గణితం అనేది శాస్త్రాల రాణి మరియు అంకగణితం గణితం యొక్క రాణి. - గాస్

4.1 పరిచయం

మునుపటి తరగతులలో, మనం ఒక మరియు రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు మరియు ఒక చరరాశిలో వర్గ సమీకరణాలను అధ్యయనం చేసాము. $x^{2}+1=0$ సమీకరణానికి వాస్తవ సాధన లేదని మనం చూశాము, ఎందుకంటే $x^{2}+1=0$ $x^{2}=-1$ ని ఇస్తుంది మరియు ప్రతి వాస్తవ సంఖ్య యొక్క వర్గం అనేది అ-ఋణాత్మకం. కాబట్టి, మనం $x^{2}=-1$ సమీకరణానికి సాధనను కనుగొనేందుకు వాస్తవ సంఖ్య వ్యవస్థను ఒక పెద్ద వ్యవస్థకు విస్తరించాల్సిన అవసరం ఉంది. వాస్తవానికి, ప్రధాన లక్ష్యం $a x^{2}+b x+c=0$ సమీకరణాన్ని సాధించడం, ఇక్కడ $D=b^{2}-4 a c<0$, ఇది వాస్తవ సంఖ్యల వ్యవస్థలో సాధ్యం కాదు.

W. R. హామిల్టన్ (1805-1865 A.D.)

4.2 సంకీర్ణ సంఖ్యలు

$\sqrt{-1}$ ని $i$ గుర్తుతో సూచిద్దాం. అప్పుడు, మనకు $i^{2}=-1$ ఉంటుంది. దీని అర్థం $i$ అనేది $x^{2}+1=0$ సమీకరణానికి ఒక సాధన.

$a+i b$ రూపంలో ఉన్న ఒక సంఖ్య, ఇక్కడ $a$ మరియు $b$ వాస్తవ సంఖ్యలు, ఒక సంకీర్ణ సంఖ్యగా నిర్వచించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, $2+i 3,(-1)+i \sqrt{3}, 4+i(\frac{-1}{11})$ సంకీర్ణ సంఖ్యలు.

సంకీర్ణ సంఖ్య $z=a+i b, a$ కోసం, వాస్తవ భాగం అని పిలువబడుతుంది, దీనిని $Re z$ చేత సూచిస్తారు మరియు $b$ అనేది $z$ సంకీర్ణ సంఖ్య యొక్క $Im z$ చేత సూచించబడే కల్పిత భాగం అని పిలువబడుతుంది. ఉదాహరణకు, $z=2+i 5$ అయితే, $Re z=2$ మరియు $Im z=5$.

రెండు సంకీర్ణ సంఖ్యలు $z_1=a+i b$ మరియు $z_2=c+i d$ సమానం అయితే $a=c$ మరియు $b=d$.

ఉదాహరణ 1 $4 x+i(3 x-y)=3+i(-6)$ అయితే, ఇక్కడ $x$ మరియు $y$ వాస్తవ సంఖ్యలు, అప్పుడు $x$ మరియు $y$ విలువలను కనుగొనండి.

సాధన మనకు ఉన్నాయి

$$ 4 x+i(3 x-y)=3+i(-6) \tag{i} $$

(1) యొక్క వాస్తవ మరియు కల్పిత భాగాలను సమానం చేయడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది

$$ 4 x=3,3 x-y=-6, $$

ఇది, ఏకకాలంలో సాధించడం ద్వారా, $x=\frac{3}{4}$ మరియు $y=\frac{33}{4}$ ని ఇస్తుంది.

4.3 సంకీర్ణ సంఖ్యల బీజగణితం

ఈ విభాగంలో, మనం సంకీర్ణ సంఖ్యల బీజగణితాన్ని అభివృద్ధి చేస్తాము.

4.3.1 రెండు సంకీర్ణ సంఖ్యల సంకలనం

$z_1=a+i b$ మరియు $z_2=c+i d$ ఏవైనా రెండు సంకీర్ణ సంఖ్యలుగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు, మొత్తం $z_1+z_2$ క్రింది విధంగా నిర్వచించబడుతుంది:

$z_1+z_2=(a+c)+i(b+d)$, ఇది మళ్ళీ ఒక సంకీర్ణ సంఖ్య.

ఉదాహరణకు, $(2+i 3)+(-6+i 5)=(2-6)+i(3+5)=-4+i 8$

సంకీర్ణ సంఖ్యల సంకలనం క్రింది లక్షణాలను సంతృప్తిపరుస్తుంది:

(i) సంవృత న్యాయం రెండు సంకీర్ణ సంఖ్యల మొత్తం ఒక సంకీర్ణ సంఖ్య, అనగా, అన్ని సంకీర్ణ సంఖ్యలు $z_1$ మరియు $z_2$ కోసం $z_1+z_2$ ఒక సంకీర్ణ సంఖ్య.

(ii) వినిమయ న్యాయం ఏవైనా రెండు సంకీర్ణ సంఖ్యలు $z_1$ మరియు $z_2$ కోసం, $z_1+z_2=z_2+z_1$

(iii) సహచర న్యాయం ఏవైనా మూడు సంకీర్ణ సంఖ్యలు $z_1, z_2, z_3$, $(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$.

(iv) సంకలన తత్సమం యొక్క ఉనికి సంకీర్ణ సంఖ్య $0+i 0$ (0 గా సూచించబడుతుంది), సంకలన తత్సమం లేదా సున్నా సంకీర్ణ సంఖ్య అని పిలువబడుతుంది, అంటే, ప్రతి సంకీర్ణ సంఖ్య $z, z+0=z$ కోసం.

(v) సంకలన విలోమం యొక్క ఉనికి ప్రతి సంకీర్ణ సంఖ్య $z=a+i b$ కి, మనకు సంకీర్ణ సంఖ్య $-a+i(-b)$ ($-z$ గా సూచించబడుతుంది) ఉంటుంది, దీనిని $z$ యొక్క సంకలన విలోమం లేదా ఋణాత్మకం అంటారు. మనం గమనించేది $z+(-z)=0$ (సంకలన తత్సమం).

4.3.2 రెండు సంకీర్ణ సంఖ్యల వ్యత్యాసం

ఏవైనా రెండు సంకీర్ణ సంఖ్యలు $z_1$ మరియు $z_2$ ఇచ్చినట్లయితే, వ్యత్యాసం $z_1-z_2$ క్రింది విధంగా నిర్వచించబడుతుంది:

ఉదాహరణకు,

$ z_1-z_2=z_1+(-z_2) . $

మరియు

$ \begin{aligned} & (6+3 i)-(2-i)=(6+3 i)+(-2+i)=4+4 i \\ & \quad(2-i)-(6+3 i)=(2-i)+(-6-3 i)=-4-4 i \end{aligned} $

4.3.3 రెండు సంకీర్ణ సంఖ్యల గుణకారం

$z_1=a+i b$ మరియు $z_2=c+i d$ ఏవైనా రెండు సంకీర్ణ సంఖ్యలుగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు, లబ్ధం $z_1 z_2$ క్రింది విధంగా నిర్వచించబడుతుంది:

$$ z_1 z_2=(a c-b d)+i(a d+b c) $$

ఉదాహరణకు, $(3+i 5)(2+i 6)=(3 \times 2-5 \times 6)+i(3 \times 6+5 \times 2)=-24+i 28$

సంకీర్ణ సంఖ్యల గుణకారం క్రింది లక్షణాలను కలిగి ఉంటుంది, వీటిని మనం నిరూపణలు లేకుండా పేర్కొంటాము.

(i) సంవృత న్యాయం రెండు సంకీర్ణ సంఖ్యల లబ్ధం ఒక సంకీర్ణ సంఖ్య, అన్ని సంకీర్ణ సంఖ్యలు $z_1$ మరియు $z_2$ కోసం లబ్ధం $z_1 z_2$ ఒక సంకీర్ణ సంఖ్య.

(ii) వినిమయ న్యాయం ఏవైనా రెండు సంకీర్ణ సంఖ్యలు $z_1$ మరియు $z_2$ కోసం,

$$ z_1 z_2=z_2 z_1 $$

(iii) సహచర న్యాయం ఏవైనా మూడు సంకీర్ణ సంఖ్యలు $z_1, z_2, z_3$ కోసం,

$$ (z_1 z_2) z_3=z_1(z_2 z_3) \text{. } $$

(iv) గుణకార తత్సమం యొక్క ఉనికి సంకీర్ణ సంఖ్య $1+i 0$ (1 గా సూచించబడుతుంది) ఉంటుంది, దీనిని గుణకార తత్సమం అంటారు, అంటే ప్రతి సంకీర్ణ సంఖ్య $z$ కోసం $z .1=z$.

(v) గుణకార విలోమం యొక్క ఉనికి ప్రతి అశూన్య సంకీర్ణ సంఖ్య $z=a+i b$ లేదా $a+b i(a \neq 0, b \neq 0)$ కోసం, మనకు సంకీర్ణ సంఖ్య $\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}(.$ ఉంటుంది, దీనిని $\frac{1}{z}$ లేదా $.z^{-1})$ చేత సూచిస్తారు, దీనిని $z$ యొక్క గుణకార విలోమం అంటారు, అంటే

$z \cdot \frac{1}{z}=1$ (గుణకార తత్సమం).

(vi) విభాగ న్యాయం ఏవైనా మూడు సంకీర్ణ సంఖ్యలు $z_1, z_2, z_3$ కోసం,

(a) $z_1(z_2+z_3)=z_1 z_2+z_1 z_3$

(b) $(z_1+z_2) z_3=z_1 z_3+z_2 z_3$

4.3.4 రెండు సంకీర్ణ సంఖ్యల భాగహారం

ఏవైనా రెండు సంకీర్ణ సంఖ్యలు $z_1$ మరియు $z_2$ ఇచ్చినట్లయితే, ఇక్కడ $z_2 \neq 0$, భాగఫలం $\frac{z_1}{z_2}$ దీని ద్వారా నిర్వచించబడుతుంది

$ \frac{z_1}{z_2}=z_1 \frac{1}{z_2} $

ఉదాహరణకు, $\quad z_1=6+3 i$ మరియు $z_2=2-i$ అనుకుందాం

అప్పుడు

$ \frac{z_1}{z_2}=((6+3 i) \times \frac{1}{2-i})=(6+3 i)(\frac{2}{2^{2}+(-1)^{2}}+i \frac{-(-1)}{2^{2}+(-1)^{2}}) $

$ =(6+3 i)(\frac{2+i}{5})=\frac{1}{5}[12-3+i(6+6)]=\frac{1}{5}(9+12 i) $

4.3.5 $i$ యొక్క ఘాతం

మనకు తెలుసు

$ \begin{bmatrix} i^{3}=i^{2} i=(-1) i=-i, & i^{4}=(i^{2})^{2}=(-1)^{2}=1 \\ i^{5}=(i^{2})^{2} i=(-1)^{2} i=i, & i^{6}=(i^{2})^{3}=(-1)^{3}=-1, \text{ etc. } \end{bmatrix} $

అలాగే, మనకు $\quad i^{-1}=\frac{1}{i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{-1}=-i, \quad i^{-2}=\frac{1}{i^{2}}=\frac{1}{-1}=-1$ ఉంది,

$$ i^{-3}=\frac{1}{i^{3}}=\frac{1}{-i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{1}=i, \quad i^{-4}=\frac{1}{i^{4}}=\frac{1}{1}=1 $$

సాధారణంగా, ఏదైనా పూర్ణాంకం $k, i^{4 k}=1, i^{4 k+1}=i, i^{4 k+2}=-1, i^{4 k+3}=-i$ కోసం

4.3.6 ఒక ఋణ వాస్తవ సంఖ్య యొక్క వర్గమూలాలు

గమనించండి $i^{2}=-1$ మరియు $(-i)^{2}=i^{2}=-1$

కాబట్టి, -1 యొక్క వర్గమూలాలు $i,-i$. అయితే, $\sqrt{-1}$ గుర్తు ద్వారా, మనం $i$ మాత్రమే అర్థం చేసుకుంటాము.

ఇప్పుడు, మనం చూడగలిగినట్లుగా $i$ మరియు $-i$ రెండూ $x^{2}+1=0$ లేదా $x^{2}=-1$ సమీకరణానికి సాధనలు.

అదేవిధంగా $\quad(\sqrt{3} i)^{2}=(\sqrt{3})^{2} i^{2}=3(-1)=-3$

$$ (-\sqrt{3} i)^{2}=(-\sqrt{3})^{2} i^{2}=-3 $$

కాబట్టి, -3 యొక్క వర్గమూలాలు $\sqrt{3} i$ మరియు $-\sqrt{3} i$.

మళ్ళీ, $\sqrt{-3}$ గుర్తు అనేది $\sqrt{3} i$ మాత్రమే సూచించడానికి ఉద్దేశించబడింది, అనగా, $\sqrt{-3}=\sqrt{3} i$.

సాధారణంగా, $a$ ఒక ధన వాస్తవ సంఖ్య అయితే, $\sqrt{-a}=\sqrt{a} \sqrt{-1}=\sqrt{a} i$,

అన్ని ధన వాస్తవ సంఖ్యలు $a$ మరియు $b$ కోసం $\sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b}$ అని మనకు ఇప్పటికే తెలుసు. ఈ ఫలితం $a>0, b<0$ లేదా $a<0, b>0$ ఏదైనా ఉన్నప్పుడు కూడా నిజమైనది. $a<0, b<0$ అయితే ఏమి చేయాలి? పరిశీలిద్దాం.

గమనించండి

$ \begin{aligned} i^{2} & =\sqrt{-1} \sqrt{-1}=\sqrt{(-1)(-1)} \text{ (అన్ని వాస్తవ సంఖ్యలకు } \sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b} \text{ అని ఊహించడం ద్వారా) } \\ & =\sqrt{1}=1 \text{, ఇది } i^{2}=-1 \text{ అనే వాస్తవానికి విరుద్ధం } \end{aligned} $

కాబట్టి, $\sqrt{a} \times \sqrt{b} \neq \sqrt{a b}$ రెండూ $a$ మరియు $b$ ఋణ వాస్తవ సంఖ్యలు అయితే.

ఇంకా, $a$ మరియు $b$ లలో ఏదైనా సున్నా అయితే, అప్పుడు, స్పష్టంగా, $\sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b}=0$.

4.3.7 సర్వసమీకరణాలు

మనం క్రింది సర్వసమీకరణాన్ని నిరూపిస్తాము

$ (z_1+z_2)^{2}=z_1^{2}+z_2^{2}+2 z_1 z_2 \text{, అన్ని సంకీర్ణ సంఖ్యలు } z_1 \text{ మరియు } z_2 \text{ కోసం. } $

నిరూపణ మనకు ఉన్నాయి, $(z_1+z_2)^{2}=(z_1+z_2)(z_1+z_2)$,

$$ \begin{aligned} =(z_1+z_2) z_1+(z_1+z_2) z_2 & \text{ (Distributive law) } \\ =z_1^{2}+z_2 z_1+z_1 z_2+z_2^{2} & \text{ (Distributive law) } \\ =z_1^{2}+z_1 z_2+z_1 z_2+z_2^{2} & \text{ (Commutative law of multiplication) } \\ =z_1^{2}+2 z_1 z_2+z_2^{2} & \end{aligned} $$

అదేవిధంగా, మనం క్రింది సర్వసమీకరణాలను నిరూపించవచ్చు:

(i) $(z_1-z_2)^{2}=z_1^{2}-2 z_1 z_2+z_2^{2}$

(ii) $(z_1+z_2)^{3}=z_1^{3}+3 z_1^{2} z_2+3 z_1 z_2^{2}+z_2^{3}$

(iii) $(z_1-z_2)^{3}=z_1^{3}-3 z_1^{2} z_2+3 z_1 z_2^{2}-z_2^{3}$

(iv) $z_1^{2}-z_2^{2}=(z_1+z_2)(z_1-z_2)$

వాస్తవానికి, అన్ని వాస్తవ సంఖ్యలకు నిజమైన అనేక ఇతర సర్వసమీకరణాలు, అన్ని సంకీర్ణ సంఖ్యలకు నిజమని నిరూపించబడతాయి.

ఉదాహరణ 2 క్రింది వాటిని $a+b i$ రూపంలో వ్యక్తపరచండి :

(i) $(-5 i)(\frac{1}{8} i)$

(ii) $(-i)(2 i)(-\frac{1}{8} i)^{3}$

సాధన (i) $(-5 i)(\frac{1}{8} i)=\frac{-5}{8} i^{2}=\frac{-5}{8}(-1)=\frac{5}{8}=\frac{5}{8}+i 0$

(ii) $(-i)(2 i)(-\frac{1}{8} i)^{3}=2 \times \frac{1}{8 \times 8 \times 8} \times i^{5}=\frac{1}{256}(i^{2})^{2} i=\frac{1}{256} i$.

ఉదాహరణ 3 $(5-3 i)^{3}$ ని $a+i b$ రూపంలో వ్యక్తపరచండి.

సాధన మనకు ఉన్నాయి, $(5-3 i)^{3}=5^{3}-3 \times 5^{2} \times(3 i)+3 \times 5(3 i)^{2}-(3 i)^{3}$

$$ =125-225 i-135+27 i=-10-198 i . $$

ఉదాహరణ 4 $(-\sqrt{3}+\sqrt{-2})(2 \sqrt{3}-i)$ ని $a+i b$ రూపంలో వ్యక్తపరచండి

సాధన మనకు ఉన్నాయి, $(-\sqrt{3}+\sqrt{-2})(2 \sqrt{3}-i)=(-\sqrt{3}+\sqrt{2} i)(2 \sqrt{3}-i)$

$ =-6+\sqrt{3} i+2 \sqrt{6} i-\sqrt{2} i^{2}=(-6+\sqrt{2})+\sqrt{3}(1+2 \sqrt{2}) i $

4.4 ఒక సంకీర్ణ సంఖ్య యొక్క మాపు మరియు సంయుగ్మం

$z=a+i b$ ఒక సంకీర్ణ సంఖ్యగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు, $z$ యొక్క మాపు, దీనిని $|z|$ చేత సూచిస్తారు, అనేది అ-ఋణ వాస్తవ సంఖ్య $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ గా నిర్వచించబడుతుంది, అనగా, $|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ మరియు $z$ యొక్క సంయుగ్మం, దీనిని $\bar{z}$ గా సూచిస్తారు, అనేది సంకీర్ణ సంఖ్య $a-i b$, అనగా, $\bar{z}=a-i b$.

ఉదాహరణకు, $\quad|3+i|=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10},|2-5 i|=\sqrt{2^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{29}$,

మరియు

$ \overline{3+i}=3-i, \overline{2-5 i}=2+5 i, \overline{-3 i-5}=3 i-5 $

అశూన్య సంకీర్ణ సంఖ్య $z$ యొక్క గుణకార విలోమం దీని ద్వారా ఇవ్వబడిందని గమనించండి

$ \begin{aligned} & \quad z^{-1}=\frac{1}{a+i b}=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a-i b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{\bar{z}}{|z|^{2}} \\ & \text{ లేదా } z \bar{z}=|z|^{2} \end{aligned} $

ఇంకా, క్రింది ఫలితాలు సులభంగా పొందబడతాయి.

ఏవైనా రెండు సంకీర్ణ సంఖ్యలు $z_1$ మరియు $z_2$ కోసం, మనకు ఉన్నాయి

(i) $|z_1 z_2|=|z_1||z_2|$

(ii) $|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$ అందించబడినది $|z_2| \neq 0$

(iii) $\overline{z_1 z_2}=\overline{z_1} \overline{z_2}$

(iv) $\overline{z_1 \pm z_2}=\overline{z_1} \pm \overline{z_2} $

(v) $\overline{(\frac{z_1}{z_2})} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}provied z_2\neq0 $.

ఉదాహరణ 5 $2-3 i$ యొక్క గుణకార విలోమాన్ని కనుగొనండి.

సాధన $z=2-3 i$ అనుకుందాం

అప్పుడు $\quad \bar{z}=2+3 i$ మరియు $\quad|z|^{2}=2^{2}+(-3)^{2}=13$

కాబట్టి, $2-3 i$ యొక్క గుణకార విలోమం దీని ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది

$ z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z|^{2}}=\frac{2+3 i}{13}=\frac{2}{13}+\frac{3}{13} i $

పై పనిని క్రింది విధంగా కూడా పునరుత్పత్తి చేయవచ్చు,

$ \begin{aligned} z^{-1} & =\frac{1}{2-3 i}=\frac{2+3 i}{(2-3 i)(2+3 i)} \\ & =\frac{2+3 i}{2^{2}-(3 i)^{2}}=\frac{2+3 i}{13}=\frac{2}{13}+\frac{3}{13} i \end{aligned} $

ఉదాహరణ 6 క్రింది వాటిని $a+i b$ రూపంలో వ్యక్తపరచండి

(i) $\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i}$

(ii) $i^{-35}$

సాధన (i) మనకు ఉన్నాయి, $\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i}=\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i} \times \frac{1+\sqrt{2} i}{1+\sqrt{2} i}=\frac{5+5 \sqrt{2} i+\sqrt{2} i-2}{1-(\sqrt{2} i)^{2}}$

$$ =\frac{3+6 \sqrt{2} i}{1+2}=\frac{3(1+2 \sqrt{2} i)}{3}=1+2 \sqrt{2} i $$

(ii) $i^{-35}=\frac{1}{i^{35}}=\frac{1}{(i^{2})^{17} i}=\frac{1}{-i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{-i^{2}}=i$

4.5 ఆర్గాండ్ తలం మరియు ధ్రువ ప్రాతినిధ్యం

పరస్పరం లంబంగా ఉన్న రేఖల సమితికి సంబంధించి, మనకు ఇప్పటికే తెలుసు, ప్రతి వాస్తవ సంఖ్యల క్రమయుగ్మం $(x, y)$ కి, XY-తలంలో ఒక ప్రత్యేక బిందువు లభిస్తుంది మరియు దీనికి విరుద్ధంగా కూడా. $x$-అక్షం మరియు $y$-అక్షం అని పిలువబడే ఈ రేఖలకు సంబంధించి. క్రమయుగ్మం $(x, y)$ కి అనుగుణంగా ఉండే సంకీర్ణ సంఖ్య $x+i y$ ను XY-తలంలోని ప్రత్యేక బిందువు $P(x, y)$ గా రేఖాగణితంగా సూచించవచ్చు మరియు దీనికి విరుద్ధంగా కూడా.

$2+4 i,-2+3 i, 0+1 i, 2+0 i,-5-2 i$ మరియు $1-2 i$ వంటి కొన్ని సంకీర్ణ సంఖ్యలు, వరుసగా క్రమయుగ్మాలు $(2,4),(-2,3),(0,1),(2,0),(-5,-2)$, మరియు $(1,-2)$ కి అనుగుణంగా, వరుసగా బిందువులు $A, B, C, D, E$, మరియు $F$ చేత Fig 4.1 లో రేఖాగణితంగా సూచించబడ్డాయి.

Fig 4.1

దాని ప్రతి బిందువుకు ఒక సంకీర్ణ సంఖ్య కేటాయించబడిన తలాన్ని సంకీర్ణ తలం లేదా ఆర్గాండ్ తలం అంటారు.

స్పష్టంగా, ఆర్గాండ్ తలంలో, సంకీర్ణ సంఖ్య $x+i y=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ యొక్క మాపు అనేది బిందువు $P(x, y)$ మరియు మూలబిందువు $O(0,0)$ మధ్య దూరం (Fig 4.2). $x$-అక్షంపై ఉన్న బిందువులు $a+i 0$ రూపంలోని సంకీర్ణ సంఖ్యలకు అనుగుణంగా ఉంటాయి మరియు $y$-అక్షంపై ఉన్న బిందువులు $0+i b$ రూపంలోని సంకీర్ణ సంఖ్యలకు అనుగుణంగా ఉంటాయి. ఆర్గాండ్ తలంలోని $x$-అక్షం మరియు $y$-అక్షం వరుసగా, వాస్తవ అక్షం మరియు కల్పిత అక్షం అని పిలువబడతాయి.

Fig 4.2

ఆర్గాండ్ తలంలో ఒక సంకీర్ణ సంఖ్య $z=x+i y$ మరియు దాని సంయుగ్మం $z=x-i y$ యొక్క ప్రాతినిధ్యం, వరుసగా, బిందువులు $P(x, y)$ మరియు $Q(x,-y)$. రేఖాగణితంగా, బిందువు $(x,-y)$ అనేది వాస్తవ అక్షంపై బిందువు $(x, y)$ యొక్క దర్పణ ప్రతిబింబం (Fig 4.3).

Fig 4.2

వివిధ ఉదాహరణలు

ఉదాహరణ 7 $\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$ యొక్క సంయుగ్మాన్ని కనుగొనండి.

సాధన మనకు ఉన్నాయి, $\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$

$ \begin{aligned} & =\frac{6+9 i-4 i+6}{2-i+4 i+2}=\frac{12+5 i}{4+3 i} \times \frac{4-3 i}{4-3 i} \\ & =\frac{48-36 i+20 i+15}{16+9}=\frac{63-16 i}{25}=\frac{63}{25}-\frac{16}{25} i \end{aligned} $

కాబట్టి, $\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$ యొక్క సంయుగ్మం $\frac{63}{25}+\frac{16}{25} i$.

ఉదాహరణ 8 $x+i y=\frac{a+i b}{a-i b}$ అయితే, $x^{2}+y^{2}=1$ అని నిరూపించండి.

సాధన మనకు ఉన్నాయి,

$ x+i y=\frac{(a+i b)(a+i b)}{(a-i b)(a+i b)}=\frac{a^{2}-b^{2}+2 a b i}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{2 a b}{a^{2}+b^{2}} i $

కాబట్టి, $x-i y=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}-\frac{2 a b}{a^{2}+b^{2}} i$

అందువలన,

$ \begin{aligned} x^{2}+y^{2}=(x+i y)(x-i y) & =\frac{\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}+\frac{4 a^{2} b^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}\\ & =\frac{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}=1 \end{aligned} $

సారాంశం

$a+i b$ రూపంలో ఉన్న ఒక సంఖ్య, ఇక్కడ $a$ మరియు $b$ వాస్తవ సంఖ్యలు, దీనిని సంకీర్ణ సంఖ్య అంటారు, $a$ ని వాస్తవ భాగం అని మరియు $b$ ని సంకీర్ణ సంఖ్య యొక్క కల్పిత భాగం అంటారు.

$z_1=a+i b$ మరియు $z_2=c+i d$ అనుకుందాం. అప్పుడు

(i) $z_1+z_2=(a+c)+i(b+d)$

(ii) $z_1 z_2=(a c-b d)+i(a d+b c)$

ఏదైనా అశూన్య సంకీర్ణ సంఖ్య $z=a+i b(a \neq 0, b \neq 0)$ కోసం, సంకీర్ణ సంఖ్య $\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}$ ఉంటుంది, దీనిని $\frac{1}{z}$ లేదా $z^{-1}$ చేత సూచిస్తారు, దీనిని $z$ యొక్క గుణకార విలోమం అంటారు, అంటే $(a+i b) \frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}=1+i 0$ $=1$

ఏదైనా పూర్ణాంకం $k, i^{4 k}=1, i^{4 k+1}=i, i^{4 k+2}=-1, i^{4 k+3}=-i$ కోసం

సంకీర్ణ సంఖ్య $z=a+i b$ యొక్క సంయుగ్మం, దీనిని $\bar{z}$ చేత సూచిస్తారు, దీనిని $\bar{z}=a-i b$ ద్వారా ఇస్తారు.

చారిత్రక గమనిక

ఒక ఋణ సంఖ్య యొక్క వర్గమూలం వాస్తవ సంఖ్య వ్యవస్థలో ఉండదు అనే వాస్తవాన్ని గ్రీకులు గుర్తించారు. కానీ ఈ కష్టాన్ని మొదట స్పష్టంగా పేర్కొన్న భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు మహావీర (850) కి ఈ ఘనత దక్కుతుంది. “అతను తన రచన ‘గణితసార సంగ్రహ’ లో ప్రకృతి విషయాలలో ఒక ఋణ (రాశి) ఒక వర్గ (రాశి) కాదు, కాబట్టి దానికి వర్గమూలం లేదు” అని పేర్కొన్నాడు. మరొక భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు భాస్కర, 1150 లో రచించిన తన రచన బీజగణిత లో కూడా రాశాడు. “ఒక ఋణ రాశికి వర్గమూలం లేదు, ఎందుకంటే అది ఒక వర్గం కాదు.” కార్డాన్ (1545) దీనిని సాధించే సమస్యను పరిగణించాడు

$ x+y=10, x y=40 . $

అతను ⟦229