8.1 పరిచయం

గణితంలో, “క్రమం” అనే పదం సాధారణ ఆంగ్లంలో ఉపయోగించిన విధంగానే ఉపయోగించబడుతుంది. వస్తువుల సముదాయం ఒక క్రమంలో జాబితా చేయబడిందని మనం చెప్పినప్పుడు, దానికి గుర్తించబడిన మొదటి సభ్యుడు, రెండవ సభ్యుడు, మూడవ సభ్యుడు మరియు మొదలైనవి ఉండే విధంగా ఆ సముదాయం క్రమబద్ధంగా ఉంటుందని మనం సాధారణంగా అర్థం చేసుకుంటాం. ఉదాహరణకు, వివిధ సమయాల్లో మానవుల లేదా బ్యాక్టీరియాల జనాభా ఒక క్రమాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. బ్యాంకులో జమ చేయబడిన డబ్బు మొత్తం, అనేక సంవత్సరాల పాటు, ఒక క్రమాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. కొన్ని వస్తువుల తరుగుదల విలువలు ఒక క్రమంలో ఏర్పడతాయి. మానవ కార్యకలాపాల యొక్క అనేక రంగాల్లో క్రమాలకు ముఖ్యమైన అనువర్తనాలు ఉన్నాయి.

నిర్దిష్ట నమూనాలను అనుసరించే క్రమాలను పురోగతులు అంటారు. మునుపటి తరగతిలో, మనం అంకగణిత పురోగతి (A.P) గురించి అధ్యయనం చేసాము. ఈ అధ్యాయంలో, A.P. గురించి మరింత చర్చించడంతో పాటు; అంకగణిత మధ్యమం, గుణోత్తర మధ్యమం, A.M. మరియు G.M. మధ్య సంబంధం, వరుస సహజ సంఖ్యల మొత్తం $n$ పదాల రూపంలోని ప్రత్యేక శ్రేణులు, సహజ సంఖ్యల వర్గాల మొత్తం $n$ పదాలు మరియు సహజ సంఖ్యల ఘనాల మొత్తం $n$ పదాలు కూడా అధ్యయనం చేయబడతాయి.

8.2 క్రమాలు

కింది ఉదాహరణలను పరిశీలిద్దాం:

30 సంవత్సరాల తరం అంతరం ఉందని భావించండి, 300 సంవత్సరాలలో ఒక వ్యక్తికి ఉండే పూర్వీకుల సంఖ్యను, అంటే తల్లిదండ్రులు, తాతామామలు, ముత్తాతలు మొదలైనవారిని కనుగొనమని మనకు అడుగుతారు.

ఇక్కడ, మొత్తం తరాల సంఖ్య $=\frac{300}{30}=10$

మొదటి, రెండవ, మూడవ, …, పదవ తరాలకు వ్యక్తి యొక్క పూర్వీకుల సంఖ్య $2,4,8,16,32, \ldots, 1024$. ఈ సంఖ్యలు మనం క్రమం అని పిలిచే దానిని ఏర్పరుస్తాయి.

10ని 3తో భాగించడంలో విభజన యొక్క వివిధ దశల్లో మనం పొందే వరుస భాగఫలాలను పరిగణించండి. ఈ ప్రక్రియలో మనకు $3,3.3,3.33,3.333, \ldots$ మరియు మొదలైనవి లభిస్తాయి. ఈ భాగఫలాలు కూడా ఒక క్రమాన్ని ఏర్పరుస్తాయి. ఒక క్రమంలో సంభవించే వివిధ సంఖ్యలను దాని పదాలు అంటారు. మనం ఒక క్రమం యొక్క పదాలను $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$, మొదలైనవాటితో సూచిస్తాము, సబ్స్క్రిప్ట్లు పదం యొక్క స్థానాన్ని సూచిస్తాయి. $n^{\text{th }}$ పదం క్రమం యొక్క $n^{\text{th }}$ స్థానంలో ఉన్న సంఖ్య మరియు దీనిని $a_n$తో సూచిస్తారు. $n^{\text{th }}$ పదాన్ని క్రమం యొక్క సాధారణ పదం అని కూడా అంటారు.

అందువల్ల, పైన పేర్కొన్న వ్యక్తి యొక్క పూర్వీకుల క్రమం యొక్క పదాలు:

$$ a_1=2, a_2=4, a_3=8, \ldots, a _{10}=1024 $$

అదేవిధంగా, వరుస భాగఫలాల ఉదాహరణలో

$$ a_1=3, a_2=3.3, a_3=3.33, \ldots, a_6=3.33333 \text{, etc. } $$

పరిమిత సంఖ్యలో పదాలను కలిగి ఉన్న క్రమాన్ని పరిమిత క్రమం అంటారు. ఉదాహరణకు, పూర్వీకుల క్రమం ఒక పరిమిత క్రమం, ఎందుకంటే ఇది 10 పదాలను (ఒక స్థిర సంఖ్య) కలిగి ఉంటుంది.

ఒక క్రమం పరిమితం కానిది అయితే దానిని అనంత క్రమం అంటారు. ఉదాహరణకు, పైన పేర్కొన్న వరుస భాగఫలాల క్రమం ఒక అనంత క్రమం, అది ఎప్పటికీ ముగియని అర్థంలో అనంతమైనది.

తరచుగా, బీజగణిత సూత్రం పరంగా ఒక క్రమం యొక్క వివిధ పదాలను ఇచ్చే నియమాన్ని వ్యక్తపరచడం సాధ్యమవుతుంది. ఉదాహరణకు, సరి సహజ సంఖ్యల క్రమాన్ని పరిగణించండి $2,4,6, \ldots$

$ \begin{aligned} & \text{ ఇక్కడ } \quad a_1=2=2 \times 1 \quad a_2=4=2 \times 2 \\ & a_3=6=2 \times 3 \quad a_4=8=2 \times 4 \\ &\ldots & \ldots . & \ldots . & \ldots . & \ldots . & \ldots\\ & a _{23}=46=2 \times 23, a _{24}=48=2 \times 24 \text{, మరియు మొదలైనవి. } \end{aligned} $

వాస్తవానికి, ఈ క్రమం యొక్క $n^{\text{th }}$ పదాన్ని $a_n=2 n$గా వ్రాయవచ్చని మనం చూస్తాము, ఇక్కడ $n$ ఒక సహజ సంఖ్య. అదేవిధంగా, బేసి సహజ సంఖ్యల క్రమంలో $1,3,5, \ldots$, $n^{\text{th }}$ పదం $a_n=2 n-1$ సూత్రం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది, ఇక్కడ $n$ ఒక సహజ సంఖ్య. కొన్ని సందర్భాల్లో, $1,1,2,3,5,8, .$ వంటి సంఖ్యల అమరికకు కనిపించే నమూనా ఉండదు, కానీ క్రమం ఇచ్చిన పునరావృత సంబంధం ద్వారా ఉత్పత్తి చేయబడుతుంది

$$ \begin{aligned} & a_1=a_2=1 \\ & a_3=a_1+a_2 \\ & a_n=a _{n-2}+a _{n-1}, n>2 \end{aligned} $$

ఈ క్రమాన్ని ఫిబొనాక్చి క్రమం అంటారు.

ప్రధాన సంఖ్యల క్రమంలో $2,3,5,7, \ldots$, $n^{\text{th }}$ ప్రధాన సంఖ్యకు సూత్రం లేదని మనం కనుగొంటాము. అటువంటి క్రమాన్ని మాత్రమే మాటల వివరణ ద్వారా వివరించవచ్చు.

ప్రతి క్రమంలో, దాని పదాలు తప్పనిసరిగా ఒక నిర్దిష్ట సూత్రం ద్వారా ఇవ్వబడతాయని మనం ఆశించకూడదు. అయినప్పటికీ, మనం పదాలను $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$ వరుసగా ఉత్పత్తి చేయడానికి ఒక సైద్ధాంతిక పథకం లేదా నియమాన్ని ఆశిస్తాము.

పైన పేర్కొన్న దాని దృష్ట్యా, ఒక క్రమాన్ని డొమైన్ సహజ సంఖ్యల సమితి లేదా దాని యొక్క కొన్ని ఉపసమితిగా ఉండే ఫంక్షన్గా పరిగణించవచ్చు. కొన్నిసార్లు, మనం $a_n$ కోసం ఫంక్షనల్ నోటేషన్ a(n)ని ఉపయోగిస్తాము.

8.3 శ్రేణి

$a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$, ఇచ్చిన క్రమంగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు, వ్యక్తీకరణ $ a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n+\ldots $ ఇచ్చిన క్రమంతో అనుబంధించబడిన శ్రేణి అంటారు. ఇచ్చిన క్రమం పరిమితమైనదా లేదా అనంతమైనదా అనే దాని ఆధారంగా శ్రేణి పరిమితమైనది లేదా అనంతమైనది. శ్రేణులు తరచుగా కాంపాక్ట్ రూపంలో, సిగ్మా నోటేషన్ అని పిలుస్తారు, గ్రీకు అక్షరం $\sum$ (సిగ్మా)ని ఉపయోగించి ఇందులో ఉన్న సంకలనాన్ని సూచించే మార్గంగా ఉపయోగిస్తారు. అందువలన, శ్రేణి $a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n$ సంక్షిప్తీకరించబడింది $\sum_{k=1}^{n} a_k$గా.

గమనిక శ్రేణి ఉపయోగించినప్పుడు, అది సూచించిన మొత్తాన్ని సూచిస్తుంది, మొత్తాన్ని కాదు. ఉదాహరణకు, $1+3+5+7$ నాలుగు పదాలతో కూడిన పరిమిత శ్రేణి. మనం “శ్రేణి మొత్తం” అనే పదబంధాన్ని ఉపయోగించినప్పుడు, పదాలను కలపడం ద్వారా వచ్చే సంఖ్యను అర్థం చేసుకుంటాము, శ్రేణి మొత్తం 16.

మనం ఇప్పుడు కొన్ని ఉదాహరణలను పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణ 1 కింది వాటి ద్వారా నిర్వచించబడిన ప్రతి క్రమంలో మొదటి మూడు పదాలను వ్రాయండి:

(i) $a_n=2 n+5$,

(ii) $a_n=\frac{n-3}{4}$.

సాధన (i) ఇక్కడ $a_n=2 n+5$

$n=1,2,3$ని ప్రతిక్షేపించడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది $ a_1=2(1)+5=7, a_2=9, a_3=11 $

అందువల్ల, అవసరమైన పదాలు 7, 9 మరియు 11.

(ii) ఇక్కడ $a_n=\frac{n-3}{4}$. అందువలన, $a_1=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}, a_2=-\frac{1}{4}, a_3=0$

అందువల్ల, మొదటి మూడు పదాలు $-\frac{1}{2},-\frac{1}{4}$ మరియు 0.

ఉదాహరణ 2 క్రమం ద్వారా నిర్వచించబడిన $20^{\text{th }}$ పదం ఏమిటి $ a_n=(n-1)(2-n)(3+n) ? $ సాధన $n=20$ని ఉంచడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది

$$ \begin{aligned} a _{20} & =(20-1)(2-20)(3+20) \\ & =19 \times(-18) \times(23) \\ &
=-7866 . \end{aligned} $$

ఉదాహరణ 3 క్రమం $a_n$ కింది విధంగా నిర్వచించబడనివ్వండి:

$$ a_1=1, a_n=a _{n-1}+2 \text{ for } n \geq 2 \text{. } $$

మొదటి ఐదు పదాలను కనుగొని, సంబంధిత శ్రేణిని వ్రాయండి.

సాధన మనకు ఉంది

$ \begin{aligned} & a_1=1, a_2=a_1+2=1+2=3, a_3=a_2+2=3+2=5, \\ & a_4=a_3+2=5+2=7, a_5=a_4+2=7+2=9 . \end{aligned} $

అందువల్ల, క్రమం యొక్క మొదటి ఐదు పదాలు $1,3,5,7$ మరియు 9. సంబంధిత శ్రేణి $1+3+5+7+9+\ldots$

8.4 గుణోత్తర పురోగతి (G. P.)

కింది క్రమాలను పరిశీలిద్దాం:

(i) $2,4,8,16, \ldots$,

(ii) $\frac{1}{9}, \frac{-1}{27}, \frac{1}{81}, \frac{-1}{243}$

(iii) $.01, .0001, .000001, \ldots$

ఈ క్రమాలలో ప్రతి ఒక్కదానిలో, వాటి పదాలు ఎలా పురోగమిస్తాయి? మొదటి పదం మినహా ప్రతి పదం ఒక నిర్దిష్ట క్రమంలో పురోగమిస్తుందని మనం గమనించాము.

(i) లో, మనకు $a_1=2, \frac{a_2}{a_1}=2, \frac{a_3}{a_2}=2, \frac{a_4}{a_3}=2$ మరియు మొదలైనవి ఉన్నాయి.

(ii) లో, మనం గమనించాము, $a_1=\frac{1}{9}, \frac{a_2}{a_1}=\frac{1}{3}, \frac{a_3}{a_2}=\frac{1}{3}, \frac{a_4}{a_3}=\frac{1}{3}$ మరియు మొదలైనవి.

అదేవిధంగా, (iii)లో పదాలు ఎలా పురోగమిస్తాయో తెలియజేయండి? ప్రతి సందర్భంలో, మొదటి పదం మినహా ప్రతి పదం దానికి వెంటనే ముందున్న పదానికి స్థిర నిష్పత్తిని కలిగి ఉంటుందని గమనించబడింది. (i)లో, ఈ స్థిర నిష్పత్తి 2; (ii)లో, ఇది $-\frac{1}{3}$ మరియు (iii)లో, స్థిర నిష్పత్తి 0.01. అటువంటి క్రమాలను గుణోత్తర క్రమం లేదా గుణోత్తర పురోగతి అంటారు, సంక్షిప్తంగా G.P.

ఒక క్రమం $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$ని గుణోత్తర పురోగతి అంటారు, ప్రతి పదం సున్నా కానిది మరియు $\frac{a_{k+1}}{a_k}=r$ (స్థిరాంకం), $k \geq 1$ కోసం.

$a_1=a$ని అనుమతించడం ద్వారా, మనకు గుణోత్తర పురోగతి లభిస్తుంది, $a, a r, a r^{2}, a r^{3}, \ldots$, ఇక్కడ $a$ని మొదటి పదం అంటారు మరియు $r$ని G.P యొక్క సామాన్య నిష్పత్తి అంటారు. పైన ఉన్న గుణోత్తర పురోగతి (i), (ii) మరియు (iii)లో సామాన్య నిష్పత్తులు వరుసగా $2,-\frac{1}{3}$ మరియు 0.01.

అంకగణిత పురోగతి విషయంలో వలె, పెద్ద సంఖ్యలో పదాలను కలిగి ఉన్న గుణోత్తర పురోగతి యొక్క $n^{\text{th }}$ పదం లేదా $n$ పదాల మొత్తాన్ని కనుగొనే సమస్య, తర్వాతి విభాగంలో మనం అభివృద్ధి చేసే సూత్రాలు లేకుండా కష్టంగా ఉంటుంది. మనం ఈ సూత్రాలతో కింది సంజ్ఞామానాలను ఉపయోగిస్తాము:

$ \begin{aligned} & a=\text{ మొదటి పదం, } r=\text{ సామాన్య నిష్పత్తి, } l=\text{ చివరి పదం, } \\ & n=\text{ పదాల సంఖ్య, } \\ & S_n=\text{ మొదటి } n \text{ పదాల మొత్తం. } \end{aligned} $

8.4.1 $a$ G.P. యొక్క సాధారణ పదం

మొదటి సున్నా కాని పదం ‘$a$’ మరియు సామాన్య నిష్పత్తి ‘$r$‘తో కూడిన G.P.ని పరిశీలిద్దాం. దానిలో కొన్ని పదాలను వ్రాయండి. రెండవ పదం $a$ని $r$తో గుణించడం ద్వారా పొందబడుతుంది, అందువలన $a_2=a r$. అదేవిధంగా, మూడవ పదం $a_2$ని $r$తో గుణించడం ద్వారా పొందబడుతుంది. అందువలన, $a_3=a_2 r=a r^{2}$, మరియు మొదలైనవి.

మనం ఈ పదాలు మరియు మరికొన్ని పదాలను క్రింద వ్రాస్తాము.

$1^{\text{st }}$ పదం $=a_1=a=a r^{1-1}, 2^{\text{nd }}$ పదం $=a_2=a r=a r^{2-1}, 3^{\text{rd }}$ పదం $=a_3=a r^{2}=a r^{3-1}$ $4^{\text{th }}$ పదం $=a_4=a r^{3}=a r^{4-1}, 5^{\text{th }}$ పదం $=a_5=a r^{4}=a r^{5-1}$

మీరు ఒక నమూనాను చూస్తున్నారా? $16^{\text{th }}$ పదం ఏమిటి?

$$ a _{16}=a r^{16-1}=a r^{15} $$

అందువల్ల, నమూనా సూచించేది ఏమిటంటే, G.P. యొక్క $n^{\text{th }}$ పదం $a_n=a r^{n-1}$ ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది. అందువలన, $a$, G.P.ని G.P. పరిమితమైనదా లేదా అనంతమైనదా అనే దాని ఆధారంగా వరుసగా $a, a r, a r^{2}, a r^{3}, \ldots a r^{n-1} ; a, a r, a r^{2}, \ldots, a r^{n-1} \ldots ;$గా వ్రాయవచ్చు. శ్రేణి $a+a r+a r^{2}+\ldots+a r^{n-1}$ లేదా $a+a r+a r^{2}+\ldots+a r^{n-1}+\ldots$ వరుసగా పరిమిత లేదా అనంత గుణోత్తర శ్రేణులు అంటారు.

8.4.2. $n$ పదాల మొత్తం $a$ G.P.

G.P. యొక్క మొదటి పదం $a$ మరియు సామాన్య నిష్పత్తి $r$గా ఉండనివ్వండి. G.P. యొక్క మొదటి $n$ పదాల మొత్తాన్ని $S_n$ ద్వారా సూచిద్దాం. అప్పుడు

$$ S_n=a+a^{n}+a r^{2}+\ldots+a r^{n-1} \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $$

కేసు 1 $r=1$ అయితే, మనకు $S_n=a+a+a+\ldots+a(n$ పదాలు $)=n a$ ఉంటాయి

కేసు 2 $r \neq 1$ అయితే, (1)ని $r$తో గుణించడం ద్వారా, మనకు ఉంటుంది

$$ r S_n=a r+a r^{2}+a r^{3}+\ldots+a r^{n} \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $$

(1) నుండి (2)ని తీసివేయడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది $$(1-r) S_n=a-a r^{n}=a(1-r^{n})$$

ఇది ఇస్తుంది

$$ \mathrm{S} n=\frac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r} \text { or } \mathrm{S} _{n}=\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1} $$

ఉదాహరణ 4 G.P. $5,25,125, \ldots$ యొక్క $10^{\text{th }}$ మరియు $n^{\text{th }}$ పదాలను కనుగొనండి.

సాధన ఇక్కడ $a=5$ మరియు $r=5$. అందువలన, $a _{10}=5(5)^{10-1}=5(5)^{9}=5^{10}$ మరియు $a_n=a r^{n-1}=5(5)^{n-1}=5^{n}$.

ఉదాహరణ 5 G.P., 2,8,32,… యొక్క ఏ పదం $n$ పదాలు వరకు 131072?

సాధన 131072 ఇచ్చిన G.P. యొక్క $n^{\text{th }}$ పదంగా ఉండనివ్వండి. ఇక్కడ $a=2$ మరియు $r=4$.

అందువలన $\quad 131072=a_n=2(4)^{n-1}$ లేదా $65536=4^{n-1}$

ఇది ఇస్తుంది $\quad 4^{8}=4^{n-1}$.

కాబట్టి $n-1=8$, అంటే, $n=9$. అందువల్ల, 131072 అనేది G.P. యొక్క $9^{\text{th }}$ పదం.

ఉదాహరణ 6 ఒక G.P.లో, $3^{\text{rd }}$ పదం 24 మరియు $6^{\text{th }}$ పదం 192. $10^{\text{th }}$ పదాన్ని కనుగొనండి.

సాధన ఇక్కడ, $a_3=a r^{2}=24 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1)$

మరియు $ \quad \quad a_6=a r^{5}=192 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $

(2)ని (1)తో భాగించడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది $r=2$. (1)లో $r=2$ని ప్రతిక్షేపించడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది $a=6$.

అందువల్ల $a _{10}=6(2)^{9}=3072$.

ఉదాహరణ 7 గుణోత్తర శ్రేణి యొక్క మొదటి $n$ పదాల మొత్తం మరియు మొదటి 5 పదాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి $1+\frac{2}{3}+\frac{4}{9}+\ldots$

సాధన ఇక్కడ $a=1$ మరియు $r=\frac{2}{3}$. అందువలన

$$ S_n=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}=\frac{[1-(\frac{2}{3})^{n}]}{1-\frac{2}{3}}=3[1-(\frac{2}{3})^{n}] $$

ప్రత్యేకంగా, $\quad S_5=3[1-(\frac{2}{3})^{5}]=3 \times \frac{211}{243}=\frac{211}{81}$.

ఉదాహరణ 8 G.P. $3, \frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \ldots$ యొక్క ఎన్ని పదాలు $sum \frac{3069}{512} ?$ ఇవ్వడానికి అవసరం

సాధన $n$ అవసరమైన పదాల సంఖ్యగా ఉండనివ్వండి. ఇచ్చినది $a=3, r=\frac{1}{2}$ మరియు $S_n=\frac{3069}{512}$

అయినందున $ \quad \quad \quad S_n=\frac{a(1-r^{n})}{1-r} $

అందువలన $ \quad \quad \quad \frac{3069}{512}=\frac{3(1-\frac{1}{2^{n}})}{1-\frac{1}{2}}=6(1-\frac{1}{2^{n}}) $

లేదా $ \quad \quad \quad \frac{3069}{3072}=1-\frac{1}{2^{n}} $

లేదా $\quad \quad \quad \frac{1}{2^{n}} =1-\frac{3069}{3072}=\frac{3}{3072}=\frac{1}{1024}$

లేదా $\quad \quad \quad2^{n} =1024=2^{10}, \text{ which gives } n=10$

ఉదాహరణ 9 ఒక G.P. యొక్క మొదటి మూడు పదాల మొత్తం $\frac{13}{12}$ మరియు వాటి లబ్ధం -1. సామాన్య నిష్పత్తి మరియు పదాలను కనుగొనండి.

సాధన $\frac{a}{r}, a$, ar G.P. యొక్క మొదటి మూడు పదాలుగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు

$$ \frac{a}{r}+a r+a=\frac{13}{12} \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $$

మరియు $\quad(\frac{a}{r})(a)(a r)=-1 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $

(2) నుండి, మనకు లభిస్తుంది $a^{3}=-1$, అంటే, $a=-1$ (నిజమైన మూలాలను మాత్రమే పరిగణనలోకి తీసుకోవడం)

(1)లో $a=-1$ని ప్రతిక్షేపించడం ద్వారా, మనకు ఉంటుంది

$$ -\frac{1}{r}-1-r=\frac{13}{12} \text{ or } 12 r^{2}+25 r+12=0 \text{. } $$

ఇది $r$లో ఒక వర్గ సమీకరణం, దాన్ని పరిష్కరించడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది $r=-\frac{3}{4}$ లేదా $-\frac{4}{3}$.

అందువల్ల, G.P. యొక్క మూడు పదాలు: $\frac{4}{3},-1, \frac{3}{4}$ కోసం $r=\frac{-3}{4}$ మరియు $\frac{3}{4},-1, \frac{4}{3}$ కోసం $r=\frac{-4}{3}$,

ఉదాహరణ10 క్రమం 7, 77, 777, 7777, … యొక్క మొత్తాన్ని $n$ పదాలకు కనుగొనండి.

సాధన ఇది G.P. కాదు, అయినప్పటికీ, మనం పదాలను ఇలా వ్రాయడం ద్వారా దానిని G.P.కి సంబంధించవచ్చు

$ S_n=7+77+777+7777+\ldots \text{ to } n \text{ terms } $ $ \begin{aligned} & =\frac{7}{9}[9+99+999+9999+\ldots \text{ to } n \text{ term }] \\ & =\frac{7}{9}[(10-1)+(10^{2}-1)+(10^{3}-1)+(10^{4}-1)+\ldots n \text{ terms }] \\ & =\frac{7}{9}[(10+10^{2}+10^{3}+\ldots n \text{ terms })-(1+1+1+\ldots n \text{ terms })] \\ & =\frac{7}{9} \left[ \frac{10(10^{n}-1)}{10-1}-n\right]=\frac{7}{9}\left[\frac{10(10^{n}-1)}{9}-n \right] . \end{aligned} $

ఉదాహరణ 11 ఒక వ్యక్తికి 2 మంది తల్లిదండ్రులు, 4 మంది తాతామామలు, 8 మంది ముత్తాతలు మరియు మొదలైనవి ఉన్నారు. అతని స్వంత తరానికి ముందు పది తరాలలో అతని పూర్వీకుల సంఖ్యను కనుగొనండి.

సాధన ఇక్కడ $a=2, r=2$ మరియు $n=10$

మొత్తం సూత్రం $\quad S_n=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}$ని ఉపయోగించడం

మనకు ఉంది $ \quad\quad\quad\quad S_{10}=2(2^{10}-1)=2046 $

అందువల్ల, వ్యక్తికి ముందు పూర్వీకుల సంఖ్య 2046.

8.4.3 గుణోత్తర మధ్యమం (G.M.)

రెండు ధనాత్మక సంఖ్యల $a$ మరియు $b$ యొక్క గుణోత్తర మధ్యమం $\sqrt{a b}$ సంఖ్య. అందువల్ల, 2 మరియు 8 యొక్క గుణోత్తర మధ్యమం 4. మూడు సంఖ్యలు $2,4,8$ G.P. యొక్క వరుస పదాలు అని మనం గమనించాము. ఇది రెండు సంఖ్యల గుణోత్తర మధ్యమాల భావనను సాధారణీకరణకు దారి తీస్తుంది.

ఏదైనా రెండు ధనాత్మక సంఖ్యలు $a$ మరియు $b$ ఇచ్చినట్లయితే, ఫలిత క్రమం G.P.లో ఉండేలా మనం వాటి మధ్య ఎన్ని సంఖ్యలను చేర్చవచ్చు.

$G_1, G_2, \ldots, G_n$ ధనాత్మక సంఖ్యలు $a$ మరియు $b$ మధ్య $n$ సంఖ్యలుగా ఉండనివ్వండి, అంటే $a, G_1, G_2, G_3, \ldots, G_n, b$ ఒక G.P. అయితే. అందువలన, $b$ $(n+2)^{\text{th }}$ పదంగా ఉంటుంది, మనకు ఉంటుంది

$ b=a r^{n+1}, \quad \text{ లేదా } \quad r=(\frac{b}{a})^{\frac{1}{n+1}}