గణితశాస్త్రం అత్యంత ఖచ్చితమైన శాస్త్రం మరియు దాని తీర్మానాలు సంపూర్ణ రుజువులకు సామర్థ్యం కలిగి ఉంటాయి. - సి.పి. స్టీన్మెట్జ్

7.1 పరిచయం

మునుపటి తరగతులలో, మనం $a+b$ మరియు $a-b$ వంటి ద్విపదాల వర్గాలు మరియు ఘనాలను ఎలా కనుగొనాలో నేర్చుకున్నాము. వాటిని ఉపయోగించి, మనం $(98)^{2}=(100-2)^{2},(999)^{3}=(1000-1)^{3}$ వంటి సంఖ్యల సంఖ్యాత్మక విలువలను మూల్యాంకనం చేయగలిగాము. అయితే, $(98)^{5},(101)^{6}$ వంటి ఎక్కువ ఘాతాంకాలకు, పునరావృత గుణకారాన్ని ఉపయోగించి గణనలు కష్టతరమైనవి. ఈ కష్టాన్ని ద్విపద సిద్ధాంతం అని పిలువబడే ఒక సిద్ధాంతం ద్వారా అధిగమించారు. ఇది $(a+b)^{n}$ని విస్తరించడానికి సులభమైన మార్గాన్ని ఇస్తుంది, ఇక్కడ $n$ ఒక పూర్ణాంకం లేదా భిన్న సంఖ్య. ఈ అధ్యాయంలో, మనం ధన పూర్ణాంక ఘాతాంకాల కోసం మాత్రమే ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని అధ్యయనం చేస్తాము.

బ్లెయిస్ పాస్కల్ (1623-1662 ఎ.డి.)

7.2 ధన పూర్ణాంక ఘాతాంకాల కోసం ద్విపద సిద్ధాంతం

మనం ఇంతకు ముందు చేసిన కింది సర్వసమీకరణాలను పరిశీలిద్దాం:

$$ \begin{aligned} & (a+b)^{0}=1 ; a+b \neq 0 \\ & (a+b)^{1}=a+b \\ & (a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2} \\ & (a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3} \\ & (a+b)^{4}=(a+b)^{3}(a+b)=a^{4}+4 a^{3} b+6 a^{2} b^{2}+4 a b^{3}+b^{4} \end{aligned} $$

ఈ విస్తరణలలో, మనం గమనించేది

(i) విస్తరణలోని మొత్తం పదాల సంఖ్య ఘాతాంకం కంటే ఒకటి ఎక్కువ. ఉదాహరణకు, $(a+b)^{2}$ యొక్క విస్తరణలో, పదాల సంఖ్య 3 అయితే $(a+b)^{2}$ యొక్క ఘాతాంకం 2.

(ii) మొదటి రాశి ‘$a$’ యొక్క ఘాతాలు వరుస పదాలలో 1 తగ్గుతూ పోతాయి, అయితే రెండవ రాశి ‘$b$’ యొక్క ఘాతాలు 1 పెరుగుతాయి.

(iii) విస్తరణలోని ప్రతి పదంలో, $a$ మరియు $b$ యొక్క ఘాతాల మొత్తం ఒకే విధంగా ఉంటుంది మరియు $a+b$ యొక్క ఘాతాంకానికి సమానంగా ఉంటుంది.

మనం ఇప్పుడు ఈ విస్తరణలలోని గుణకాలను కింది విధంగా అమర్చాము (Fig 7.1):

Fig 7.1

తదుపరి వరుసను వ్రాయడానికి మాకు సహాయపడే ఏదైనా నమూనాను ఈ పట్టికలో మనం గమనించామా? అవును, మనం గమనించాము. ఘాతాంకం 1 కోసం వరుసలోని 1లను కూడటం వలన ఘాతాంకం 2 కోసం వరుసలో 2 ఏర్పడుతుంది. ఘాతాంకం 2 కోసం వరుసలో 1,2 మరియు 2, 1 లను కూడటం వలన ఘాతాంకం 3 కోసం వరుసలో 3 మరియు 3 ఏర్పడతాయి మరియు ఇలాగే చేయవచ్చు. అలాగే, ప్రతి వరుస ప్రారంభంలో మరియు చివరిలో 1 ఉంటుంది. ఇది మన ఆసక్తి ఉన్న ఏదైనా ఘాతాంకం వరకు కొనసాగించవచ్చు.

మనం Fig 7.2లో ఇచ్చిన నమూనాను మరికొన్ని వరుసలు వ్రాయడం ద్వారా విస్తరించవచ్చు.

పాస్కల్ త్రిభుజం

Fig 7.2లో ఇచ్చిన నిర్మాణం ఒక త్రిభుజం వలె కనిపిస్తుంది, దీనిలో శీర్షంలో 1 ఉంటుంది మరియు రెండు వాలుగా ఉన్న భుజాల వెంట క్రిందికి పోతుంది. సంఖ్యల ఈ శ్రేణిని ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రవేత్త బ్లెయిస్ పాస్కల్ పేరు మీద పాస్కల్ త్రిభుజం అని పిలుస్తారు. దీనిని పింగల చేత మేరు ప్రస్తార అని కూడా పిలుస్తారు.

పాస్కల్ త్రిభుజాన్ని ఉపయోగించి ద్విపదం యొక్క ఎక్కువ ఘాతాల విస్తరణలు కూడా సాధ్యమే. $(2 x+3 y)^{5}$ని పాస్కల్ త్రిభుజాన్ని ఉపయోగించి విస్తరించండి. ఘాతాంకం 5 కోసం వరుస

$$ \begin{matrix} 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 \end{matrix} $$

ఈ వరుసను మరియు మన పరిశీలనలు (i), (ii) మరియు (iii)ని ఉపయోగించి, మనకు లభిస్తుంది

$ \begin{aligned} (2 x+3 y)^{5} & =(2 x)^{5}+5(2 x)^{4}(3 y)+10(2 x)^{3}(3 y)^{2}+10(2 x)^{2}(3 y)^{3}+5(2 x)(3 y)^{4}+(3 y)^{5} \\ & =32 x^{5}+240 x^{4} y+720 x^{3} y^{2}+1080 x^{2} y^{3}+810 x y^{4}+243 y^{5} \end{aligned} $

ఇప్పుడు, మనం $(2 x+3 y)^{12}$ యొక్క విస్తరణను కనుగొనాలనుకుంటే, మొదట ఘాతాంకం 12 కోసం వరుసను పొందాలి. ఇది ఘాతాంకం 12 వరకు పాస్కల్ త్రిభుజం యొక్క అన్ని వరుసలను వ్రాయడం ద్వారా చేయవచ్చు. ఇది కొంత పొడవైన ప్రక్రియ. మనం గమనించినట్లుగా, ఇంకా పెద్ద ఘాతాలతో కూడిన విస్తరణలు అవసరమైతే, ఈ ప్రక్రియ మరింత కష్టతరమైనది అవుతుంది.

అందువల్ల, మనం కావలసిన ఘాతాంకం యొక్క వరుసకు ముందు వచ్చే పాస్కల్ త్రిభుజం యొక్క అన్ని వరుసలను వ్రాయకుండా, ఏదైనా ఘాతాంకం కోసం ద్విపదం యొక్క విస్తరణను కనుగొనడంలో సహాయపడే నియమాన్ని కనుగొనడానికి ప్రయత్నిస్తాము.

దీని కోసం, మనం పాస్కల్ త్రిభుజంలోని సంఖ్యలను తిరిగి వ్రాయడానికి ఇంతకు ముందు అధ్యయనం చేసిన సంయోజనల భావనను ఉపయోగిస్తాము. మనకు తెలుసు ${ }^{n} C_r=\frac{n !}{r !(n-r) !}, 0 \leq r \leq n$ మరియు $n$ ఒక అ-ఋణాత్మక పూర్ణాంకం. అలాగే, ${ }^{n} C_0=1={ }^{n} C_n$ పాస్కల్ త్రిభుజం ఇప్పుడు ఈ విధంగా తిరిగి వ్రాయబడుతుంది (Fig 7.3)

Fig 7.3 పాస్కల్ త్రిభుజం

ఈ నమూనాను గమనించడం ద్వారా, మనం ఇప్పుడు మునుపటి వరుసలను వ్రాయకుండా ఏదైనా ఘాతాంకం కోసం పాస్కల్ త్రిభుజం యొక్క వరుసను వ్రాయవచ్చు. ఉదాహరణకు, ఘాతాంకం 7 కోసం వరుస ఇలా ఉంటుంది

$$ { }^{7} C_0 \quad{ }^{7} C_1 \quad{ }^{7} C_2 \quad{ }^{7} C_3 \quad{ }^{7} C_4 \quad{ }^{7} C_5 \quad{ }^{7} C_6 \quad{ }^{7} C_7 $$

అందువలన, ఈ వరుసను మరియు పరిశీలనలు (i), (ii) మరియు (iii)ని ఉపయోగించి, మనకు ఉంది

$(a+b)^{7}={ }^{7} C_0 a^{7}+7 C_1 a^{6} b+{ }^{7} C_2 a^{5} b^{2}+{ }^{7} C_3 a^{4} b^{3}+7 C_4 a^{3} b^{4}+{ }^{7} C_5 a^{2} b^{5}+{ }^{7} C_6 a b^{6}+{ }^{7} C_7 b^{7}$

ఇప్పుడు ఏదైనా ధన పూర్ణాంక ఘాతాంకం $n$ కోసం ద్విపదం యొక్క విస్తరణను ఈ పరిశీలనలను ఉపయోగించి దృశ్యమానం చేయవచ్చు. ఇప్పుడు మనం ఏదైనా ధన పూర్ణాంక ఘాతాంకానికి ద్విపదం యొక్క విస్తరణను వ్రాయడానికి సిద్ధంగా ఉన్నాము.

7.2.1 ఏదైనా ధన పూర్ణాంకం $n$ కోసం ద్విపద సిద్ధాంతం,

$ (a+b)^{n}={ }^{n} C_0 a^{n}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b+{ }^{n} C_2 a^{n-2} b^{2}+\ldots+{ }^{n} C _{n-1} a \cdot b^{n-1}+{ }^{n} C_n b^{n} $

రుజువు రుజువు గణితీయ ఆగమన సూత్రాన్ని వర్తింపజేయడం ద్వారా పొందబడుతుంది.

ఇచ్చిన ప్రవచనాన్ని ఇలా ఉండనివ్వండి

$ P(n):(a+b)^{n}={ }^{n} C_0 a^{n}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b+{ }^{n} C_2 a^{n-2} b^{2}+\ldots+{ }^{n} C _{n-1} a \cdot b^{n-1}+{ }^{n} C_n b^{n} $

$n=1$ కోసం, మనకు ఉంది

$ P(1):(a+b)^{1}={ }^{1} C_0 a^{1}+{ }^{1} C_1 b^{1}=a+b $

అందువలన, $P(1)$ నిజం.

కొంత ధన పూర్ణాంకం $k$ కోసం $P(k)$ నిజమని అనుకుందాం, అనగా.

$ (a+b)^{k}={ }^{k} C_0 a^{k}+{ }^{k} C_1 a^{k-1} b+{ }^{k} C_2 a^{k-2} b^{2}+\ldots+{ }^{k} C_k b^{k} $

$P(k+1)$ కూడా నిజమని మనం రుజువు చేస్తాము, అనగా.,

$ (a+b)^{k+1}={ }^{k+1} C_0 a^{k+1}+{ }^{k+1} C_1 a^{k} b+{ }^{k+1} C_2 a^{k-1} b^{2}+\ldots+{ }^{k+1} C_{k+1} b^{k+1} $

ఇప్పుడు, $(a+b)^{k+1}=(a+b)(a+b)^{k}$ $ =(a+b)({ }^{k} C_0 a^{k}+{ }^{k} C_1 a^{k-1} b+{ }^{k} C_2 a^{k-2} b^{2}+\ldots+{ }^{k} C_{k-1} a b^{k-1}+{ }^{k} C_k b^{k}) [\text{from}(1)] $ $={ }^{k} C_0 a^{k+1}+{ }^{k} C_1 a^{k} b+{ }^{k} C_2 a^{k-1} b^{2}+\ldots+{ }^{k} C _{k-1} a^{2} b^{k-1}+{ }^{k} C_k a b^{k}+{ }^{k} C_0 a^{k} b$ $+{ }^{k} C_1 a^{k-1} b^{2}+{ }^{k} C_2 a^{k-2} b^{3}+\ldots+{ }^{k} C _{k-1} a b^{k}+{ }^{k} C_k b^{k+1}$ [వాస్తవ గుణకారం ద్వారా] $={ }^{k} C_0 a^{k+1}+({ }^{k} C_1+{ }^{k} C_0) a^{k} b+({ }^{k} C_2+{ }^{k} C_1) a^{k-1} b^{2}+\ldots$ $+({ }^{k} C_k+{ }^{k} C _{k-1}) a b^{k}+{ }^{k} C_k b^{k+1} \quad$ [సమాన పదాలను సమూహపరచడం] $={ }^{k+1} C_0 a^{k+1}+{ }^{k+1} C_1 a^{k} b+{ }^{k+1} C_2 a^{k-1} b^{2}+\ldots+{ }^{k+1} C_k a b^{k}+{ }^{k+1} C _{k+1} b^{k+1}$ (${ }^{k+1} C_0=1,{ }^{k} C_r+{ }^{k} C _{r-1}={ }^{k+1} C_r \quad$ మరియు ⟦44⟨ని ఉపయోగించడం ద్వారా )

అందువలన, $P(k+1)$ నిజమైనప్పుడల్లా $P(k)$ నిజమని రుజువు చేయబడింది. కాబట్టి, గణితీయ ఆగమన సూత్రం ప్రకారం, ప్రతి ధన పూర్ణాంకం $n$ కోసం $P(n)$ నిజం.

మనం ⟦49⟨ని విస్తరించడం ద్వారా ఈ సిద్ధాంతాన్ని వివరిస్తాము :

$ \begin{aligned} (x+2)^{6} & ={ }^{6} C_0 x^{6}+{ }^{6} C_1 x^{5} \cdot 2+{ }^{6} C_2 x^{4} 2^{2}+{ }^{6} C_3 x^{3} \cdot 2^{3}+{ }^{6} C_4 x^{2} \cdot 2^{4}+{ }^{6} C_5 x \cdot 2^{5}+{ }^{6} C_6 \cdot 2^{6} . \\ & =x^{6}+12 x^{5}+60 x^{4}+160 x^{3}+240 x^{2}+192 x+64 \end{aligned} $

అందువలన $(x+2)^{6}=x^{6}+12 x^{5}+60 x^{4}+160 x^{3}+240 x^{2}+192 x+64$.

పరిశీలనలు

1. $\sum_{k=0}^{n}{ }^{n} C_k a^{n-k} b^{k}$ అనే సంజ్ఞామానం దీనిని సూచిస్తుంది

${ }^{n} C_0 a^{n} b^{0}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b^{1}+\ldots+{ }^{n} C_r a^{n-r} b^{r}+\ldots+{ }^{n} C_n a^{n-n} b^{n}$, ఇక్కడ $b^{0}=1=a^{n-n}$.

అందువలన సిద్ధాంతాన్ని ఇలా కూడా పేర్కొనవచ్చు

$$ (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{ }^{n} \mathrm{C} _{k} a^{n-k} b^{k} $$

2. ద్విపద సిద్ధాంతంలో కనిపించే గుణకాలు ${ }^{n} C_r$ ద్విపద గుణకాలు అని పిలువబడతాయి.

3. $(a+b)^{n}$ యొక్క విస్తరణలో $(n+1)$ పదాలు ఉన్నాయి, అనగా, ఘాతాంకం కంటే ఒకటి ఎక్కువ.

4. విస్తరణ యొక్క వరుస పదాలలో $a$ యొక్క ఘాతం ఏకాంకం తగ్గుతూ పోతుంది. ఇది మొదటి పదంలో $n$, రెండవ పదంలో $(n-1)$, మరియు చివరి పదంలో సున్నాతో ముగుస్తుంది. అదే సమయంలో $b$ యొక్క ఘాతం ఏకాంకం పెరుగుతుంది, మొదటి పదంలో సున్నాతో మొదలవుతుంది, రెండవదిలో 1 మరియు చివరి పదంలో $n$తో ముగుస్తుంది.

5. $(a+b)^{n}$ యొక్క విస్తరణలో, $a$ మరియు $b$ యొక్క ఘాతాల మొత్తం మొదటి పదంలో $n+0=n$, రెండవ పదంలో $(n-1)+1=n$ మరియు చివరి పదంలో $0+n=n$. అందువలన, విస్తరణ యొక్క ప్రతి పదంలో $a$ మరియు $b$ యొక్క ఘాతాల మొత్తం $n$ అని చూడవచ్చు.

7.2.2 కొన్ని ప్రత్యేక సందర్భాలు

$(a+b)^{n}$ యొక్క విస్తరణలో,

(i) $a=x$ మరియు ⟦73⟨ని తీసుకోవడం, మనకు లభిస్తుంది

$ \begin{aligned} (x-y)^{n} & =[x+(-y)]^{n} \\ & ={ }^{n} C_0 x^{n}+{ }^{n} C_1 x^{n-1}(-y)+{ }^{n} C_2 x^{n-2}(-y)^{2}+{ }^{n} C_3 x^{n-3}(-y)^{3}+\ldots+{ }^{n} C_n(-y)^{n} \\ & ={ }^{n} C_0 x^{n}-{ }^{n} C_1 x^{n-1} y+{ }^{n} C_2 x^{n-2} y^{2}-{ }^{n} C_3 x^{n-3} y^{3}+\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n y^{n} \end{aligned} $

అందువలన $(x-y)^{n}={ }^{n} C_0 x^{n}-{ }^{n} C_1 x^{n-1} y+{ }^{n} C_2 x^{n-2} y^{2}+\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n y^{n}$

దీనిని ఉపయోగించి, మనకు ఉంది $\quad(x-2 y)^{5}={ }^{5} C_0 x^{5}-{ }^{5} C_1 x^{4}(2 y)+{ }^{5} C_2 x^{3}(2 y)^{2}-{ }^{5} C_3 x^{2}(2 y)^{3}+$

$ \begin{aligned} & { }^{5} C_4 x(2 y)^{4}-{ }^{5} C_5(2 y)^{5} \\ = & x^{5}-10 x^{4} y+40 x^{3} y^{2}-80 x^{2} y^{3}+80 x y^{4}-32 y^{5} . \end{aligned} $

(ii) ⟦76⟨ని తీసుకోవడం, మనకు లభిస్తుంది

$ \begin{gathered} (1+x)^{n}={ }^{n} C_0(1)^{n}+{ }^{n} C_1(1)^{n-1} x+{ }^{n} C_2(1)^{n-2} x^{2}+\ldots+{ }^{n} C_n x^{n} \\ ={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 x+{ }^{n} C_2 x^{2}+{ }^{n} C_3 x^{3}+\ldots+{ }^{n} C_n x^{n} \end{gathered} $

అందువలన $\quad(1+x)^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 x+{ }^{n} C_2 x^{2}+{ }^{n} C_3 x^{3}+\ldots+{ }^{n} C_n x^{n}$

ప్రత్యేకించి, $x=1$ కోసం, మనకు ఉంది

$ 2^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1+{ }^{n} C_2+\ldots+{ }^{n} C_n $

(iii) ⟦79⟨ని తీసుకోవడం, మనకు లభిస్తుంది

$ (1-x)^{n}={ }^{n} C_0-{ }^{n} C_1 x+{ }^{n} C_2 x^{2}-\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n x^{n} $

ప్రత్యేకించి, $x=1$ కోసం, మనకు లభిస్తుంది

$ 0={ }^{n} C_0-{ }^{n} C_1+{ }^{n} C_2-\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n $

ఉదాహరణ 1 ⟦81⟨ని విస్తరించండి

సాధన ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించడం ద్వారా, మనకు ఉంది

$ \begin{aligned} x^{2}+\frac{3}{x} & ={ }^{4} C_0(x^{2})^{4}+{ }^{4} C_1(x^{2})^{3}(\frac{3}{x})+{ }^{4} C_2(x^{2})^{2}(\frac{3}{x})^{2}+{ }^{4} C_3(x^{2})(\frac{3}{x})^{3}+{ }^{4} C_4(\frac{3}{x})^{4} \\ & =x^{8}+4 \cdot x^{6} \cdot \frac{3}{x}+6 \cdot x^{4} \cdot \frac{9}{x^{2}}+4 \cdot x^{2} \cdot \frac{27}{x^{3}}+\frac{81}{x^{4}} \\ & =x^{8}+12 x^{5}+54 x^{2}+\frac{108}{x}+\frac{81}{x^{4}} . \end{aligned} $

ఉదాహరణ 2 ⟦82⟨ని గణించండి.

సాధన మనం 98ని రెండు సంఖ్యల మొత్తం లేదా వ్యత్యాసంగా వ్యక్తపరుస్తాము, వాటి ఘాతాలు గణించడం సులభం, ఆపై ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగిస్తాము.

$98=100-2$ అని వ్రాయండి

అందువలన, $(98)^{5}=(100-2)^{5}$ $ \begin{aligned} = & { }^{5} C_0(100)^{5}-{ }^{5} C_1(100)^{4} .2+{ }^{5} C_2(100)^{3} 2^{2} \\ & -{ }^{5} C_3(100)^{2}(2)^{3}+{ }^{5} C_4(100)(2)^{4}-{ }^{5} C_5(2)^{5} \\ = & 10000000000-5 \times 100000000 \times 2+10 \times 1000000 \times 4-10 \times 10000 \\ & \times 8+5 \times 100 \times 16-32 \\ = & 10040008000-1000800032=9039207968 . \end{aligned} $

ఉదాహరణ 3 ఏది పెద్దది (1.01) ${ }^{1000000}$ లేదా 10,000 ?

సాధన 1.01ని విభజించి మరియు ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి మొదటి కొన్ని పదాలను వ్రాయడం ద్వారా మనకు ఉంది

$ \begin{aligned} (1.01)^{1000000} & =(1+0.01)^{1000000} \\ & ={ }^{1000000} C_0+{ }^{1000000} C_1(0.01)+\text{ other positive terms } \\ & =1+1000000 \times 0.01+\text{ other positive terms } \\ & =1+10000+\text{ other positive terms } \\ & >10000 \end{aligned} $

అందువలన $\quad(1.01)^{1000000}>10000$

ఉదాహరణ 4 ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి, $6^{n}-5 n$ ఎల్లప్పుడూ 25తో భాగించబడినప్పుడు శేషం 1ని ఇస్తుందని రుజువు చేయండి.

సాధన రెండు సంఖ్యలు $a$ మరియు $b$ కోసం మనం సంఖ్యలను $q$ మరియు $r$ కనుగొనగలిగితే అంటే $a=b q+r$, అప్పుడు మనం $b$ ⟦94⟨ని భాగిస్తుంది అని చెప్పవచ్చు, ఇక్కడ $q$ భాగఫలం మరియు $r$ శేషం. అందువలన, $6^{n}-5 n$ 25తో భాగించబడినప్పుడు శేషం 1ని ఇస్తుందని చూపడానికి, మనం $6^{n}-5 n=25 k+1$ అని రుజువు చేస్తాము, ఇక్కడ $k$ ఒక సహజ సంఖ్య.

మనకు ఉంది

$ (1+a)^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 a+{ }^{n} C_2 a^{2}+\ldots+{ }^{n} C_n a^{n} $

$a=5$ కోసం, మనకు లభిస్తుంది

$$ (1+5)^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 5+{ }^{n} C_2 5^{2}+\ldots+{ }^{n} C_n 5^{n} $$

అనగా. $$ \quad (6)^{n}=1+5 n+5^{2} \cdot{ }^{n} C_2+5^{3} \cdot{ }^{n} C_3+\ldots+5^{n} $$

అనగా $$\quad 6^{n}-5 n=1+5^{2}({ }^{n} C_2+{ }^{n} C_3 5+\ldots+5^{n-2})$$

లేదా $$\quad 6^{n}-5 n=1+25({ }^{n} C_2+5 \cdot{ }^{n} C_3+\ldots+5^{n-2})$$

లేదా $$ \quad 6^{n}-5 n=25 k+1 \quad \text{ where } k={ }^{n} C_2+5 \cdot{ }^{n} C_3+\ldots+5^{n-2} $$

ఇది చూపిస్తుంది $25,6^{n}-5 n$తో భాగించబడినప్పుడు శేషం 1ని ఇస్తుంది.

సారాంశం

• ఏదైనా ధన పూర్ణాంకం $n$ కోసం ద్విపదం యొక్క విస్తరణ ద్విపద సిద్ధాంతం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది, ఇది $(a+b)^{n}={ }^{n} C_0 a^{n}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b+{ }^{n} C_2 a^{n-2} b^{2}+\ldots+$ ${ }^{n} C _{n-1} a \cdot b^{n-1}+{ }^{n} C_n b^{n}$

• విస్తరణల గుణకాలు ఒక శ్రేణిలో అమర్చబడతాయి. ఈ శ్రేణిని పాస్కల్ త్రిభుజం అంటారు.

చారిత్రక గమనిక

ప్రాచీన భారతీయ గణిత శాస్త్రవేత్తలు $(x+y)^{n}, 0 \leq n \leq 7$ యొక్క విస్తరణలలోని గుణకాలను గురించి తెలుసుకున్నారు. ఈ గుణకాల అమరిక మేరు-ప్రస్తార అని పిలువబడే రేఖాచిత్ర రూపంలో ఉంది, దీనిని పింగల తన పుస్తకం ఛంద శాస్త్రంలో (200B.C.) అందించాడు. ఈ త్రిభుజాకార అమరిక 1303లో చైనీస్ గణిత శాస్త్రవేత్త చు-షి-కియే రచనలో కూడా కనిపిస్తుంది. ద్విపద గుణకాలు అనే పదాన్ని మొదటిసారిగా జర్మన్ గణిత శాస్త్రవేత్త, మైకెల్ స్టిపెల్ (1486-1567) సుమారు 1544లో పరిచయం చేశారు. బాంబెల్లి (1572) కూడా $(a+b)^{n}$ యొక్క విస్తరణలో గుణకాలను ఇచ్చాడు, $n=1,2 \ldots, 7$ కోసం మరియు ఓఘ్ట్రెడ్ (1631) $n=1,2, \ldots, 10$ కోసం ఇచ్చాడు. పింగల యొక్క మేరుప్రస్తారానికి సమానమైన అంకగణిత త్రిభుజం, ప్రసిద్ధిగా పాస్కల్ త్రిభుజం అని పిలువబడేది, ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రవేత్త బ్లెయిస్ పాస్కల్ (1623-1662) చేత 1665లో నిర్మించబడింది.

$n$ యొక్క పూర్ణాంక విలువల కోసం ద్విపద సిద్ధాంతం యొక్క ప్రస్తుత రూపం ట్రేట్ డు త్రియాంగే అరిత్మెటిక్లో కనిపించింది, దీనిని పాస్కల్ వ్రాసాడు మరియు 1665లో మరణానంతరం ప్రచురించబడింది.