గణితం అనేది అనేకముష్టాలను అనేకరీతులలో చెప్పే కళ. - మాక్స్‌వెల్

5.1 పరిచయం

ముందుగా ఉన్న తరగతులలో, మనం ఒక మాపకం మరియు రెండు మాపకాల సమీకరణాలను అధ్యయనం చేసాము మరియు కొన్ని విధాన సమస్యలను సమీకరణాల రూపంలో అనువదించడం ద్వారా పరిష్కారం చేసాము. ఇప్పుడు సహజంగా అడగబోయే ప్రశ్న అడగబోయేది: ‘ఏదో ఒక విధాన సమస్యను ఎల్లప్పుడూ సమీకరణం రూపంలో అనువదించడం సాధ్యమవుతుందా? ఉదాహరణకు, మీ తరగతిలోని అన్ని మహిళల ఎత్తు $160 cm$ కంటే తక్కువగా ఉంటుంది. మీ తరగతి గది గరిష్ఠంగా 60 ముక్కలు లేదా కుదిరలు లేదా రెండింటినీ కలిగి ఉండగలదు. ఇక్కడ మనం ఒక సిగ్న్ ద్వారా నిర్దిష్ట వాక్యాలను పొందుతున్నాం ’ $<$ ’ (కంటే తక్కువ), ‘>’ (కంటే ఎక్కువ), ’ $\leq$ ’ (కంటే తక్కువ లేదా సమానం) మరియు $\geq$ (కంటే ఎక్కువ లేదా సమానం) వాటిని అసమానతలు అంటారు.

ఈ అధ్యాయంలో, ఒక మరియు రెండు మాపకాల రేఖీయ అసమానతలను అధ్యయనం చేస్తాము. అసమానతల అధ్యయనం వైద్యశాస్త్రం, గణితం, గణాంకశాస్త్రం, ఆర్థికశాస్త్రం, మానవవైద్యశాస్త్రం మొదలైన ప్రాంతాలలో సమస్యలను పరిష్కారం చేయడంలో చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది.

5.2 అసమానతలు

కొన్ని పరిస్థితులను పరిశీలిద్దాం:

(i) రవి రైస్ కొనడానికి ₹ 200 తో మార్కెట్‌కు వెళ్లాడు, రైస్ గాజులలో $1 kg$ వినియోగదారులకు అందుబాటులో ఉంది. ఒక గాజు రైస్ యొక్క ధర ₹ 30. $x$ అనేది అతను కొనే రైస్ గాజుల సంఖ్యను సూచిస్తుంది, అతను చేసే మొత్తం ఖర్చు ₹ $30 x$. ఎందుకంటే, అతను గాజులలో మాత్రమే రైస్ కొనగలరు, అతను ₹ 200 యొక్క మొత్తం ఖర్చు చేయలేరు. (ఎందుకు?) కాబట్టి

$$ 30 x<200 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $$

ప్రకటన (i) సమీకరణం కాదు, ఎందుకంటే అది సమానత సిగ్న్‌ను కలిగి లేదు. (ii) రెష్మా ₹ 120 కలిగి ఉంది మరియు కొన్ని రిగ్జిస్టర్లు మరియు పెన్లను కొనాలనుకుంటున్నాడు. ఒక రిగ్జిస్టర్ యొక్క ధర ₹ 40 మరియు ఒక పెన్ యొక్క ధర ₹ 20. ఈ పరిస్థితిలో, $x$ అనేది రెష్మా కొనే రిగ్జిస్టర్ల సంఖ్యను సూచిస్తుంది మరియు $y$, అతని పెన్ల సంఖ్యను సూచిస్తుంది, అతని చేసే మొత్తం ఖర్చు ₹ $(40 x+20 y)$ మరియు మనం పొందుతున్నాం

$$ 40 x+20 y \leq 120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $$

ఈ పరిస్థితిలో మొత్తం ఖర్చు ₹ 120 వరకు ఉండవచ్చు. ప్రకటన (2) రెండు ప్రకటనలను కలిగి ఉంటుంది

$ \text{ and } \quad \begin{aligned} & 40 x+20 y<120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (3) \\ & 40 x+20 y=120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (4) \end{aligned} $

ప్రకటన (3) సమీకరణం కాదు, అంటే అది ఒక అసమానతం అయినప్పటికీ ప్రకటన (4) అనేది ఒక సమీకరణం.

నిర్వచనం 1 రెట్లు వస్తువులు లేదా రెండు బీజీయ వ్యక్తీగతాలు ’ $<$,’, ‘>’, ’ $\leq$ ’ లేదా ’ $\geq$ ’ సిగ్న్ ద్వారా సంబంధించబడినవి ఒక అసమానతను కలిగి ఉంటాయి.

పైన ఉన్న (1), (2) మరియు (3) వంటి వాక్యాలు అసమానతలు.

$3<5 ; 7>5$ వినియోగదారుల అసమానతల ఉదాహరణలు అన్ని వాటిని కలిగి ఉంటాయి అయితే

$x<5 ; y>2 ; x \geq 3, y \leq 4$ పదబంధ అసమానతల ఉదాహరణలు. $3<5<7($ పఠించబడతాయి 5 3 కంటే ఎక్కువ మరియు 7 కంటే తక్కువ), $3 \leq x<5($ పఠించబడతాయి $x$ 3 కంటే ఎక్కువ లేదా సమానం మరియు 5 కంటే తక్కువ) మరియు $2<y \leq 4$ డబుల్ అసమానతల ఉదాహరణలు. అసమానతల యొక్క ఇంకా కొన్ని ఉదాహరణలు:

$$ \begin{align*} & a x+b<0 \tag{5}\\ & a x+b>0 \tag{6}\\ & a x+b \leq 0 \tag{7}\\ & a x+b \geq 0 \tag{8}\\ & a x+b y<c \tag{9}\\ & a x+b y>c \tag{10}\\ & a x+b y \leq c \tag{11}\\ & a x+b y \geq c \tag{12}\\ & a x^{2}+b x+c \leq 0 \tag{13}\\ & a x^{2}+b x+c>0 \tag{14} \end{align*} $$

అసమానతలు (5), (6), (9), (10) మరియు (14) నియత అసమానతలు అన్ని వాటిని కలిగి ఉంటాయి అయితే అసమానతలు (7), (8), (11), (12), మరియు (13) స్లాక్ అసమానతలు. అసమానతలు (5) నుండి (8) వరకు ఒక మాపకం $x$ యొక్క రేఖీయ అసమానతలు అన్ని వాటిని కలిగి ఉంటాయి ఎందుకంటే $a \neq 0$, అసమానతలు (9) నుండి (12) వరకు రెండు మాపకాల $x$ మరియు $y$ యొక్క రేఖీయ అసమానతలు అన్ని వాటిని కలిగి ఉంటాయి ఎందుకంటే $a \neq 0, b \neq 0$. అసమానతలు (13) మరియు (14) రేఖీయం కాదు (ఇది వాస్తవంగా, ఒక మాపకం $x$ యొక్క వ్యత్యాస సమానతలు అన్ని వాటిని కలిగి ఉంటాయి ఎందుకంటే $a \neq 0)$.

ఈ అధ్యాయంలో, మనం ఒక మరియు రెండు మాపకాల రేఖీయ అసమానతల యొక్క అధ్యయనం మాత్రమే చేస్తాము.

5.3 ఒక మాపకం యొక్క రేఖీయ అసమానతల యొక్క బీజీయ పరిష్కారాలు మరియు వాటి గ్రాఫికల్ రిప్రెజెంటేషన్

మేము సెక్షన్ 6.2 లోని అసమానతను పరిశీలిద్దాం, అది అనిపించును, $30 x<200$ ఇక్కడ $x$ అనేది రైస్ గాజుల సంఖ్యను సూచిస్తుంది. అప్పుడు $x$ తప్పనిసరిగా సహజ సంఖ్య కావాలి లేదా భిన్నం. ఈ అసమానత యొక్క ఎడమ చేతి (L.H.S.) అనేది $30 x$ మరియు కుడి చేతి (RHS) అనేది 200. కాబట్టి, మనం పొందుతున్నాం

$ \begin{aligned} & \text{ For } x=0 \text{, L.H.S. }=30(0)=0<200(\text{ R.H.S. }) \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=1 \text{, L.H.S. }=30(1)=30<200 \text{ (R.H.S.), which is true. } \\ & \text{ For } x=2 \text{, L.H.S. }=30(2)=60<200 \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=3 \text{, L.H.S. }=30(3)=90<200 \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=4 \text{, L.H.S. }=30(4)=120<200 \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=5 \text{, L.H.S. }=30(5)=150<200 \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=6 \text{, L.H.S. }=30(6)=180<200 \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=7 \text{, L.H.S. }=30(7)=210<200 \text{, which is false. } \end{aligned} $

పైన పరిస్థితిలో, మనం పరిశీలించుకున్నాం అదే అసమానతను ఒక నిజమైన ప్రకటనగా చేసే $x$ యొక్క విలువలు $0,1,2,3,4,5,6$. ఈ $x$ యొక్క విలువలు, పైన అసమానతను ఒక నిజమైన ప్రకటనగా చేసేవి అని అసమానతల పరిష్కారాలు అంటారు మరియు సెట్ ${0,1,2,3,4,5,6}$ అది యొక్క పరిష్కార సెట్ అంటారు.

కాబట్టి, ఒక అసమానతను ఒక మాపకంలో పరిష్కారం చేయడానికి ఒక విలువ అనేది అది ఒక నిజమైన ప్రకటనగా చేసే మాపకం యొక్క విలువ.

మనం పైన అసమానతను ట్రయల్ మరియు ఎర్ర విధానం ద్వారా పరిష్కారం చేసాము అది చాలా ఇష్టపడని విధానం. అప్పుడు ఈ విధానం సమయం ఆదజాలం మరియు కొన్నిసార్లు సాధ్యం కానిది. మనం అసమానతలను పరిష్కారం చేయడానికి కొంచెం మంచి లేదా సిస్టెమేటిక్ పద్ధతులు ఉండాలి. ఆ ముందు, మనం వినియోగదారుల అసమానతల యొక్క కొన్ని ప్రాపంతాలను పరిశీలించాలి మరియు అసమానతలను పరిష్కారం చేయడంలో వాటిని అనుసరించాలి కొన్ని నియమాలు.

మీరు రేఖీయ సమీకరణలను పరిష్కారం చేయడంలో మీరు ఈ క్రమాలను అనుసరించారని గుర్తుంచుకోండి:

నియమం 1 సమాన సంఖ్యలను (లేదా సంఖ్యలను తీసివేయవచ్చు) ఒక సమీకరణ రెండు వైపులకు.

నియమం 2 ఒక సమీకరణ రెండు వైపులను ఒక సమాన సహజంగా గుణించవచ్చు (లేదా భాగించవచ్చు).

అసమానతలను పరిష్కారం చేయడంలో మనం మళ్లీ ఈ క్రమాలను అనుసరిస్తాము కానీ వేరుగా ఉంటుంది నియమం 2 లో, అసమానత సిగ్న్ పునరుత్థానం తీసుకోబడుతుంది (అంటే ‘<’ ‘>’ అయ్యుంది, $\leq$ ’ $\geq$ ’ అయ్యుంది మరియు మరింతం) మేము ఒక సహజంగా రెండు వైపులకు అసమానతను గుణించాలని లేదా భాగించాలని ప్రారంభిస్తే. ఇది వాటి నుండి స్పష్టంగా ఉన్నది

$ \begin{aligned} & 3>2 \text{ while }-3<-2 \\ & -8<-7 \text{ while }(-8)(-2)>(-7)(-2), \text{ i.e., } 16>14 . \end{aligned} $

కాబట్టి, మనం ఒక అసమానతను పరిష్కారం చేయడానికి ఈ క్రమాలను పేర్కొంటాము:

నియమం 1 సమాన సంఖ్యలను (లేదా సంఖ్యలను తీసివేయవచ్చు) ఒక అసమానత రెండు వైపులకు అసమానత సిగ్న్ ప్రభావం పెట్టకుండా ఉంటుంది.

నియమం 2 ఒక అసమానత రెండు వైపులను ఒక సహజంగా గుణించవచ్చు (లేదా భాగించవచ్చు). కానీ మేము రెండు వైపులను ఒక సహజంగా గుణించాలని లేదా భాగించాలని ప్రారంభిస్తే, అసమానత సిగ్న్ పునరుత్థానం తీసుకోబడుతుంది.

ఇప్పుడు, కొన్ని ఉదాహరణలను పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణ 1 పరిష్కారం $30 x<200$ ఎప్పుడు (i) $x$ ఒక సహజ సంఖ్య, (ii) $x$ ఒక పూర్ణాంకం.

పరిష్కారం మనం పొందుతున్నాం $30 x<200$

లేదా $\quad \frac{30 x}{30}<\frac{200}{30}$ (నియమం 2), అంటే $x<20 / 3$.

(i) ఎప్పుడైతే $x$ ఒక సహజ సంఖ్య, ఈ పరిస్థితిలో $x$ యొక్క ఈ విలువలు ప్రకటనను నిజంగా చేస్తాయి.

$$ x=1,2,3,4,5,6 $$

అసమానత యొక్క పరిష్కార సెట్ అనేది $\{1,2,3,4,5,6\}$.

(ii) ఎప్పుడైతే $x$ ఒక పూర్ణాంకం, ఈ అసమానత యొక్క పరిష్కారాలు అనేది

$$ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6 $$

అసమానత యొక్క పరిష్కార సెట్ అనేది $ \{ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6 \} $

ఉదాహరణ 2 పరిష్కారం $5 x-3<3 x+1$ ఎప్పుడు (i) $x$ ఒక పూర్ణాంకం, (ii) $x$ ఒక సహజ సంఖ్య.

పరిష్కారం మనం పొందుతున్నాం, $5 x-3<3 x+1$

or $\quad \quad$ $5 x-3+3<3 x+1+3$ $\quad \quad \quad$ (నియమం 1)

or $\quad \quad$ $5 x<3 x+4$

or $\quad \quad$ $5 x-3 x<3 x+4-3 x$ $\quad \quad \quad \quad$ (నియమం 2)

or $\quad \quad$ $2 x<4$

or $\quad \quad$ $x<2$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad$ (నియమం 3)

(i) ఎప్పుడైతే $x$ ఒక పూర్ణాంకం, ఈ అసమానత యొక్క పరిష్కారాలు అనేది

$ \ldots,-4,-3,-2,-1,0,1 $

(ii) ఎప్పుడైతే $x$ ఒక సహజ సంఖ్య, ఈ అసమానత యొక్క పరిష్కారాలు $x<2$ ద్వారా ఇవ్వబడతాయి, అంటే 2 కంటే తక్కువ అన్ని సహజ సంఖ్యలు $x$. కాబట్టి, అసమానత యొక్క పరిష్కార సెట్ అనేది $x \in(-\infty, 2)$.

మనం అసమానతలను సహజ సంఖ్యల సెట్, పూర్ణాంకల సెట్ మరియు సహజ సంఖ్యల సెట్ లో పరిశీలించాము. కాబట్టి, ముందుగా పేర్కొనబడని పరిస్థితి లేకుంటే, మనం ఈ అధ్యాయంలో అసమానతలను సహజ సంఖ్యల సెట్ లో పరిష్కారం చేస్తాము.

ఉదాహరణ 3 పరిష్కారం $4 x+3<6 x+7$.

పరిష్కారం మనం పొందుతున్నాం, $\quad 4 x+3<6 x+7$

లేదా $\quad 4 x-6 x<6 x+4-6 x$

లేదా $\quad-2 x<4 \quad$ లేదా $x>-2$

అంటే అన్ని సహజ సంఖ్యలు కంటే ఎక్కువ -2 అసమానత యొక్క పరిష్కారాలు. కాబట్టి, పరిష్కార సెట్ అనేది $(-2, \infty)$.

ఉదాహరణ 4 పరిష్కారం $\frac{5-2 x}{3} \leq \frac{x}{6}-5$.

పరిష్కారం మనం పొందుతున్నాం $\quad \quad \quad \quad$ $\frac{5-2 x}{3} \leq \frac{x}{6}-5$

లేదా $\quad \quad \quad \quad$ $2(5-2 x) \leq x-30 \text {. }$

లేదా $\quad \quad \quad \quad$ $10-4 x \leq x-30$

లేదా $\quad \quad \quad \quad$ $-5 x \leq-40 \text {, i.e., } x \geq 8$

కాబట్టి, అన్ని సహజ సంఖ్యలు $x$ కంటే ఎక్కువ లేదా సమానం 8 అసమానత యొక్క పరిష్కారాలు, అంటే $x \in[8, \infty)$.

ఉదాహరణ 5 పరిష్కారం $7 x+3<5 x+9$. పరిష్కారాల గ్రాఫికల్ రిప్రెజెంటేషన్ నుండి నంబర్ లైన్ పై చూపించండి.

పరిష్కారం మనం పొందుతున్నాం $7 x+3<5 x+9$ లేదా $2 x<6$ లేదా $x<3$

పరిష్కారాల గ్రాఫికల్ రిప్రెజెంటేషన్ గ్రఫ్ 5.1 లో ఇవ్వబడింది.

గ్రఫ్ 5.1

ఉదాహరణ 6 పరిష్కారం $\frac{3 x-4}{2} \geq \frac{x+1}{4}-1$. పరిష్కారాల గ్రాఫికల్ రిప్రెజెంటేషన్ నుండి నంబర్ లైన్ పై చూపించండి.

పరిష్కారం మనం పొందుతున్నాం $ \frac{3 x-4}{2}\geq\frac{x+1}{4}-1$

$ \text{or} \quad \frac{3 x-4}{2} \geq \frac{x-3}{4} $

$ \text{or} \quad 2(3 x-4) \geq(x-3) $

లేదా $\quad \quad \quad \quad$ $6 x-8 \geq x-3$

లేదా $\quad \quad \quad \quad$ $5 x \geq 5$

లేదా $\quad \quad \quad \quad$ $x \geq 1$

పరిష్కారాల గ్రాఫికల్ రిప్రెజెంటేషన్ గ్రఫ్ 5.2 లో ఇవ్వబడింది.

గ్రఫ్ 5.2

ఉదాహరణ 7 తరగతి XI యొక్క ఒక మహిళా మంది మొదటి మరియు రెండవ టెర్మినల్ పరీక్షలలో 62 మరియు 48 గా సాధించాడు. అది ప్రారంభ పరీక్షలో గరిష్ఠంగా 60 మార్కుల సగటు పొందడానికి అతను ప్రారంభ పరీక్షలో ఏ గరిష్ఠ మార్కులను పొందాలి.

పరిష్కారం $x$ అనేది విద్యార్థి ప్రారంభ పరీక్షలో సాధించిన మార్కులు. అప్పుడు

$ \frac{62+48+x}{3} \geq 60 $

లేదా $\quad \quad \quad \quad 110+x \geq 180$

లేదా $\quad \quad \quad \quad$ $x \geq 70$

కాబట్టి, విద్యార్థి గరిష్ఠంగా 60 మార్కుల సగటు పొందడానికి 70 మార్కులను సాధించాలి.

ఉదాహరణ 8 10 కంటే ఎక్కువ రెండు అసలు సహజ సంఖ్యల జతలను కనుగొండండి, వాటి మొత్తం 40 కంటే తక్కువగా ఉండాలి.

పరిష్కారం $x$ అనేది రెండు అసలు సహజ సంఖ్యల యొక్క తక్కువ విలువ, అంటే ఇతర వాటి అనేది $x+2$. అప్పుడు, మనం పొందుతున్నాం

$$ \begin{equation*} x>10 \tag{1} \end{equation*} $$

$$ \begin{equation*} \text{ and } \quad \quad \quad x>10 \tag{2} \end{equation*} $$

(2) ను పరిష్కారం చేసినప్పుడు

$$ \begin{equation*} 2 x+2<40 \tag{3} \end{equation*} $$

అంటే $$x<19 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (3) $$

(1) నుండి (3) ను పొందినప్పుడు

$$ 10<x<19 $$

ఎందుకంటే $x$ ఒక అసలు సంఖ్య, $x$ విలువలు 11,13,15, మరియు 17 కలిగి ఉండవచ్చు. కాబట్టి, అవసరమైన సాధ్యమైన జతలు అనేది $(11,13),(13,15),(15,17),(17,19)$

సారాంశం

రెండు వస్తువులు లేదా రెండు బీజీయ వ్యక్తీగతాలు సిగ్న్స్ ద్వారా సంబంధించబడినవి ఒక అసమానతను కలిగి ఉంటాయి $<,>, \leq$ లేదా $\geq$.

సమాన సంఖ్యలను (లేదా సంఖ్యలను తీసివేయవచ్చు) ఒక అసమానత రెండు వైపులకు.

ఒక అసమానత రెండు వైపులను ఒక సహజంగా గుణించవచ్చు (లేదా భాగించవచ్చు). కానీ మేము రెండు వైపులను ఒక సహజంగా గుణించాలని లేదా భాగించాలని ప్రారంభిస్తే, అసమానత పునరుత్థానం తీసుకోబడుతుంది.

ఒక అసమానతను ఒక నిజమైన ప్రకటనగా చేసే $x$ యొక్క విలువలు అసమానత యొక్క పరిష్కారాలు అంటారు.

ఒక నంబర్ లైన్ పై $x<a$ (లేదా $x>a$ ) ను ప్రతిబింబించడానికి, సంఖ్య $a$ పై ఒక చిహ్నాన్ని ఉంచండి మరియు సంఖ్య $a$ యొక్క ఎడమ (లేదా కుడి) వైపు నుండి గుండె రేఖను.

ఒక నంబర్ లైన్ పై $x \leq a$ ( లేదా $x \geq a$ ) ను ప్రతిబింబించడానికి, సంఖ్య $a$ పై ఒక గుండె చిహ్నాన్ని ఉంచండి మరియు సంఖ్య $x$ యొక్క ఎడమ (లేదా కుడి) వైపు నుండి గుండె రేఖను.