గణితశాస్త్రం అనేది అన్ని భౌతిక పరిశోధనలకు అవసరమైన సాధనం. - బెర్తెలోట్

2.1 పరిచయం

గణితంలో చాలా భాగం ఒక నమూనాను కనుగొనడం గురించి - మారుతున్న రాశుల మధ్య గుర్తించదగిన సంబంధం. మన రోజువారీ జీవితంలో, మనం సోదరుడు మరియు సోదరి, తండ్రి మరియు కుమారుడు, గురువు మరియు విద్యార్థి వంటి సంబంధాలను వర్ణించే అనేక నమూనాలను చూస్తాము. గణితంలో కూడా, మనం అనేక సంబంధాలను చూస్తాము, ఉదాహరణకు సంఖ్య $m$ సంఖ్య $n$ కంటే తక్కువ, రేఖ $l$ రేఖ $m$ కు సమాంతరంగా ఉంది, సమితి $A$ సమితి $B$ యొక్క ఉపసమితి. ఇవన్నీ చూస్తే, ఒక సంబంధం నిర్దిష్ట క్రమంలో వస్తువుల జతలను కలిగి ఉంటుందని మనం గమనించవచ్చు. ఈ అధ్యాయంలో, మనం రెండు సమితుల నుండి వస్తువుల జతలను ఎలా కలుపుతామో నేర్చుకుంటాము మరియు తర్వాత జతలోని రెండు వస్తువుల మధ్య సంబంధాలను పరిచయం చేస్తాము. చివరగా, ప్రమేయాలుగా అర్హత సాధించే ప్రత్యేక సంబంధాల గురించి మనం తెలుసుకుంటాము.

G.W.లీబ్నిట్జ్ (1646-1716 A.D.)

ప్రమేయం యొక్క భావన గణితంలో చాలా ముఖ్యమైనది, ఎందుకంటే ఇది ఒక రాశికి మరొక రాశితో గణితశాస్త్రపరంగా ఖచ్చితమైన అనురూప్యత యొక్క ఆలోచనను సంగ్రహిస్తుంది.

2.2 సమితుల కార్టీజియన్ గుణకారం

A అనేది 2 రంగుల సమితి మరియు B అనేది 3 వస్తువుల సమితి అనుకుందాం, అంటే,

$$ A=\{\text { red, blue }\} \text { and } B=\{b, c, s\} \text {, } $$

ఇక్కడ $b, c$ మరియు $s$ వరుసగా ఒక నిర్దిష్ట సంచి, కోటు మరియు చొక్కాను సూచిస్తాయి.

ఈ రెండు సమితుల నుండి ఎన్ని రంగుల వస్తువుల జతలు తయారు చేయవచ్చు?

చాలా క్రమబద్ధమైన పద్ధతిలో ముందుకు సాగితే, క్రింద ఇవ్వబడిన విధంగా 6 విభిన్న జతలు ఉంటాయని మనం చూడవచ్చు:

(ఎరుపు, $b$ ), (ఎరుపు, $c$ ), (ఎరుపు, $s$ ), (నీలం, $b$ ), (నీలం, $c$ ), (నీలం, $s$ ).

అందువలన, మనకు 6 విభిన్న వస్తువులు లభిస్తాయి (Fig 2.1).

Fig 2.1

ఏదైనా రెండు సమితులు $P$ మరియు $Q$ నుండి తీసుకోబడిన మూలకాల యొక్క క్రమయుత జత అనేది చిన్న బ్రాకెట్లలో వ్రాయబడి మరియు ఒక నిర్దిష్ట క్రమంలో కలిసి సమూహం చేయబడిన మూలకాల జత, అంటే, $(p, q), p \in P$ మరియు $q \in Q$. ఇది క్రింది నిర్వచనానికి దారి తీస్తుంది:

నిర్వచనం 1 రెండు శూన్యేతర సమితులు $P$ మరియు $Q$ ఇవ్వబడ్డాయి. కార్టీజియన్ గుణకారం $P \times Q$ అనేది $P$ మరియు $Q$ నుండి తీసుకోబడిన మూలకాల యొక్క అన్ని క్రమయుత జతల సమితి, అంటే,

$$ P \times Q=\{(p, q): p \in P, q \in Q\} $$

$P$ లేదా $Q$ లో ఏదైనా శూన్య సమితి అయితే, $P \times Q$ కూడా శూన్య సమితి అవుతుంది, అంటే, $P \times Q=\phi$

పైన ఇవ్వబడిన దృష్టాంతం నుండి మనం గమనించేది

$A \times B=\{(red, b),($ ఎరుపు,$c),($ ఎరుపు,$s),($ నీలం,$b),($ నీలం,$c),($ నీలం,$s)\}$.

మరోసారి, రెండు సమితులను పరిగణించండి:

$A=\{DL, MP, KA\}$, ఇక్కడ DL, MP, KA వరుసగా ఢిల్లీ, మధ్యప్రదేశ్ మరియు కర్ణాటకను సూచిస్తాయి మరియు B $=\{01,02, 03 \}$ DL, MP మరియు KA ద్వారా జారీ చేయబడిన వాహనాల లైసెన్స్ ప్లేట్ల కోడ్లను సూచిస్తుంది.

ఢిల్లీ, మధ్యప్రదేశ్ మరియు కర్ణాటక అనే మూడు రాష్ట్రాలు, వాహనాల లైసెన్స్ ప్లేట్ల కోడ్లను తయారు చేస్తున్నట్లయితే, కోడ్ సమితి $A$ నుండి ఒక మూలకంతో ప్రారంభమవుతుందనే నిబంధనతో, ఈ సమితుల నుండి లభించే జతలు ఏమిటి మరియు అలాంటి జతలు ఎన్ని ఉంటాయి (Fig 2.2)?

Fig 2.2

లభించే జతలు: $(\mathrm{DL}, 01),(\mathrm{DL}, 02),(\mathrm{DL}, 03),(\mathrm{MP}, 01),(\mathrm{MP}, 02)$, $(\mathrm{MP}, 03),(\mathrm{KA}, 01),(\mathrm{KA}, 02),(\mathrm{KA}, 03)$ మరియు సమితి $A$ మరియు సమితి $B$ యొక్క గుణకారం $\mathrm{A} \times \mathrm{B}=\{(\mathrm{DL}, 01),(\mathrm{DL}, 02),(\mathrm{DL}, 03),(\mathrm{MP}, 01),(\mathrm{MP}, 02),(\mathrm{MP}, 03),(\mathrm{KA}, 01),(\mathrm{KA}, 02)$, $(\mathrm{KA}, 03)\} \text {. }$ ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది

ప్రతి సమితి A మరియు B లో 3 మూలకాలు ఉన్నందున, కార్టీజియన్ గుణకారంలో అలాంటి 9 జతలు ఉంటాయని సులభంగా చూడవచ్చు. ఇది మనకు 9 సాధ్యమయ్యే కోడ్లను ఇస్తుంది. ఈ మూలకాలు జతచేయబడిన క్రమం కూడా కీలకమైనదని గమనించండి. ఉదాహరణకు, కోడ్ (DL, 01 ) కోడ్ $(01, DL)$ వలె ఒకేలా ఉండదు.

చివరి దృష్టాంతంగా, రెండు సమితులు $A=\{a_1, a_2\}$ మరియు $B=\{b_1, b_2, b_3, b_4\}$ ను పరిగణించండి (Fig 2.3).

$A \times B=\{(a_1, b_1),(a_1, b_2),(a_1, b_3),(a_1, b_4),(a_2, b_1),(a_2, b_2),(a_2, b_3),(a_2, b_4)\} .$

ఈ విధంగా ఏర్పడిన 8 క్రమయుత జతలు, A మరియు B వాస్తవ సంఖ్యల సమితి యొక్క ఉపసమితులు అయితే, సమతలంలోని బిందువుల స్థానాన్ని సూచించగలవు మరియు స్థానం $(a_1, b_2)$ లోని బిందువు స్థానం $(b_2, a_1)$ లోని బిందువు నుండి భిన్నంగా ఉంటుందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది.

Fig 2.3

వ్యాఖ్యలు

(i) రెండు క్రమయుత జతలు సమానంగా ఉంటాయి, మరియు మాత్రమే సంబంధిత మొదటి మూలకాలు సమానంగా ఉంటే మరియు రెండవ మూలకాలు కూడా సమానంగా ఉంటే.

(ii) $p$ లో $A$ మూలకాలు మరియు $q$ లో $B$ మూలకాలు ఉంటే, $p q$ లో $A \times B$ మూలకాలు ఉంటాయి, అంటే, $n(A)=p$ మరియు $n(B)=q$ అయితే, $n(A \times B)=p q$.

(iii) $A$ మరియు $B$ శూన్యేతర సమితులు మరియు $A$ లేదా $B$ లో ఏదైనా అనంత సమితి అయితే, $A \times B$ కూడా అలాగే ఉంటుంది.

(iv) $A \times A \times A=\{(a, b, c): a, b, c \in A\}$. ఇక్కడ $(a, b, c)$ ను క్రమయుత త్రయం అంటారు.

ఉదాహరణ 1 $(x+1, y-2)=(3,1)$ అయితే, $x$ మరియు $y$ విలువలను కనుగొనండి.

పరిష్కారం క్రమయుత జతలు సమానంగా ఉన్నందున, సంబంధిత మూలకాలు సమానంగా ఉంటాయి.

అందువలన

$ x+1=3 \text { and } y-2=1 \text {. } $

పరిష్కరిస్తే మనకు $\quad x=2$ మరియు $y=3$ లభిస్తాయి.

ఉదాహరణ 2 $P=\{a, b, c\}$ మరియు $Q=\{r\}$ అయితే, సమితులు $P \times Q$ మరియు $Q \times P$ ను ఏర్పరచండి.

ఈ రెండు గుణకారాలు సమానమా?

పరిష్కారం కార్టీజియన్ గుణకారం యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం,

$$ P \times Q=\{(a, r),(b, r),(c, r)\} \text { and } Q \times P=\{(r, a),(r, b),(r, c)\} $$

క్రమయుత జతల సమానత్వం యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం, జత $(a, r)$ జత $(r, a)$ కు సమానం కాదు కాబట్టి, మనం $P \times Q \neq Q \times P$ అని నిర్ధారించవచ్చు.

అయితే, ప్రతి సమితిలోని మూలకాల సంఖ్య ఒకేలా ఉంటుంది.

ఉదాహరణ 3 $A=\{1,2,3\}, B=\{3,4\}$ మరియు $C=\{4,5,6\}$ అనుకుందాం. కనుగొనండి

(i) $A \times(B \cap C)$

(ii) $(A \times B) \cap(A \times C)$

(iii) $A \times(B \cup C)$

(iv) $(A \times B) \cup(A \times C)$

పరిష్కారం (i) రెండు సమితుల ఖండన యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం, $(B \cap C)=\{4\}$.

అందువలన, $A \times(B \cap C)=\{(1,4),(2,4),(3,4)\}$.

(ii) ఇప్పుడు $(A \times B)=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4)\}$ మరియు $(A \times C)=\{(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6)\}$

అందువలన, $(A \times B) \cap(A \times C)=\{(1,4),(2,4),(3,4)\}$.

(iii) ఎందుకంటే, $\quad(B \cup C)=\{3,4,5,6\}$,

మనకు $\quad \mathrm{A} \times(\mathrm{B} \cup \mathrm{C})=\{(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3)$, $(3,4),(3,5),(3,6)\}$ ఉన్నాయి.

(iv) పైన భాగం (ii) నుండి సమితులు $A \times B$ మరియు $A \times C$ ను ఉపయోగించి, మనం $(A \times B) \cup(A \times C)=\{(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)$, $(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)\}$ ను పొందుతాము.

ఉదాహరణ 4 $P=\{1,2\}$ అయితే, సమితి $P \times P \times P$ ను ఏర్పరచండి.

పరిష్కారం మనకు ఉన్నది, $ P \times P \times P=\{(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,1,2),(2,2,1)$, $(2,2,2)\} $.

ఉదాహరణ 5 $\mathbf{R}$ అన్ని వాస్తవ సంఖ్యల సమితి అయితే, కార్టీజియన్ గుణకారాలు $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$ మరియు $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}$ ఏమి సూచిస్తాయి?

పరిష్కారం కార్టీజియన్ గుణకారం $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$ సమితి $\mathbf{R} \times \mathbf{R}=\{(x, y): x, y \in \mathbf{R}\}$ ను సూచిస్తుంది, ఇది ద్విమితీయ అంతరాళంలోని అన్ని బిందువుల నిరూపకాలను సూచిస్తుంది మరియు కార్టీజియన్ గుణకారం $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}$ సమితి $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}=\{(x, y, z): x, y, z \in \mathbf{R}\}$ ను సూచిస్తుంది, ఇది త్రిమితీయ అంతరాళంలోని అన్ని బిందువుల నిరూపకాలను సూచిస్తుంది.

ఉదాహరణ 6 $A \times B=\{(p, q),(p, r),(m, q),(m, r)\}$ అయితే, $A$ మరియు $B$ ను కనుగొనండి.

పరిష్కారం

$$ \begin{aligned} & A=\text { set of first elements }=\{p, m\} \\ & B=\text { set of second elements }=\{q, r\} . \end{aligned} $$

2.1 సంబంధాలు

రెండు సమితులు $P=\{a, b, c\}$ మరియు $Q=\{$ అలీ, భాను, బినోయ్, చంద్ర, దివ్య $\}$ ను పరిగణించండి.

$P$ మరియు $Q$ యొక్క కార్టీజియన్ గుణకారంలో 15 క్రమయుత జతలు ఉంటాయి, వాటిని $P \times Q=\{(a, \text{Ali})$, (a, భాను), (a, బినోయ్), …, (c, దివ్య) $\}$ గా జాబితా చేయవచ్చు.

Fig 2.4

మనం ఇప్పుడు ప్రతి క్రమయుత జత $(x, y)$ యొక్క మొదటి మూలకం $x$ మరియు రెండవ మూలకం $y$ మధ్య ఒక సంబంధం $R$ ను పరిచయం చేయడం ద్వారా $P \times Q$ యొక్క ఉపసమితిని పొందవచ్చు

$R=\{(x, y): x$ అనేది పేరు $y, x \in P, y \in Q\}$ యొక్క మొదటి అక్షరం.

అప్పుడు $R=\{(a, Ali),(b, Bhanu),(b, Binoy),(c$, చంద్ర $)\}$

ఈ సంబంధం $R$ యొక్క దృశ్య ప్రాతినిధ్యం (బాణం రేఖాచిత్రం అని పిలువబడేది) Fig 2.4 లో చూపబడింది.

నిర్వచనం 2 ఒక శూన్యేతర సమితి $A$ నుండి మరొక శూన్యేతర సమితి $B$ కు ఒక సంబంధం $R$ అనేది కార్టీజియన్ గుణకారం $A \times B$ యొక్క ఉపసమితి. ఈ ఉపసమితి $A \times B$ లోని క్రమయుత జతల యొక్క మొదటి మూలకం మరియు రెండవ మూలకం మధ్య ఒక సంబంధాన్ని వివరించడం ద్వారా పొందబడుతుంది. రెండవ మూలకాన్ని మొదటి మూలకం యొక్క ప్రతిబింబం అంటారు.

నిర్వచనం 3 ఒక సమితి A నుండి ఒక సమితి $B$ కు ఒక సంబంధం $R$ లోని క్రమయుత జతల యొక్క అన్ని మొదటి మూలకాల సమితిని సంబంధం $R$ యొక్క ప్రదేశం (డొమైన్) అంటారు.

నిర్వచనం 4 ఒక సమితి $A$ నుండి ఒక సమితి $B$ కు ఒక సంబంధం $R$ లోని అన్ని రెండవ మూలకాల సమితిని సంబంధం $R$ యొక్క వ్యాప్తి (రేంజ్) అంటారు. మొత్తం సమితి $B$ ను సంబంధం $R$ యొక్క సహప్రదేశం (కోడొమైన్) అంటారు. వ్యాప్తి $\subset$ సహప్రదేశం అని గమనించండి.

వ్యాఖ్యలు (i) ఒక సంబంధాన్ని బీజగణిత పద్ధతిలో రోస్టర్ పద్ధతి ద్వారా లేదా సమితి-నిర్మాత పద్ధతి ద్వారా సూచించవచ్చు.

(ii) బాణం రేఖాచిత్రం అనేది ఒక సంబంధం యొక్క దృశ్య ప్రాతినిధ్యం.

ఉదాహరణ 7 $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ అనుకుందాం. $A$ నుండి $A$ కు ఒక సంబంధం $R$ ను నిర్వచించండి $R=\{(x, y): y=x+1\}$

(i) ఈ సంబంధాన్ని బాణం రేఖాచిత్రం ఉపయోగించి చిత్రీకరించండి.

(ii) $R$ యొక్క ప్రదేశం, సహప్రదేశం మరియు వ్యాప్తిని రాయండి.

పరిష్కారం (i) సంబంధం యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం,

$R=\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)\}$.

సంబంధిత బాణం రేఖాచిత్రం Fig 2.5 లో చూపబడింది.

Fig 2.5

(ii) ప్రదేశం $=\{1,2,3,4,5\}$ అని మనం చూడవచ్చు

అదేవిధంగా, వ్యాప్తి $=\{2,3,4,5,6\}$ మరియు సహప్రదేశం $=\{1,2,3,4,5,6\}$.

ఉదాహరణ 8 Fig 2.6 సమితులు $P$ మరియు $Q$ మధ్య ఒక సంబంధాన్ని చూపుతుంది. ఈ సంబంధాన్ని (i) సమితి-నిర్మాత రూపంలో, (ii) రోస్టర్ రూపంలో రాయండి. దీని ప్రదేశం మరియు వ్యాప్తి ఏమిటి?

Fig 2.6

పరిష్కారం సంబంధం $R$ “$x$ అనేది $y$ యొక్క వర్గం” అని స్పష్టంగా ఉంది.

(i) సమితి-నిర్మాత రూపంలో, $R=\{(x, y): x$ అనేది $y, x \in P, y \in \mathbf{Q}\}$ యొక్క వర్గం

(ii) రోస్టర్ రూపంలో, $R=\{(9,3)$, $(9,-3),(4,2),(4,-2),(25,5),(25,-5)\}$

ఈ సంబంధం యొక్క ప్రదేశం $\{4,9,25\}$.

ఈ సంబంధం యొక్క వ్యాప్తి $\{-2,2,-3,3,-5,5\}$.

సమితి $P$ లోని ఏ మూలకానికి మూలకం 1 సంబంధం లేదని గమనించండి. సమితి $Q$ ఈ సంబంధం యొక్క సహప్రదేశం.

గమనిక - ఒక సమితి $A$ నుండి ఒక సమితి $B$ కు నిర్వచించగల మొత్తం సంబంధాల సంఖ్య $A \times B$ యొక్క సాధ్యమైన ఉపసమితుల సంఖ్య. $n(A)=p$ మరియు $n(B)=q$ అయితే, $n(A \times B)=p q$ మరియు మొత్తం సంబంధాల సంఖ్య $2^{p q}$.

ఉదాహరణ 9 $A=\{1,2\}$ మరియు $B=\{3,4\}$ అనుకుందాం. A నుండి B కు సంబంధాల సంఖ్యను కనుగొనండి.

పరిష్కారం మనకు ఉన్నది,

$ A \times B=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)\} $

$n(A \times B)=4$ కాబట్టి, $A \times B$ యొక్క ఉపసమితుల సంఖ్య $2^{4}$. అందువలన, $A$ నుండి $B$ లోకి సంబంధాల సంఖ్య $2^{4}$ అవుతుంది.

వ్యాఖ్య $A$ నుండి $A$ కు ఒక సంబంధం $R$ ను ⟦199⟪ పై ఒక సంబంధం అని కూడా పేర్కొనవచ్చు.

2.4 ప్రమేయాలు

ఈ విభాగంలో, మనం ఫంక్షన్ అని పిలువబడే ఒక ప్రత్యేక రకమైన సంబంధాన్ని అధ్యయనం చేస్తాము. ఇది గణితంలో అత్యంత ముఖ్యమైన భావనలలో ఒకటి. మనం, ఒక ప్రమేయాన్ని ఒక నియమంగా దృశ్యమానం చేసుకోవచ్చు, ఇది కొన్ని ఇవ్వబడిన మూలకాల నుండి కొత్త మూలకాలను ఉత్పత్తి చేస్తుంది. ఒక ప్రమేయాన్ని సూచించడానికి ‘మ్యాప్’ లేదా ‘మ్యాపింగ్’ వంటి అనేక పదాలు ఉపయోగించబడతాయి.

నిర్వచనం 5 ఒక సమితి $A$ నుండి ఒక సమితి $B$ కు ఒక సంబంధం $f$ ప్రమేయం అని చెప్పబడుతుంది, సమితి $A$ యొక్క ప్రతి మూలకం సమితి $B$ లో ఒక మరియు ఒకే ఒక ప్రతిబింబాన్ని కలిగి ఉంటే.

ఇతర మాటలలో, ఒక ప్రమేయం $f$ అనేది ఒక శూన్యేతర సమితి $A$ నుండి మరొక శూన్యేతర సమితి $B$ కు ఒక సంబంధం, అంటే $f$ యొక్క ప్రదేశం $A$ మరియు $f$ లో రెండు విభిన్న క్రమయుత జతలు ఒకే మొదటి మూలకాన్ని కలిగి ఉండవు.

$f$ A నుండి B కు ఒక ప్రమేయం అయితే మరియు $(a, b) \in f$ అయితే, $f(a)=b$, ఇక్కడ $b$ ను $a$ యొక్క $f$ కింద ప్రతిబింబం అంటారు మరియు $a$ ను $b$ యొక్క $f$ కింద ముందస్తు ప్రతిబింబం (ప్రీఇమేజ్) అంటారు.

$A$ నుండి $B$ కు ప్రమేయం $f$ ను $f: A \rightarrow B$ ద్వారా సూచిస్తారు.

మునుపటి ఉదాహరణలను చూస్తే, సంబంధం

ఉదాహరణ 7 లో ప్రమేయం కాదు ఎందుకంటే మూలకం 6కి ప్రతిబింబం లేదు.

మరోసారి, సంబంధం

ఉదాహరణ 8 లో ప్రమేయం కాదు ఎందుకంటే ప్రదేశంలోని మూలకాలు ఒకటి కంటే ఎక్కువ ప్రతిబింబాలతో అనుసంధానించబడి ఉన్నాయి. అదేవిధంగా, సంబంధం

ఉదాహరణ 9 లో కూడా ప్రమేయం కాదు. (ఎందుకు?) క్రింద ఇవ్వబడిన ఉదాహరణలలో, మనం మరిన్ని సంబంధాలను చూస్తాము, వాటిలో కొన్ని ప్రమేయాలు మరియు మరికొన్ని ప్రమేయాలు కావు.

ఉదాహరణ 10 $\mathbf{N}$ సహజ సంఖ్యల సమితి అనుకుందాం మరియు సంబంధం $R$ $N$ పై $R=\{(x, y): y=2 x, x, y \in \mathbf{N}\}$ అయ్యేలా నిర్వచించబడింది.

$R$ యొక్క ప్రదేశం, సహప్రదేశం మరియు వ్యాప్తి ఏమిటి? ఈ సంబంధం ఒక ప్రమేయమా?

పరిష్కారం $R$ యొక్క ప్రదేశం సహజ సంఖ్యల సమితి $\mathbf{N}$. సహప్రదేశం కూడా $\mathbf{N}$. వ్యాప్తి సరి సహజ సంఖ్యల సమితి.

ప్రతి సహజ సంఖ్య $n$ ఒక మరియు ఒకే ఒక ప్రతిబింబాన్ని కలిగి ఉన్నందున, ఈ సంబంధం ఒక ప్రమేయం.

ఉదాహరణ 11 క్రింద ఇవ్వబడిన ప్రతి సంబంధాన్ని పరిశీలించండి మరియు ప్రతి సందర్భంలో, కారణాలు తెలుపుతూ అది ప్రమేయమా కాదా అని తెలపండి?

(i) $R=\{(2,1),(3,1),(4,2)\}$,

(ii) $R=\{(2,2),(2,4),(3,3),(4,4)\}$

(iii) $R=\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7)\}$

పరిష్కారం (i) 2, 3, 4 లు R యొక్క ప్రదేశం యొక్క మూలకాలు వాటి ప్రత్యేక ప్రతిబింబాలను కలిగి ఉన్నందున, ఈ సంబంధం $R$ ఒక ప్రమేయం.

(ii) ఒకే మొదటి మూలకం 2 రెండు వేర్వేరు ప్రతిబింబాలు 2 మరియు 4 లకు అనురూపంగా ఉన్నందున, ఈ సంబంధం ప్రమేయం కాదు.

(iii) ప్రతి మూలకం ఒక మరియు ఒకే ఒక ప్రతిబింబాన్ని కలిగి ఉన్నందున, ఈ సంబంధం ప్రమేయం.

నిర్వచనం 6 దాని వ్యాప్తిగా $R$ లేదా దాని ఉపసమితులలో ఏదైనా కలిగి ఉన్న ప్రమేయాన్ని వాస్తవ విలువ ప్రమేయం అంటారు. మరింతగా, దాని ప్రదేశం కూడా $R$ లేదా $R$ యొక్క ఉపసమితి అయితే, దానిని వాస్తవ ప్రమేయం అంటారు.

ఉదాహరణ 12 ⟦240