ఒక గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు ఒక సమస్యను ఎలా పరిష్కరించాలో తెలుసు, అతను దాన్ని పరిష్కరించలేడు. - మిల్నే

3.1 పరిచయం

‘త్రికోణమితి’ అనే పదం గ్రీకు పదాలైన ‘ట్రైగాన్’ మరియు ‘మెట్రాన్’ నుండి ఉద్భవించింది మరియు దీని అర్థం ‘త్రిభుజం యొక్క భుజాలను కొలవడం’. త్రిభుజాలను కలిగి ఉన్న రేఖాగణిత సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ఈ విషయం మొదట్లో అభివృద్ధి చేయబడింది. నావిగేషన్ కోసం సముద్ర కెప్టెన్లు, కొత్త భూభాగాలను మ్యాప్ చేయడానికి సర్వేయర్లు, ఇంజనీర్లు మరియు ఇతరులచే ఇది అధ్యయనం చేయబడింది. ప్రస్తుతం, త్రికోణమితి సీస్మాలజీ శాస్త్రం, ఎలక్ట్రిక్ సర్క్యూట్లను రూపకల్పన చేయడం, అణువు యొక్క స్థితిని వివరించడం, సముద్రంలో ఉన్న అలల ఎత్తులను అంచనా వేయడం, సంగీత స్వరాన్ని విశ్లేషించడం మరియు అనేక ఇతర ప్రాంతాలలో ఉపయోగించబడుతోంది.

ఆర్యభట్ట (476-550 B.C.)

మునుపటి తరగతులలో, మనం లఘుకోణాల త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులను లంబకోణ త్రిభుజం యొక్క భుజాల నిష్పత్తిగా అధ్యయనం చేసాము. మనం త్రికోణమితీయ సర్వసమీకరణాలు మరియు ఎత్తులు మరియు దూరాలకు సంబంధించిన సమస్యలను పరిష్కరించడంలో త్రికోణమితీయ నిష్పత్తుల అనువర్తనాన్ని కూడా అధ్యయనం చేసాము. ఈ అధ్యాయంలో, మనం త్రికోణమితీయ నిష్పత్తుల భావనను త్రికోణమితీయ ఫలనాలకు సాధారణీకరించి, వాటి లక్షణాలను అధ్యయనం చేస్తాము.

3.2 కోణాలు

Fig 3.1

కోణం అనేది ఇచ్చిన కిరణం దాని ప్రారంభ బిందువు చుట్టూ భ్రమణం యొక్క కొలత. అసలు కిరణాన్ని ప్రారంభ భుజం అని మరియు భ్రమణం తర్వాత కిరణం యొక్క చివరి స్థానాన్ని కోణం యొక్క అంతిమ భుజం అని పిలుస్తారు. భ్రమణ బిందువును శీర్షం అంటారు. భ్రమణ దిశ అపసవ్య దిశలో ఉంటే, కోణం ధనాత్మకంగా ఉంటుంది మరియు భ్రమణ దిశ సవ్యదిశలో ఉంటే, కోణం* ఋణాత్మకంగా* ఉంటుంది (Fig 3.1).

ఒక కోణం యొక్క కొలత అనేది ప్రారంభ భుజం నుండి అంతిమ భుజాన్ని పొందడానికి చేసిన భ్రమణం యొక్క పరిమాణం. కోణాలను కొలవడానికి అనేక యూనిట్లు ఉన్నాయి. ఒక కోణం యొక్క నిర్వచనం

Fig 3.2

Fig 3.2 ఒక యూనిట్ను సూచిస్తుంది, అనగా. ప్రారంభ భుజం యొక్క స్థానం నుండి ఒక పూర్తి భ్రమణం Fig 3.2లో సూచించినట్లుగా.

ఇది తరచుగా పెద్ద కోణాలకు సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, వేగంగా తిరిగే చక్రం సెకనుకు 15 భ్రమణం కోణాన్ని చేస్తోందని మనం చెప్పగలం. మనం ఒక కోణం యొక్క కొలత యొక్క మరో రెండు యూనిట్లను వివరిస్తాము, అవి చాలా సాధారణంగా ఉపయోగించబడతాయి, అవి డిగ్రీ కొలత మరియు రేడియన్ కొలత.

3.2.1 డిగ్రీ కొలత

ప్రారంభ భుజం నుండి అంతిమ భుజానికి భ్రమణం $(\frac{1}{360})^{\text{th }}$ ఒక భ్రమణం యొక్క అయితే, కోణం యొక్క కొలత ఒక డిగ్రీ ఉంటుందని చెప్పబడుతుంది, దీనిని $1^{\circ}$ గా వ్రాస్తారు. ఒక డిగ్రీని 60 నిమిషాలుగా విభజించారు, మరియు ఒక నిమిషాన్ని 60 సెకన్లుగా విభజించారు. ఒక డిగ్రీలో యాభై వంతు నిమిషం అంటారు, దీనిని $1^{\prime}$ గా వ్రాస్తారు, మరియు ఒక నిమిషంలో యాభై వంతు సెకను అంటారు, దీనిని $1^{\prime \prime}$ గా వ్రాస్తారు. అందువలన, $\quad 1^{\circ}=60^{\prime}, \quad 1^{\prime}=60^{\prime \prime}$

కొలతలు $360^{\circ}, 180^{\circ}, 270^{\circ}, 420^{\circ},-30^{\circ},-420^{\circ}$ ఉన్న కొన్ని కోణాలు Fig 3.3లో చూపబడ్డాయి.

Fig 3.3

3.2.2 రేడియన్ కొలత

కోణం యొక్క కొలతకు మరొక యూనిట్ ఉంది, దీనిని రేడియన్ కొలత అంటారు. యూనిట్ వృత్తంలో (1 యూనిట్ వ్యాసార్థం ఉన్న వృత్తం) 1 యూనిట్ పొడవు గల చాపం కేంద్రం వద్ద చేసే కోణం 1 రేడియన్ కొలత కలిగి ఉంటుంది. Fig 3.4(i) నుండి (iv) వరకు, $OA$ ప్రారంభ భుజం మరియు $OB$ అంతిమ భుజం. పటాలు 1 రేడియన్, -1 రేడియన్, $1 \frac{1}{2}$ రేడియన్ మరియు $-1 \frac{1}{2}$ రేడియన్ కొలతలు కలిగిన కోణాలను చూపుతాయి.

Fig 3.4 (i) - (iv)

1 యూనిట్ వ్యాసార్థం ఉన్న వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలత $2 \pi$ అని మనకు తెలుసు. అందువలన, ప్రారంభ భుజం యొక్క ఒక పూర్తి భ్రమణం $2 \pi$ రేడియన్ కోణాన్ని చేస్తుంది.

మరింత సాధారణంగా, $r$ వ్యాసార్థం ఉన్న వృత్తంలో, $r$ పొడవు గల చాపం 1 రేడియన్ కోణాన్ని చేస్తుంది. వృత్తం యొక్క సమాన చాపాలు కేంద్రం వద్ద సమాన కోణాన్ని చేస్తాయని బాగా తెలుసు. $r$ వ్యాసార్థం ఉన్న వృత్తంలో, $r$ పొడవు గల చాపం 1 రేడియన్ కొలత కలిగిన కోణాన్ని చేయడం వలన, $l$ పొడవు గల చాపం $\frac{l}{r}$ రేడియన్ కొలత కలిగిన కోణాన్ని చేస్తుంది. అందువలన, $r$ వ్యాసార్థం ఉన్న వృత్తంలో, $l$ పొడవు గల చాపం కేంద్రం వద్ద $\theta$ రేడియన్ కోణాన్ని చేస్తే, మనకు $\theta=\frac{l}{r}$ లేదా $l=r \theta$ ఉంటుంది.

3.2.3 రేడియన్ మరియు వాస్తవ సంఖ్యల మధ్య సంబంధం

కేంద్రం $O$ ఉన్న యూనిట్ వృత్తాన్ని పరిగణించండి. $A$ వృత్తంపై ఏదైనా బిందువుగా ఉండనివ్వండి. ఒక కోణం యొక్క ప్రారంభ భుజంగా OAని పరిగణించండి. అప్పుడు వృత్తం యొక్క ఒక చాపం యొక్క పొడవు ఆ చాపం వృత్తం యొక్క కేంద్రం వద్ద చేసే కోణం యొక్క రేడియన్ కొలతను ఇస్తుంది. A వద్ద వృత్తానికి స్పర్శరేఖగా ఉండే PAQ రేఖను పరిగణించండి. A బిందువు వాస్తవ సంఖ్య సున్నాను సూచిస్తుందని, AP ధన వాస్తవ సంఖ్యను సూచిస్తుందని మరియు AQ ఋణ వాస్తవ సంఖ్యలను సూచిస్తుందని భావించండి (Fig 3.5). మనం $AP$ రేఖను అపసవ్య దిశలో వృత్తం వెంబడి మరియు $AQ$ సవ్యదిశలో త్రాడు చుట్టినట్లయితే, ప్రతి వాస్తవ సంఖ్య ఒక రేడియన్ కొలతకు అనుగుణంగా ఉంటుంది మరియు దీనికి విరుద్ధంగా కూడా. అందువలన, రేడియన్ కొలతలు మరియు వాస్తవ సంఖ్యలను ఒకటిగా పరిగణించవచ్చు.

Fig 3.5

3.2.4 డిగ్రీ మరియు రేడియన్ మధ్య సంబంధం ఒక వృత్తం కేంద్రం వద్ద చేసే కోణం యొక్క రేడియన్ కొలత $2 \pi$ మరియు దాని డిగ్రీ కొలత $360^{\circ}$ కాబట్టి, అది అనుసరిస్తుంది$

2 \pi \text{ radian }=360^{\circ} \quad \text{ or } \quad \pi \text{ radian }=180^{\circ} $

పై సంబంధం మనకు రేడియన్ కొలతను డిగ్రీ కొలత పరంగా మరియు డిగ్రీ కొలతను రేడియన్ కొలత పరంగా వ్యక్తపరచడానికి అనుమతిస్తుంది. $\pi$ యొక్క సుమారు విలువను $\frac{22}{7}$ గా ఉపయోగించి, మనకు ఉంది

$ 1 \text{ radian }=\frac{180^{\circ}}{\pi}=57^{\circ} 16^{\prime} \text{ approximately. } $

కూడా $\quad 1^{\circ}=\frac{\pi}{180}$ radian $=0.01746$ radian approximately.

కొన్ని సాధారణ కోణాల డిగ్రీ కొలతలు మరియు రేడియన్ కొలత మధ్య సంబంధం క్రింది పట్టికలో ఇవ్వబడింది:

సంజ్ఞామాన సంప్రదాయం

కోణాలు డిగ్రీలలో లేదా రేడియన్లలో కొలుస్తారు కాబట్టి, మనం ఎప్పుడైతే కోణం $\theta^{\circ}$ అని వ్రాసినా, దాని అర్థం డిగ్రీ కొలత $\theta$ ఉన్న కోణం మరియు ఎప్పుడైతే కోణం $\beta$ అని వ్రాసినా, దాని అర్థం రేడియన్ కొలత $\beta$ ఉన్న కోణం అని మనం అంగీకరించే సంప్రదాయాన్ని ఉపయోగిస్తాము.

ఒక కోణం రేడియన్లలో వ్యక్తీకరించబడినప్పుడు, ‘రేడియన్’ అనే పదం తరచుగా విస్మరించబడుతుందని గమనించండి. అందువలన, $\pi=180^{\circ}$ మరియు $\frac{\pi}{4}=45^{\circ}$ $\pi$ మరియు $\frac{\pi}{4}$ రేడియన్ కొలతలు అనే అర్థంతో వ్రాయబడతాయి. అందువలన, మనం చెప్పగలం

$ \begin{aligned} & \text{ Radian measure }=\frac{\pi}{180} \times \text{ Degree measure } \\ & \text{ Degree measure }=\frac{180}{\pi} \times \text{ Radian measure } \end{aligned} $

ఉదాహరణ 1 $40^{\circ} 20^{\prime}$ ను రేడియన్ కొలతగా మార్చండి.

సాధన మనకు తెలుసు $180^{\circ}=\pi$ radian.

అందువలన $\quad 40^{\circ} 20^{\prime}=40 \frac{1}{3}$ degree $=\frac{\pi}{180} \times \frac{121}{3}$ radian $=\frac{121 \pi}{540}$ radian.

అందువలన

$ 40^{\circ} 20^{\prime}=\frac{121 \pi}{540} \text{ radian. } $

ఉదాహరణ 2 6 రేడియన్లను డిగ్రీ కొలతగా మార్చండి.

సాధన మనకు తెలుసు $\pi$ radian $=180^{\circ}$.

అందువలన

$ \begin{aligned} 6 \text{ radians } & =\frac{180}{\pi} \times 6 \text{ degree }=\frac{1080 \times 7}{22} \text{ degree } \\ & =343 \frac{7}{11} \text{ degree }=343^{\circ}+\frac{7 \times 60}{11} \text{ minute } \quad[\text{ as } 1^{\circ}=60^{\prime}] \\ & =343^{\circ}+38^{\prime}+\frac{2}{11} \text{ minute } \quad[\text{ as } 1^{\prime}=60^{\prime \prime}] \\ & =343^{\circ}+38^{\prime}+10.9^{\prime \prime} \quad=343^{\circ} 38^{\prime} 11^{\prime \prime} \text{ approximately. } \end{aligned} $

అందువలన $\quad 6$ radians $=343^{\circ} 38^{\prime} 11^{\prime \prime}$ approximately.

ఉదాహరణ 3 $60^{\circ}$ కేంద్ర కోణం $37.4 cm$ పొడవు గల చాపాన్ని ఖండించే వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనండి ($\pi=\frac{22}{7}$ ఉపయోగించండి ).

సాధన ఇక్కడ $l=37.4 cm$ మరియు $\theta=60^{\circ}=\frac{60 \pi}{180}$ radian $=\frac{\pi}{3}$

అందువలన, $\quad$ ద్వారా $r=\frac{l}{\theta}$, మనకు ఉంది

$ r=\frac{37.4 \times 3}{\pi}=\frac{37.4 \times 3 \times 7}{22}=35.7 cm $

ఉదాహరణ 4 ఒక గడియారం యొక్క నిమిషాల ముల్లు $1.5 cm$ పొడవు ఉంటుంది. 40 నిమిషాలలో దాని కొన ఎంత దూరం కదులుతుంది? ($\pi=3.14$ ఉపయోగించండి ).

సాధన 60 నిమిషాలలో, గడియారం యొక్క నిమిషాల ముల్లు ఒక పూర్తి భ్రమణాన్ని పూర్తి చేస్తుంది. అందువలన, 40 నిమిషాలలో, నిమిషాల ముల్లు $\frac{2}{3}$ ఒక భ్రమణం ద్వారా తిరుగుతుంది. అందువలన, $\theta=\frac{2}{3} \times 360^{\circ}$ లేదా $\frac{4 \pi}{3}$ radian. అందువలన, అవసరమైన ప్రయాణించిన దూరం దీని ద్వారా ఇవ్వబడింది

$ l=r \theta=1.5 \times \frac{4 \pi}{3} cm=2 \pi cm=2 \times 3.14 cm=6.28 cm . $

ఉదాహరణ 5 ఒకే పొడవు గల చాపాలు రెండు వృత్తాలలో కేంద్రం వద్ద $65^{\circ}$ మరియు $110^{\circ}$ కోణాలను చేస్తే, వాటి వ్యాసార్థాల నిష్పత్తిని కనుగొనండి.

సాధన $r_1$ మరియు $r_2$ రెండు వృత్తాల వ్యాసార్థాలుగా ఉండనివ్వండి. ఇవ్వబడింది

$ \theta_1=65^{\circ}=\frac{\pi}{180} \times 65=\frac{13 \pi}{36} \text{ radian } $

మరియు

$ \theta_2=110^{\circ}=\frac{\pi}{180} \times 110=\frac{22 \pi}{36} \text{ radian } $

$l$ ప్రతి చాపం యొక్క పొడవుగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు $l=r_1 \theta_1=r_2 \theta_2$, ఇది ఇస్తుంది

$ \frac{13 \pi}{36} \times r_1=\frac{22 \pi}{36} \times r_2 \text{, i.e., } \frac{r_1}{r_2}=\frac{22}{13} $

అందువలన $\quad r_1: r_2=22: 13$.

3.3 త్రికోణమితీయ ఫలనాలు

మునుపటి తరగతులలో, మనం లఘుకోణాల త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులను లంబకోణ త్రిభుజం యొక్క భుజాల నిష్పత్తిగా అధ్యయనం చేసాము. మనం ఇప్పుడు త్రికోణమితీయ నిష్పత్తుల నిర్వచనాన్ని రేడియన్ కొలతలో ఏదైనా కోణానికి విస్తరించి, వాటిని త్రికోణమితీయ ఫలనాలుగా అధ్యయనం చేస్తాము.

నిరూపక అక్షాల మూలబిందువు వద్ద కేంద్రంగా ఉన్న యూనిట్ వృత్తాన్ని పరిగణించండి. $P(a, b)$ కోణం $AOP=x$ రేడియన్ ఉన్న వృత్తంపై ఏదైనా బిందువుగా ఉండనివ్వండి, అనగా, చాపం యొక్క పొడవు $AP=x$ (Fig 3.6).

Fig 3.6

మనం నిర్వచిస్తాము $\cos x=a$ మరియు $\sin x=b$ Since $\triangle OMP$ is a right triangle, we have $OM^{2}+MP^{2}=OP^{2}$ or $a^{2}+b^{2}=1$ అందువలన, యూనిట్ వృత్తంపై ప్రతి బిందువు కోసం, మనకు ఉంది

$ a^{2}+b^{2}=1 \text{ or } \cos ^{2} x+\sin ^{2} x=1 $

ఒక పూర్తి భ్రమణం వృత్తం యొక్క కేంద్రం వద్ద $2 \pi$ రేడియన్ కోణాన్ని చేయడం వలన,

$\angle AOB=\frac{\pi}{2}$, $\angle AOC=\pi$ మరియు $\angle AOD=\frac{3 \pi}{2}$. $\frac{\pi}{2}$ యొక్క సమగ్ర గుణిజాలు అయిన అన్ని కోణాలను చతుర్భాగ కోణాలు అంటారు. A, B, C మరియు D బిందువుల నిరూపకాలు, వరుసగా, $(1,0),(0,1),(-1,0)$ మరియు $(0,-1)$. అందువలన, చతుర్భాగ కోణాల కోసం, మనకు ఉంది

$ \begin{aligned} & \cos 0^{\circ}=1 \quad \sin 0^{\circ}=0, \\ & \cos \frac{\pi}{2}=0 \quad \sin \frac{\pi}{2}=1 \\ & \cos \pi=-1 \quad \sin \pi=0 \\ & \cos \frac{3 \pi}{2}=0 \quad \sin \frac{3 \pi}{2}=-1 \\ & \cos 2 \pi=1 \quad \sin 2 \pi=0 \end{aligned} $

ఇప్పుడు, మనం $P$ బిందువు నుండి ఒక పూర్తి భ్రమణం తీసుకుంటే, మనం మళ్ళీ అదే బిందువు $P$ కి తిరిగి వస్తాము. అందువలన, మనం ఇది కూడా గమనించాము $x$ ఏదైనా సమగ్ర గుణిజం $2 \pi$ ద్వారా పెరిగినా (లేదా తగ్గినా), సైన్ మరియు కోసైన్ ఫలనాల విలువలు మారవు. అందువలన,

$ \sin (2 n \pi+x)=\sin x, n \in \mathbf{Z}, \cos (2 n \pi+x)=\cos x, n \in \mathbf{Z} $

మరింత, $\sin x=0$, ఒకవేళ $x=0, \pm \pi, \pm 2 \pi, \pm 3 \pi$, …, అనగా, ఎప్పుడైతే $x$ యొక్క సమగ్ర గుణిజం $\pi$ మరియు $\cos x=0$, ఒకవేళ $x= \pm \frac{\pi}{2}, \pm \frac{3 \pi}{2}, \pm \frac{5 \pi}{2}, \ldots$ అనగా, $\cos x$ అదృశ్యమవుతుంది ఎప్పుడైతే $x$ యొక్క బేసి గుణిజం $\frac{\pi}{2}$. అందువలన

$ \begin{aligned} & \sin x=0 \text{ implies } x=n \pi, \text{ where } n \text{ is any integer } \\ & \cos x=0 \text{ implies } x=(2 n+1) \frac{\pi}{2} \text{, where } n \text{ is any integer. } \end{aligned} $

మనం ఇప్పుడు ఇతర త్రికోణమితీయ ఫలనాలను సైన్ మరియు కోసైన్ ఫలనాల పరంగా నిర్వచిస్తాము:

$\text{cosec} x=\frac{1}{\sin x}, x \neq n \pi$, ఇక్కడ $n$ ఏదైనా పూర్ణాంకం.

$\sec x=\frac{1}{\cos x}, x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}$, ఇక్కడ $n$ ఏదైనా పూర్ణాంకం.

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}, x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}$, ఇక్కడ $n$ ఏదైనా పూర్ణాంకం.

$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}, x \neq n \pi$, ఇక్కడ $n$ ఏదైనా పూర్ణాంకం.

మనం అన్ని వాస్తవ $x, \sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1$ కోసం చూపించాము

ఇది అనుసరిస్తుంది

$$ \begin{aligned} & 1+\tan ^{2} x=\sec ^{2} x \\ & 1+\cot ^{2} x=cosec^{2} x \end{aligned} $$

మునుపటి తరగతులలో, మనం $0^{\circ}$, $30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}$ మరియు $90^{\circ}$ కోసం త్రికోణమితీయ నిష్పత్తుల విలువలను చర్చించాము. ఈ కోణాల కోసం త్రికోణమితీయ ఫలనాల విలువలు మునుపటి తరగతులలో అధ్యయనం చేసిన త్రికోణమితీయ నిష్పత్తుల విలువలతో సమానంగా ఉంటాయి. అందువలన, మనకు క్రింది పట్టిక ఉంది:

$cosec x, \sec x$ మరియు $\cot x$ యొక్క విలువలు వరుసగా $\sin x$, $\cos x$ మరియు $\tan x$ యొక్క విలువల పరస్పరాలు.

3.3.1 త్రికోణమితీయ ఫలనాల గుర్తు

$P(a, b)$ మూలబిందువు వద్ద కేంద్రంగా ఉన్న యూనిట్ వృత్తంపై ఒక బిందువుగా ఉండనివ్వండి అంటే $\angle AOP=x$. ఒకవేళ $\angle AOQ=-x$, అప్పుడు బిందువు $Q$ యొక్క నిరూపకాలు $(a,-b)$ (Fig 3.7).

Fig 3.7

అందువలన

$ \cos (-x)=\cos x $

మరియు $\quad$ $ \sin (-x)=-\sin x $

యూనిట్ వృత్తంపై ప్రతి బిందువు $P(a, b)$ కోసం, $-1 \leq a \leq 1$ మరియు

$-1 \leq b \leq 1$, మనకు ఉంది $-1 \leq \cos x \leq 1$ మరియు $-1 \leq \sin x \leq 1$ అన్ని $x$ కోసం. మునుపటి తరగతులలో మనం నేర్చుకున్నాం మొదటి చతుర్భాగంలో $(0<x<\frac{\pi}{2}) a$ మరియు $b$ రెండూ ధనాత్మకం, రెండవ చతుర్భాగంలో $(\frac{\pi}{2}<x<\pi) a$ ఋణాత్మకం మరియు $b$ ధనాత్మకం, మూడవ చతుర్భాగంలో $(\pi<x<\frac{3 \pi}{2}) a$ మరియు $b$ రెండూ ఋణాత్మకం మరియు నాల్గవ చతుర్భాగంలో $(\frac{3 \pi}{2}<x<2 \pi) a$ ధనాత్మకం మరియు $b$ ఋణాత్మకం. అందువలన, $\sin x$ ధనాత్మకం $0<x<\pi$ కోసం, మరియు ఋణాత్మకం $\pi<x<2 \pi$ కోసం. అదేవిధంగా, $\cos x$ ధనాత్మకం $0<x<\frac{\pi}{2}$ కోసం, ఋణాత్మకం $\frac{\pi}{2}<x<\frac{3 \pi}{2}$ కోసం మరియు కూడా ధన