాదృచ్ఛిక ప్రయోగాలు, నమూనా స్థలం మరియు ఈ ప్రయోగాలతో సంబంధం ఉన్న ఘటనలను పరిగణించాము. మన రోజువారీ జీవితంలో ఘటనల సంభవం యొక్క అవకాశాల గురించి మనం అనేక పదాలను ఉపయోగిస్తాము. సంభావ్యత సిద్ధాంతం ఘటనల సంభవం లేదా సంభవించకపోవడం యొక్క ఈ అవకాశాలను పరిమాణాత్మకంగా తెలుసుకోవడానికి ప్రయత్నిస్తుంది.

మునుపటి తరగతులలో, మొత్తం ఫలితాల సంఖ్య తెలిసిన ప్రయోగంతో సంబంధం ఉన్న ఘటనకు సంభావ్యతను కేటాయించడానికి కొన్ని పద్ధతులను మేము అధ్యయనం చేసాము.

స్వయంసిద్ధ విధానం అనేది ఒక ఘటన యొక్క సంభావ్యతను వివరించడానికి మరొక మార్గం. ఈ విధానంలో సంభావ్యతలను కేటాయించడానికి కొన్ని స్వయంసిద్ధాంతాలు లేదా నియమాలు చిత్రీకరించబడతాయి.

$S$ ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగం యొక్క నమూనా స్థలంగా ఉండనివ్వండి. సంభావ్యత $P$ ఒక వాస్తవ-విలువ ఫంక్షన్, దీని డొమైన్ $S$ యొక్క పవర్ సెట్ మరియు పరిధి విరామం $[0,1]$ క్రింది స్వయంసిద్ధాంతాలను సంతృప్తిపరుస్తుంది

$\begin{matrix} \text{ (i) For any event } E, P(E) \geq 0 & \text{ (ii) } P(S)=1\end{matrix} $

(iii) $E$ మరియు $F$ పరస్పరం ప్రత్యేక ఘటనలు అయితే, $P(E \cup F)=P(E)+P(F)$.

ఇది (iii) నుండి అనుసరిస్తుంది $P(\phi)=0$. దీన్ని నిరూపించడానికి, మనం $F=\phi$ తీసుకుంటాము మరియు $E$ మరియు $\phi$ వియుక్త ఘటనలు అని గమనించండి. అందువలన, స్వయంసిద్ధాంతం (iii) నుండి, మనకు లభిస్తుంది

$ P(E \cup \phi)=P(E)+P(\phi) \text{ లేదా } \quad P(E)=P(E)+P(\phi) \text{ అంటే } P